线性动态电路分析优秀文档

第4章动态电路分析

4.1过渡过程及换路定律

4.2一阶RC电路的过渡过程

4.3一阶RL电路的过渡过程

4.4一阶电路的全响应本章小结4.1过渡过程及换路定律4.1.1过渡过程前面各章讨论的线性电路中，当电源电压（激励）为恒定值或作周期性变化时，电路中各部分电压或电流（响应）也是恒定的或按周期性规律变化，即电路中响应与激励的变化规律完全相同，称电路的这种工作状态为稳定状态，简称稳态。但是，在实际电路中，经常遇到电路由一个稳定状态向另一个稳定状态的变化，尤其当电路中含有电感、电容等储能元件时，这种状态的变化要经历一个时间过程，称为过渡过程。含有储能元件（也叫动态元件）L或C的电路称为动态电路。电路产生过渡过程的原因无外乎有外因和内因，电路的接通或断开，电路参数或电源的变化，电路的改接等都是外因。这些能引起电路过渡过程的电路变化统称为“换路”。除了外因，电路中还必须含有储能元件电感或电容，这是产生过渡过程的内因。动态电路的过渡过程，实质是储能元件的充、放电过程。电路的过渡过程一般比较短暂，但它的作用和影响都十分重要。有的电路专门利用其过渡特性实现延时、波形产生等功能；而在电力系统中，过渡过程的出现可能产生比稳定状态大得多的过电压或过电流，若不采取一定的保护措施，就会损坏电气设备，引起不良后果。因此研究电路的过渡过程，掌握有关规律，是非常重要的。4.1.2换路定律1.换路定律前面所讲的线性电阻电路，描述电路的方程是线性代数方程。但当电路中含有储能元件时，由于它们的电压和电流之间是微分（或积分）关系，因而根据KVL、KCL和元件的VCR建立的电路方程将是微分方程或微分-积分方程。当电路中仅含一个独立的动态元件时，电路的方程将是一阶常系数微分方程，对应的电路称为一阶动态电路（简称一阶电路）。当电路中含有两个独立的动态元件时，电路的方程是二阶常系数微分方程，对应的电路称为二阶电路。当电路中含有n个独立的动态元件时，电路的方程是n阶常系数微分方程，对应的电路为n阶电路。分析动态电路的过渡过程的方法之一是：根据KCL、KVL和元件的VCR建立描述电路的方程，建立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到电路所求变量（电压或电流）。此方法称为经典法，它是一种在时间域中进行的分析方法。为便于分析，通常认为换路是在瞬间完成，记为t=0，并且用t=0-表示换路前的终了时刻，用t=0+表示换路后的初始时刻，换路经历的时间为0-到0+。需要注意的是，t=0-时刻电路尚处于稳态，对于直流电源激励下的电路，此时电容相当于开路，电感相当于短路；而t=0+时刻电路已经进入过渡过程，是过渡过程的开始时刻。用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。设描述电路动态过程的微分方程为n阶，所谓初始条件就是指电路中所求变量（电压或电流）及其（n–1）阶导数在t=0+时的值，也称初始值。电容电压uC和电感电流iL的初始值，即uC（0+）和iL（0+）称为独立的初始条件，其余的称为非独立的初始条件。对于线性电容，在任意时刻，它的电荷、电压与电流的关系为式中q、uC和iC分别为电容的电荷、电压和电流。令t0=0-，t=0+，则得由以上两式可以看出，如果在换路前后，即0-到0+的瞬间，电流iC（t）为有限值，则上面两式中右方的积分项将为零，此时电容上的电荷和电压就不发生跃变，即(4.1a)(4.1b)对于一个在t=0-储存电荷为q（0-），电压为uC（0-）=U0的电容，在换路瞬间不发生跃变的情况下，有uC（0+）=uC（0-）=U0，可见在换路的瞬间，电容可视为一个电压值为U0的电压源。同理，对于一个在t=0-不带电荷的电容，在换路瞬间不发生跃变的情况下，有uC（0+）=uC（0-）=0，在换路瞬间电容相当于短路。线性电感的磁链与电流的关系为令t0=0-，t=0+，有如果从0-到0+的瞬间，电压uL（t）为有限值，则上面两式中右方的积分项将为零，此时电感中的磁链和电流不发生跃变，即(4.2a)(4.2b)对于一个在t=0-时电流为I0的电感，在换路瞬间不发生跃变的情况下，有iL（0+）=iL（0-）=I0，此电感在换路瞬间可视为一个电流值为I0的电流源。同理，对于t=0-电流为零的电感，在换路瞬间不发生跃变的情况下，有iL（0+）=iL（0-）=0，此电感在换路瞬间电容相当于开路。式（4.1a）、（4.1b）和式（4.2a）、（4.2b）分别说明在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变，这就是换路定律的内容。

