第16课时-指数函数教师版

第十六课时指数函数（1）当0a1时，函数yax【学习导航】单调性是在R上是减函数．知识网络指数函数【精模模范】定义图象性质例1：比较大小：比较大小不等式的解复合函数的性质学习要求．理解指数函数的看法；掌握指数函数的图象、性质；．初步认识函数图象之间最基本的初等变换。．能运用指数函数的性质比较两个指数值的大小．4．提高观察、运用能力．自学议论1．形如yax(a0,a0)的函数叫做指数函数，其中自变量是x，函数定义域是R，值域是(0,)．2.以下函数是为指数函数有②③⑤．①yx2②y8x③y(2a1)x（a1且a1）④(4)x2y⑤yx⑥y52x21⑦yxxy10x．指数函数yax(a0,a0)恒经过点(0,1)．4.当a1时，函数yax单调性为在R上是增函数；

（1）1.52.5,1.53.2；（2）0.51.2,0.51.5；（3）1.50.3,0.81.2．解析：利用指数函数的单调性．【解】（1）考虑指数函数f(x)1.5x，1.51，f(x)1.5x在R上是增函数，∴1.52.51.53.2．（2）考虑指数函数f(x)0.5x，0.51，f(x)0.5x在R上是减函数，∴0.51.20.51.5．（3）f(x)1.5x在R上是增函数，f(x)0.8x在R上是减函数，∴1.50.31.501，0.81.20.801∴1.50.30.81.2．议论:当底数相同的两个幂比较大小时，要考虑指数函数；当底数不一样样的两个幂比较大小时，要搜寻第三个值来与之比较．例2：（1）已知3x30.5，求实数x的取值范围；（2）已知0.2x25，求实数x的取值范围.解析：利用指数函数的单调性.【解】（1）f(x)3x在R上是增函数，由3x30.5得x0.5，即实数x的取值范围是[0.5,).2）f(x)0.2x25在R上是减函数，又25(1)20.22，5由0.2x0.22得x2，即实数x的取值范围是(2,).

f(x1)f(x2)．由于此结论与a取值没关，所以对于a取任意实数，f(x)在R为增函数.议论:求与指数函数有关的复合函数的奇偶性、单调性时要注意运用指数函数的有关性质来解决问题.议论:经过函数值的大小关系来搜寻出自变量的大小是单调性运用的又一常用方法.例3：设a是实数，2f(x)a(xR)，x211）求a的值，使函数f(x)为奇函数2）试证明：对于任意a,f(x)在R为增函数；解析：此题虽形式较为复杂，但应严格依照单调性、奇偶性的定义进行证明。（1）∵f(x)a222x，2x1a2x1由f(x)是奇函数，∴f(x)f(x)02(12x)0，∴a1.即2a2x1（2）证明：设x1,x2R,x1x2，则f(x1)f(x2)2)(a2)(a2x22x11122

追踪训练一1.若函数y(1a)x在R上是减函数，则实数a的取值范围是（B）A）(1,)（B）(0,1)（C）(,1)（D）(1,1)2.已知函数yax(a0,a1)在区间[1,1]上的最大值与最小值的差是1，求实数a的值；解：当a1时，函数yax在区间[1,1]上是增函数，a1a11，∵a1，∴a15；2当0a1时，函数yax在区间[1,1]上是减函数，a1a11，∵0a1，15∴a2；综上：a1515或a．223.解不等式：(1)9x3x2(2)34x26x0析：此题的实质是利用函数的单调性求参数的范围．解：(1)∵9x3x232x3x2又∵y3x在定义域上是增函数∴原不等式等价于2xx2解之得x2∴原不等式的解集为{x|x2}由于指数函数yx1x2，所以2x1又由2x0，得所以，

2x212x112(2x12x2)，(2x11)(2x21)2x在R上是增函数，且2x2即2x12x20，2x110，2x210，f(x1)f(x2)0即

xx(2)34260可以整理为∵4x0,6x0，∴4x2即226x3)x1，(()33又∵y(2)x在定义域上是减函数，∴x13故原不等式的解集为{x|x1}．【选修延伸】一、与指数函数有关的复合函数例4:求函数y(1)x26x17的定义域、值2域、单调区间．解析：原函数由函数ux26x17与1( )u复合而成，求解时要兼备考虑．2(1)u，【解】设ux26x17，则y2由于它们的定义域都是R，所以函数(1)x26x17的定义域为R．2由于ux26x17(x3)288，所以(1)u(1)8，又(1)u0，222函数y(1)x26x17的值域为(0,1]．2256函数ux26x17在[3,)是增函1u数，而y( )在R上是减函数，所以设3x1x2，则u1u2，从而(1)u1(1)u2，即y1y2，22函数y(1)x26x17在[3,)是增函数，21同理：函数y()x26x17在(,3]是减函2数，函数y(1)x26x17的增区间[3,)，2减区间是(,3]．议论:形如yaf(x)(a0,a1)的定义域

与yf(x)的定义域相同；求值域时要先确定f(x)的值域，再依据指数函数的性质确定yaf(x)(a0,a1)的值域；当a1时，yaf(x)与yf(x)的单调性相同，当0a1时，yaf(x)与yf(x)的单调性相反．思想点拔：1）比较两个指数式的大小或解指数不等式经常要利用指数函数的性质；（2）与指数函数有关的复合函数的性质既要考虑到指数函数的性质，又要考虑到与之复合的函数性质．追踪训练二1．求以下函数的定义域、值域：11(1)x(1)y82x1(2)y2解：（1）Q2x10∴x121}，原函数的定义域是{xxR,x12令t则t0,t