线性代数-(同济六版珍藏版)课件

线性代数

同济六版线性代数

同济六版一元一次方程

ax=b一元二次方程二元、三元线性方程组一元一次方程一元二次方程二元、三元线性行列式矩阵及其运算矩阵的初等变换与线性方程组向量组的线性相关性矩阵的特征值和特征向量行列式一元一次方程ax=b当a≠0时，二元（三元）线性方程组例解二元线性方程组得于是类似地，可得于是第一章行列式§1二阶与三阶行列式一元一次方程ax=b线性方程组消去x2,的两边后,两式相加得消元法线性方程组消去x2,的两边后,两式相加得消元法记称它为二阶行列式，于是，线性方组（1）的解可以写为定义为类似地，可得记称它为二阶行列式，于是，线性方组（1）的解可以写为定义为类类似的，我们还可以定义三阶行列式为类似的，我们还可以定义三阶行列式为n

阶排列共有n!个.排列的逆序数§2全排列及其逆序数把1,2,……,n

排成一列，称为一个

n

阶全排列.奇排列

逆序数为奇数的排列.在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有例1排列1

2……n

称为自然排列，所以是偶排列.一个逆序.偶排列

一个排列中所有逆序的总数.逆序数为偶数的排列.

它的逆序数为0，三阶排列共有3×2×1=3!个.n阶排列共有n!个.排列的逆序数§2例2排列3251

4的逆序数为t(３２５１４)例3排列n(n−1)…321的逆序数为

t(n(n−1)…321)=0+1+2+…+(n−1)=排列32514为奇排列.＝０＋１＋０＋３＋１＝

5

例2排列32514的逆序数为三阶行列式定义为§3n阶行列式的定义三阶行列式是

3!=6

项的代数和.123231312132213321t(123)=0t(231)=2t(312)=2t(132)=1t(213)=1t(321)=3三阶行列式定义为§3n阶行列式的定义三阶行列式是3三阶行列式可以写成三阶行列式可以写成

定义由n2个数组成的数表，称为n

阶行列式,项的代数和，

即

规定为所有形如记成定义由n2个数组成的数表，称为n阶行列例

1下三角行列式例1下三角行列式例2下三角行列式例3

三阶行列式例2下三角行列式例3三阶行列式

例5n

阶行列式

例4四阶行列式例5n阶行列式例4四阶行列式经对换a与b,得排列

所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性.§4对换

对换

定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

证先证相邻对换的情形.

那么设排列经对换a与b排列，得排列

相邻对换再证一般对换的情形.设排列经对换a与b,得排列事实上，排列（1）经过2m+1

次相邻对换变为排列（2）.

定理2

n

阶行列式也可以定义为根据相邻对换的情形及2m+1

是奇数，性相反.所以这两个排列的奇偶事实上，排列（1）经过2m+1次相邻对换变为排列（2

53142解t(53142)=0+1+2+1+3=7t(53412)=0+1+1+3+3=8

53412求这两个排列的逆序数.经对换1与4得排列例1排列53142解t(53142)1.选择i与

k使（1）25i1k成偶排列;（2）25i1k成奇排列.若是，指出应冠以的符号

3.计算n

阶行列式练习1.选择i与k使（1）25i行列式中的项.1.（1）i=4,k=3时，即排列25413

为偶排列；（2）i=3,k=4时，即排列25314

为奇排列.行列式中的项.1.（1）i=4,k=3时，即

性质1

性质2

§5行列式的性质

推论

两行（列）相同的行列式值为零.数k,

推论行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号

性质4

性质3

式等于零.等于用数

k

乘此行列式.行列式与它的转置行列式相等.互换行列式的两行（列），行列式变号.行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列

外面.性质1性质2若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，

例如则此行列式等于两个行列式之和.性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变.性质6把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对设行列式DT

