变式教学课件

变式教学在数学教学中的

应用庄浪县大庄中学变式教学在数学教学中的

应用庄浪县大庄中学1

在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，适当地应用数学“变式教学”是一种十分有效的手段。在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进2

所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对某种范式（数学教材中具体的知识、问题、思维模式等）的变形形式，通过不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物本质特征的情况下，使事物的外在非本质的属性不断迁移，变化。所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对某3采用变式方式进行教学就是变式教学。变式教学是一种有效的数学教学途径，可以提高学生的思维能力、应变能力；也可以培养学生的创新精神。教师利用变式教学，能引导学生对数学问题多角度，多方位，多层次地思考和讨论，使学生更深刻地理解数学知识；引导学生从“变”得现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，提高学生的思维能力和创新精神。采用变式方式进行教学就是变式教学。变式教学是一种4一、对变式教学的理解

数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式.1.1数学变式教学的本质含义一、对变式教学的理解数学变式教学，是指通过不同角度、5一、对变式教学的理解1.2初中数学变式教学的意义

★初中数学变式教学，对提高学生的思维能力、应变能力是大有益处．

★变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教学目标的重要途径．一、对变式教学的理解1.2初中数学变式教学的意义6一、对变式教学的理解在复习“坐标系内的图形对称”时，曾经设计过如下的题目【案例1】点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是()；关于y轴对称的点的坐标是()；关于原点对称的点的坐标是().变式1

直线y=2x-1关于x轴对称的直线的解析式是

；关于y轴对称的直线的解析式是

；关于原点对称的直线的解析式是

.一、对变式教学的理解在复习“坐标系内的图形对称”时，曾经设7变式2

双曲线y=1/x，关于x轴对称的解析式是；关于y轴对称的解析式是

关于原点对称的解析式是

.变式3

抛物线y=3x2+2x-1，关于x轴对称的是

关于y轴对称的解析式是;关于原点对称的解析式是

.变式2双曲线y=1/x，关于x轴对称的解析式是；8一、对变式教学的理解【案例2】又如，在勾股定理的应用中。题目：如图1，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分别以AB、BC、CA为边作正方形，这三个正方形的面积分别记为s1,s2，

s3，探索三者之间的关系。

图1一、对变式教学的理解【案例2】又如，在勾股定理的应用中。图19变式1：如图2，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分别以AB、BC、CA为边作正三角形，这三个正三角形的面积分别记为，s1,s2,s3.请探索三者之间的关系。图2变式1：如图2，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分10变式2：如图3，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分别以AB、BC、CA为直径作半圆，这三个半圆的面积分别记为s1,s2,s3.请探索三者之间的关系。变式3：你认为所作的图形具备什么特征时，均有这样的关系。图3变式2：如图3，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分11二、变式教学要遵循的原则2.3参与性原则2.1针对性原则2.2可行性原则二、变式教学要遵循的原则2.3参与性原则2.1针对性原则12二、变式教学要遵循的原则2.1

针对性原则

变式教学要根据学习需要，遵循学生的认知规律设计，其目的是通过变式使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，形成解题技能，最终完成“知识-应用-理解-形成技能-培养能力”的认知过程。所以对于不同的课型，对变式教学的目的应不同。例如，新授课的变式教学应服务于本节课的教学目的；习题课的“变式教学”应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法；复习课的变式教学不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系，同时变式习题要紧扣课标；在试卷讲评课时，变式教学就要根据学生答题的情况进行有针对性地查漏补缺、巩固、提高。二、变式教学要遵循的原则2.1针对性原则变式教学要根据13二、变式教学要遵循的原则2.2

可行性原则

1、变式设计要有差异性。设计数学问题变式，要强调一个“变”字，但不能“变”得过于简单，不能让学生认为是简单的“重复劳动”，打消学生思考问题的积极性；难度较大的变式习题容易挫伤学生的学习积极性，使学生丧失自信心，难以获得成功的喜悦，所以在选择习题进行变式时要变得有“度”。从心理学角度分析，新颖的题目对学生刺激强，学生做题的兴奋度高，注意力容易集中，积极性高，思维敏捷，能收到较好的训练效果。所以变式题组的题目之间要有明显的差异，要使学生对每道题既感到熟悉，又觉得新鲜，深深吸引学生的好奇心与求知欲。二、变式教学要遵循的原则2.2可行性原则1、变14二、变式教学要遵循的原则2.2

可行性原则

2、变式设计要有层次性。刚才讲到变式教学要难易适中，同时，变式教学中问题的设计还要层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心和求知欲。要让学生经过思考，能够跨过一个个“门槛”，这样既达到训练的目的，又可以培养学生的思考问题的方式。

二、变式教学要遵循的原则2.2可行性原则2、变式15二、变式教学要遵循的原则2.2

可行性原则

3、变式设计要有内涵性。变式设计的问题要争取具有典型性，要注意知识之间的横、纵向联系，具有延伸性，争取内涵丰富，给学生留下充足的思维空间。要通过“变式训练”让学生体会到相应的数学思想方法，提高学生的思维品质，让学生在美丽的变式中领略数学的魅力。

二、变式教学要遵循的原则2.2可行性原则16二、变式教学要遵循的原则2.3

参与性原则

在变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”。要鼓励学生大胆地“变”，培养学生的创新意识和创新精神。不要小看学生的能力，他们会创造出令老师惊讶的结果。二、变式教学要遵循的原则2.3参与性原则17三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例3】“平方根”概念的教学【案例4】“矩形”的概念教学【案例5】“绝对值”的概念教学三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例3】“平方根”183.1概念变式【案例3】“平方根”概念的教学正方形面积416494/250.81边长x2416494/250.81x三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例3】“平方根”概念的教学正方形41619三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例4】“矩形”的概念教学三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例4】“矩形”的概20三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例5】“绝对值”的概念教学填空(在横线内填>、<或=)若a=5,则|a|