2.电路中其他变量初始值的计算对于动态电路中除uC和iL以外的其他变量的初始值可按以下步骤确定：（1）先求换路前瞬间即t=0-时刻的uC（0-）或iL（0-）（这一步要用t=0-时刻的等效电路进行求解，此时电路尚处于稳态，电容开路，电感短路）；（2）根据换路定律确定uC（0+）或iL（0+）；（3）以uC（0+）或iL（0+）为依据，应用欧姆定律、基尔霍夫定律和直流电路的分析方法确定电路中其他电压、电流的初始值（这一步要用t=0+时刻的等效电路进行求解，此时，电容等效为电压值为uC（0+）的电压源，电感等效为电流值为iL（0+）的电流源）。例4.1图6.1（a）所示为直流电源激励下的含有电容元件的动态电路，已知US=100V，R1=R2=100Ω，R3=50Ω，开关S打在1位时，电路处于稳态。t=0时，S由1位打向2位进行换路，求此瞬间uC（0+）、i（0+）、uR2（0+）和uR3（0+）各为多少？解：选定各电压、电流参考方向如图所示。S打在1位时，电路处于稳态，电容相当于开路，此时

uC（0-）=US=100Vt=0时，S由1位打向2位，根据换路定律，有

uC（0+）=uC（0-）=100V此时电容相当于100V的电压源，作t=0+时的等效电路如图5.1（b）所示。由KVL得

uC（0+）-uR3（0+）+uR2（0+）=0

uC（0+）-[-R3i（0+）]+R2i（0+）=0i（0+）=uR2（0+）=R2i（0+）=100×-66.7V

uR3（0+）=-R3i（0+）=-50×33.3V例4.2图6.2（a）所示为直流电源激励下的含有电感元件的动态电路，已知US=20V，R1=10Ω，R2=30Ω，R3=20Ω，开关S打开时，电路处于稳态。t=0时S闭合，进行换路，求S闭合瞬间各电压、电流的初始值。（3）求时间常数τRC+uC=US（t≥0）（6.（t≥0）R1i1（t）+R2i2（t）=US2求：（1）电路的时间常数τ；对于动态电路中除uC和iL以外的其他变量的初始值可按以下步骤确定：1s≥t≥0）开关闭合后，电路如图（b）所示，经过一段时间，重新达到稳定状态，电容相当于开路，运用叠加定理求得7R1串联与直流电源接通的电路。1s时，闭合开关S2，同时断开开关S1，由于电感电流不能跃变，所以有iL（0.根据图6.对于线性电容，在任意时刻，它的电荷、电压与电流的关系为在换路瞬间，由于uC（0+）=uC（0-）=0，故有A=-US。（2）S闭合前uC（0-）=0，根据换路定律，S闭合瞬间uC（0+）=uC（0-）=0，电容相当于短路。电压、电流参考方向如图6.R1i1（t）+R2i2（t）=US2解：选定各电压、电流参考方向如图5.2（a）所示。S打开时，电路处于稳态，此时电感相当于短路，有iL（0-）=0.5At=0时，S闭合，根据换路定律，有

