全国各地中考数学分类汇编全等三角形(含解析)

匠心文档，专属精选。全等三角形一.选择题（2016·陕西·3分）如图，在正方形ABCD中，连结BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连结MO、NO，并分别延伸交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【考点】正方形的性质；全等三角形的判断．【剖析】能够判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′由此即可对称结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，，∴△ABD≌△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，，∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，∴全等三角形一共有4对．应选C．匠心教育文档系列1匠心文档，专属精选。（2016·辽宁丹东·3分）如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有以下结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC?AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．此中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】相像三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质．【剖析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB，证明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE=AB，延伸FD=FE，①正确；证出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正确；证明△ABD～△BCE，得出=，即BC?AD=AB?BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC?AD=AE2；③正确；由F是AB的中点，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；即可得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，∵点F是AB的中点，∴FD=AB，∵∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，匠心教育文档系列2匠心文档，专属精选。AE=BE，∵点F是AB的中点，FE=AB，FD=FE，①正确；∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠C，AB=AC，∵AD⊥BC，BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，在△AEH和△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA），AH=BC=2CD，②正确；∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，∴△ABD～△BCE，=，即BC?AD=AB?BE，AE2=AB?AE=AB?BE，BC?AD=AC?BE=AB?BE，∴BC?AD=AE2；③正确；F是AB的中点，BD=CD，∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；应选：D．3.（2016·黑龙江龙东·3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，获得△BPF，延伸FP交BA延伸线于点Q，以下结论正确的个数是（）①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四边形ECFG=2S△BGE．匠心教育文档系列3匠心文档，专属精选。A．4B．3C．2D．1【考点】四边形综合题．【剖析】第一证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可获得①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，获得△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，依据正弦的定义即可求解；依据AA可证△BGE与△BCF相像，进一步获得相像比，再根据相像三角形的性质即可求解．【解答】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，CF=BE，在△ABE和△BCF中，，Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故②正确；依据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），则PB=2k在Rt△BPQ中，设QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，匠心教育文档系列4匠心文档，专属精选。∴x=，∴sin=∠BQP==，故③正确；∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，BE=BC，BF=BC，∴BE：BF=1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，∴S四边形ECFG=4S△BGE，故④错误．应选：B．4．（2016·湖北荆门·3分）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在以下结论中，不必定正确的选项是（）A．△AFD≌△DCEB．AF=ADC．AB=AFD．BE=AD﹣DF【考点】矩形的性质；全等三角形的判断．【剖析】先依据已知条件判断判断△AFD≌△DCE（AAS），再依据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不必定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不必定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，匠心教育文档系列5匠心文档，专属精选。又∵BE=BC﹣EC，BE=AD﹣DF，故（D）正确；应选（B）5．（2016·山东省德州市·3分）在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角极点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延伸线）于点M，N，设∠AEM=α（0°＜α＜90°），给出以下四个结论：①AM=CN；②∠AME=∠BNE；③BN﹣AM=2；④S△EMN=．上述结论中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】全等三角形的判断与性质；旋转的性质．【剖析】①作协助线EF⊥BC于点F，而后证明Rt△AME≌Rt△FNE，从而求出AM=FN，因此BM与CN的长度相等．