称为行列式

D

的转置行列式.记那么=设行列式DT称为行列式D的转置行列式.记那么=

设行列式D=det(aij)互换第i,j(i＜j)两行,得行列式

性质2的证明设行列式D=det(aij)互换第其中，当k≠i,j

时,bkp=akp;当k=i,j

时，bip=ajp,,bjp=aip,其中,1…i…j…n是自然排列,所以于是=−D其中，当k≠i,j时,bkp=akp;当例3例3

r2-r1例5==0例6例7r2-r1例5==0例6

解r2-r1,r3-3r1,r4-r1

例8计算行列式解r2-r1,r3-3r1,r4

r2÷2

r3+r2,r4-2r2r2÷2r3+r2,r4-2r2

r4÷(-3),r3←→r4

r4+3r3r4÷(-3),r3←→r4r4+3r3

例9计算行列式

解从第4行开始，后行减前行得，例9计算行列式解从第4行开线性代数----(同济六版珍藏版)课件

例10计算行列式

解各行都加到第一行，例10计算行列式解各行都加到第

各行都减第一行的x倍第一行提取公因子(a+3x)各行都减第一行的x倍第一行提取公因子(a+3x)

§6行列式按行（列）展开

在

n

阶行列式det(aij)中，把元素aij

所在的第

i行和第j

列

Aij=(−1)i+jMij

记成Mij

,

称为元素aij

的余子式.

称它为元素aij

的代数余子式.

划去,剩下的(n−1)2

个元素按原来的排法构成的n−1阶行列式,

记

例1三阶行列式中元素a23的余子式为§6行列式按行（列）展开元素a23的代数余子式为

例2四阶行列式中元素x的代数余子式为=5元素a23的代数余子式为例2四阶行列式

行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元

或

行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应

或的代数余子式乘积之和，即素的代数余子式乘积之和等于零.即定理3推论行列式某一行（列）的元素

引理在行列式D中，如果它的第

i行中除

aij

外其余元素都为0,即

D=aijAij那么证明先证aij位于第1行，第1

列的情形，即引理在行列式D中，如果它的第i行中由行列式的定义，得再证一般情形，设用互换相邻两行和相邻两列，把aij

调到左上角，得行列式由行列式的定义，得再证一般情形，设用互换相邻两行利用前面的结果，得于是所以引理成立.利用前面的结果，得于是所以引理成立.

定理3

行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应

证因为

或的代数余子式乘积之和，即定理3行列式等于它的任意一行（列）的椐引理，就得到类似地可得椐引理，就得到类似地可得

例3计算四阶行列式解按第

1列展开，有例3计算四阶行列式解按第1列例4计算四阶行列式解按第1

行展开，有例4计算四阶行列式解按第1行展开，有对等式右端的两个

3

阶行列式都按第3

行展开，得解c3-c1c4-2c1例5计算四阶行列式对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得第1行提取2，第2行提取−1按第2行展开得第1行提取2，第2行提取−1按第2行展开得按第

1

行展开

r2+r1=−24c2-c1

，c3-c1按第1行展开r2+r1=−24c2-c1

例6证明范德蒙（Vandermonde

）行列式证用数学归纳法.所以当n=2时（*）式成立.

假设对于n–1

阶范德蒙

ri–x1ri-1

,i=n,n–1,…2,有因为对

n阶范德蒙行列式做运算行列式等式成立.例6证明范德蒙（Vandermonde按第1列展开后，各列提取公因子(xi-x1)

得按第1列展开后，各列提取公因子(xi-x1)得椐归纳法假设，可得归纳法完成.

推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元

或元素的代数余子式乘积之和等于零.即椐归纳法假设，可得归纳法完成.推论行列式某例7计算行列式解例7计算行列式解先以3阶行列式为例，例如为了证得因为所以又先以3阶行列式为例，例如为了证得因为所以又设行列式D=det(aij

