牛顿法求根的近似值上课讲义

以牛顿法求整数^平方根的近似值弓畏海潮教授/S1大孥敷孥系朱启攵台助理/矍攵孥孥科中心面空寸95孥年度正式^施的敷孥新^程，撇^删去的和教孥次序^整的不诙，老弗仍最^心的遢是新增了哪些题材。除了统言十罩元之外，或^有些老弗^得微稹分的内容也作了不少改燮，但基本上95年版的微稹分多果程只是将73年版的内容作了一定程度的回彳复，雁^不致於增加老g而的司詹。鼎冒於微稽分志果程的畿言十理念,翁秉仁教授在《诙「敷孥(11)」多果程^要》已有完整言兑明,本及焦黑胡各放在微稹分^程的一侗小角落，也就是「避修敷孥(II)」的附^二「以牛顿法求整敷^平方根的近似值」。孥完多项式之彳爰，高中生解得出的多项方程式仍然很有限，除了一次典二次可以^用公式解以外，三次以上的方程式只能用勘根定理碰碰^兼。如果我仍旗意面空寸真相，其^高中生莹寸二次方程式的掌握也是有限的，一元二次方程式^2+bx+c=0的丽根舄2气」4如，通2a常要在^®®®特另脂殳言十的情)兄下，方程式的根才畲是有理敷，才能真的用我仍熟悉的分敷表建。就^用的®^^看，照理敷其^亚不常见。皋侗例子^^，Z®«法保^生走一批半彳陛全部都是根号虎2公分的螺矣条，事^上也不需要，客户可能只要求整批螺^的半彳陛介於1.4±0.1公分之鼠换句有舌虱在日常生活中，近似比完美更^用。因此，我仍希望高中生孥畲欣赏近似的概念，亚»>-些有效率的近似方法，牛顿求根法同D好是建成BS^S目檬的好途彳。假殳我仍想言十算V云的近似值，我仍可以考虑f(x)=x2-n=0B侗方程式，如圈，方程式的因舄（1.4）2<C2）=2<（1.5）2，所在逵入牛顿法之前，我仍先回，噫一下如何用十分逼近法来估言h'2。一^始先估言十整敷位，因舄12<因舄（1.4）2<C2）=2<（1.5）2，所换句有舌志兑，求近似值是一侗重力熊的遏程，每走一步，就雕精碓值更近一黑&事^上，不^我仍希望多縻靠近都瓣得到，只要多走畿步就行了。富我仍比重交不同的近似方法孰慢孰劣畤，就是在比重交逼近速度，也就是志知直隹可以用比重交少的翩步或比重交少的K^B到相同的率碓度。现在，我仍就来看看牛顿法怎縻估言十'•板。如圈，先在J云的右方随便挑一侗敷a富成t云的近似值，第1步取多少亚不是太重要，重要的是如何雀第1步得到第2步，再雀第2步得到第3步，然彳爰以此^推。挑出展的第1侗近似值a之彳灸我祈"a,f(a))作一切富泉Bfi切^和x翰的交黑占b就是插的第2侗近似值。像囿蒙子，雀每T固近似值可以引出一4条切氟盲条切富泉和x翰的交黑占就是下一侗近似值。直B上我^可以看出，是侗近似的程序ffi«>越来越接近、质，但是亚不稀奇，是是所有近似方法的必要』条件，即使是十分逼近法是重没有效率的方法也有圄固性宣我仍想知道牛顿法的效率如何？首先注意到

f'(a)=f(a)-0=f(a)a一ba一bnf(a)=(a-b)f'(a)=af'(a)—bf'(af'(a)=7af'(a)一f(a)a(2a)一(a2—n)a2+nnb===f(a)2a2a因此，近似值b和真值、n的森差舄（-）7—a2+n—a2一2gn+nw、nb一5=一n==2a2a2a我仍畿瑰第2步的森差可直接雀第1步的森差看出来粗略地^，如果第1步的森差是0.1，剧」第2步的森差大的是0.1的平方0.01;如果第1步的森差是0.01，剧」第2步的森差大的舄0.01的平方0.0001。可以Btt^,十分逼近法每走一步，其精碓程度只能增加1侗小敷位，是侗等速^重力。但牛顿法每走一步，其精碓位敷的增加幅度畲越来越大，下一步的精碓位敷是前一步的2倍，精碓位敷呈指敷型熊成辰。最彳爰就^我仍以气吁（=1.414213562373095048801688724209…）作舄例子来髓畲一下牛顿法的威力。f3）=必-2=0，取克的第1侗近似值舄1.5（在巨的右方），於是9a2+n(L5)2+24+17b===-——==1.4166...2a2(1.5)312（小敷黑占以下2位精碓）(17¥—+(17¥—+2b2+n"12)c==2b2(17]"12J289+28814417577——=1.4142156408（小敷黑占以下5位精碓）13583482896049728=1.4142135623746...(577]2+2332929+2665857c2+n="408J=13583482896049728=1.4142135623746..."1C2印7，5775772"408J204204（小敷黑占以下11位精碓）我仍不妨将上述程序稍微修改一下，一方面可以）成少言十算&»，一方面也更容易看出精碓度的成辰状）兄：第一步取a=1.4，小敷黑占以下1位精很因此a2+n(1.4)2+23.96小。b==—/l=——=1.41428...2a2(1.4)2.8(小敷黑占以下至少2位精碓，将b以1.41代入)b2+n(1.41》+23.9881577c==—7——==——=1.4142192b2(1.41)2.82408（小敷黑占以下至少4位精碓，将c以1.4142代入）665857c2+n(1.4142-+23.99996164侣洞135834828d==1"r—==—二==1.4142135624...2.82842c2(1.4142)2.8284577960497282042.8284（小敷黑占以下至少8位精碓）是侗