2021-2022学年湖北省武汉市青山区九年级（上）期中数学试卷

2021-2022学年湖北省武汉市青山区九年级（上）期中数学试卷一、你一定能选对！（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑.1．（3分）一元二次方程3x2﹣2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（）A．3，4 B．3，0 C．3，﹣4 D．3，﹣22．（3分）下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣4x＝3 B．x2+1＝0 C．x2﹣4x＝0 D．x2+4＝4x4．（3分）抛物线y＝3x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣2）2+1 B．y＝3（x﹣1）2﹣2 C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2﹣15．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（）A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝16．（3分）如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝58°，则∠OAB的度数是（）A．20° B．25° C．29° D．30°7．（3分）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是（）A．5000（1+x）2＝4050 B．4050（1+x）2＝5000 C．5000（1﹣x）2＝4050 D．4050（1﹣x）2＝50008．（3分）从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t﹣5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s的下降的高度为（）A．15m B．20m C．25m D．30m9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为x1，x2，则2x13﹣6x12+x22﹣5x2+7的值为（）A．0 B．7 C．13 D．6二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置.11．（3分）点A（﹣4，3）关于原点成中心对称的点的坐标为．12．（3分）已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝2x2﹣3上，则y1y2（填“＞”或“＜”）．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝32°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为度．14．（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给个人．15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=12，且经过点（﹣1，0）．下列说法：①abc＞0；②﹣2b+c＝0；③点（t-32，y1），（t+32，y2）在抛物线上，则当t＞13时，y1＞y2；④14b+c≤m（am+b）+16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝73，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为．三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．18．（8分）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0，a、b为常数）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣3m…（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出方程ax2+bx﹣3＝0的解．19．（8分）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18m，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为xm．（1）用含有x的式子表示BC，并直接写出x的取值范围；（2）若苗圃园的面积为72m2，求AB的长．20．（8分）在6×6的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（5，2），⊙Q是ABC的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：（1）画圆心Q；（2）画弦BD，使BD平分∠ABC；（3）画弦DP，使DP＝AB；（4）弦BD的长为．21．（8分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，∠ACD与∠BCD互余．（1）求证：CD=（2）若CD＝45，BC＝8，求AD的长．22．（10分）某商家购进一批产品，成本为每件10元，采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现：线下销售时，售价为12元可以销售1200件，每涨价1元则少售出100件．设线下的月销售量为y件，线下售价为每件x元（12≤x＜24且x为整数）．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若线上每件售价始终比线下便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润；（3）若月利润总和不低于6900元，则线下售价x的取值范围为．23．（10分）已知，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，将边CD绕点C顺时针旋转α（0＜α＜120），得到线段CE，连接ED、ED或其延长线交∠BCE的角平分线于点F．（1）如图1，若α＝20，直接写出∠E与∠CFE的度数；（2）如图2，若60＜α＜120．求证：EF﹣DF＝CF；（3）如图3，若AB＝6，点G为AF的中点，连接BG，则DC旋转过程中，BG的最大值为．24．（12分）已知，直线y＝kx﹣1与抛物线y=12x2-32交于A（1）当k=34时，求A，（2）点P是直线AB下方的抛物线上一点，点Q在y轴上，且四边形APBQ是平行四边形．①如图1，在（1）的条件下，求▱APBQ的面积；②当k变化时，Q点是否是y轴上的一个定点？若是，请求出点Q的坐标，若不是，请说明理由．