)，因为行列式D1中第

i行与第

j

行元素对应相同，把行列式D1

按第

j

行展开，有类似地，也可以证明另一个式子.所以推论的证明取行列式设行列式D=det(aij)，因为行列式

§7Cramer法则

设线性方程组

定理4

（Cramer法则

）若线性方程组（1）的系数行列式不即等于零，§7Cramer法则设线其中

则方程组有唯一解其中则方程组有唯一解

证先证（2）是（1）的解，即要证明

为此看n+1

阶行列式第1行展开，注意到，其第一行中

aij的代数余子式为首先，因为第

1

行与第i+1

行相同,所以它的值为零.再把它按证先证（2）是（1）的解，即要证明为此看n故有

因而

即是线性方程组（1）解.故有因而

3

个恒等式A12,A22,An2

分别乘以上的3个等式得相加,得

设x1=c1,x2=c2,x3=c3

是线性方程组（1）的解,于是有3个恒等式A12,A22,An2分别乘以上的类似的可得于是也就是由于类似的可得于是也就是由于

例1用Cramer法则解线性方程组

解因为例1用Cramer法则解线性方程组解因所以所以

定理

5

如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0

，那么它只有零解.下述齐次方程组有非零解？定理5如果齐次线性方程组的系数行列式D

解根据定理

5

，若此齐次线性方程组有非零解，则其系所述方程组确有非零解.行列式必为

0.而解根据定理5，若此齐次线性方程组有第五章相似矩阵及二次型

§1预备知识向量的内积

定义1

设有n

维向量令[x,y]=x1y1+x2y2+……+xnyn,称[x,y]为向量x

与

y

的内积.

内积具有下列性质：

1.[x,y]=[y,x];

3.[x+y,z]=[x,z]+[y,z];

4.[x,x]≥0,其中x，y，z

是为向量，易知,[x,y]=xTy.当且仅当时x=0时[x,x]=0.第五章相似矩阵及二次型§1

定义2

非负实数称为n维向量x

的长.向量的长具有性质：长为1的向量称为单位向量.若向量x≠0,如果[x,y]=0，那么称向量x

与y

正交.一组两两正交的非零向量.正交向量组:定义2非负实数称为n维向量x那么它应满足～由得那么它应满足～由得

规范正交向量组:定理1

正交向量组必线性无关.证设向量组a1,a2,……,ar

是正交向量组,类似的可证于是向量组a1,a2,……,ar线性无关.但不为正交向量组.向量组e1,e2,……,er

为规范正交向量组，当且仅当若有一组数由单位向量构成的正交向量组.规范正交向量组:定理1正交向量组必线性无关.设向量组a1,a2,……,ar

线性无关，则必有规范正交向量组

正交化：单位化：于是，e1,e2,……,er是规范正交向量组，且与a1,a2,……,ar等价.e1,e2,……,er

与a1,a2,……,ar等价.设向量组a1,a2,……,ar线性e1,e2即为所求.e1,e2即为所求.取它的一个基础解系再把b2,b3正交化即为所求a2,a3.也就是取

定义3

设n

维向量e1,e2,……,er

是向量空间V

的一个基,如果向量组e1,e2,……,er为规范正交向量组，则称e1,e2,…...,向量组a1,a2,a3

是所求正交向量组.er是V

的一个规范正交基.所以对齐次方程组取它的一个基础解系再把b2,b3正交化即为所求a2,

定义4

如果

n

阶矩阵A满足那么称A为正交矩阵.

n阶矩阵A

为正交矩阵的充分必要条件是A

的列（行）向

设n阶矩阵A=(a1,a2,……,an

),其中a1,a2,……,an是

或者说,n阶矩阵A

为正交矩阵的充分必要条件是A

的列

A为正交矩阵，即是

ATA=E,都是正交矩阵.

例6（行）向量组构成向量空间Rn

的一个规范正交基.A的列向量组.量组是规范正交向量组.定义4如果n阶矩阵A满足由此可见，A

为正交矩阵的充分必要条件是A

的列（行）向量组是规范正交向量组.由此可见，A为正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向

定义5

若

P为正交矩阵，则线性变换x=Py

称为正交变换.线性变换的系数构成矩阵于是线性变换（＊）就可以记为x=Py都为正交变换.

例7定义5若P为正交矩阵，则线性变换x若

线性变换x=Py

为正交变换，a,b为任意两个向量.那么这是因为特别的，若线性变换x=Py为正交变换，a,

§2方阵的特征值与特征向量

定义6

设A

是

n

阶矩阵，和n

维非零列向量p非零向量p

称为A

的对于特征值称为方阵A

的特征多项式.称为n阶矩阵A的特征方程.