0若a=-3,则|a|0若a=0,则|a|0若a＞0,则|a|

0若a＜0则|a|0若a=0,则|a|

0总结得出结论：无论a为何值|a|≥0三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例5】“绝对值”的21三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例5】“绝对值”的概念教学变式1：若|a|=0，则a=()若|a|+|b|=0,则a=(),b=()

若|a|+|b|+|c|=0,则a=(),b=(),c=()若|a1|+|a2|+|a3|+……+|an|=0,则a1=()a2=(),……an=()

三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例5】“绝对值”的22三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例5】“绝对值”的概念教学变式2：若|a-1|=0，则a=()若|a-1|+|b+2|=0,则a=(),b=()若|a-1|+|b+2|+|c-3|=0,则a=(),b=(),c=()三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例5】“绝对值”的23三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例5】“绝对值”的概念教学变式3：若a2=0，则a=()若a2+b2=0,则a=(),b=()若|a|+b2=0,则a=(),b=()三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例5】“绝对值”的24

概念在数学教学中的比例较大，能否正确理解概念是学生学好数学的关键，但是概念通常比较抽象，学生感觉枯燥，学习起来索然无味，并且难以理解，通过变式等手段，不仅能有效的解决这一难题，使学生渡过难关，而且还可加深学生对概念内涵和外延的更深层次的理解。概念在数学教学中的比例较大，能否正确理解概念是25三、变式教学应用举例3.2

图形变式【案例6】在直线上找一点到已知两点的距离之和最小问题【案例7】等腰三角形底边上一点到两腰距离之和问题【案例8】弦切角的性质三、变式教学应用举例3.2图形变式【案例6】在直线上找一263.2图形的变式案例6如图、已知直线L和L外两点A、B在直线L上求作一点P，使PA+PB最短。LBAP3.2图形的变式案例6LBAP27如图、已知直线L和L外两点A、B在直线L上求作一点P，使PA+PB最小。PLBAA1C┐3.2图形的变式如图、已知直线L和L外两点A、B在直线L上求作一点P，使PA28变式1如图：四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，在对角线BD上求作一点P使PC+PE最小。ABCDEPABCDEP3.2图形的变式变式1如图：四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，在对角线29如图：正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，P是BD上的动点，求PE+PC的最小值。ABCDEP3.2图形的变式链接中考解：连接AE交BD于P，则P为所求且AE的长就是PE+PC的最小值。P如图：正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，P是BD上的30抛物线y=x2-2x-3，在对称轴上能否找到一点P,使得⊿APC的周长最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。解：存在。连接BC交直线X=1于点P,则P为所求的点。∵B(3，0)C(0，-3)∴直线BC的解析式为：y=X-3当X=1时y=-2∴点P的坐标是（1，-2）。CyAXOB3-1X=1链接中考P抛物线y=x2-2x-3，在对称轴上能否找到一点P,使得⊿31案例7已知：如图（1）在∆ABC中，AB=AC,P是BC的中点，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F为垂足。求证：PE=PF证明：连接AP∵AB=ACBP=CP∴∠PAB=∠PAC∵PE⊥ABPF⊥AC∴PE=PFAFCPBE（1）3.2图形的变式案例7已知：如图（1）在∆ABC中，AB=AC,P是BC的中32已知：如图（2）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，P是AD上一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，E、F为垂足。求证：PE=PF证明同上。AFCDBEP（2）3.2图形的变式已知：如图（2）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，P33已知：如图（3）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，P是DA延长线上一点，且PE⊥AB交BA的延长线于E，PF⊥AC交CA的延长线于F。求证：PE=PF证明同上。AFCDBEP3.2图形的变式已知：如图（3）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，P34如图：在△ABC中AB=AC，P是BC边上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F为垂足。求证：PE+PF=定值。证明：连接AP则S△ABC=S△ABP+S△ACP∴½AC·BD=½AB·PE+½AC·PF∵AB=AC∴½AC·BD=½AC·PE+½AC·PF∴BD=PE+PF即PE+PF=定值ABCFDEP3.2图形的变式如图：在△ABC中AB=AC，P是BC边上任意一点，PE⊥A35问题：当动点在等腰三角形底边所在直线（底边之外）上运动时，其动点到两腰的距离之间有何关系呢？此时，S△ABP－S△ACP=S△ABC即½AB·PE－½AP·PF=½AB·CD因此很自然地得到PE－PF=常量EAPFBCD3.2图形的变式问题：当动点在等腰三角形底边所在直线（底边之外）上运动时，其36问题：当动点在三角形内部运动时，动点到三边的距离之间是否有一定的等量关系。S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC∴½AB·CD=½AB·PE+½BC·PG+½AC·PF（在这里我们找不到有价值的东西，那如果△ABC是等边三角形呢？）ABCFPEDG3.2图形的变式问题：当动点在三角形内部运动时，动点到三边的距离之间是否有一37S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC∴½AB·CD=½AB·PE+½BC·PG+½AC·PF∵AB=BC=AC∴PE+PG+PF=CD∴PE+PG+PF=常量ADEBGCFP3.2图形的变式S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PACADEBGCF38问题：当动点在等边三角形外运动时，又能得到什么结论呢？由图知：S△PAB－S△PBC－S△PAC=S△ABC∴½AB·PG－½BC·PE－½AC·PF=½AB·CD∵AB=BC=AC∴PG-PE-PF=CD=常量ADBCEPFG3.2图形的变式问题：当动点在等边三角形外运动时，又能得到什么结论呢？ADB39案例8弦切角的性质

观察：如图1，如果将线段DE以点D为中心作逆时针旋转，同时保证线段BC与DE仍然相交于圆周上，当DE变为圆的切线时（如图2），你能发现什么现象？ABDCEOAD(C)BEO

