几何与代数复习前四章

如何复习几何与代数（前四章）交通大学数学系课程的主要内容（前四章复习）3、4阶行列式基本计算n阶行列式性质与计算代数

式与伴随矩阵矩

性乘法转置运算方阵逆矩阵的计算方法初等行变换与矩阵的秩内积、外积、混合积模、夹角与几何性质平面方程的二种形式直线方程的三种形式点、线、面之间关系线性表示、线性无关求解极大无关组问题向量、组、组间关系线性方

解的结构空间三平面位置关系主要以方阵为主期末考试的形式填空题（24分，8个小题）基础知识、基本概念、基本性质、基本定理的简单应用。计算题（46分，7个小题）以上提出15个知识点的运用、计算以及方法应用。证明题（10分，1个小题）重点或关键定理以及类似知识点的证明。考试的内容基础部分（约70

分）书中例题、习题原题或稍加修改；基本概念、性质、定理的简单应用。提高部分（约20

分）基本概念、基本方法的运用。能力部分（约10

分）重点或关键知识点的综合运用。4

91

1

1x2求解方程

2

3

x

0.例解

方程左端D

3

x2

4

x

18

9

x

2

x2

12

x2

5

x

6,由x2

5

x

0

解得x

2

或x

3.用化三角形行列式计算例

计算xa1

a2

a3

a4x

a1

a2

a3a1

x

a2

a3a2

x

a3an

.anan

Dn1

a1解

将第2,3,,

n

1列都加到第一列，得a2xa1

a2nnnnx

aii

1i

1

aii

1x

aii

1x

aiDn

1

x

anana2

x

an

a2

a3

x提取第一列的公因子，得1xa2

a3n1

x

a2

ana2

x

an

.

1

a1

a2

ani

1Dn1

(

x

ai

)

1将第1列的(

a1)倍加到第2列，将第1列的(

a２)倍加到第3列，,将第1列的(

an)倍加到最后一列，得n

ni

1

i

1

(

x

ai

)

(Dn

1

(用递推法计算例

计算.a

a

aaaa

x1

a

a

x2

xnanD

解依第n列把Dn

拆成两个行列式之和a

x1a

aaaa

x

2

a

aa

a

a

xn

1

aa

a

a

aDn0xn

.00

xn

1a

x1aaaa

x

2

aaaaaaa从而Dn

x1

x2

xn1

a

xn

Dn1

.得右端的第一个行列式,将第n列的(1)倍分别加到第1,2,,n

1列,右端的第二个行列式按第n列展开,0

00

00

a0

ax1

00

x2xn

1

a0

a

xn

Dn

1

,Dn

由此递推，得Dn

1

x1

x2

xn

2

a

xn

1

Dn

2

,于是Dn

x1

x2

xn

１a

x1

x2

xn

2

axnxn

xn

1

Dn

2

.如此继续下去，可得Dn

x1

x2

xn

１a

x1

x2

xn

2

a

xn

x1

x2

a

x4

xn

xn

xn

1

x3

D2

x1

x2

xn

x1

x2

x1

x3当x1

x2Dn

x1例

求一个二次多项式

f

(

x),

使f

(1)

0,

f

(2)

3,

f

(3)

28.解

设所求的二次多项式为f

(

x)

a

x2

bx

c,f

(1)

a

b

c

0,f

(2)

4a

2b

c

3,f

(3)

9a

3b

c

28,由题意得.这是一个关于三个未知数a,b,c的线性方D1

40,D3

20.D

20

0,2

60,由

法则，得a

D1

2,b

D2

3,c

D3

1.D

D

D于是，所求的多项式为f

(

x)

2

x2

3

x

1.证

cx

ay

bz

0的非零解.从而有系数行列式.bx

cy

az

0,则x

x0

,

y

y0

,

z

1可视为齐次线性方ax

by

cz

0,必要性

设所给三条直线交于一点M

(

x0

,

y0),ax

by

c

0,

bx

cy

a

0,

cx

ay

b

0相交于一点的充分必要条件是a

b

c

0.例

证明平面上三条不同的直线[(a

b)2

(b

c)2

(c

a)2]

0.因为三条直线互不相同,所以a,b,c也不全相同,故a

b

c

0.充分性

如果a

b

c

0,将方ax

by

c,2b

cc

a

(

1)(a

b

c)a

b

cx

ay

bbx

cy

a,

（１）ax

by

c,的第一、二两个方程加到第三个方程，得0

0.（２）有惟一解.bx

cy

a,

（２）b

(a

c)得ac

[(a

c)]2

a2

2ac

c2，于是ac

(a2

c2)

0，从而有ac

0.b

c下证此方a

b如果

ac

b2

0，则ac

b2

0。由不妨设a

0,由b2

ac得b

0.再由a

b

c

0得c

0，与题设

.故方由法则知，方程组

有惟一解(2从.)