2021-2022学年湖北省武汉市青山区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、你一定能选对！（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑.1．（3分）一元二次方程3x2﹣2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（）A．3，4 B．3，0 C．3，﹣4 D．3，﹣2【解答】解：3x2﹣2＝4x，3x2﹣4x﹣2＝0，所以二次项系数和一次项系数分别是3，﹣4，故选：C．2．（3分）下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．3．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣4x＝3 B．x2+1＝0 C．x2﹣4x＝0 D．x2+4＝4x【解答】解：A、∵x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x﹣3＝0，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，此方程有两个不相等的实数根；B、∵x2+1＝0∴Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，此方程没有实数根；C、∵x2﹣4x＝0，∴Δ＝42﹣4×1×0＝16＞0，此方程有两个不相等的实数根；D、∵x2+4＝4x，∴x2﹣4x+4＝0，∴Δ＝42﹣4×1×4＝0，此方程有两个相等的实数根，故选：D．4．（3分）抛物线y＝3x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣2）2+1 B．y＝3（x﹣1）2﹣2 C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2﹣1【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y＝3x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣2）2﹣1．故选：D．5．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（）A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝1【解答】解：∵x2﹣8x﹣2＝0，∴x2﹣8x＝2，则x2﹣8x+16＝2+16，即（x﹣4）2＝18，故选：A．6．（3分）如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝58°，则∠OAB的度数是（）A．20° B．25° C．29° D．30°【解答】解：∵∠AOC＝58°，∴∠ABC=12∠AOC＝∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝29°，故选：C．7．（3分）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是（）A．5000（1+x）2＝4050 B．4050（1+x）2＝5000 C．5000（1﹣x）2＝4050 D．4050（1﹣x）2＝5000【解答】解：设这种药品成本的年平均下降率是x，根据题意得：5000（1﹣x）2＝4050，故选：C．8．（3分）从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t﹣5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s的下降的高度为（）A．15m B．20m C．25m D．30m【解答】解：由题意得，第3s时小球达到最高点，此时小球距离地面45m，然后小球开始竖直下落，当t＝5s时，h＝30×5﹣5×52＝150﹣125＝25（m），∴从第3s到第5s下降的高度为45﹣25＝20（m），故选：B．9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：延长EB至F'，使BF′＝DF，连接AF′，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ABF′＝∠ADC，∵∠EAF＝30°，∴∠BAE+∠DAF＝30°，在△ABF′和△ADF中，AB=AD∠ABF'=∠ADF∴△ABF′≌△ADF（SAS），∴AF′＝AF，BF′＝DF＝1，∠BAF′＝∠DAF，∴∠BAF′+∠BAE＝30°，∴∠EAF′＝∠EAF＝30°，在△AEF′和△AEF中，AF'∴△AEF′≌△AEF（SAS），∴EF′＝EF＝3，∴BE＝3﹣1＝2，故选：B．10．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为x1，x2，则2x13﹣6x12+x22﹣5x2+7的值为（）A．0 B．7 C．13 D．6【解答】解：∵方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为x1，x2，∴x12﹣3x1+1＝0，x22﹣3x2+1＝0，∴x12＝3x1﹣1，x22＝3x2﹣1，∴x13＝x1（3x1﹣1）＝3x12﹣x1＝3（3x1﹣1）﹣x1＝8x1﹣3，∴2x13﹣6x12+x22﹣5x2+7＝2（8x1﹣3）﹣6（3x1﹣1）+3x2﹣1﹣5x2+7＝16x1﹣6﹣18x1+6+3x2﹣1﹣5x2+7＝﹣2（x1+x2）+6，∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝3，∴2x13﹣6x12+x22﹣5x2+7＝﹣2×3+6＝0．故选：A．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置.11．（3分）点A（﹣4，3）关于原点成中心对称的点的坐标为（4，﹣3）．【解答】解：点M（﹣4，3）关于原点成中心对称的点的坐标是（4，﹣3）．故答案为：（4，﹣3）．12．（3分）已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝2x2﹣3上，则y1＜y2（填“＞”或“＜”）．【解答】解：∵点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝2x2﹣3上，∴y1＝2×1﹣3＝﹣1，y2＝2×4﹣3＝5，∴y1＜y2，故答案为：＜．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝32°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为64度．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝32°，∴∠B＝90°﹣32°＝58°，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，∴CB＝CD，旋转角等于∠BCD，∴∠B＝∠BDC＝58°，∴∠BCD＝180°﹣58°﹣58°＝64°，即旋转角为64°．故答案为64．14．（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给7个人．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染给x个人，根据题意得：1+x+x（1+x）＝64，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染给7个人．故答案为：7．15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=12，且经过点（﹣1，0）．下列说法：①abc＞0；②﹣2b+c＝0；③点（t-32，y1），（t+32，y2）在抛物线上，则当t＞13时，y1＞y2；④14b+c≤m（am+b）+【解答】解：∵抛物线开口向上，且交y轴于负半轴，∴a＞0，c＜0，∵对称轴x=-b2a=1∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，0），∴0＝a﹣b+c，∵a＝﹣b，∴﹣2b+c＝0，故②正确；∵抛物线开口向上，对称轴是直线x=12，点（t-32，y1），（t+∴当t-32+t+3∴y1＞y2，故③不正确；∵抛物线开口向下，对称轴是x=1∴当x=12时，抛物线y取得最小值y=14a+12b+当x＝m时，ym＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，∴14b+c≤m（am+b）+c（m故④正确，综上，结论①②④正确，故答案为：①②④．