1

3.2图形的变式2案例8弦切角的性质观察：如图1，如40根据圆内接四边形的性质可知，图1中∠BCE=∠A，当图形变化为图2后，DE成为切线，那么∠BCE=∠A仍然成立吗？猜想：△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的切线，则∠BCE=∠A。分析：我们先从特殊的情形入手证明该猜想。当△ABC为直角三角形时可能会使证明简单化，如果这时猜想能够成立，那么就增大了一般情形猜想成立的可能性，于是再讨论锐角三角形和钝角三角形的情形。3.2图形的变式根据圆内接四边形的性质可知，图1中∠BCE=∠A，当图形变化41证明：（1）如图3，圆心O在△ABC的边BC上，即△ABC是直角三角形。∵CE为切线，所以∠BCE=90°。∵∠A是半圆上的圆周角∴∠A=90°。∴∠BCE=∠A。ABOEC图33.2图形的变式证明：（1）如图3，圆心O在△ABC的边BC上，即△ABC是42（2）如图4，圆心O在△ABC的内部，即△ABC为锐角三角形。作⊙O的直径CP，连结AP，则∠PCE=∠CAP=90°。∵∠BCE=∠PCE-∠PCB=90°-∠PCB，∠BAC=∠CAP-∠PAB=90°-∠PAB，而∠PAB=∠PCB，∴∠BCE=∠BAC。OAECPB图43.2图形的变式OAECPB图43.2图形的变式43（3）如图5，圆心O在△ABC的外部，即△ABC为钝角三角形。作⊙O的直径CP，连结AP，则∠PCE=∠CAP=90°。∵∠BCE=∠PCE+∠PCB=90°+∠PCB，∠BAC=∠CAP+∠PAB=90°+∠PAB，而∠PAB=∠PCB，∴∠BCE=∠BAC。综上所述，猜想成立。图5AOBPEC3.2图形的变式（3）如图5，圆心O在△ABC的外部，图5AOBPEC3.244如图6，由于∠BDE是由一条弦和一条切线组成的角，因此给它取名为弦切角。准确地说，顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。于是我们可以将上述经过证明后的猜想表述为：弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。3.2图形的变式AD(C)BEO图6如图6，由于∠BDE是由一条弦和一条切线组成的角，因此给它取45

案例7中的图形变式，能够发现几何中的一些有价值的结论。案例8中猜想的证明渗透了分类思想、特殊化思想和化归思想。反思:数学之间的联系往往不是十分明显，经常隐藏于例题或习题之中。教学中如果重视对课本例题和习题进行拓展延伸，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识串成一条线，往往会起到意想不到的结果。3.2图形的变式3.2图形的变式46三、变式教学应用举例3.3

结构变式【案例9】圆中的有关结论DP·ABOCCAD·OBPP·OABCD·OPABCP·OABPA2=PB·PDPA·PC=PB·PDPA·PC=PB·PDPB2=PA·PCPA=PB三、变式教学应用举例3.3结构变式【案例9】圆中的有关结47三、变式教学应用举例图1

【案例10】已知：如图1，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE,点D在边BC的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=900.

求证：△CAB≌△ECD.3.4

题目变式分析：∵∠ACE=∠B=∠D=900.∴∠A+∠ACB=∠ECD+∠ACB∴∠A=∠ECD∵∠B=∠DAC=CE∴△CAB≌△ECD.三、变式教学应用举例图1【案例10】已知：如图1，在Rt48三、变式教学应用举例图2

变式1

如图2，在Rt△CAB和Rt△ECD中，点D在边BC的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=900.求证：△CAB～△ECD..3.4

题目变式弱化条件“AC=CE（线段相等）”，则结论由三角形全等弱化为三角形相似三、变式教学应用举例图2变式1如图2，在Rt△CAB和49三、变式教学应用举例图3变式2

如图3，在△ABC和△CDE中，点D在边BC的延长线上，AC=CE，且∠ACE=∠B=∠D,则△ABC≌△CDE.

3.4

题目变式弱化条件“直角”，则“全等”结论仍然成立三、变式教学应用举例图3变式2如图3，在△ABC和△C50三、变式教学应用举例图4

变式3

如图4，在△ABC和△CDE中，点D在边BC的延长线上，∠ACE=∠B=∠D，则△ABC∽△CDE．3.4

题目变式同时弱化条件“线段相等”和“直角”,则结论由全等弱化为相似三、变式教学应用举例图4变式3如图4，在△ABC和51

试题1

如图5，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm,CQ的长为ycm．（1）求点P在BC上运动的过程中y的最大值；（2）当y=3/4cm时，求x的值．图5链接中考解：（1）∵△ABP∽△PCQ∴AB:PC=BP:CQ即4:（4-X）=x:y∴y=-1/4x2+X(0＜x＜4)=-1/4(x2-4x+4-4)=-1/4(x-2)2+1∴当x=2时Y有最大值1（2）当y=3/4时，-1/4x2+x=3/4，解得x1=1，x2=3∴当x=1或x=3时y=3/4试题1如图5，正方形ABCD的边长为4cm，点P52

试题2如图6，在等边△ABC中，P为BC边上一点，D为AC边上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=2/3,则△ABC的边长为（

）

A．3

B．4

C．5

D．6

图6链接中考分析：由△ABP∽△PCDAB:PC=BP:CD设AB=x,则PC=x-1x:(x-1)=1:2/3x=3A试题2如图6，在等边△ABC中，P为BC边上一点，53

试题3

如图7，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，AB=AC=2,点D在BC上运动（不能到达点B,C）,过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E．

