课程导学-第七章第四节

第四节 直线、平面平行的判定及性质1．以和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．考纲点击几何的定义、公理和定理为出发点，认识要点梳理·基础一、直线与平面平行1．判定定理知识扫描文字语言图形语言符号语言平面外一条直

a

b

a∥b∥a

判定定理线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行.2．性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行._

a∥a

b

[辨析]1．若直线a与平面α平行，b在α内，则a与b一定平行吗？提示

不一定．a与b可能平行，也可能异面．二、平面与平面平行1．判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a

b

ab

P

a∥a∥

b∥

2.两平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行_

a∥

a

b

[辨析]2．若一个平面平行于另一个平面内的无数条直线，则这两个平面平行吗？提示

不一定．若这无数条直线平行，两平面还可能相交．1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是A．平行C．异面B．相交D．以上均有可能解析

借助长方体模型易得．答案

D小题热身2．下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是

A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确．答案

D3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α解析b∥α.答案

D，直线b与α可能相交，或b⊂α，或4．下列命题中正确的个数是①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；④平行于同一直线的两个平面平行．A．1

B．2

C．3

D．4解析①错，因为直线a与α可能相交；②错，当l与α相交时，l上也有无数个点不在平面α内；③正确；④错，平行于同一直线的两个平面可能相交．答案

ANDAM＝AN，解析

在平面

ABD

中，MB∴MN∥BD.又MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴MN∥平面BCD.答案

平行(1)(2015·湛江模拟)下列命题正确的是若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行考点突破·规律总结考点一

与平行有关

题真

判断例1【解析】

若两条直线和同一个平面所成角相等，则这两条直线可能平行，也可能相交，故A不正确；如图(1)所示， B不正确；如图(2)所示，平面α∩β＝b，

a∥α，a∥β，过a的平面与β的交线为c，则a∥c，过a的平面与α的交线为d，则a∥d，故c∥d，所以c∥α，∴c∥b，又a∥c，故得a∥b，即C正确；垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故D不正确．【答案】

C(2)(2014·海淀二模)已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段

D1E

与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线

MN有A．0条B．1条C．2条D．无数条【解析】

直线D1E和C1F都和平面ABCD相交，设平面α∥平面ABCD，则α与直线D1E与C1F相交，设交点为K，L，则直线KL∥平面ABCD，因为有无数多个平面α，则有无数条直线KL，即有无数多条直线MN.【答案】

D[规律方法]

平行关系的判断技巧熟悉线面关系的各个定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形．1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．◎变式训练其中正确A．①②题是B．②④

C．①③

D．②③解析①中的两条直线有可能平行，相交或异面，故①不正确；②正确；③中一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行，故③不正确；④正确．答案

B如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE＝a，点M

段EF上．(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．考点二

直线和平面平行的判定与性质例2【解析】(1)证明在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，∴四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE.3(2)当EM＝

3

a

时，AM∥平面BDF.现在证明如下：在梯形ABCD

中，设AC∩BD＝N，连接FN，则

CN∶NA＝1∶2.∵EM＝

3

，而

EF＝AC＝

3a，3

a∴EM∶FM＝1∶2，∴MF

綊AN，∴四边形ANFM

是平行四边形，∴AM∥NF.又∵NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，∴AM∥平面BDF.[规律方法]证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可．2．(2014·马鞍山模拟)如图，多面体ABCDEFG中，四边形ABCD，CDEF都是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AG⊥平面ABCD，且AG＝1.若P是BC的中点，证明AP∥平面BFG；求四面体ABEG的体积．◎变式训练解析

(1)证明

取

BF

中点

Q，连PQ、GQ，则PQ∥CF，且PQ＝12CF＝AG＝1，∵CDEF

是正方形，DE⊥

平面

ABCD

，

∴CF⊥

平面ABCD，∴PQ⊥平面ABCD，又AG⊥平面ABCD，∴PQ∥AG，APQG

为矩形，∴AP∥GQ，∵QG⊂平面BFG，AP⊄平面BFG，∴AP∥平面BFG.(2)∵AG⊥平面ABCD，∴AG⊥AD，又ABCD是矩形，∴AB⊥AD，从而AD⊥平面ABG，又DE⊥平面ABCD，∴AG∥DE，∴V

＝V

＝V1

1ABEG

E－ABG

D－ABG＝3×2×AB×AG×AD＝23.考点三

面面平行的判定与性质1BB1(3)

段

BB

上是否存在点

P，当

BP

＝λ

时，平面A1PC1∥平面AMC？若存在，求出

λ

的值并证明；若不存在，请说明理由．例3

(2014·昌平二模)

已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1

中，M

是DD1

的中点．求证：BD1∥平面AMC；求证：AC⊥BD1；【解析】

(1)证明

在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接 交 于 ，连接MN.因为ABCD为正方形，所以N为BD中点．在△DBD1中，因为M为DD1中点，所以BD1∥MN.因为MN⊂平面AMC，BD1⊄平面AMC，所以BD1∥平面AMC.(2)证明

因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD.因为DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥AC.因为DD1⊥BD＝D，所以AC⊥平面BDD1.因为BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1.1(3)当

λ＝2，即点

P为线段

BB

的中点时，平面

A

PC1

1

1∥平面AMC.因为AA1∥CC1

且AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形．所以AC∥A1C1.取CC1

的中点Q，连接MQ，QB.因为M为DD1

的中点，所以MQ∥AB且MQ＝AB，所以四边形ABQM

是平行四边形．所以BQ∥AM.同理BQ∥C1P.所以AM∥C1P.因为

A1C1∩C1P＝C1，AC∩AM＝A，所以平面A1PC1∥平面AMC.[规律方法]

证明面面平行的方法面面平行的定义；面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；利用垂直于同一条直线的两个平面平行；两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．◎变式训练解析

(1)证明

设B1D1线段的中点为O1.∵BD和B1D1是ABCD－A1B1C1D1的对应棱，∴BD∥B1D1.同理，∵AO和A1O1是棱柱ABCD－A1B1C1D1的对应线段，∴AO∥A1O1

且AO∥OC

⇒A1O1

∥OC

且A1O1

＝OC⇒四边形A1OCO1为平行四边形⇒A1O∥O1C.且A1O

∩BD

＝

O

，O1C

∩B1D1

＝

O1

⇒面A1BD

∥面CD1B1.创新设计·素能培优[

能力提升]4.空间线面位置关系的判断与证明推理论证是由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程，推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法．典例(2015·青岛模拟)如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE＝DE＝2，F为线段DE的中点．求证：BE∥平面ACF；求四棱锥E－ABCD的体积．【审题】要证(1)题中的线面平行，就要在平面

ACF内找到一条直线，使这条直线和BE平行，三角形

BED过点F的中位线即是；求(2)题中四棱锥的体积关键是求出这个四棱锥的高，利用其中的垂直关系即可．【解析】

(1)证明

连接BD，设BD和AC交于点O，连接OF，∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，∵F为DE中点，∴OF∥BE，∵BE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴BE∥平面ACF.(2)作EG⊥AD于G.∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∵AE∩AD＝A，AD，AE⊂平面DAE，∴CD⊥平面DAE，∴C∵AE⊥平面∵AE＝DE＝2，∴AD＝∴四棱锥E－ABCD

的体积□ABCD3

3V＝1S

×EG＝1×(22)2×32＝8

2.【点评】(1)几何的证明问题要紧扣相关的定理，注意步骤的完整性，如第(1)题中的“∵BE⊄平面

ACF，OF⊂平面ACF.”(2)求几何体的体积除了直接计算外，还有变换顶点法和割补法，有时应用起来更为简单．【变题】

如