(1)式也可写成使得行列式§2方阵的特征值与特征向量求

n阶方阵A

的特征值与特征向量的方法：

1求出矩阵的A

特征多项式,特征值.它的非零解都是

例1

求矩阵的特征值和特征向量.解A

的特征多项式为于是，求n阶方阵A的特征值与特征向量的方法：所以，A

的特征值为得基础解系解方程组(A-E)x=0.由

其中k为任意非零数.～所以，A的特征值为得基础解系解方程组(A-E)x=得基础解系

例2

求矩阵的特征值和特征向量.解A

的特征多项式为其中k是任意非零数.～得基础解系例2求矩阵的特征值和特征向量.所以，A

的特征值为解方程组(A-3E)x=0.由得基础解系的全部特征向量为kp1

,解方程组(A-E)x=0.由其中k为任意非零数.～所以，A的特征值为解方程组(A-3E)x=0.由得基础解系的全部特征向量为kp2

+lp3,其中数证对特征值的个数m

用数学归纳法.由于特征向量是非零向量，所以，m=1时定理成立.量是线性无关的，

令

p1,p2,……,pm

依次为m个不等的特征值下面证明p1,p2,……,pmp1,p2,……,pm

～k,l不同时为零.依次是与之对应的特征向量,

那么

p1,p2,……,pm线性无关.假设m−1

个不同的特征值的特征向得基础解系的全部特征向量为kp2+lp3,其中线性无关.设有一组数x1,x2,……,xm

使得

x1p1+x2p2+……+xmpm=0

(1)成立.以矩阵

A左乘式(1)两端,得（3）式减（2）式得根据归纳法假设，p1,……,pm-1线性无关，所以,x1=

0,…….,xm–1=0.

这时（1）式变成，xmpm=0.因为pm≠0，所以只有xm=

0

.这就证明了p1,p2,……,pm线性无关.归纳法完成，定理得证.于是线性无关.设有一组数x1,x2,……,xm

p1,p2依次是与之对应的那么向量组p1,p2线性无关．证设有一组数x1,x2

使得

x1p1+x2p2=0(1)成立.以矩阵

A左乘式(1)两端,得（3）式减（2）式得所以x1=

0.这样（1）式变成，x2p2=0.因为p2≠0，所以只有x2=0

.这就证明了p1,p2线性无关.特征向量，p1,p2依次是与之对应的那么向量组p1所以有向量p≠0使，于是，求上三角矩阵练习的特征值与特征向量.的特征值．所以有向量p≠0使，于是，求上三角矩阵

§3相似矩阵

定义7

设A,B

都是

n

阶矩阵，P-1AP=B,则称矩阵A

与B

相似，可逆矩阵P

称为把A

变成

B

的相似变换则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值也相同.证因为A与B相似，故

定理3

若

n

阶矩阵A与B相似，所以有可逆矩阵P，使P-1AP=B,若有可逆矩阵P，使证毕.矩阵.§3相似矩阵相似，由定理3知，定理4

n

阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是:

定理4的证明如果可逆矩阵P,使若记矩阵也就是n

个线性无关的特征向量.

推论若

n阶矩阵

A

与对角矩阵

推论如果

n阶矩阵A的特征值互不相等，则A与对角矩阵相似．A

有P=(p1，p2,……,pn),相似，由定理3知，定理4n阶矩阵AA(p1,p2,……,pn)=(p1,p2,……,pn)即为

(A

p1,Ap2,…,Apn)=再由

P

是可逆矩阵便可知，反之，如果

n

阶矩阵A有n个线性无关的特征向量p1,p2,…,于是，应有数以向量组p1,p2,……,pn

构成矩阵P=(p1，p2,……,pn),则P矩阵，即A与对角矩阵相似.p1,p2,……,pn

就是

A

的n个线性其中p1,p2,……,pn

是

P

的列向量组,就有为可逆矩阵，无关的特征向量.pn,A(p1,p2,……,pn)=(p1,

§2例1中的3阶矩阵只有2个线性无关的特征向量，

§2例2中的矩阵是

A

的特征值3的线性无关的特征向量,所以它不可能与对角矩阵相似.§2例1中的3阶矩阵只有2个线性无关的特是A的特征值1的线性无关的特征向量.