(1)求证：△ABD∽△DCE;(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式．

图7链接中考（1）证明：∵AB=AC,∠CAB=90°，∴∠B=∠C=45°∠ADB=∠DEC,∴△ABD∽△DCE（2）∵△ABD∽△DCE

∴AB:DC=BD:CE∴2:(-x)=x:(2-y)化简得y=1/2x2_x+2

试题3如图7，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，A54试题4

在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN

，垂足为D，BE⊥MN

，垂足为E．（1）当直线MN绕点C旋转到图8(1)的位置时，求证：①△ACD≌△CBE;②DE=AD+BE.（2）当直线MN绕点C旋转到图8(2)的位置时，试问：DE，AD，BE具有怎样的等量关系？试写出这个等量关系，并加以证明．图8试题4在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直线MN55

分析：第一问中两三角形的全等的证明就是案例11的题目，我们已经证明过了。由全等可知AD=CE,CD=BE又DE=DC+CE∴DE=AD+BE.第二问中DE，AD，BE之间的关系可能是DE=AD-BE同理可证△ACD≌△CBE∴AD=CE,CD=BE又DE=CE-CD∴DE=AD-BE分析：第一问中两三角形的全等的证明就是案例11的题目，563.5

方法变式

所谓“方法变式”就是把同一个问题的不同解决过程作为变式，将各种不同的解决方法联结起来（“一题多解”）.三、变式教学应用举例3.5方法变式所谓“方法变式”就是把同一个57三、变式教学应用举例【案例12】

如图1，已知在△ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=AB，E是AB的中点，求证：CD=2CE.图1

思路1：（延长法）如图1，延长CE至点D′,使ED′=CE，连接AD′，BD′，则CD′=2CE，然后利用△CBD′≌△CBD，得出CD′=CD即可.三、变式教学应用举例【案例12】如图1，已知在△ABC中，58三、变式教学应用举例

【案例12】

如图1，已知在△ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=AB，E是AB的中点，求证：CD=2CE.

思路2：（截取法）如图1，取CD的中点E′，连接BE′，利用△CBE′≌△CBE，得出CE′=CE，而，得证.图1三、变式教学应用举例【案例12】如图1，已知在△ABC中59三、变式教学应用举例

【案例12】

如图1，已知在△ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=AB，E是AB的中点，求证：CD=2CE.图1

思路3：（相似法）如图1，利用△AEC∽△ACD，相似比为1︰2，得，得证.

三、变式教学应用举例【案例12】如图1，已知在△ABC中60案例11：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E求证：AE:ED=2AF:FB分析：过点D作DM∥CF交AB于M∵BD=DCDM∥CF∴BM=FM=1/2FB∵DM∥CF∴AE:ED=AF:FM∴AE:ED=AF:1/2FB∴AE:ED=2AF:FB三、变式教学应用举例MACBDFE案例11：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分61例：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E求证：AE:ED=2AF:FB分析：过点D作DN∥AB交CF于N∵BD=DCDN∥AB∴FN=CN∵BD=DC∴DN=1/2FB∵DN∥CF∴AE:ED=AF:DN∴AE:ED=AF:1/2FB∴AE:ED=2AF:FB三、变式教学应用举例ACBDFEN例：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于62例：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E求证：AE:ED=2AF:FB分析：过点A作AP∥BC交CF的延长线于P∵AP∥CB∴AE:ED=AP:CD∴AF:FB=AP:BC∵BD=CD=1/2BC∴AE:ED=2AF:FB三、变式教学应用举例PACBDEF例：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于63例：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E求证：AE:ED=2AF:FB分析：过点A作AQ∥FC交BC的延长线于Q∵AQ∥CF∴AE:ED=CQ:CD∴AF:FB=CQ:CB∵BD=CD∴BC=2CD∴AE:ED=2AF:FB三、变式教学应用举例QABDFEC例：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于64例：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E求证：AE:ED=2AF:FB分析：过点B作BL∥FC交AD的延长线于L、则△BDL≌△CDE∴LD=DE=1/2EL∵BL∥CF∴AF:FB=AE:EL∴AE:ED=2AF:FB三、变式教学应用举例ACBDFEL例：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于65例：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E求证：AE:ED=2AF:FB分析：过点B作BS∥AD交CF的延长线于S、∵BS∥ADBD=CD∴SE=CE∴BS=2ED∵BS∥AD∴AF:FB=AE:BS∴AF:FB=AE:2ED∴AE:ED=2AF:FB三、变式教学应用举例ACBDFES例：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于66说明：上面六种方法，都是过某个点作平行线来解决问题的。其中第1、2种方法是过D点作的平行线（DM∥CF或DN∥AB）;第3、4种方法是过A点作的平行线（AP∥BC或AQ∥FC);第5、6种方法是过B点作的平行线点B作的平行线（BL∥FC交AD的延长线于L;过点B作BS∥AD交CF的延长线于S)。在这六种方法中用到的知识点有：中点的性质，全等三角形的判定、性质、三角形中位线的性质，相似三角形的判定、性质、平行线分线段成比例定理、等量代换等。三、变式教学应用举例说明：上面六种方法，都是过某个点作平行线来三、变式67

一题多解有利于启迪思维，开阔视野，全方位思考问题，分析问题，有利于培养学生的发散思维能力和解体技巧。而采取一题多变的形式，可以训练学生积极思维，触类旁通，提高学生思维的敏捷性、灵活性、和深刻性。不管是一题多解还是一题多变都有利于将知识、能力和思想方法在更多的新情景。更高的层次中，不断地反复渗透，从而达到了螺旋式的再认识，再深化，乃至升华的效果。通过“一题多变、一题多解”的训练，能激发学生的兴趣和求知欲。不过，所有的变式都要鼓励学生从多角度去分析，选最优的方法去解决。三、变式教学应用举例一题多解有利于启迪思维，开阔视野，全方位思考问68三、变式教学应用举例