②由①Rt△AME≌Rt△FNE，即可获得结论正确；③经过简单的计算获得BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，④用面积的和和差进行计算，用数值代换即可．【解答】解：①如图，匠心教育文档系列6匠心文档，专属精选。在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，∴∠AEM=∠FEN，在Rt△AME和Rt△FNE中，，Rt△AME≌Rt△FNE，AM=FN，∴MB=CN．∵AM不必定等于CN，∴AM不必定等于CN，∴①错误，②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，∴∠AME=∠BNE，∴②正确，③由①得，BM=CN，AD=2AB=4，∴BC=4，AB=2∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，∴③正确，④如图，匠心教育文档系列7匠心文档，专属精选。由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE=AD=2，AM=FNtanα=，∴AM=AEtanα∵cosα==，∴cos2α=，∴=1+=1+（）2=1+tan2α，∴=2（1+tan2α）∴S△EMN=S四边形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN（AE+BN）×AB﹣AE×AM﹣BN×BM（AE+BC﹣CN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣CN）×CN（AE+BC﹣CF+FN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣2+AM）（2﹣AM）=AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣（2+AM）（2﹣AM）=AE+AM﹣AE×AM+AM2=AE+AEtanα﹣AE2tanα+AE2tan2α=2+2tanα﹣2tanα+2tan2α=2（1+tan2α）=．∴④正确．应选C．匠心教育文档系列8匠心文档，专属精选。【评论】本题是全等三角形的性质和判断题，主要考察了全等三角形的性质和判断，图形面积的计算锐角三角函数，解本题的重点是Rt△AME≌Rt△FNE，难点是计算S△EMN．二.填空题1.（2016·辽宁丹东·3分）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，连结AB．点P在平面内，若以点P、A、B为极点的三角形与△AOB全等（点P与点O不重合），则点P的坐标为（3，4）或（\frac{96}{25}，\frac{72}{25}）或（﹣\frac{21}{25}，\frac{28}{25}）．【考点】全等三角形的判断；坐标与图形性质．【剖析】由条件可知AB为两三角形的公共边，且△AOB为直角三角形，当△AOB和△APB全等时，则可知△APB为直角三角形，再分三种状况进行议论，可得出P点的坐标．【解答】解：以下图：①∵OA=3，OB=4，∴P1（3，4）；②连结OP2，设AB的分析式为y=kx+b，则，解得．故AB的分析式为y=﹣x+4，则OP2的分析式为y=x，联立方程组得，匠心教育文档系列9匠心文档，专属精选。解得，则P2（，）；③连结P2P3，∵（3+0）÷2=1.5，0+4）÷2=2，∴E（1.5，2），∵1.5×2﹣=﹣，2×2﹣=，∴P3（﹣，）．故点P的坐标为（3，4）或（，）或（﹣，）．故答案为：（3，4）或（，）或（﹣，）．2．（2016·山东省济宁市·3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你增添一个适合的条件：AH=CB等（只需切合要求即可），使△AEH≌△CEB．【考点】全等三角形的判断．【剖析】开放型题型，依据垂直关系，能够判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就能够了．匠心教育文档系列10匠心文档，专属精选。【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，因此依据AAS增添AH=CB或EH=EB；依据ASA增添AE=CE．可证△AEH≌△CEB．故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．三.解答题1．（2016·山东省东营市·10分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF建立．当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF建立吗？若建立，请证明；若不建立，请说明原因．当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延伸DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．匠心教育文档系列11匠心文档，专属精选。【知识点】等腰三角形——等腰三角形的现性质、特别的平行四边形——正方形的性质、旋转——旋转的特征、全等三角形——全等三角形的判判断和性质、相像三角形——相像三角形的判判断和性质【思路剖析】（1）先用“SAS”证明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性质即可得BD＝CF成立；（2）利用△HFN与△AND的内角和以及它们的等角，获得∠NHF＝90°,即可得①的结论；（3）连结DF，延伸AB，与DF交于点M，利用△BMD∽△FHD求解.【解答】(l)解：BD＝CF建立．证明：∵AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ;AF＝AD,△ABD≌△ACF,∴BD＝CF.(2)①证明：由(1)得，△ABD≌△ACF，∴∠HFN＝∠ADN，在△HFN与△ADN中，∵∠HFN＝∠AND，∠HNF＝∠AND,∴∠NHF＝∠NAD＝90°,∴HD⊥HF,即BD⊥CF.②解：如图，连结DF，延伸AB，与DF交于点M.在△MAD中，∵∠MAD＝∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°.在Rt△BMD与Rt△FHD中，∵∠MDB＝∠HDF,∴△BMD∽△FHD.32∴AB＝2，AD＝32，四边形ADEF是正方形，∴MA＝MD＝＝3.∴MB＝3－2＝1,DB＝12＋32＝10.MD＝BD.∴3＝10.HDFDHD6910∴DH＝.【方法总结】本题考察了全等三角形的判判断和性质，全等三角形的性质是证明等角、等线匠心教育文档系列12匠心文档，专属精选。段的最为常用的方法；图形的旋转中，对应点到旋转中心的距离相等,对应线段的长度、对应角的大小相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变；2.（2016·云南省昆明市）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．【考点】全等三角形的判断与性质．【剖析】依据平行线的性质得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，再依据全等三角形的判断定理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．