P=(p1,p2,p3

)=于是，3阶矩阵A恰有3个线性无关的特征向量p1,p2,p3

，则P

为可逆矩阵，且P-1AP=所以它能与对角矩阵相似.令是A的特征值1的线性无关的特征向量.例1判断下列矩阵是否与对角矩阵相似，若是，求出相似解A

的特征多项式为因此A的特征值为变换矩阵和对角矩阵．例1判断下列矩阵是否与对角矩阵相似，若是，～得基础解系解方程组(A-E)x=0.由得基础解系～～得基础解系解方程组(A-E)x=0.由得基础解系～令则可逆矩阵

P为所求相似变换矩阵,且于是，3阶矩阵A有3个线性无关的特征向量，所以它能与对角矩阵相似.令则可逆矩阵P为所求相似变换矩阵,且于是，3阶矩阵例2设2阶矩阵A

的特征值为1,−5,与特征值对应的特征求A.解因为2阶矩阵A

有2个互异的特征值，取应有所以据定理4的推论，A

能与对角矩阵相似.向量分别为例2设2阶矩阵A的特征值为1,−例3社会调查表明，某地劳动力从业转移情况是：在从农解到2001年底该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳如果引入2阶矩阵表示每年非农从业人员中有1/20改为从农工作.表示每年从农人员中有3/4改为从事非农工作.于是有业情况以及经过多年之后该地劳动力从业情况的发展趋势．员各占全部劳动力的1/5和4/5，试预测到2005年底该地劳动力从人员中每年有3/4改为从事非农工作，在非农从业人员中每年有1/20改为从农工作.到2000年底该地从农工作和从事非农工作人动力的百分比分别为和例3社会调查表明，某地劳动力从业转移情况是再引入2维列向量,其分量依次为到某年底从农工作和从事非农表示到2000年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳如向量那么，2001年底该地从农工作和从事非农工作于是，到2005年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比应为

k

年后该地劳动力的从业情况可由矩阵A的特征多项式Ax工作人员各占全部劳动力的百分比．动力的1/5和4/5．人员各占全部劳动力的百分比就可由下述运算得出再引入2维列向量,其分量依次为到某年底从农工作和从事非农对应的特征向量，对应的特征向量，则P

为可逆矩阵，所以矩阵相似.据定理4的推论，A

能与对角且使得对应的特征向量，对应的特征向量，则P为可逆矩阵，所以矩阵类似的，第k

年底该地劳动力的从业情况为按此规律发展，多年之后该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳动力的百分比趋于类似的，第k年底该地劳动力的从业情况为按此规律发展，多

例4

如果于是A

与

B的特征多项式相同，但A

与B不相似.特征多项式相同的矩阵未必相似.即，多年之后该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的6/100和94/100.那么例4如果于是A与B的特征多项

§4对称矩阵的相似矩阵定理5

实对称矩阵的特征值为实数.p

为对应的特征向量.于是有两式相减，因为

p≠0,则p1与p2正交.p1,p2

依次是它们对应的特征向量.即定理6

§4对称矩阵的相似矩阵定理5定理7设A

为

n阶对称矩阵,

线性无关的特征向量.即p1与p2正交.恰有

r

个因为A

是实对称矩阵，所以于是证由已知有r

重根,左乘（2）式的两端得定理7设A为n阶对称矩阵,重数依次为r1,r2,……,rm,于是,r1+r2+……+rm=n.

恰有

ri个线性无关的实特征向量,把它们正交单位化，即得ri

个单位正交的特征向量,i=1,2，

…,m.由r1+r2+……+rm=n.