案例12：求证：顺次连结任意（凸）四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。.3.6

问题变式变式1：顺次连结任意平行四边形各边中点所得的四边形是_______形,并证明。变式2：顺次连结矩形各边中点所得的四边形是_______形,并证明。变式3：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是_______形,并证明。变式4：顺次连结正方形各边中点所得的四边形_______形,并证明。三、变式教学应用举例案例12：求证：顺次连结任意（凸）四69三、变式教学应用举例

.3.6

问题变式变式5：顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形_______形,并证明。变式6：顺次连结满足什么条件的四边形各边中点得到平行四边形。变式7：顺次连结满足什么条件的四边形各边中点得到矩形变式8：顺次连结满足什么条件的四边形各边中点得到菱形。变式9：顺次连结满足什么条件的四边形各边中点得到正方形。三、变式教学应用举例.3.6问题变式变式5：顺次连结等70三、变式教学应用举例

.3.6

问题变式通过这样一系列变式，一方面使学生充分掌握了四边形的中点四边形与原四边形的对角线有关。当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形；当原四边形的对角线垂直时，中点四边形是矩形；当原四边形的对角线互相垂直且相等时，中点四边形是正方形；其余四边形的中点四边形都是平行四边形。另一方面使学生也掌握了这一章节所有基础知识和基本概念，沟通了不同知识间的内在联系，为进行数学问题演变奠定了坚实的知识基础。三、变式教学应用举例.3.6问题变式通过71三、变式教学应用举例

.3.6

问题变式通过这样一系列变式，一方面使学生充分掌握了四边形的中点四边形与原四边形的对角线有关。当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形；当原四边形的对角线垂直时，中点四边形释具行；当原四边形的对角线互相垂直且相等时，中点四边形是正方形；其余四边形的中点四边形都是平行四边形。另一方面使学生也掌握了这一章节所有基础知识和基本概念，沟通了不同知识间的内在联系，为进行数学问题演变奠定了坚实的知识基础。三、变式教学应用举例.3.6问题变式通过72案例13如图：AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径。求证：AB·AC=AE·AD本题考查的知识点是相似三角形的性质，变换问题，则得到一组变式题。●OACBED案例13如图：AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的73变式1、已知AD是△ABC的高，BC、AE是△ABC外接圆的直径。连接BE,则图中共有多少个三角形相似于△ABC。E●OACBD有3个，分别是△BAE,△DBA,△DAC变式1、已知AD是△ABC的高，BC、AE是△ABC外接圆的74变式2、已知AD是△ABC的高，BE是△ABC外接圆的直径，AB=4，AC=3，AD=2。求△ABC外接圆的面积。●OACBED连接AE，证△ABE相似于△DAC即可变式2、已知AD是△ABC的高，BE是△ABC外接圆的直径，75案例13：已知m、n是整数，解关于m、n的方程mn=m+n解：mn=m+n变形为（n-1)m=n当n=1时，0·m=1不成立∴n≠1m=

==1+三、变式教学应用举例∵m、n都是整数∴n-1是1的约数即n-1=±1∴n=2或n=0当n=2时m=2当n=0时m=0∴m=n=2或m=n=0案例13：已知m、n是整数，解关于m、n的方程mn=m+n三76变式1：已知m、n是整数，解关于m、n的方程mn=m+n+1解：mn=m+n+1变形为（n-1)m=n+1当n=1时，0·m=2不成立∴n≠1m=

=

=1+三、变式教学应用举例∵m、n都是整数∴n-1是2的约数即n-1=±1n-1=±2∴n1=2n2=0n3=3n4=-1对应的m1=3m2=-1m3=2m4=0变式1：已知m、n是整数，解关于m、n的方程mn=m+n+177变式2：已知m、n是整数，解关于m、n的方程mn=m+n+2解：mn=m+n+2变形为（n-1)m=n+2当n=1时，0·m=3不成立∴n≠1

m=

=

=1+三、变式教学应用举例∵m、n都是整数∴n-1是3的约数即n-1=±1n-1=±3∴n1=2n2=0n3=4n4=-2m1=4m2=-2m3=2m4=0变式2：已知m、n是整数，解关于m、n的方程mn=m+n+278变式3：已知m、n是整数，解关于m、n的方程mn=m+n+3分析：mn=m+n+2变形为（n-1)m=n+3当n=1时，0·m=4不成立

∴n≠1

m=

==1+三、变式教学应用举例变式3：已知m、n是整数，解关于m、n的方程mn=m+n+379四、变式教学要把握好三个“度”4.1

变式的数量要“适度”4.2

问题设计要有“梯度”

4.3

要提高学生的“参与度”四、变式教学要把握好三个“度”4.1变式的数量要“适度80经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量写81谢谢大家荣幸这一路，与你同行It'SAnHonorToWalkWithYouAllTheWay演讲人：XXXXXX时间：XX年XX月XX日

谢谢大家演讲人：XXXXXX82变式教学在数学教学中的

应用庄浪县大庄中学变式教学在数学教学中的

应用庄浪县大庄中学83

在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，适当地应用数学“变式教学”是一种十分有效的手段。在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进84

所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对某种范式（数学教材中具体的知识、问题、思维模式等）的变形形式，通过不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物本质特征的情况下，使事物的外在非本质的属性不断迁移，变化。所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对某85采用变式方式进行教学就是变式教学。变式教学是一种有效的数学教学途径，可以提高学生的思维能力、应变能力；也可以培养学生的创新精神。教师利用变式教学，能引导学生对数学问题多角度，多方位，多层次地思考和讨论，使学生更深刻地理解数学知识；引导学生从“变”得现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，提高学生的思维能力和创新精神。采用变式方式进行教学就是变式教学。变式教学是一种86一、对变式教学的理解

