全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)【范本模板】

全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1。求极限解因为。……（2分)；原式………………………(2分)；……(2分)2。证明广义积分不是绝对收敛的解记因为,只要证明发散即可。……（2分）.…………(2分）而发散,故由比较判别法发散.……（2分）3。设函数由确定，求的极值。解方程两边对求导，得………………（1分）故将将又，令代入所给方程得代入所给方程得，得或………（2分），，…………………(2分），故为极大值,为极小值。…………（3分）4.过曲线上的点A作切线，使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为，求点A的坐标。解设切点A的坐标为，曲线过A点的切线方程为……………（2分）；令,由切线方程得切线与轴交点的横坐标为。从而作图可知,所求平面图形的面积，故A点的坐标为.……………………（4分）二、(满分12）计算定积分解…………………（4分）……（2分）……………（4分)…………………（2分)三、（满分12分）设在处存在二阶导数，且。证明:级数收敛。解由于在处可导必连续，由得…………（2分）……（2分）由洛必塔法则及定义…(3分）所以……………(2分)由于级数收敛，从而由比较判别法的极限形式收敛.……（3分）四、(满分12分）设,证明解因为上严格单调增,从而有反函，所以在数………………（2分）。设又是的反函数,则………（3分），则，所以…（3分）…（2分)五、（满分14分)设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值。解记围成的立体为V,由高斯公式……………（3分）为了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空间区域，即取，曲面……（3分)为求最小值，作变换,则，从而……（4分)使用球坐标计算,得……（4分)六、(满分14分）设,其中为常数,曲线C为椭圆,取正向。求极限解作变换（观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法)，曲线C变为（实现了简化积分曲线），也是取正向…(2分)平面上的椭圆而且（被积表达式没变,同样简单！），………………（2分）曲线参数化，则有,…（3分）令而,则由于,从而。因此当时或时………(2分）…（3分）。故所求极限为……………（2分）七(满分14分）判断级数解(1）记的敛散性，若收敛,求其和。因为充分大时…………（3分）收敛…(2分)所以，而收敛，故，则（2）记=………………(2分）=…（2分）=………（2分）因为，所以,从而，故。因此.（也可由此用定义推知级数的收敛性）……………(3分）第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类)一．计算下列各题（本题共3小题,每小题各5分，共15分,要求写出重要步骤。）（1）.求；解：方法一(用两个重要极限）：方法二（取对数）:(2）.求;解：方法一（用欧拉公式）令其中，表示时的无穷小量,方法二(用定积分的定义)（3)已知,求。解：二．(本题10分）求方程的通解。解：设，则是一个全微分方程,设方法一：由得由得方法二:该曲线积分与路径无关三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且均不为0，证明:存在唯一一组实数,使得.证明:由极限的存在性：即，又，①由洛比达法则得由极限的存在性得即，又，②再次使用洛比达法则得③由①②③得是齐次线性方程组的解设，则，增广矩阵，则所以，方程且有唯一解，即存在唯一一组实数满足题意，。四．（本题17分）设，其中，，为与的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.解：设上任一点则,令，椭球面在上点M处的法向量为：在点M处的切平面为:原点到平面的距离为，令则，现在求令在条件,下的条件极值，则由拉格朗日乘数法得:，解得或,对应此时的或此时的或又因为，则所以，椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：，五．（本题16分）已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（)取上侧,是S在点处的切平面，是原点到切平面的距离，表示S的正法向的方向余弦.计算：(1）；（2）解：（1）由题意得：椭球面S的方程为令则，切平面的法向量为的方程为，，原点到切平面的距离将一型曲面积分转化为二重积分得：记(2)方法一：方法二（将一型曲面积分转化为二型)：记，取面向下,向外，由高斯公式得：，求该三重积分的方法很多，现给出如下几种常见方法：1先一后二:②先二后一:③广义极坐标代换:六．（本题12分)设f（x)是在内的可微函数,且，其中，任取实数证明：,定义证明：绝对收敛。由拉格朗日中值定理得：介于之间，使得，又得级数收敛，级数收敛,即绝对收敛。七．（本题15分）是否存在区间上的连续可微函数f(x)，满足,?请说明理由。解：假设存在,当时,由拉格朗日中值定理得：介于0,x之间,使得,同理，当时，由拉格朗日中值定理得：介于x,2之间，使得即，显然，，又由题意得即,不存在，又因为f(x）是在区间上的连续可微函数，即存在,矛盾，故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数f(x)。第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域。解:令，则，，（*）令,则，,，2．设解:令是连续函数，且满足，则,则____________。，,解得。因此。3．曲面平行平面的切平面方程是__________。解：因平面的法向量为，故，而曲面在处的法向量为与平行，因此,由，知，即，又,于是曲面在处的切平面方程是，即曲面平行平面的切平面方程是由方程.4．设函数确定，其中具有二阶导数，且，则________________.解:方程的两边对求导，得因，故，即,因此二、（5分)求极限解:因,其中是给定的正整数。故因此三、（15分）设函数连续，,且,为常数,求并讨论在处的连续性。解：由和函数连续知,因，故，因此，当时，,故当时,，这表明在处连续.四、（15分）已知平面区域（1）,为的正向边界,试证：;(2)。证：因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知（1)而关于和是对称的，即知因此（2）因故由知即五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解设，,是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程，而的解，因此式是的特征多项式是的特征多项因此二阶常系数线性齐次微分方程为，，由和知，二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10分）设抛物线过原点。当时,，又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定，使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小。解因抛物线过原点，故，于是即而此图形绕轴旋转一周