而知(1)有唯一解，即三条不同直线交于一点.b

0.ab

c五、设n

行列式1

2

0

00

3

0

1

0

0

n1

2

3

nDn

1求第一行各元素的代数

式之和A11

A12

A1n

.例解.4且与平面

4

yzx

,04zyx05求过直线:8z

12

0过已知直线的平面束方程为x

5

y

z

(

x

z

4)

0,即

x

y

z

0,

,15{,1

}.其法向量n

又已知平面的法向量n

{1,4,8}.由题设知1cos

n

n4

n

n112(1

)2

52

(1

)2

(4)2

(8)2(1

)

1

5

(4)

(1

)

(8),22

272

32即由此解得4

3

.代回平面束方程为x

20

y

7z

12

0.解,z

x

121(1,1,1)

且与两直线

L

:0例

求过点

Mz

2

x

1L

:

y

3

x

4

都相交的直线L.

y

2

x将两已知直线方程化为参数方程为

L2

:

y

3t

4z

2t

1

x

t

x

tz

t

1L1

:

y

2t

,设所求直线

L

与L1

,L2

的交点分别为A(t1

,2t1

,t1

1)和B(t2

,3t2

4,2t2

1).

M0

(1,1,1)与A,B

三点共线,故M0

A

M0

B

(

为实数).于是M0

A,M0

B

对应坐标成比例,即有2t1

1

(t1

1)

1

,(3t2

4)

1

(2t2

1)

1t2

1t1

1

解之得t1

0,t2

2

A(0,0,1),

B(2,2,3)点M0

(1,1,1)和B(2,2,3)同在直线L

上,故L

的方程为x

1

y

1

z

1.1

1

2例解x

2

y

z

0

上的投影直线的方程.求直线L

:2x

y

z

1

0

在平面

:

x

y

z

1

0过直线L

的平面束方程为(2

x

y

z

1)

(

x

y

z

1)

0,即(2

)x

(

1)y

(1

)z

(

1)

0.L4即4

1

0,

故

1将

代入平面束方程,得3x

y

z

1

0.所求投影直线方程为.3

x

y

z

1

0

x

2

y

z

0又垂直于平面,(2

)

1

(

1)

2

(1

)

(1)

0.伴随矩阵：行列式A

的各个元素的代数式Aij所构成的如下矩阵Ann

An

2

An1

A1n

A2

nA

A12

A11

A21A22AA

A

A

AE.逆矩阵定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得AB

BA

E的、满秩的）则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。判定定理:

n阶方阵A可逆

A

0AA1

1

A且1(

A1)

A,(

AT

)1

(

A1)T

,(

A)1

1

A1(

0)

A

1A1满足规律：4.

分块矩阵:

运算规则与普通矩阵规则相类似．用初等变换法求矩阵的逆矩阵

A

E

变成E时,原来的E就变成了A1

.对分块矩阵

施行初等列变换,当把A即，E，A1

A,E

初等行变换

1

A

E

E

A

初等列变换解矩阵方程的初等变换法AX

B初等行变换(

A

B)

~

(E

A1

B)

X

A1

BXA

B

B

A

或者A

BE1

~初等列变换BA

X

1(

A

B

)B

)~

(E

(

A

)TT1初等行变换T

T

X

B

A1TX

(

A

)

B1T

T例

设3

1

0

0

A

0

1

0

,

3

0求

(2E

A)

(2E

的行列式。解：(2E

A)T

(2E

A)1

(4E

A2

)

(2E

A)T

(2E

A)1

(2E

A)(2E

A)

(2E

A)T

(2E

A)

(2E

A)T(2E

A)0

23

0

(2E

A)

2

0

3

03

0

5

2025例设4

阶方阵A

,

2

,

3

,

42其中均为4

维列向量，且已知行列式

,

,

2

,

3

,

4A

4,求行列式A

B

.解：A

B

,

2

2

,

2

3

,

2

4

8

,

2

,

3

,

4

8(

,

2

,

3

,

42

8(

A

B

)

56例

设

A

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1解：（递推法）

4求Am

.A24

444

4E

22

E

4

所以，当A3

A2

A

22

A时m

2kAm

A2k

A2

k

22

E

k4

22k

E4

2m

E4当m

2k

1

时Am

A2k

1

A2k

A

22k

E

A4

2m1

A例

已知0

AP

PB,

B

0

1

0

0

1

0

0

0

0

,

P

2

10

1

0

21

1求A与5A

.解：P

0

A

PBP

1

A2

PBP

1

PBP

1

PB2

P

1

A3

PB2

P

1

PBP

1

PB3

P

1

A5

PB5

P

1又B2

1

0

0

0

0

0

,0

01

B3

1

0

0

0

0

0

B0

01

B5

B

A5

PB5

P

1

PBP

1

A10

1

0

0

又P

1

2

1

4

1

1

0

0

0

6

A5

A

2

011例

求A的逆矩阵:

A

1解：0

(

A

E

)

11

0

2

11

2

1

1

1

0

2

1

1

0 0

1

2

0

1

1

1

1

0

0

1

01~21r

r100122

1011

0

r3r1

1

10

0

~

0

22

10110

1

100

1

0

0101

01~

032r

r21220011

0

r1(

2)r3

1

11

1

~

0

20001

1110101

1

0

010111

02

12r1

0

5

21

1

0

0

1

2~

0

1

0

1

2

1

2

1

2

0

1

0

11

0

0

1

2

3

2

0

1

0 1

2 1

2 1

2

0

1

0

1~21(

1)rr11

2011

2

.