数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式.1.1数学变式教学的本质含义一、对变式教学的理解数学变式教学，是指通过不同角度、87一、对变式教学的理解1.2初中数学变式教学的意义

★初中数学变式教学，对提高学生的思维能力、应变能力是大有益处．

★变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教学目标的重要途径．一、对变式教学的理解1.2初中数学变式教学的意义88一、对变式教学的理解在复习“坐标系内的图形对称”时，曾经设计过如下的题目【案例1】点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是()；关于y轴对称的点的坐标是()；关于原点对称的点的坐标是().变式1

直线y=2x-1关于x轴对称的直线的解析式是

；关于y轴对称的直线的解析式是

；关于原点对称的直线的解析式是

.一、对变式教学的理解在复习“坐标系内的图形对称”时，曾经设89变式2

双曲线y=1/x，关于x轴对称的解析式是；关于y轴对称的解析式是

关于原点对称的解析式是

.变式3

抛物线y=3x2+2x-1，关于x轴对称的是

关于y轴对称的解析式是;关于原点对称的解析式是

.变式2双曲线y=1/x，关于x轴对称的解析式是；90一、对变式教学的理解【案例2】又如，在勾股定理的应用中。题目：如图1，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分别以AB、BC、CA为边作正方形，这三个正方形的面积分别记为s1,s2，

s3，探索三者之间的关系。

图1一、对变式教学的理解【案例2】又如，在勾股定理的应用中。图191变式1：如图2，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分别以AB、BC、CA为边作正三角形，这三个正三角形的面积分别记为，s1,s2,s3.请探索三者之间的关系。图2变式1：如图2，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分92变式2：如图3，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分别以AB、BC、CA为直径作半圆，这三个半圆的面积分别记为s1,s2,s3.请探索三者之间的关系。变式3：你认为所作的图形具备什么特征时，均有这样的关系。图3变式2：如图3，在ΔABC中，∠C=90°，在ΔABC外，分93二、变式教学要遵循的原则2.3参与性原则2.1针对性原则2.2可行性原则二、变式教学要遵循的原则2.3参与性原则2.1针对性原则94二、变式教学要遵循的原则2.1

针对性原则

变式教学要根据学习需要，遵循学生的认知规律设计，其目的是通过变式使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，形成解题技能，最终完成“知识-应用-理解-形成技能-培养能力”的认知过程。所以对于不同的课型，对变式教学的目的应不同。例如，新授课的变式教学应服务于本节课的教学目的；习题课的“变式教学”应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法；复习课的变式教学不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系，同时变式习题要紧扣课标；在试卷讲评课时，变式教学就要根据学生答题的情况进行有针对性地查漏补缺、巩固、提高。二、变式教学要遵循的原则2.1针对性原则变式教学要根据95二、变式教学要遵循的原则2.2

可行性原则

1、变式设计要有差异性。设计数学问题变式，要强调一个“变”字，但不能“变”得过于简单，不能让学生认为是简单的“重复劳动”，打消学生思考问题的积极性；难度较大的变式习题容易挫伤学生的学习积极性，使学生丧失自信心，难以获得成功的喜悦，所以在选择习题进行变式时要变得有“度”。从心理学角度分析，新颖的题目对学生刺激强，学生做题的兴奋度高，注意力容易集中，积极性高，思维敏捷，能收到较好的训练效果。所以变式题组的题目之间要有明显的差异，要使学生对每道题既感到熟悉，又觉得新鲜，深深吸引学生的好奇心与求知欲。二、变式教学要遵循的原则2.2可行性原则1、变96二、变式教学要遵循的原则2.2

可行性原则

2、变式设计要有层次性。刚才讲到变式教学要难易适中，同时，变式教学中问题的设计还要层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心和求知欲。要让学生经过思考，能够跨过一个个“门槛”，这样既达到训练的目的，又可以培养学生的思考问题的方式。

二、变式教学要遵循的原则2.2可行性原则2、变式97二、变式教学要遵循的原则2.2

可行性原则

3、变式设计要有内涵性。变式设计的问题要争取具有典型性，要注意知识之间的横、纵向联系，具有延伸性，争取内涵丰富，给学生留下充足的思维空间。要通过“变式训练”让学生体会到相应的数学思想方法，提高学生的思维品质，让学生在美丽的变式中领略数学的魅力。

二、变式教学要遵循的原则2.2可行性原则98二、变式教学要遵循的原则2.3

参与性原则

在变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”。要鼓励学生大胆地“变”，培养学生的创新意识和创新精神。不要小看学生的能力，他们会创造出令老师惊讶的结果。二、变式教学要遵循的原则2.3参与性原则99三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例3】“平方根”概念的教学【案例4】“矩形”的概念教学【案例5】“绝对值”的概念教学三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例3】“平方根”1003.1概念变式【案例3】“平方根”概念的教学正方形面积416494/250.81边长x2416494/250.81x三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例3】“平方根”概念的教学正方形416101三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例4】“矩形”的概念教学三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例4】“矩形”的概102三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例5】“绝对值”的概念教学填空(在横线内填>、<或=)若a=5,则|a|

0若a=-3,则|a|0若a=0,则|a|0若a＞0,则|a|

0若a＜0则|a|0若a=0,则|a|

0总结得出结论：无论a为何值|a|≥0三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例5】“绝对值”的103三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例5】“绝对值”的概念教学变式1：若|a|=0，则a=()若|a|+|b|=0,则a=(),b=()

若|a|+|b|+|c|=0,则a=(),b=(),c=()若|a1|+|a2|+|a3|+……+|an|=0,则a1=()a2=(),……an=()