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝73，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为72【解答】解：如图，以AB为边作等边△ABE，过点D作DH⊥QE于H，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∵将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，∴∠BAP＝∠EAQ，在△ABP和△AEQ中，AB=AE∠BAP=∠EAQ∴△ABP≌△AEQ（SAS），∴∠AEQ＝∠ABP＝90°，∴点Q在射线EQ上运动，当Q与H重合时，DQ最小，在Rt△AEF中，∠EAF＝30°，∴EF=3∴AF＝2EF=14∴DF＝AD﹣AF＝73-∴DH=32DF∴DQ的最小值为72故答案为：72三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．【解答】解：解法一：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣1）＝8＞0∴x=∴x1=1+2解法二：∵x2﹣2x﹣1＝0，则x2﹣2x+1＝2∴（x﹣1）2＝2，开方得：x-∴x1=1+218．（8分）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0，a、b为常数）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣3m…（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出方程ax2+bx﹣3＝0的解．【解答】解：（1）将（﹣1，0），（1，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣3得0=a-解得a=1b=-2∴y＝x2﹣2x﹣3．（2）由表格可得抛物线对称轴为直线x＝1，且x＝﹣1时y＝0，由抛物线对称性可得x＝3时，y＝0，∴方程ax2+bx﹣3＝0的解为x＝﹣1或x＝3．19．（8分）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18m，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为xm．（1）用含有x的式子表示BC，并直接写出x的取值范围；（2）若苗圃园的面积为72m2，求AB的长．【解答】解：（1）∵AB＝CD＝xm，且篱笆的长为30m，∴BC＝（30﹣2x）m．又∵30-∴6≤x＜15．（2）依题意得：x（30﹣2x）＝72，整理得：x2﹣15x+36＝0，解得：x1＝3，x2＝12．又∵6≤x＜15，∴x＝12．答：AB的长为12m．20．（8分）在6×6的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（5，2），⊙Q是ABC的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：（1）画圆心Q；（2）画弦BD，使BD平分∠ABC；（3）画弦DP，使DP＝AB；（4）弦BD的长为3102【解答】解：（1）如图，点Q即为所求；（2）如图，线段BD即为所求；（3）如图，线段DP即为所求；（4）由作图可知，D（52，92），B（4，∴BD=(4-故答案为：31021．（8分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，∠ACD与∠BCD互余．（1）求证：CD=（2）若CD＝45，BC＝8，求AD的长．【解答】（1）证明：连接BD．∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠DAC＝∠BCD，∴CD=（2）解：连接DO延长DO交BC于点T．∵CD=∴DT⊥BC，∴BT＝CT＝4，∴DT=CD设OD＝OC＝r，在Rt△OTC中，r2＝（8﹣r）2+42，解得r＝5，∴AC＝10，∴AD=AC222．（10分）某商家购进一批产品，成本为每件10元，采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现：线下销售时，售价为12元可以销售1200件，每涨价1元则少售出100件．设线下的月销售量为y件，线下售价为每件x元（12≤x＜24且x为整数）．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若线上每件售价始终比线下便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润；（3）若月利润总和不低于6900元，则线下售价x的取值范围为17≤x≤21．【解答】解：（1）由题意，得：y＝1200﹣100（x﹣12）＝﹣100x+2400，∴y与x的函数关系式为y＝﹣100x+2400（12≤x＜24且x为整数）；（2）设总利润为w元，w＝（x﹣10）（﹣100x+2400）+（x﹣2﹣10）×400＝﹣100（x﹣19）2+7300，∵﹣100＜0，12≤x＜24，∴当x＝19时，w取得最大值，此时w＝7300，答：当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润是7300元；（3）由（2）知，w＝﹣100（x﹣19）2+7300，令w＝6900，则﹣100（x﹣19）2+7300＝6900，解得：x1＝17，x2＝21，根据二次函数的图象和性质，当17≤x≤21时，w≥6900，∴当17≤x≤21时，月利润总和不低于6900元，故答案为：17≤x≤21．23．（10分）已知，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，将边CD绕点C顺时针旋转α（0＜α＜120），得到线段CE，连接ED、ED或其延长线交∠BCE的角平分线于点F．（1）如图1，若α＝20，直接写出∠E与∠CFE的度数；（2）如图2，若60＜α＜120．求证：EF﹣DF＝CF；（3）如图3，若AB＝6，点G为AF的中点，连接BG，则DC旋转过程中，BG的最大值为33．【解答】（1）解：如图1中，∵CD＝CE，∠ECD＝α，∴∠E＝∠CDE=12（180°﹣α）＝90°-∵∠BCD＝60°，∴∠BCE＝60°+α，∵CF平分∠BCE，∴∠FCB=12∠BCE＝30°+∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝60°﹣（30°+12α）＝30°-∵∠CDE＝∠CFE+∠DCF，∴90°-12α＝∠CFE+30°-∴∠CFE＝60°，∵α＝20°，∴∠CED＝90°﹣10°＝80°；（2）证明：如图2中，在DE上取一点T，使得CT＝CF．同法可证，∠CFE＝60°，∵CF＝CT，∴△CFT是等边三角形，∴∠CFT＝∠CTF＝60°，FT＝CF＝CT，∴∠CFD＝∠CTE＝120°，∵CD＝CE，∴∠CDF＝∠E，∴△CDF≌△CET（AAS），∴DF＝TE，∴EF﹣DF＝EF﹣TE＝FT＝CF；（3）解：如图3中，连接AC，点T是△BCD的外心．∵CB＝CD＝CE，∠FCB＝∠FCE，CF＝CF，∴△FCB≌△FCE（SAS），∴∠CFE＝∠CFB＝60°，∴∠BFE＝120°，∴点F在△BCD的外接圆⊙T上，取AT的中点Q，连接GQ，FT．∵AG＝GF，AQ＝QT，∴GQ=12FT=1∵AC＝3CT＝63，∴QB＝AQ＝23，∴BG≤BQ+GQ＝33，∴BG的最大值为33．故答案为：33．24．（12分）已知，直线y＝kx﹣1与抛物线y=12x2-32交于A（1）当k=34时，求A，（2）点P是直线AB下方的抛物线上一点，点Q在y轴上，且四边形APBQ是平行四边形．①如图1，在（1）的条件下，求▱APBQ的面积；②当k变化时，Q点是否是y轴上的一个定点？若是，请求出点Q的坐标，