iL（0+）=iL（0-）=0.5AS闭合时，电感相当于一个电流源，作t=0+时的等效电路如图5.2（b）所示。可求得

i1（0+）=iL（0-）=0.5Ai2（0+）=iL（0+）×0.2Ai3（0+）=iL（0+）-i2（0+）=0.5-0.2=0.3A由KVL得i1（0+）R1+uL（0+）+i2（0+）R2=US所以uL（0+）=US–i2（0+）R2–i1（0+）R1=20–0.2×30-0.5×10=9V4.2一阶RC电路的过渡过程4.2.1RC电路的零输入响应前面已讲过，一阶电路是指电路中仅含一个独立的动态元件的电路。当一阶电路中的动态元件为电容时称为一阶电阻电容电路（简称为RC电路）；当动态元件为电感时称为一阶电阻电感电路（简称为RL电路）。当电路中仅含有一个电容和一个电阻或一个电感和一个电阻时，称为最简RC电路或RL电路。如果不是最简，则可以把该动态元件以外的电阻电路用戴维南定理或诺顿定理进行等效，从而变换为最简RC电路或RL电路。本节首先分析一阶RC动态电路的零输入响应。所谓零输入响应，是指换路后电路没有外加激励，仅由储能元件（动态元件）的初始储能引起的响应。图4.3（a）所示电路中，原先开关S打在1位，直流电源US给电容充电，充电完毕，电路达到稳态时，电容相当于开路。t=0时，S由1位打向2位进行换路，此时电容与电源断开，与电阻R构成闭合回路，如图4.3（b）所示，电容通过电阻进行放电，放电完毕，电路进入新的稳态。显然，S由1位打向2位后，RC串联回路的输入为零，电路中的电压uR、电流iR是仅仅依靠电容放电产生的，这便是一阶RC电路的零输入响应。1.电压电流变化规律电压、电流参考方向如图6.3（b）所示。换路后，根据KVL可得

uR

-uC

=0根据图6.3（b）中电压、电流参考方向，可写出电阻、电容VCR，分别为

uR

=RiR

将以上三式联立，可求出换路后（即t≥0时）电容电压uC变化规律的微分方程RC+uC=0（t≥0）（4.3）由于电阻和电容的参数均为常数，所以式（6.3）是一个常系数一阶线性齐次微分方程，分离变量得等号两边取不定积分，有所以两边再取以e为底的对数，得到其中A为待定的积分常数，可根据初始条件uC（0+）的值确定。在换路瞬间，由于uC（0+）=uC（0-）=U0，故有A=U0。所以，微分方程的解为（t≥0）（4.4）式（6.4）即为换路后电容电压uC随时间变化的解析式。从解析式可以看出，换路后，电容电压uC从初始值U0开始，按照指数规律递减，直到最终uC→0，电路达到新的稳态。uC的变化曲线如图6.4所示。很明显，曲线反映出的uC的变化规律与解析式完全一致，而且曲线更为直观。以uC为依据，可求出换路后uR、iC（iR）的变化规律为uR（t）=（t≥0）iC（t）=iR（t）=-（t≥0）1s≥t≥0）电压表内阻越大，电压表两端电压越大。令t0=0-，t=0+，有为便于分析，通常认为换路是在瞬间完成，记为t=0，并且用t=0-表示换路前的终了时刻，用t=0+表示换路后的初始时刻，换路经历的时间为0-到0+。开关由a打向b后，电流源与电感接通，如图6.当一阶电路中的动态元件为电容时称为一阶电阻电容电路（简称为RC电路）；4一阶电路的全响应解：先用三要素法计算电感电流iL（t）。除了外因，电路中还必须含有储能元件电感或电容，这是产生过渡过程的内因。1RC电路的零输入响应第4章动态电路分析S闭合前uC（0-）=0，t=0时S闭合，uC（0+）=uC（0-）=0，电容相当于短路，最大充电电流是在S闭合瞬间产生，则t=0时开关打向2位进行换路，换路后继续有电源US作为RC串联回路的激励，因此t≥0时电路发生的过渡过程是全响应。τ=RC=50×106×40×10–6=2000s电源电压US一定，电容C越大，储存的电场能量越多，充电时间长。可见，换路后，电路中的电压、电流都是按照相同的指数规律进行变化。

