轨迹方程求法含典型例题包括

轨迹方程求法含典型例题包含答案轨迹方程求法含典型例题包含答案30/30轨迹方程求法含典型例题包含答案轨迹方程的求法及典型例题(含答案)23例2、以以下图，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且知足∠APB=90°，求矩形APBQ的极点Q的轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=(x4)2y2所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0所以点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=x4,y1y0,22代入方程x2+y2－4x－10=0,得(x4)2(y)24x4－10=0222整理得：x22这就是所求的轨迹方程.+y=56,4例3、如图,直线L1和L2订交于点M,L1L2,点NL1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等.若AMN为锐角三角形,|AM|=17,|AN|=3,且|BN|=6.成立适合的坐标系,求曲线段C的方程.解法一：如图成立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直均分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，此中A，B分别为C的端点。设曲线段C的方程为y22px(p0),(xAxxB,y0)，此中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|。所以M(|AM|(xAp)22(xAp)22

p,0),N(p,0)2217,|AN|3得2pxA17(1)2pxA9(2)4p4p2或xA由①，②两式联立解得p。再将其代入①式并由p>0解得xA1xA25pxA因为△AMN是锐角三角形，所以2，故舍去∴p=4,xA=1xB|BN|p42由点B在曲线段C上，得。综上得曲线段C的方程为y28x(1x4,y0)解法二：如图成立坐标系，分别以l1、l2为轴，M为坐标原点。作AE⊥l1,AD⊥l2，BF⊥l2垂足分别为E、D、FA(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)依题意有

2xA2xA|ME|DA||AN|3yA|DM||AM|2|DA|222因为AMN为锐角三角形故有xN|ME||EN||ME||AM|2|AE|24xB|BE||NB|6设点P(x,y)是曲线段C上任一点则由题意知P属于会合{(x,y)|(xxN)2y2x2,xAxxB,y0}故曲线段C的方程y28(x2)(3x6,y0)6例4、已知两点P(2,2),Q(0,2)以及一条直线：y=x，设长为2的线段AB在直线上挪动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的挪动而变化，故可设A(t,t),B(t1,t1)，则PA：y2t2(x2)(t2),：y2t1x(t1).t2QBt1消去t，得x2y22x2y80.当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也知足上式，所以点M的轨迹方程是x2y22x2x2y80.7例5、设点A和B为抛物线y2＞上原点之外的两个动点，已知⊥，⊥=4px(p0)OAOBOMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解法一：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+bOM⊥AB，得k=－xyy2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0所以x12b2,124pb，x=k2yy=k8OA⊥OB，得y1y2=－x1x2所以4pk=－b2,b=－4kpkk2故y=kx+b=k(x－4p),得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.y24px11y224px2解法二：设A(x1122依题意，有y1y2x1x21①②yy1y21xx1x2y1y2yy1x1x2xx1①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)

③④若x1≠x2则有y1y24p,x1x2y1y2有y12－2⑦y=16p⑥代入④，得4pxy1y2y4p4p(yy1)y1y24pxy12

⑥①×②得2·y22212③代入上式,y1=16pxx⑧⑥代入⑤，得4pyy1yy1所以y1y2xx1y12x4p4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)当x1=x2时，AB⊥x轴，易得M(4p,0)仍知足方程.9故点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.轨迹方程(练习1)1．(08、山东文22)已知曲线C1：|x||y|1(ab0)所围成的关闭图形的面积为ab45，曲线C1的内切圆半径为25，记C2为以曲线C1与坐3标轴的交点为极点的椭圆．(1)求椭圆C2的标准方程；(2)设AB是过椭圆C2中心的随意弦，L是线段AB的垂直均分线，M是L上异于椭圆中心的点．①若|MO|＝λ|OA|(O为坐标原点)，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；②若M是L与椭圆C2的交点，求AMB的面积的最小值．10112ab45解：(1)由题意得ab25a25，b24a2b23椭圆方程：x2y2＝1．54(2)若AB所在的斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)，A(xA，yA)．①由x2y21xA220，yA220k25445k245k2ykx,22220(1k2)．|OA|xAyA45k2设M(x，y)，由|MO|＝λ|OA|(λ≠0)222x2y2220(1k2)．|MO|＝λ|OA|45k2因为L是AB的垂直均分线，所以直线L的方程为y＝1xk＝x，代入上式有：ky220(1x2)220(x2y2)222y，由x2y205x24y2202，xyx24y25x245y2当k＝0或不存时，上式仍旧成立.，综上所述，M的轨迹方程为x2y22，（λ）．4502|OA|2＝xA22)．②当k存在且k0时，xA24202，yA220k2yA220(1k25k45k45k12x2y21x220k220|OM|220(1k2)．由54，y21xM54k2M54k254k2yk1111＝9．OA2OM220(1k2)20(1k2)2045k254k22|OB|12129|OA||OB|≥40．|OA|OAOM209SAMB12|OA||OB|＝|OA||OB|≥40，29当且仅当4＋5k2＝5＋4k2时，即k＝1时等号成立．当k0，SAMB12522540；21940．当k不存在时，SAMB542529综上所述，AMB的面积的最小值为40．913142．（07、江西理21）设动点P到点A(1，0)和B(10)，的距离分别为d1和d2，APB2，且存在常数(01)，使得d1d2sin2．(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；(2)过点B作直线与双曲线C的右支于M，N两点，试确立的范围，使OM·ON＝0，此中点O为坐标原点．1516解：(1)在△PAB中，AB2，即22d12d222d1d2cos2，4(d1d2)24d1d2sin2，即d1d244d1d2sin2212（常数），点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长2a21的双曲线，方程为：x2y21．1（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x1，M(11)，，N(1，1)在双曲线上．即11121015，12因为01，所以51．2②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为yk(x1)．x2y2由11得：yk(x1)(1)k2x22(1)k2x(1)(k2)0，由题意知：(1)k20xx2k2(1)，xx(1)(k2)12(1)k212(1)k2y1y2k2(x11)(x21)k22)k2．(117由OM·ON＝0，且M，N在双曲线右支上，x1x2y1y20k22(1)(1)512所以x1x201211．k2223x1x20110由①②知512．233．（09、海南）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个极点到两个焦点的距离分别是7和1．（1）求椭圆C的方程；（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，OPe2（e为椭圆C的离心率），求点M的轨迹OM方程，并说明轨迹是什么曲线．18解：（Ⅰ）半及分a，c．由已知得ac1＝，＝C的方ac7a4c3程x2y21．167（2）M（x，y），P（x0，y0）．此中x0∈[－4，4]，x0＝x．有x02y021⋯⋯①16719由OPe得：x02y024＝9．OMx2y2e16故16(x02y02)9(x2y2)【下边是找关系式x0＝f（x，y），y0＝g（x，y）的程】x02x21127x2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②2y016②式代入①：的段．