【解答】证明：∵FC∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），AE=CE．（2016·重庆市A卷·7分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．【剖析】依据CE∥DF，可得∠ACE=∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵CE∥DF，∴∠ACE=∠D，匠心教育文档系列13匠心文档，专属精选。在△ACE和△FDB中，，∴△ACE≌△FDB（SAS），AE=FB．【评论】本题主要考察全等三角形的判断与性质和平行线的性质；娴熟掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的重点．（2016·重庆市B卷·7分）如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．【考点】全等三角形的判断与性质．【专题】证明题．【剖析】依据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ECD，再利用“边角边”证明△ABC和△CED全等，而后依据全等三角形对应角相等证明即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（SAS），∴∠B=∠E．【评论】本题考察了全等三角形的判断与性质，平行线的性质，娴熟掌握三角形全等的判断方法并找出两边的夹角是解题的重点．（2016·浙江省绍兴市·8分）假如将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连结，就能组成一个平面图形．匠心教育文档系列14匠心文档，专属精选。1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D能否相等，并说明原因．（2）若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，假如木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延伸线上时，点C也在BA的延伸线上；当点C移到AB的延伸线上时，点A、C、D能组成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．【考点】全等三角形的应用；二元一次方程组的应用；三角形三边关系．【剖析】（1）相等．连结AC，依据SSS证明两个三角形全等即可．2）分两种情况①当点C在点D右边时，②当点C在点D左边时，分别列出方程组即可解决问题，注意最后原因三角形三边关系定理，查验能否切合题意．【解答】解：（1）相等．原因：连结AC，在△ACD和△ACB中，，∴△ACD≌△ACB，∴∠B=∠D．2）设AD=x，BC=y，当点C在点D右边时，，解得，当点C在点D左边时，解得，此时AC=17，CD=5，AD=8，5+8＜17，∴不合题意，∴AD=13cm，BC=10cm．匠心教育文档系列15匠心文档，专属精选。6.（2016·广西桂林·3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连结OH，则OH=．【考点】相像三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；等腰直角三角形．【剖析】在BD上截取BE=CH，连结CO，OE，依据相像三角形的性质获得，求得CH=，依据等腰直角三角形的性质获得AO=OB=OC，A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，等量代换获得∠OCH=∠ABD，依据全等三角形的性质获得OE=OH，∠BOE=∠HOC推出△HOE是等腰直角三角形，依据等腰直角三角形的性质即可获得结论．【解答】解：在BD上截取BE=CH，连结CO，OE，∵∠ACB=90°CH⊥BD，∵AC=BC=3，CD=1，∴BD=10，∴△CDH∽△BDC，∴，∴CH=，∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，∴AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，∴∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45°，∵∠DCH=∠CBD，∴∠OCH=∠ABD，在△CHO与△BEO中，，∴△CHO≌△BEO，匠心教育文档系列16匠心文档，专属精选。∴OE=OH，∠BOE=∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH=90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵EH=BD﹣DH﹣CH=﹣﹣=，∴OH=EH×=，故答案为：．7.（2016·广西桂林·8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD订交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连结BE，DF（1）依据题意，补全原形；（2）求证：BE=DF．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判断与性质．【剖析】（1）以下图；（2）由全等三角形的判断定理SAS证得△BEO≌△DFO，得出全等三角形的对应边相等即可．【解答】（1）解：以下图：（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∴OB=OD，OA=OC．又∵E，F分别是OA、OC的中点，匠心教育文档系列17匠心文档，专属精选。∴OE=OA，OF=OC，∴OE=OF．∵在△BEO与△DFO中，，∴△BEO≌△DFO（SAS），BE=DF．8（.2016·广西百色·8分）已知平行四边形ABCD中，CE均分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．1）求证：△ABF≌△CDE；2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判断与性质．【剖析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，∵AF∥CE，匠心教育文档系列18匠心文档，专属精选。∴∠AFB=∠ECB，∵CE均分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；2）解：由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．9.（2016·贵州安顺·10分）如图，在?ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．1）求证：△ABE≌△CDF；2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【剖析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很简单用SAS证全等．第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高便可求了，用面积公式可求得．【解答】（1）证明：∵在?ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形时，匠心教育文档系列19匠心文档，专属精选。AE=EC．又∵点E是边BC的中点，BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，（6分）?ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，（7分）∴菱形AECF的面积为2．（8分）【评论】考察了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．1）用SAS证全等；2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，因此△ABE为等边三角形．10.（2016·黑龙江哈尔滨·8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．1）求证：AP=BQ；2）在不增添任何协助线的状况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．【考点】正方形的性质；全等三角形的判断与性质．匠心教育文档系列20匠心文档，专属精选。【剖析】（1）依据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再依据已知条件获得∠AQB=∠DPA，判断△AQB≌△DPA并得出结论；（2）依据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断剖析．【解答】解：（1）∵正方形ABCDAD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ11．（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC订交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数目关系；（2）如图2，当点E是线段CB上随意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延伸线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．【考点】四边形综合题．匠心教育文档系列21匠心文档，专属精选。【剖析】（1）结论AE=EF=AF．只需证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．2）欲证明BE=CF，只需证明△BAE≌△CAF即可．3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，依据FH=CF?cos30°，由于CF=BE，只需求出BE即可解决问题．【解答】（1）解：结论AE=EF=AF．原因：如图1中，连结AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF，BE=CF．3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2，匠心教育文档系列22匠心文档，专属精选。在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2，∴EB=EG﹣BG=2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，在RT△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°，∵∠AFE=60°，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2﹣2，∴FH=CF?cos30°=（2﹣2）?=3﹣．∴点F到BC的距离为3﹣．匠心教育文档系列23匠心文档，专属精选。【评论】本题考察四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判断、全等三角形的判断和性质等知识，解题的重点是灵巧应用这些知识解决问题，学会增添常用协助线，属于中考压轴题．12．（2016贵州毕节）如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转获得△ADE，连结BD，CE交于点F．1）求证：△AEC≌△ADB；2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．【考点】旋转的性质；全等三角形的判断与性质；菱形的性质．【剖析】（1）由旋转的性质获得三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等获得两对边相等，一对角相等，利用SAS获得三角形AEC与三角形ADB全等即可；2）依据∠BAC=45°，四边形ADFC是菱形，获得∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，获得三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；匠心教育文档系列24匠心文档，专属精选。2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，∴∠DBA=∠BAC=45°，由（1）得：AB=AD，∴∠DBA=∠BDA=45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2=2AB2，即BD=2，AD=DF=FC=AC=AB=2，∴BF=BD﹣DF=2﹣2．3.(2016河北）（本小题满分9分）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不可以直接丈量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.1）求证：△ABC≌△DEF；2）指出图中全部平行的线段，并说明原因.第21题图分析：证明三角形全等的条件，SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形（HL），本题中只给了边，没有给角，又不是直角三角形，只好用SSS证明，用已知去求。平行线的判断：内错角相等，同旁内角互补，同位角相等。第一问证了然三角形全等，从而能够求角相等，来判断平行。匠心教育文档系列25匠心文档，专属精选。知识点：全等三角形；平行线。（2016·湖北武汉·8分）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．【考点】全等三角形的判断和性质【答案】看法析【分析】证明：由BE＝CF可得BC＝EF，又AB＝DE，AC＝DF，故△ABC≌△DEF（SSS），则∠B=∠DEF，∴AB∥DE．（2016·江西·10分）如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连结AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连结PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．【研究证明】（1）请在图1和图2中选择此中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．【概括猜想】（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为15°，24°；（4）图n中，“叠弦三角形”是等边三角形（填“是”或“不是”）（5）图n中，“叠弦角”的度数为60°﹣\frac{180}{n}°（用含n的式子表示）匠心教育文档系列26匠心文档，专属精选。