1

2

3

2

5

21

21A例设A

AX

A

2X

,解：(

A

2E

)

X由

A

~

00

1初等行变换

X

（用初等变换法）有关矩阵秩的重要结论(1) 0

r(

Amn

)

minm,

n(2)

设矩阵Amn

,若r(

A)

s则存在可逆矩阵P,Q使得

Es

o

PAQ

oo

即矩阵A可以经过初等变换化为形式。o

Es

o

o

(3)

若

P,Q

都可逆，则r(

A)

r(PA)

r(

AQ)

r(PAQ)矩阵秩的不等式的证明例2：证明r(

A

B)

r(

A)

r(B)r(

AB)

minr(

A),

r(B)Amn

,Bmn

把它么用列向量组表示证：（1）设A

(1

,2

,

,n

)设A的列向量组的极大无关组为设1

,2

,

,s则r(

A)

sB

(1

,

2

,

,

n

)设A的列向量组的极大无关组为设则1

,

2

,

,

tr(B)

t则A

B

(1

1

,2

2

,

,n

n

)可知A

B

中任一列向量都可由向量组1

,2

,,

s

,1

,

2

,

,

t线性表示，

r(

A

B)

r(1

,2

,

,s

,

1

,

2

, ,

t

)

s

t

r(

A)又r(

B)

r(B)

r(

A

B)

r(

A

(B))

r(

A)

r(B)

r(

A)综上，r(

A

B)

r(

A)

r(B)设Amn

,

Bn

p证明：r(AB)

r(A)

r(B)

n当AB

0时，r(A)

r(B)

n证：设

r(

A)

s,则存在可逆矩阵P,Q

Es

0

使得Pmm

AmnQnn

00

又)Q1BPAB

Es

0Bnn n

p0

Q10

（令C

Q1B）

Es

0

C

0 0

n

p（令C

C1

）

C

2

0C

Es

0

2

0

C1

S行n-S行

C1

0

P

可逆

r(

AB)

r(

PAB)

r

C1

0

r(C

)

r(C2

)1

r(C

)

r(C

)

(n

s)

r(Q1B)

n

s

r(B)

n

r(

A)

r(

AB)

r(

A)

r(B)

n（Q可逆）矩阵秩的等式的证明（1）证r(

A)

r(B).思路r(

A)

r(B)r(B)

r(

A)（2）证

r(

A)

r思路

AB

0,r(

A)

r(B)

nr(

A)

r(B)

n

A

B

kE

,则则例：

设

A,

B为n

阶矩阵，

ABA

B1

,

E为

n阶单位矩阵。证明：

r(E

AB)

r(E

AB)

n证：(E

AB

E

AB

AB

AB

AB

E

(

E

B1B

E

E

0

r(E

AB)

r(E

AB)

n(

E

AB)

(

E

AB)

2E

r(E

AB)

r(E

AB)

n综上，r(E

AB)

r(E

AB)

n用矩阵k阶子式定义证明矩阵秩(1)

A

有r阶子式不为0所有r+1阶子式全为0

r(

A)

r(2)

Ann

下列说法等价A

是可逆矩阵

A

是非奇异矩阵

A

是满秩矩阵

r(

A)

n

A

0例：

设

A

是n阶矩阵A

的伴随矩阵，

n

2,证明：0,n,r(

A

)

1,若r(

A)

n;r(

A)

n

1;r(

A)

n

1.若若证：(1)

若r(

A)

n,则A

0.AA

A

E,A

A

A

n

,

0,A

r(

A

)

n.(2)

若

r(

A)

n

1,中元素都是则A中至少有一个n－1阶子式不为0，而AA

的n－1阶子式，所以A中至少有一个元素不为0，则r(

A

)

1.又由知r(

A)

A

0,AA

A则则r(

A)

r(

A

)

n,r(

A

)

n

r(

A)

n

(n

1)

1,综上，r(

A

)

1.(3)

若r(

A)

n

1,则A中所有n－1阶子式全为0，A

0,则

A

中元素全为0，即

r(

A

)

0.例

求解方

x1

x2

2

x3

3

x4

1

2.x1

x2

x3

x4

0,1

x2

x3

3

x4

1,x解对增广矩阵B施行初等行变换:

1

211B

10

01

1

1

1

0

1

1

3

1

2

3

1

1

0

1 1

2~

0

0

1

2 1

2,0

0

0解,并有BRAR,2故)(方)(可见4

3x

2

x

1

2.

x1

x2

x4

1

2,2

421

3取

x

x

0,

则x

x

1

,

即得方的一个解

0

1

2

0

.1

23

4x中,取

2

x在对应的齐次线性方程组

x1

x2

x4

,

1

0

及

,

x4

0

1

x2

1

0

21

13

及

,则xx的基础解系即得对应的齐次线性方2

2

1

0,1

0

0

1,