x02y021并整理得：y47(4x4)，所以点M的迹是两条平行于x1673迹方程(2)4．（09、重庆理）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为y433，离心率e23，M是椭圆上的动点．(1)若C、D的坐标分别是(0，√3)、(0，－√3)，求|MC|·|MD|的最大值；(2)如图，点A的坐标为(1，0)，点B是圆x2y21上的点，点是点M(椭圆上的点)在x轴上的射影，点Q知足条件：OQ＝OM＋ON，QA·BA＝0．求线段QB的中点P的轨迹方程．2021解：(1)设椭圆方程为：x2y21（＞＞）．准线方程y43＝abab03a2，e3c2，c2椭圆方程为：x2y21．所以：C、c2＝aa3b14D是椭圆x2y21的两个焦点|MC|＋|MD|＝4．|MC|·|MD|≤4(|MC||MD|)24，当且仅当|MC|＝|MD|，即点M的坐标为(1,0)时上2式取等号|MC|·|MD|的最大值为4．(2)设M(xm,ym),B(xB,yB)，Q(xQ,yQ)，N(xm，0)4xm2ym24，xB2yB21．由OQ＝OM＋ON22xQ2xm，yQymxQ2yQ2(2xm)2ym24⋯⋯⋯①QA·BA＝0(1xQ，yQ)·(1xB，yB)＝(1xQ)(1xB)＋yQyB＝0xQxByQyBxQxB1⋯⋯⋯⋯②P点的坐(xP，yP)，因P是BQ的中点2xPxQxB，2yPyQyBxP2yP2(xQxB)2(yQyB)2＝1(xQ2xB2yQ2yB22xQxB2yQyB)224＝1[52(xQxB1)]＝1(54xP2)xP2yP23xP444点P的方程：(x1)2y21．2235．（09、安徽）已知椭圆x2＋y2＝1（a＞b＞0）的离心率22ab为3．以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x3＋2相切．（1）求a与b的值；（2）设该椭圆的左，右焦点分别为F1和F2，直线L1过F2且与x轴垂直，动直线L2与y轴垂直，L2交L1于点p.求线段PF1的垂直均分线与直线L2的交点M的轨迹方程，并指明曲线种类2425解：（1）e＝3b2＝223a3

．又圆心（0，0）到直线y＝x＋2的距离d＝半径b＝2，1212222，a2＝3．32那么线段PF1的中点为N（0，t）．2L2的方程为：y＝t，设M(xM,yM)是所求轨迹上的随意点.【下边求直线MN的方程，此后与直线L2的方程联立，求交点M的轨迹方程】直线PF1的斜率k＝2t，∴线段PF1的中垂线MN的斜率＝－2．t所以：直线MN的方程为：ytxMt2y－t＝－2x．由2t4，2tytxyMt2消去参数t得：yM24xM，即：y24x，其轨迹为抛物线（除原点）．又解：因为MN＝（－x，t－y），PF1＝（－x，t－y）．∵MN·PF1220，26tty)0∴(x,)·(x，，消参数t得：y24x（x≠0），其轨迹为抛物22yt线（除原点）．6．(07湖南理20）已知双曲线x2y22的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线订交于A，B两点．【直接法求轨迹】1）若动点M知足F1MF1AF1BFO1（此中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；(2)在x轴上能否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明原因．解：(1)由条件知F1(2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．设M(x，y)，则FM(x2，y)，FA(x2，y)，FB(x2，y)，FO(2，0)，1111122127C(10)，由F1MF1AF1BFO1x2x1x26yy1y2x1x2x4x4y．y1y2AB的中点坐标为2，y2AB不与x轴垂直时，y1y2y0y，24x1x2xx822即y1y2y(x1x2)．x8又因为A，B两点在双曲线上，所以x12y122，x22y222，两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，即(x1x2)(x4)(y1y2)y．将y1y2y(x1x2)代入上式，化简得(x22．x86)y4当AB与x轴垂直时，x1x22，求得M(8，0)，也知足上述方程．所以点M的轨迹方程是(x6)2y24．2）假定在x轴上存在定点C(m，0)，使CA·CBAB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是yk(x代入x2y