三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例5】“绝对值”的104三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例5】“绝对值”的概念教学变式2：若|a-1|=0，则a=()若|a-1|+|b+2|=0,则a=(),b=()若|a-1|+|b+2|+|c-3|=0,则a=(),b=(),c=()三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例5】“绝对值”的105三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例5】“绝对值”的概念教学变式3：若a2=0，则a=()若a2+b2=0,则a=(),b=()若|a|+b2=0,则a=(),b=()三、变式教学应用举例3.1概念变式【案例5】“绝对值”的106

概念在数学教学中的比例较大，能否正确理解概念是学生学好数学的关键，但是概念通常比较抽象，学生感觉枯燥，学习起来索然无味，并且难以理解，通过变式等手段，不仅能有效的解决这一难题，使学生渡过难关，而且还可加深学生对概念内涵和外延的更深层次的理解。概念在数学教学中的比例较大，能否正确理解概念是107三、变式教学应用举例3.2

图形变式【案例6】在直线上找一点到已知两点的距离之和最小问题【案例7】等腰三角形底边上一点到两腰距离之和问题【案例8】弦切角的性质三、变式教学应用举例3.2图形变式【案例6】在直线上找一1083.2图形的变式案例6如图、已知直线L和L外两点A、B在直线L上求作一点P，使PA+PB最短。LBAP3.2图形的变式案例6LBAP109如图、已知直线L和L外两点A、B在直线L上求作一点P，使PA+PB最小。PLBAA1C┐3.2图形的变式如图、已知直线L和L外两点A、B在直线L上求作一点P，使PA110变式1如图：四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，在对角线BD上求作一点P使PC+PE最小。ABCDEPABCDEP3.2图形的变式变式1如图：四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，在对角线111如图：正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，P是BD上的动点，求PE+PC的最小值。ABCDEP3.2图形的变式链接中考解：连接AE交BD于P，则P为所求且AE的长就是PE+PC的最小值。P如图：正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，P是BD上的112抛物线y=x2-2x-3，在对称轴上能否找到一点P,使得⊿APC的周长最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。解：存在。连接BC交直线X=1于点P,则P为所求的点。∵B(3，0)C(0，-3)∴直线BC的解析式为：y=X-3当X=1时y=-2∴点P的坐标是（1，-2）。CyAXOB3-1X=1链接中考P抛物线y=x2-2x-3，在对称轴上能否找到一点P,使得⊿113案例7已知：如图（1）在∆ABC中，AB=AC,P是BC的中点，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F为垂足。求证：PE=PF证明：连接AP∵AB=ACBP=CP∴∠PAB=∠PAC∵PE⊥ABPF⊥AC∴PE=PFAFCPBE（1）3.2图形的变式案例7已知：如图（1）在∆ABC中，AB=AC,P是BC的中114已知：如图（2）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，P是AD上一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，E、F为垂足。求证：PE=PF证明同上。AFCDBEP（2）3.2图形的变式已知：如图（2）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，P115已知：如图（3）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，P是DA延长线上一点，且PE⊥AB交BA的延长线于E，PF⊥AC交CA的延长线于F。求证：PE=PF证明同上。AFCDBEP3.2图形的变式已知：如图（3）在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，P116如图：在△ABC中AB=AC，P是BC边上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，E、F为垂足。求证：PE+PF=定值。证明：连接AP则S△ABC=S△ABP+S△ACP∴½AC·BD=½AB·PE+½AC·PF∵AB=AC∴½AC·BD=½AC·PE+½AC·PF∴BD=PE+PF即PE+PF=定值ABCFDEP3.2图形的变式如图：在△ABC中AB=AC，P是BC边上任意一点，PE⊥A117问题：当动点在等腰三角形底边所在直线（底边之外）上运动时，其动点到两腰的距离之间有何关系呢？此时，S△ABP－S△ACP=S△ABC即½AB·PE－½AP·PF=½AB·CD因此很自然地得到PE－PF=常量EAPFBCD3.2图形的变式问题：当动点在等腰三角形底边所在直线（底边之外）上运动时，其118问题：当动点在三角形内部运动时，动点到三边的距离之间是否有一定的等量关系。S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC∴½AB·CD=½AB·PE+½BC·PG+½AC·PF（在这里我们找不到有价值的东西，那如果△ABC是等边三角形呢？）ABCFPEDG3.2图形的变式问题：当动点在三角形内部运动时，动点到三边的距离之间是否有一119S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC∴½AB·CD=½AB·PE+½BC·PG+½AC·PF∵AB=BC=AC∴PE+PG+PF=CD∴PE+PG+PF=常量ADEBGCFP3.2图形的变式S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PACADEBGCF120问题：当动点在等边三角形外运动时，又能得到什么结论呢？由图知：S△PAB－S△PBC－S△PAC=S△ABC∴½AB·PG－½BC·PE－½AC·PF=½AB·CD∵AB=BC=AC∴PG-PE-PF=CD=常量ADBCEPFG3.2图形的变式问题：当动点在等边三角形外运动时，又能得到什么结论呢？ADB121案例8弦切角的性质

观察：如图1，如果将线段DE以点D为中心作逆时针旋转，同时保证线段BC与DE仍然相交于圆周上，当DE变为圆的切线时（如图2），你能发现什么现象？ABDCEOAD(C)BEO