知这样的特征向量恰有

n

个.又实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交(根据定理6)，故这

n个特征向量构成规范正交向量组.以它们为列构成矩阵

P,它们的定理5及定理7知，根据则为

P正交矩阵，并有恰是A的n

个特征值.定理8

设A

为

n

阶对称矩阵，则必有正交矩阵

P,使是以A

的

n

个特征值为对角元素的对角矩阵.重数依次为r1,r2,……,rm,于是,为对角矩阵．为对角矩阵．线性代数----(同济六版珍藏版)课件于是得正交矩阵P=(p1,p2,p3

)且使得于是得正交矩阵P=(p1,p2,p3)且使得将其规范正交化.解A

的特征多项式为为对角矩阵．将其规范正交化.解A的特征多项式为为对角矩阵再单位化得正交化：取再单位化得正交化：取于是得正交矩阵P=(p1

,p2,p3

)且使得于是得正交矩阵P=(p1,p2,p3)且使

§5二次型及其标准形

定义8

n个变量x1,x2,……,xn

的二次齐次函数f(x1,x2,……,xn)=称为二次型.于是（1）式可写成f(x1,x2,……,xn)对二次型(1)，记则二次型(1)又表示为§5二次型及其标准形f(x1,x2,……,xn)=其中A

为对称矩阵，叫做二次型f(x1,x2,……,xn)的矩阵，也把f(x1,x2,……,xn)叫做对称矩阵A

的二次型.对称矩阵A的秩，叫做二次型f(x1,x2,……,xn)=xTAx的秩.二次型f(x1,x2,……,xn)经过可逆的线性变换即用(3)代入(1)，还是变成二次型.那么新二次型的矩阵与原二次型的矩阵A

的关系是什么？可逆线性变换(3),记作x=Cy,

f(x1,x2,……,xn)=其中A为

f(x1,x2,……,xn)

g(y1,y2,……,yn)

x=Cy可逆线性变换(AT=)AB(=BT)

CTAC=把可逆的线性变换

x=Cy代入二次型f=xTAx,

得二次型f=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y

就是说，若原二次型的矩阵为A

，那么新二次型的矩阵为其中C是所用可逆线性变换的矩阵．

定理9

设有可逆矩阵C,使B=CTAC,如果A为对称矩阵，则B也为对称矩阵，且R(A)=R(B).CTAC,f(x1,x2,……,xn)g即B

为对称矩阵.因为B=CTAC

，所以R(B)≤R(AC)≤R(A).因为所以R(A)≤R(BC-1)≤R(B),故得R(A)=R(B).A=(CT

)–1BC

–1，证因为A

是对称矩阵,即AT=A，所以BT=(CTAC)T

=CTAT(CT

)T

=CTATC

=B,主要问题：求可逆的线性变换将二次型(1)化为只含平方项，即用(3)代入(1)，能使f(x1,x2,……,xn)称（4）为二次型的标准形.即B为对称矩阵.因为B=CTAC，所以R(总有正交变换

x=Py，使

f化为标准形定理8设A

为

n

阶对称矩阵，则必有正交矩阵

P,使是以A

的

n

个特征值为对角元素的对角矩阵.定理10也就是说，已知对称矩阵A，求一个可逆矩阵C使为对角矩阵.总有正交变换例1用矩阵记号表示二次型例2求一个正交变换x=Py，把二次型解二次型的矩阵为那么化为标准形.解二次型的矩阵为例1用矩阵记号表示二次型例2它的特征多项式为它的特征多项式为于是正交变换为于是正交变换为例3求一个正交变换x=Py，把二次型化为标准形.解二次型的矩阵为它的特征多项式为例3求一个正交变换x=Py，把二次型化为标正交化：取再单位化得正交化：取再单位化得于是正交变换为于是正交变换为例4已知在直角坐标系ox1x2中,二次曲线的方程为试确定其形状．解先将曲线方程化为标准方程，也就是用正交变换把二次型化为标准形．二次型f

的矩阵为A的特征多项式为于是A的特征值为可求得对应的特征向量为将它们单位化得例4已知在直角坐标系ox1x2中,二次曲令就有故在新坐标系oy1y2中该曲线的方程为这是一个椭圆．其短、长半轴长分别为

y1y2

x1x20令就有故在新坐标系oy1y2中该曲线的方程为这是一个椭圆§6用配方法化二次型成标准形例1化二次型为标准形,并求所用的变换矩阵.就把f化成标准形§6用配方法化二次型成标准形例1化二次型例2化二次型为标准形,并求所用的变换矩阵.解令代入，再配方可得所用线性变换矩阵为例2化二次型为标准形,并求所用的变换矩阵.解所用变换矩阵为所用变换矩阵为

§7正定二次型

定理11

设实二次型f=xTAx的秩为r,若有实可逆变换

x=Cy

及x=Pz使

定义9

实二次型f=xTAx

称为正定二次型，如果对任何

xTAx

＞0.正定二次型的矩阵称为正定矩阵.