2.时间常数式（6.4）中，令τ=RC，τ称为RC电路的时间常数。当R的单位为欧[姆]（Ω），C的单位为法[拉]（F）时，τ的单位为秒（s）。[τ]=[R][C]=Ω·F=（秒）于是，式（6.4）写为（t≥0）（4.5）式（4.5）即为一阶RC电路零输入响应时电容电压uC变化规律的通式。时间常数τ是表征动态电路过渡过程进行快慢的物理量。τ越大，过渡过程进行得越慢；反之，τ越小，过渡过程进行得越快。由表达式τ=RC可以看出，RC电路的时间常数τ，仅由电路的参数R和C决定，R是指换路后电容两端的等效电阻。当R越大时，电路中放电电流越小，放电时间就越长，过渡过程进行得就越慢；当C越大时，电容储存的电场能量越多，放电时间也就越长。现以电容电压uC为例说明时间常数τ的物理意义。在式（6.4）中，分别取t=τ、2τ、3τ……不同的时间，求出对应的uC值如表6.1所列。从表6.1可以看出：（1）当t=τ时，uCU0，这表明时间常数τ是电容电压uCuC的变化曲线。（2）从理论上讲，t=∞时，uC才衰减到0，过渡过程才结束，但当t=（3～5）τ时，uC已衰减到初始值的5%以下，因此实际工程当中一般认为从换路开始经过3τ～5τ的时间，过渡过程便基本结束了。3.能量转换关系由前面的分析可以看出，对于一阶RC电路的零输入响应，从换路瞬间开始，电容将其储存的电场能量（逐渐释放并被电阻所消耗转变为热能。放电过程中，电阻R消耗的能量为∣它等于放电前电容所储存的全部电场能量。由此证明，零输入响应的实质是储能元件的放电过程。例4.3图6.5所示电路中，已知US=20V，R1=

4kΩ，C=1µF，R2=2kΩ，R3=6kΩ，C=1µF，开关S闭合时电路处于稳态。t=0时S打开，求电容电压uC和电路电流i的变化规律即解析式。解：选定电压、电流参考方向如图6.5所示。S闭合时电路处于稳态，电容相当于开路，此时

uC（0-）=V

t=0时，S打开，输入为零。S打开瞬间有

uC（0+）=uC（0-）=12V电路时间常数

τ=（R2+R3）C=（2+6）×103×10-6=8×10-3s电容电压电路电流-1.5×10-3e-125tA=-1.5e-125tmA例6.4有一个C=40µF的电容器从高压电路上断开，断开时电容器的电压U0=6kV，电容器经本身漏电阻放电，漏电阻R=50MΩ，试求电容器电压下降到400V时所需的时间。解：电容器放电时的时间常数

τ=RC=50×106×40×10–6=2000s

现有代入已知数据得所以t=2000ln15=5416s≈1.5h

由例5.3和例5.4的分析可以看出，在电子设备中，RC电路的时间常数τ很小，放电时过程经历不过几十毫秒甚至几个微秒。但在电力系统中，高压电力电容器放电时间比较长，可达几十分钟，如例5.4中电容器放电经过1.5h后，两端仍有400V的电压。因此检修具有大电容的高压设备时，一定要让电容充分放电以保证安全。4.2.2

RC电路的零状态响应零状态响应是指电路在零初始状态下（动态元件的初始储能为零）仅由外施激励所产生的响应。图6.6所示电路中，电容原来未充电，uC（0-）=0，即电容为零初始状态。t=0时开关闭合，RC串联电路与电源连接，电源通过电阻对电容充电，直到最终充电完毕，电路达到新的稳态。这便是一阶RC电路的零状态响应。零状态响应的实质是储能元件的充电过程。1.电压、电流变化规律RC+uC=US（t≥0）（6.6）式（6.6）是一个常系数线性非齐次一阶微分方程。利用高等数学中关于该类方程的通解不难求出:式中的常数A由初始条件确定。在换路瞬间，由于uC（0+）=uC（0-）=0，故有A=-US。所以，式（6.6）的解为（t≥0）（6.7）式（6.7）中的US是换路后电路达到新稳态时uC的值，即uC（∞）=US，于是式（6.7）可写为

