初一几何难题练习题含

1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其余问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其余如线段中垂线的性质、角均分线的性质、等腰三角形的判断与性质等也经常用到。例

1.

已知：如图

1所示，

ABC中，

C90

，AC

BC，AD

DB，AE

CF

。求证：

DE＝DFAEDC

F

B图1解析：由

ABC是等腰直角三角形可知，

AB45

，由

D

是AB

中点，可考虑连结

CD，易得

CD

AD，

DCF

45

。从而不难发现

DCF

DAE证明：连结

CDACBCABACB90，ADDBCDBDAD，DCBBAAECF，ADCB，ADCDADECDFDEDF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的均分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。此题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连BG，证EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不如一试。2.已知：如图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求证：∠E＝∠FEADBCF图2证明：连结ACABC和CDA中，ABCD，BCAD，ACCAABCCDA(SSS)BDABCD，AECFBEDFBCE和DAF中，BEDFDBCDABCE

DAF(SAS)E

F说明：利用三角形全等证明线段求角相等。

常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；2）添辅助线可以直接获取的两个全等三角形。2、证明直线平行或垂直在两条直线的地址关系中，平行与垂直是两种特其余地址。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可经过边对应成比率、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转变成证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。例3.如图3所示，设BP、CQ是ABC的内角均分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BCAQPKHBMNC图3解析：由已知，BH均分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH＝HN。同理，延长AK交BC于M，则CA＝CM，AK＝KM

BC于N，则BA＝BN，AH。从而由三角形的中位线定理，KH∥BC。证明：延长AH交BC于N，延长AK交BC于MBH均分∠ABC∠ABH∠NBHBH⊥AHAHB∠NHB90BH＝BHABHNBH(ASA)BABN，AHHN同理，CA＝CM，AK＝KMKH是AMN的中位线KH//MNKH//BC说明：当一个三角形中出现角均分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。例4.已知：如图4所示，AB＝AC，∠A90，AEBF，BDDC。求证：FD⊥EDAEF231BDC图4证明一：连结ADABAC，BDDC∠1∠290，∠DAE∠DABBAC90，BDDCBDADB∠DAB∠DAEADE和BDF中，AEBF，∠BADEBDF31

∠DAE，AD

BD290FDED说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角均分线是常用辅助线。证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BMAFEBDCM图5BDDCBDMCDE，DMDEBDMCDECEBM，CCBMBM//ACA90ABM90AABAC，BFAEAFCEBMAEFBFMFEFMDMDEFDED说明：证明两直线垂直的方法以下：（1）第一解析条件，观察能否用供应垂直的定理获取，包括添常用辅助线，见此题证二。2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。3）证明二直线的夹角等于90°。3、证明一线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）例5.已知：如图6所示在ABC中，B60，∠BAC、∠BCA的角均分线AD、CE订交于O。求证：AC＝AE＋CDBEDO4235A6F图6

C解析：在AC上截取AF＝AE。易知AEOAFO，12。由B60，知5660，160，23120。123460，得：FOCDOC，FCDC证明：在AC上截取AF＝AEBADCAD，AOAOAEOAFOSAS2B60660603120123460FOCDOC(AAS)FC

DCACAECD（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，

则两较短线段成为一条线段，

证明该线段等于较长线段。（补短法）例

6.

已知：如图

7所示，正方形

ABCD

中，F在

DC

上，E在

BC

上，

EAF

45

。求证：EF＝BE＋DFA

D312FG

BE

C图7解析：此题若模拟例

1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。

不如延长

CB

至G，使BG＝DF。证明：延长CB至G，使BG＝DF在正方形ABCD中，ABGD90，ABADABGADF(SAS)AGAF，13EAF4523452145即∠GAE＝∠FAEGEEFEFBEDF4、中考题：如图8所示，已知ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。求证：EC＝EDEFABCD图8证明：作DF//AC交BE于FABC是正三角形BFD是正三角形AE＝BDAEFDBFBAAFEFEF＝ACAC//FDEACEFDEACDFE(SAS)ECED题型显现：证明几何不等式：例题：已知：如图9所示，12，ABAC。求证：BDDCA12CBDE图9证明一：延长AC到E，使AE＝AB，连结DEADE和ADB中，AEAB，21，ADADADEADBBDDE，EBDCEBDCEEDEDC，BDDC证明二：如图10所示，在AB上截取AF＝AC，连结DFA1234BDC10则易证ADFADC4，DFDCBFD3，4BBFDBBDDFBDDC说明：在有角均分线条件时，常以角均分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。【实战模拟】1.已知：如图11所示，ABC中，C90，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC12CEADB图112.已知：如图12所示，在ABC中，A2B，CD是∠C的均分线。求证：BC＝AC＋ADADBC图123.已知：如图13所示，过ABC的极点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。求证：MP＝MQAQBCMP134.ABC中，BAC90，ADBC于D，求证：AD1ABACBC4【试题答案】1.证明：取CD的中点F，连结AFC41F3EADBACADAFCDAFCCDE90又1490，13903ACCEACFCED(ASA)CFED1DECD2解析：此题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”立刻长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”立刻一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。EADBC证明：延长CA至E，使CE＝CB，