1

3.2图形的变式2案例8弦切角的性质观察：如图1，如122根据圆内接四边形的性质可知，图1中∠BCE=∠A，当图形变化为图2后，DE成为切线，那么∠BCE=∠A仍然成立吗？猜想：△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的切线，则∠BCE=∠A。分析：我们先从特殊的情形入手证明该猜想。当△ABC为直角三角形时可能会使证明简单化，如果这时猜想能够成立，那么就增大了一般情形猜想成立的可能性，于是再讨论锐角三角形和钝角三角形的情形。3.2图形的变式根据圆内接四边形的性质可知，图1中∠BCE=∠A，当图形变化123证明：（1）如图3，圆心O在△ABC的边BC上，即△ABC是直角三角形。∵CE为切线，所以∠BCE=90°。∵∠A是半圆上的圆周角∴∠A=90°。∴∠BCE=∠A。ABOEC图33.2图形的变式证明：（1）如图3，圆心O在△ABC的边BC上，即△ABC是124（2）如图4，圆心O在△ABC的内部，即△ABC为锐角三角形。作⊙O的直径CP，连结AP，则∠PCE=∠CAP=90°。∵∠BCE=∠PCE-∠PCB=90°-∠PCB，∠BAC=∠CAP-∠PAB=90°-∠PAB，而∠PAB=∠PCB，∴∠BCE=∠BAC。OAECPB图43.2图形的变式OAECPB图43.2图形的变式125（3）如图5，圆心O在△ABC的外部，即△ABC为钝角三角形。作⊙O的直径CP，连结AP，则∠PCE=∠CAP=90°。∵∠BCE=∠PCE+∠PCB=90°+∠PCB，∠BAC=∠CAP+∠PAB=90°+∠PAB，而∠PAB=∠PCB，∴∠BCE=∠BAC。综上所述，猜想成立。图5AOBPEC3.2图形的变式（3）如图5，圆心O在△ABC的外部，图5AOBPEC3.2126如图6，由于∠BDE是由一条弦和一条切线组成的角，因此给它取名为弦切角。准确地说，顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。于是我们可以将上述经过证明后的猜想表述为：弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。3.2图形的变式AD(C)BEO图6如图6，由于∠BDE是由一条弦和一条切线组成的角，因此给它取127

案例7中的图形变式，能够发现几何中的一些有价值的结论。案例8中猜想的证明渗透了分类思想、特殊化思想和化归思想。反思:数学之间的联系往往不是十分明显，经常隐藏于例题或习题之中。教学中如果重视对课本例题和习题进行拓展延伸，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识串成一条线，往往会起到意想不到的结果。3.2图形的变式3.2图形的变式128三、变式教学应用举例3.3

结构变式【案例9】圆中的有关结论DP·ABOCCAD·OBPP·OABCD·OPABCP·OABPA2=PB·PDPA·PC=PB·PDPA·PC=PB·PDPB2=PA·PCPA=PB三、变式教学应用举例3.3结构变式【案例9】圆中的有关结129三、变式教学应用举例图1

【案例10】已知：如图1，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE,点D在边BC的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=900.

求证：△CAB≌△ECD.3.4

题目变式分析：∵∠ACE=∠B=∠D=900.∴∠A+∠ACB=∠ECD+∠ACB∴∠A=∠ECD∵∠B=∠DAC=CE∴△CAB≌△ECD.三、变式教学应用举例图1【案例10】已知：如图1，在Rt130三、变式教学应用举例图2

变式1

如图2，在Rt△CAB和Rt△ECD中，点D在边BC的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=900.求证：△CAB～△ECD..3.4

题目变式弱化条件“AC=CE（线段相等）”，则结论由三角形全等弱化为三角形相似三、变式教学应用举例图2变式1如图2，在Rt△CAB和131三、变式教学应用举例图3变式2

如图3，在△ABC和△CDE中，点D在边BC的延长线上，AC=CE，且∠ACE=∠B=∠D,则△ABC≌△CDE.

3.4

题目变式弱化条件“直角”，则“全等”结论仍然成立三、变式教学应用举例图3变式2如图3，在△ABC和△C132三、变式教学应用举例图4

变式3

如图4，在△ABC和△CDE中，点D在边BC的延长线上，∠ACE=∠B=∠D，则△ABC∽△CDE．3.4

题目变式同时弱化条件“线段相等”和“直角”,则结论由全等弱化为相似三、变式教学应用举例图4变式3如图4，在△ABC和133

试题1

如图5，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm,CQ的长为ycm．（1）求点P在BC上运动的过程中y的最大值；（2）当y=3/4cm时，求x的值．图5链接中考解：（1）∵△ABP∽△PCQ∴AB:PC=BP:CQ即4:（4-X）=x:y∴y=-1/4x2+X(0＜x＜4)=-1/4(x2-4x+4-4)=-1/4(x-2)2+1∴当x=2时Y有最大值1（2）当y=3/4时，-1/4x2+x=3/4，解得x1=1，x2=3∴当x=1或x=3时y=3/4试题1如图5，正方形ABCD的边长为4cm，点P134

试题2如图6，在等边△ABC中，P为BC边上一点，D为AC边上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD=2/3,则△ABC的边长为（

）

A．3

B．4

C．5

D．6

图6链接中考分析：由△ABP∽△PCDAB:PC=BP:CD设AB=x,则PC=x-1x:(x-1)=1:2/3x=3A试题2如图6，在等边△ABC中，P为BC边上一点，135

试题3

如图7，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，AB=AC=2,点D在BC上运动（不能到达点B,C）,过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E．

(1)求证：△ABD∽△DCE;(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式．

图7链接中考（1）证明：∵AB=AC,∠CAB=90°，∴∠B=∠C=45°∠ADB=∠DEC,∴△ABD∽△DCE（2）∵△ABD∽△DCE

∴AB:DC=BD:CE∴2:(-x)=x:(2-y)化简得y=1/2x2_x+2

试题3如图7，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，A136试题4

在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN

，垂足为D，BE⊥MN

，垂足为E．（1）当直线MN绕点C旋转到图8(1)的位置时，求证：①△ACD≌△CBE;②DE=AD+BE.（2）当直线MN绕点C旋转到图8(2)的位置时，试问：DE，AD，BE具有怎样的等量关系？试写出这个等量关系，并加以证明．图8试题4在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直线MN137

分析：第一问中两三角形的全等的证明