）（t≥0）（6.8）式（6.8）即为一阶RC电路零状态响应时电容电压uC变化规律的通式。uC的变化曲线如图6.7所示。从曲线可以看出，换路后电容电压从初始值0开始，按照指数规律递增到新的稳态值US。以uC为依据，同样可求出电路中其它电压电流的变化规律。2.时间常数与放电一样，电路的时间常数为τ=RC。电源电压US一定，电容C越大，储存的电场能量越多，充电时间长。电阻R越大，充电电流越小，电容极板上电荷增加慢，充电时间长，过渡过程进行得慢。将充电时电容电压在不同时刻的数值列于表6.2中，可以看出，经过一个τ的时间，uC已上升到稳态值的63.2%，t=5τ时，uC已上升到稳态值的99.3%，t=（3～5）τ时，充电过程基本结束。3.能量转换关系充电时，电源提供的能量，一部分储存于电容的电场中，一部分消耗于电阻。其中电阻消耗的能量（转变为热能）为∣电容储存的电场能量为∣∣这说明零初始状态的RC串联电路在充电时，直流电源提供的能量，一半消耗于电阻，一半储存于电容的电场中。零状态响应的实质是储能元件的充电过程。例6.5图6.6所示电路中，已知US=200V，R1=

100Ω，C=2µF，开关S闭合前电容没有储能。t=0时S闭合。求：（1）电路的时间常数和最大充电电流；（2）uC、i、uR的变化规律即解析式，画出它们随时间的变化曲线；（3）S闭合1ms后，uC、i、uR的值；（4）S闭合多长时间后，电容电压上升到120V。解：选定uC、i、uR参考方向如图6.6所示。（1）电路时间常数

τ=RC=100×2×10-6=2×10-4s=0.2msS闭合前uC（0-）=0，t=0时S闭合，uC（0+）=uC（0-）=0，电容相当于短路，最大充电电流是在S闭合瞬间产生，则（2）接通电源后，电容电压由零开始增加，为零状态响应，电容电压的稳态值

uC（∞）=US=200V所以=200（1-）=200（1-）VuC、i、uR随时间变化的曲线如图6.8所示。（3）t=1ms时uC（1ms）=200（1-198.6Vi（1ms）=2=

0.014A，uR（1ms）=200=

1.4V（4）120=200所以0.183msS闭合0.183ms后电容电压uC从零上升到120V。例4.6图4.9所示电路中，已知US=12V，R1=

3kΩ，R2=6kΩ，R3=2kΩ，C=5µF，开关S闭合前电容未充过电，t=0时开关闭合。求：（1）电路的时间常数τ；（2）S闭合瞬间的iC（0+）；（3）t≥0时的uC、iC、i1和i2的变化规律。解：选定电压电流的参考方向如图6.9所示。（1）电路的时间常数τ=RCR是换路后电容两端的等效电阻，此时令电路中的电压源短路。于是所以

τ=RC=4×103×5×10-6=2×10-2s（2）S闭合前uC（0-）=0，根据换路定律，S闭合瞬间uC（0+）=uC（0-）=0，电容相当于短路。iC（0+）=

（3）图4.9电路换路后发生的是零状态响应，达到新稳态时，电容相当于开路，电容电压uC（∞）为

uC（∞）=V所以4.3一阶RL电路的过渡过程上一节讨论了RC串联电路的过渡过程，分析了电容电压零输入响应与零状态响应的变化规律及物理过程。本节讨论含有电感元件的一阶RL电路的过渡过程，分析方法与RC电路基本相似。4.3.1RL电路的零输入响应图6.10所示电路中，开关S打在1位时，电路已达到稳态，电感中电流等于电流源电流I0，电感中储存能量。t=0时开关由1位打向2位进行换路，电流源被短路，电感与电阻R构成串联回路，电感通过电阻R释放其中的磁场能量，直到全部释放完毕，电路达到新的稳态。显然，换路后电路发生的过渡过程属于RL电路的零输入响应。以电感电流i（t≥0）（4.9）

解方程得到

（t≥0）（4.10）上式即为一阶RL串联电路零输入响应时电感电流iL变化规律的通式。其中τ=L/R称为RL电路的时间常数，单位是秒（s）。iL的变化曲线如图4.11所示。有了电感电流iL（t）的解析式，可以进一步求出电感电压uL的解析式为例4.7R1串联与直流电源接通的电路。已知电感线圈的电阻R=2Ω，L=1H，R1=6Ω，电源电压US=24V。线圈两端接一内阻RV=5kΩ、量程为50V的直流电压表，开关K闭合时，电路处于稳态。t=0时S打开，求：（1）S打开后电感电流iL的初始值和电路的时间常数；（2）iL和uV的解析式即变化规律；（3）开关打开瞬间电压表两端电压。解：所示。（1）开关S闭合时，电路处于稳态，电感相当于短路，由于R＜＜RV，所以iL（0+）=iL（0-）=电路的时间常数