定理12

n

元实二次型f=xTAx

为正定的充分必要条件是：它的标准形的

n

个系数全为正.则k1,k2,…,kr中正数的个数与中正数的个数相等．证设可逆变换x=Cy

使

x≠0,都有和§7正定二次型定理11因为

C

是可逆矩阵,故即二次型为正定的.再证必要性.用反证法.假设有ks≤0,则当y=es时，其中es是第

s

个分量为1其余分量都为

0

的n

维向量.这与f为正定相矛盾．因而ki>0,i=1,2,…,n.

推论对称矩阵

A

为正定的充分必要条件是:A的特征值全

定理13

对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：阶主子式都为正.即为正．A

的各先证充分性.设ki>0,i=1,2,…,n.任给x≠0,因为C是可逆矩阵,故即二次型为正定的.再证必要性.用反证线性代数

同济六版线性代数

同济六版一元一次方程

ax=b一元二次方程二元、三元线性方程组一元一次方程一元二次方程二元、三元线性行列式矩阵及其运算矩阵的初等变换与线性方程组向量组的线性相关性矩阵的特征值和特征向量行列式一元一次方程ax=b当a≠0时，二元（三元）线性方程组例解二元线性方程组得于是类似地，可得于是第一章行列式§1二阶与三阶行列式一元一次方程ax=b线性方程组消去x2,的两边后,两式相加得消元法线性方程组消去x2,的两边后,两式相加得消元法记称它为二阶行列式，于是，线性方组（1）的解可以写为定义为类似地，可得记称它为二阶行列式，于是，线性方组（1）的解可以写为定义为类类似的，我们还可以定义三阶行列式为类似的，我们还可以定义三阶行列式为n

阶排列共有n!个.排列的逆序数§2全排列及其逆序数把1,2,……,n

排成一列，称为一个

n

阶全排列.奇排列

逆序数为奇数的排列.在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有例1排列1

2……n

称为自然排列，所以是偶排列.一个逆序.偶排列

一个排列中所有逆序的总数.逆序数为偶数的排列.

它的逆序数为0，三阶排列共有3×2×1=3!个.n阶排列共有n!个.排列的逆序数§2例2排列3251

4的逆序数为t(３２５１４)例3排列n(n−1)…321的逆序数为

t(n(n−1)…321)=0+1+2+…+(n−1)=排列32514为奇排列.＝０＋１＋０＋３＋１＝

5

例2排列32514的逆序数为三阶行列式定义为§3n阶行列式的定义三阶行列式是

3!=6

项的代数和.123231312132213321t(123)=0t(231)=2t(312)=2t(132)=1t(213)=1t(321)=3三阶行列式定义为§3n阶行列式的定义三阶行列式是3三阶行列式可以写成三阶行列式可以写成

定义由n2个数组成的数表，称为n

阶行列式,项的代数和，

即

规定为所有形如记成定义由n2个数组成的数表，称为n阶行列例

1下三角行列式例1下三角行列式例2下三角行列式例3

三阶行列式例2下三角行列式例3三阶行列式

例5n

阶行列式

例4四阶行列式例5n阶行列式例4四阶行列式经对换a与b,得排列

所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性.§4对换

对换

定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.

证先证相邻对换的情形.

那么设排列经对换a与b排列，得排列

相邻对换再证一般对换的情形.设排列经对换a与b,得排列事实上，排列（1）经过2m+1

次相邻对换变为排列（2）.

