专题42 圆锥曲线中的对称问题-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（原卷版）

专题42圆锥曲线中的对称问题【高考地位】在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围.这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点.因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.方法一判别式法万能模板内容使用场景圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板第一步假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程；第二步联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标；第三步把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；第四步利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.例1.在QUOTE中，顶点QUOTEA,B,CA,B,C所对三边分别是QUOTEa,b,ca,b,c已知QUOTEB(-1,0),C1,0B(-1,0),C1,0,且QUOTEb,a,cb,a,c成等差数列.(I)求顶点QUOTEAA的轨迹方程；(II)设顶点A的轨迹与直线QUOTEy=kx+my=kx+m相交于不同的两点QUOTE，如果存在过点QUOTEP(0,-12)P(0,-12)的直线QUOTEll,使得点QUOTE关于QUOTEll对称，求实数QUOTEmm的取值范围例2、已知椭圆的离心率是，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）设椭圆与直线相交于不同的两点、，又点，当时，求实数的取值范围．【变式演练1】在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围．【变式演练2】求证：抛物线=－1上不存在关于直线=对称的两点。方法二点差法万能模板内容使用场景圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板第一步设出两点和中点坐标（x，y）；第二步用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；第三步联立直线方程，求出交点，即中点；第四步由中点位置及对应范围求出参数取值范围.例3、若抛物线y=-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围．【变式演练3】【安徽省安庆市省市示范高中2020届高三下学期高考模拟】已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为（1，-1），则椭圆的方程为（）A． B． C． D．【变式演练4】【2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测文科】设直线与抛物线相交于两点，若弦的中点的横坐标为则的值为___________．【高考再现】1.【2020年高考上海卷10】已知椭圆，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若关于轴对称的点为，且满足，则直线的方程为．２．【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.2.【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.3.【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A.单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是.4.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C：于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.（I）求；（=2\*ROMANII）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.【反馈练习】1．【2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）理科】已知过椭圆的右焦点的直线，斜率存在且与椭圆交于，两点，若的垂直平分线与轴交于点，则点横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．2．【黑龙江省哈尔滨九中2020届高三高考数学（文科）三模】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（）A． B． C． D．3．【2020届山西省太原五中高三3月模拟数学（文）】若过椭圆内一点P（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（）A．8x+9y﹣25＝0 B．3x﹣4y﹣5＝0 C．4x+3y﹣15＝0 D．4x﹣3y﹣9＝04．【宁夏中卫市2020届高三下学期高考第三次模拟考试数学（文）】已知椭圆，作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，线段的中点M，O为坐标原点，与的夹角为，且，则____________5．【2020届江西省南昌市第二中学高三第一次模拟测试卷理科】已知为椭圆内一定点，经过引一条弦，使此弦被点平分，则此弦所在的直线方程为________________．6．【2020届广西玉林、柳州市高三上学期第二次模拟考试】已知椭圆C：的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点，如果△BMN的重心恰好为椭圆的左焦点F，则直线方程为___________7．【陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三上学期期末文科】已知椭圆，点，直线与椭圆C交于不同的两点M，N.（1）当时，求的面积；（2）设直线PM与椭圆C的另一个交点为Q，当M为线段PQ的中点时，求k的值.8．【江苏省南京师大附属苏州实验学校2020届高三下学期5月阶段测试】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；（2）求证：为定值；（3）过作轴的垂线，垂足为，若直线和直线倾斜角互补，且的面积为，求椭圆的方程.9．【江苏省南京市秦淮中学2020届高三下学期最后一练】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，且线段的长为，为椭圆异于顶点，的点，过点，分别作，，直线，交于点．（1）求椭圆的方程；（2）求证：当在椭圆上运动时，点恒在一定椭圆上；（3）已知直线过点，且与（2）中的椭圆交于不同的两点，，若为线段的中点，求原点到直线距离的最小值．10．【江苏省南京师范大附中2020届高三下学期6月高考模拟（1）】在平面直角坐标系中，已知椭圆，直线．（1）若椭圆C的一条准线方程为，且焦距为2，求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左焦点为F，上顶点为A，直线l过点F，且与FA垂直，交椭圆C于M，N（M在x轴上方），若，求椭圆C的离心率；（3）在（1）的条件下，若椭圆C上存在相异两点P，Q关于直线l对称，求的取值范围（用k表示）．11．【湖南省衡阳市2020届高三下学期三模】已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，斜率为的直线过且与椭圆相交于，两点，的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设线段的中垂线交轴于，在以，为