τ=≈2×10-4s=0.2ms

（2）S打开后，输入为零，电感电流iL的零输入响应解析式为（3）S刚打开（即t=0+）时，电压表两端电压为|uV（0+）|=15Kv开关S打开瞬间，电感线圈两端即电压表两端出现了15kV的高电压，这就是我们通常所说的过电压。电压表内阻越大，电压表两端电压越大。此时，若不采取保护措施，电压表将立即损坏。通常可采取以下几种保护措施：（1）在开关打开瞬间，先将电压表拆除；（2）如图6.12所示在电压表两端并接一只二极管，利用二极管的单向导电性进行保护；（3）工厂车间使用大电感的场合，由于开关打开瞬间，电感要释放大量的能量，因此常常出现电弧，这时要采用专门的灭弧罩进行灭弧。具有大电感的电路在突然断开时产生过电压，用物理概念来解释是电感电流在换路瞬间要保持原来数值不变，此电流通过大电阻（如电压表内阻）就产生过电压。另从能量角度来看，电感储存的磁场能量在开关断开瞬间要全部释放出来，必然产生很高的电压。

在换路瞬间，由于uC（0+）=uC（0-）=0，故有A=-US。因此检修具有大电容的高压设备时，一定要让电容充分放电以保证安全。1s时，闭合开关S2，同时断开开关S1，由于电感电流不能跃变，所以有iL（0.（2）求iL（∞）1RC电路的零输入响应由以上两式可以看出，如果在换路前后，即0-到0+的瞬间，电流iC（t）为有限值，则上面两式中右方的积分项将为零，此时电容上的电荷和电压就不发生跃变，即已知电感线圈的电阻R=2Ω，L=1H，R1=6Ω，电源电压US=24V。解：先用三要素法计算电感电流iL（t）。在t=0.其中A为待定的积分常数，可根据初始条件uC（0+）的值确定。但当电路中含有储能元件时，由于它们的电压和电流之间是微分（或积分）关系，因而根据KVL、KCL和元件的VCR建立的电路方程将是微分方程或微分-积分方程。解：选定各电压、电流参考方向如图5.为了防止电感产生过高的电压而引起设备的损坏，一般都要采取保护措施。例如图6.13所示为晶体管脉冲电路，在晶体管基极加一个0～1V的脉冲电压，通过脉冲变压器Tr输出电压。当Ube=1V时，晶体管饱和导通，c-e间相当短路，电源电压加在脉冲变压器原绕组上，原绕组有电流通过。Ube=0时，晶体管截止，c-e间相当于开路，由于脉冲变压器的电感，电流迅速下降为零时，原绕组两端就会产生一个很高的电压，使晶体管击穿损坏。为此在脉冲变压器原绕组两端并联一个二极管，晶体管导通，二极管承受反向电压而截止，无电流通过，相当于开路，不影响电路正常工作。晶体管截止，二极管导通，脉冲变压器的电感放电电流经二极管流过形成回路，避免了过电压的产生。4.3.2RL电路的零状态响应图6.14（a）所示电路中，开关转换前，电感电流为零，即iL（0-）=0，电感为零初始状态。开关由a打向b后，电流源与电感接通，如图6.14（b）所示，电感内部开始储能，直至储能完毕，电路进入新的稳态，电感相当于短路。显然，换路后电路发生的过渡过程是RL电路的零状态响应。以电感电流iL为变量，可以列出换路后图6.14（b）所示电路的微分方程（t≥0）（6.11）