【考点】几何变换综合题．【剖析】（1）先由旋转的性质，再判断出△APD≌△AOD'，最后用旋转角计算即可；2）先判断出Rt△AEM≌Rt△ABN，在判断出Rt△APM≌Rt△AON即可；（3）先判断出△AD′O≌△ABO，再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可；4）先判断出△APF≌△AE′F，′再用旋转角为60°，从而得出△PAO是等边三角形；5）用（3）的方法求出正n边形的，“叠弦角”的度数．【解答】解：（1）如图1，∵四ABCD是正方形，由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，∴∠DAP=∠D'AO，∴△APD≌△AOD'（ASA）∴AP=AO，∵∠OAP=60°，∴△AOP是等边三角形，（2）如图2，匠心教育文档系列27匠心文档，专属精选。作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．∵五ABCDE是正五边形，由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°∴∠EAP=∠E'AO∴△APE≌△AOE'（ASA）∴∠OAE'=∠PAE．在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，????AE=ABRt△AEM≌Rt△ABN（AAS），∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=ANRt△APM≌Rt△AON（HL）．∴∠PAM=∠OAN，∴∠PAE=∠OAB∴∠OAE'=∠OAB（等量代换）．3）由（1）有，△APD≌△AOD'，∴∠DAP=∠D′AO，在△AD′O和△ABO中，，∴△AD′O≌△ABO，∴∠D′AO=∠BAO，由旋转得，∠DAD′=60°，∵∠DAB=90°，∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，匠心教育文档系列28匠心文档，专属精选。∴∠D′AD=∠D′AB=15°，同理可得，∠E′AO=24°，故答案为：15°，24°．（4）如图3，∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E是′正F六′边形，∴∠F=F′=120°，由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，∴△APF≌△AE′F，′∴∠PAF=∠E′AF′，由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO∴∠PAO=∠FAO=60°，∴△PAO是等边三角形．故答案为：是（5）同（3）的方法得，∠OAB=[（n﹣2）×180°÷n﹣60°]÷2=60°﹣故答案：60°﹣．14.（2016·四川宜宾）如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC．求证：BC=AD．【考点】全等三角形的判断与性质．【剖析】先依据题意得出∠DAB=∠CBA，再由ASA定理可得出△ADB≌△BCA，由此可得出结论．【解答】解：∵∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC，匠心教育文档系列29匠心文档，专属精选。∴∠DAB=∠CBA．在△ADB与△BCA中，，∴△ADB≌△BCA（ASA），BC=AD．2．（2016·四川泸州）如图，C是线段AB的中点，CD=BE，CD∥BE．求证：D=∠E．【考点】全等三角形的判断与性质．【剖析】由CD∥BE，可证得∠ACD=∠B，而后由C是线段AB的中点，CD=BE，利用SAS即可证得△ACD≌△CBE，既而证得结论．【解答】证明：∵C是线段AB的中点，AC=CB，∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴∠D=∠E．15．（2016·四川南充）已知△ABN和△ACM地点以下图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．1）求证：BD=CE；2）求证：∠M=∠N．匠心教育文档系列30匠心文档，专属精选。【剖析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；（2）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM，由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠B=∠C，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M=∠N．【评论】本题考察了全等三角形的判断与性质；证明三角形全等是解决问题的重点．16．（2016·四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E1）求证：DE=AB；2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求扇形ABG的面积．（结果保存π）匠心教育文档系列31匠心文档，专属精选。【考点】扇形面积的计算；全等三角形的判断与性质；矩形的性质．【剖析】（1）依据矩形的性质得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，求出∠DAE=∠AFB，AED=90°=∠B，依据AAS推出△ABF≌△DEA即可；（2）依据勾股定理求出AB，解直角三角形求出∠BAF，依据全等三角形的性质得出DE=DG=AB=，∠GDE=∠BAF=30°，依据扇形的面积公式求得求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°=∠B，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA（AAS），DE=AB；2）解：∵BC=AD，AD=AF，∴BC=AF，∵BF=1，∠ABF=90°，∴由勾股定理得：AB==，∴∠BAF=30°，∵△ABF≌△DEA，∴∠GDE=∠BAF=30°，DE=AB=DG=，∴扇形ABG的面积==π．匠心教育文档系列32匠心文档，专属精选。【评论】本题考察了弧长公式，全等三角形的性质和判断，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解本题的重点．17.（2016·黑龙江龙东·8分）已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的地点，猜想线段CF、AE、OE之间有如何的数目关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种状况赐予证明．【考点】四边形综合题．【剖析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延伸EO交CF于点G，只需证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延伸EO交FC的延伸线于点G，证明方法近似．【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，∴