定理2

n

阶行列式也可以定义为根据相邻对换的情形及2m+1

是奇数，性相反.所以这两个排列的奇偶事实上，排列（1）经过2m+1次相邻对换变为排列（2

53142解t(53142)=0+1+2+1+3=7t(53412)=0+1+1+3+3=8

53412求这两个排列的逆序数.经对换1与4得排列例1排列53142解t(53142)1.选择i与

k使（1）25i1k成偶排列;（2）25i1k成奇排列.若是，指出应冠以的符号

3.计算n

阶行列式练习1.选择i与k使（1）25i行列式中的项.1.（1）i=4,k=3时，即排列25413

为偶排列；（2）i=3,k=4时，即排列25314

为奇排列.行列式中的项.1.（1）i=4,k=3时，即

性质1

性质2

§5行列式的性质

推论

两行（列）相同的行列式值为零.数k,

推论行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号

性质4

性质3

式等于零.等于用数

k

乘此行列式.行列式与它的转置行列式相等.互换行列式的两行（列），行列式变号.行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列

外面.性质1性质2若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，

例如则此行列式等于两个行列式之和.性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变.性质6把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对设行列式DT

称为行列式

D

的转置行列式.记那么=设行列式DT称为行列式D的转置行列式.记那么=

设行列式D=det(aij)互换第i,j(i＜j)两行,得行列式

性质2的证明设行列式D=det(aij)互换第其中，当k≠i,j

时,bkp=akp;当k=i,j

时，bip=ajp,,bjp=aip,其中,1…i…j…n是自然排列,所以于是=−D其中，当k≠i,j时,bkp=akp;当例3例3

r2-r1例5==0例6例7r2-r1例5==0例6

解r2-r1,r3-3r1,r4-r1

例8计算行列式解r2-r1,r3-3r1,r4

r2÷2

r3+r2,r4-2r2r2÷2r3+r2,r4-2r2

r4÷(-3),r3←→r4

r4+3r3r4÷(-3),r3←→r4r4+3r3

例9计算行列式

解从第4行开始，后行减前行得，例9计算行列式解从第4行开线性代数----(同济六版珍藏版)课件

例10计算行列式

解各行都加到第一行，例10计算行列式解各行都加到第

各行都减第一行的x倍第一行提取公因子(a+3x)各行都减第一行的x倍第一行提取公因子(a+3x)

§6行列式按行（列）展开

在

n

阶行列式det(aij)中，把元素aij

所在的第

i行和第j

列

Aij=(−1)i+jMij

记成Mij

,

称为元素aij

的余子式.

称它为元素aij

的代数余子式.

划去,剩下的(n−1)2

个元素按原来的排法构成的n−1阶行列式,

记

例1三阶行列式中元素a23的余子式为§6行列式按行（列）展开元素a23的代数余子式为

例2四阶行列式中元素x的代数余子式为=5元素a23的代数余子式为例2四阶行列式

行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元

或

行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应

或的代数余子式乘积之和，即素的代数余子式乘积之和等于零.即定理3推论行列式某一行（列）的元素

引理在行列式D中，如果它的第

i行中除

aij

外其余元素都为0,即

D=aijAij那么证明先证aij位于第1行，第1

列的情形，即引理在行列式D中，如果它的第i行中由行列式的定义，得再证一般情形，设用互换相邻两行和相邻两列，把aij

调到左上角，得行列式由行列式的定义，得再证一般情形，设用互换相邻两行利用前面的结果，得于是所以引理成立.利用前面的结果，得于是所以引理成立.

定理3

行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应

证因为

或的代数余子式乘积之和，即定理3行列式等于它的任意一行（列）的椐引理，就得到类似地可得椐引理，就得到类似地可得

例3计算四阶行列式解按第

1列展开，有例3计算四阶行列式解按第1列例4计算四阶行列式解按第1

行展开，有例4计算四阶行列式解按第1行展开，有对等式右端的两个

3

阶行列式都按第3

行展开，得解c3-c1c4-2c1例5计算四阶行列式对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得第1行提取2，第2行提取−1按第2行展开得第1行提取2，第2行提取−1按第2行展开得按第

1

行展开

r2+r1=−24c2-c1

，c3-c1按第1行展开r2+r1=−24c2-c1

例6证明范德蒙（Vandermonde

）行列式证用数学归纳法.所以当n=2时（*）式成立.

假设对于n–1

阶范德蒙

r