习题《复数代数形式的加减运算及其几何意义》同步练习及答案

复数代数形式的加减运算及其几何意义同步练习一、选择题1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是纯虚数，则有()A．a－c＝0且b－d≠0B．a－c＝0且b＋d≠0C．a＋c＝0且b－d≠0D．a＋c＝0且b＋d≠0[答案]A[解析]z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，∵z1－z2是纯虚数，∴a－c＝0且b－d≠0.故应选A.2．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于()A．－2b－2biB．－2b＋2biC．－2a－2bD．－2a－2a[答案]A[解析]原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i＝－2b－2bi.3．如果一个复数与它的模的和为5＋eq\r(3)i，那么这个复数是()\f(11,5)\r(3)i\f(11,5)＋eq\r(3)i\f(11,5)＋2eq\r(3)i[答案]C[解析]设这个复数为a＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).由题意知a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝5＋eq\r(3)i即a＋eq\r(a2＋b2)＋bi＝5＋eq\r(3)i∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝5,b＝\r(3)))，解得a＝eq\f(11,5)，b＝eq\r(3).∴所求复数为eq\f(11,5)＋eq\r(3)i.故应选C.4．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]A[解析]∵z1＝3＋2i，z2＝1－3i，∴z＝z1－z2＝3＋2i－(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i＝2＋5i.∴点Z位于复平面内的第一象限．故应选A.5．▱ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是()A．2－3iB．4＋8iC．4－8iD．1＋4i[答案]C[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，设点D对应的复数为z，则eq\o(DC,\s\up6(→))对应的复数为(3－5i)－z.由平行四边形法则知eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴－1＋3i＝(3－5i)－z，∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C.6．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，若z1－z2＝0，则A．4B．－1C．6D．0[答案]B[解析]z1－z2＝(m2－3m＋m2i)－[4＋(5＝(m2－3m－4)＋(m2－5∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m－4＝0,m2－5m－6＝0))解得m＝－1，故应选B.7．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝()A．－3iB．3iC．±3iD．4i[答案]B[解析]令z＝a＋bi(a，b∈R)，则a2＋b2＝9①又z＋3i＝a＋(3＋b)i是纯虚数∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0,b＋3≠0))②由①②得a＝0，b＝3，∴z＝3i，故应选B.8．已知z1，z2∈C且|z1|＝1，若z1＋z2＝2i，则|z1－z2|的最大值是()A．6B．5C．4D．3[答案]C[解析]设z1＝a＋bi(a，b∈R，a2＋b2＝1)z2＝c＋di(c，d∈R)∵z1＋z2＝2i∴(a＋c)＋(b＋d)i＝2i∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝0,b＋d＝2))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝－a,d＝2－b))，∴|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|＝|2a＋(2b＝eq\r((2a)2＋(2b－2)2)＝2eq\r(a2＋(b－1)2)＝2eq\r(a2＋b2＋1－2b)＝2eq\r(2－2b).∵a2＋b2＝1，∴－1≤b≤1∴0≤2－2b≤4，∴|z1－z2|≤4.9．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为()A．2B．4C．4eq\r(2)D．8eq\r(2)[答案]C[解析]∵|z－4i|＝|z＋2|，且z＝x＋yi∴|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2∴x＝－2y＋3，∴2x＋4y＝2－2y＋3＋4y＝8·eq\f(1,4y)＋4y≥4eq\r(2).10．若x∈C，则方程|x|＝1＋3i－x的解是()\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)iB．x1＝4，x2＝－1C．－4＋3i\f(1,2)＋eq\f(3,2)i[答案]C[解析]令x＝a＋bi(a，b∈R)则eq\r(a2＋b2)＝1＋3i－a－bi所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋b2)＝1－a,0＝3－b))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4,b＝3))故原方程的解为－4＋3i，故应选C.二、填空题11．若z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，x2，y1，y2∈R)，则|z2－z1|＝______________.[答案]eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)[解析]∵z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，∴z2－z1＝(x2－x1)＋(y2－y1)i，∴|z2－z1|＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2).12．已知z1＝eq\f(\r(3),2)a＋(a＋1)i，z2＝－3eq\r(3)b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4eq\r(3)，则a＋b＝________.[答案]3[解析]z1－z2＝eq\f(\r(3),2)a＋(a＋1)i－[－3eq\r(3)b＋(b＋2)i]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a＋3\r(3)b))＋[(a＋1)－(b＋2)i]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a＋3\r(3)b))＋(a－b－1)i＝4eq\r(3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a＋3\r(3b)＝4\r(3),a－b－1＝0))，解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝1))，∴a＋b＝3.13．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝______.[答案]16i[解析]原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.14．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，eq\o(BA,\s\up6(→))对应的复数为1＋2i，向量eq\o(BC,\s\up6(→))对应的复数为3－i，则点C对应的复数为________．[答案]4－2i[解析]∵eq\o(BA,\s\up6(→))对应的复数是1＋2i，eq\o(BC,\s\up6(→))对应的复数为3－i，∴eq\o(AC,\s\up6(→))对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，∴C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.三、解答题15．计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．[解析]解法1：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.解法2：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋[－6＋(－1－4)]i＝0＋(－11)i＝－11i.16．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i，若|z1－z2|<|z1|，求实数a的取值范围．[解析]z1－z2＝2＋3i－[(a－2)＋i]＝[2－(a－2)]＋(3－1)i＝(4－a)＋2i由|z1－z2|<|z1|得∴eq\r((4－a)2＋4)<eq\r(4＋9)，∴(4－a)2<9，∴1<a<7∴a的取值范围为(1,7)．17．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝eq\f(5,13)＋eq\f(12,13)i，求cos(α＋β)的值．[解析]∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝eq\f(5,13)＋eq\f(12,13)i∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα－cosβ＝\f(5,13)①,sinα＋sinβ＝\f(12,13)②))①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1即cos(α＋β)＝eq\f(1,2).18．(1)若f(z)＝z＋1－i，z1＝3＋4i，z2＝－2＋i，求f(z1－z2)；(2)z1＝2cosθ－i，z2＝－eq\r(2)＋2isinθ(0≤θ≤2π)，且z1＋z2对应的点位于复平面的第二象限，求θ的范围．[解析](1)z1－z2＝3＋4i－(－2＋i)＝5＋3i，f(z1－z2)＝(z1－z2)＋(1－i)＝5＋3i＋1－i＝6＋2i.(2)z1＋z2＝(2cosθ－i)＋(－eq\r(2)＋2isi