解方程得到（t≥0）（4.12）

式（4.12）便是RL电路零状态响应时电感电流iL变化规律的通式。以此为依据，可进一步求出电路中其它电压、电流的变化规律即解析式。例4.8电路如图4.15（a）所示，已知电感电流iL（0-）=0。t=0时闭合开关，求t≥0的电感电流和电感电压。解：开关闭合前，电感电流iL（0-）=0，内部无储能。开关闭合后，电感与电源相连，如图4.15（b）所示，电感储存能量，直至最终储能完毕，电路进入新的稳态，电感相当于短路。此时电感电流电路的时间常数根据式（4.12）可以得到假如还要计算电阻中的电流i（t），可以根据图4.15（b）电路，用欧姆定律求得4.4一阶电路的全响应4.4.1一阶电路的全响应换路后由储能元件和独立电源共同引起的响应，称为全响应。以图4.16为例，开关接在1位已久，uC（0-）=U0，电容为非零初始状态。t=0时开关打向2位进行换路，换路后继续有电源US作为RC串联回路的激励，因此t≥0时电路发生的过渡过程是全响应。同样利用求解微分方程的方法，可以求得电容电压uC全响应的变化通式为式（4.13）还可写为可见，全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，或稳态响应与暂态响应的叠加。

（t≥0)（4.13）

（t≥0）（4.14）

4.4.2一阶电路的三要素法通过前面对一阶动态电路过渡过程的分析可以看出，换路后，电路中的电压、电流都是从一个初始值f（0+）开始，按照指数规律递变到新的稳态值f（∞），递变的快慢取决于电路的时间常数τ。f（0+）、f（∞）和τ称为一阶电路的三要素。有了三要素，根据式（6.14）可求出换路后电路中任一电压、电流的解析式f（t）。f（t）的一般表达式为

f（t）=f（∞）+[f（0+）-f（∞）]（t≥0）（4.15）由式（4.15）可以确定电路中电压或电流从换路后的初始值变化到某一个数值所需要的时间为例4.9图6.17所示电路中，已知US=12V，R1=

3kΩ，R2=6kΩ，R3=2kΩ，C=5μF，开关S打开已久，t=0时，S闭合。试用三要素法求开关闭合后uC、iC、i1和i2的变化规律即解析式。解：先求电压、电流的三要素。（1）求初始值

uC（0+）=uC（0-）=0(4.16)（2）求稳态值（3）求时间常数τ（4）根据三要素法通式写出解析式上题也可以只求出电容电压uC的三要素，然后利用三要素法写出uC的解析式，再以uC的解析式为依据，求出其它电压、电流的解析式。请看下面例题。例4.10图4.18示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0时开关由1位接至2位，求t≥0时（即换路后）iL

、i2、i3和电感电压uL的解析式。解：先用三要素法计算电感电流iL（t）。（1）求电感电流的初始值iL（0+）iL（0+）=iL（0-）=mA（2）求电感电流的稳态值iL（∞）开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能量释放出来消耗在电阻中，达到新稳态时，电感电流为零，即iL（∞）=0（3）求时间常数τ

根据三要素法，可写出电感电流的解析式为

iL（t）=0+（10×10-3–0）=10mA以iL（t）为依据，根据KCL、KVL和VCR（元件自身的电压电流关系）求出其他电压、电流的解析式：i2（t）=iL（t）+i3（t）=10-5=5mA例4.11图6.19（a）所示电路原处于稳定状态。t=0时开关闭合，求t≥0的电容电压uC（t）和电流i（t）。解：（1）计算初始值uC（0+）开关闭合前，图4.19（a）电路已经稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中，此时电容电压与电阻电压相同，可求得

uC（0+）=uC（0-）=4Ω×2A=8V（2）计算稳态值uC（∞）开关闭合后，电路如图（b）所示，经过一段时间，重新达到稳定状态，电容相当于开路，运用叠加定理求得（3）计算时间常数τ计算与电容连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联时间常数为（4）将uC（0+）、uC（∞）和时间常数τ代入式（6.15）中，得以uC（t）为依据，用换路后的电路[见图6.19（b）]，求得电流i（t）为例4.124.20（a）所示电路中，已知US1=3V，US2=6V，R1=R2=

2Ω，R3=1Ω，L=0.01H，开关S打在1位时，电路处于稳态。t=0时开关由1位打向2位。试求：（1）iL、i1的变化规律并画出它们随时间变化的曲线；（2）换路后iL从初始值变化到零所需要的时间。