2016届高考数学大一轮总复习(理科)第一章集合与常用逻辑用语11

学必求其心得，业必贵于专精§1。1会集的看法与运算1．会集与元素(1）会集元素的三个特点:确定性、互异性、无序性．（2)元素与会集的关系有属于或不属于两种，用符号∈或?表示．(3)会集的表示法：列举法、描述法、图示法．(4）常有数集的记法集自然数正整数有理数整数集实数集合集集集符N*(或NNZQR号＋）2。会集间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图学必求其心得，业必贵于专精会集A中所有元素都A?B(或子集在会集B中(即若B?A）x∈A，则x∈B）会集A是会集B的子真子集，且会集B中最少AB（或集有一个元素不在会集BA）中会集会集A,B中元素相同A＝B相等或会集A,B互为子集3。会集的运算会集的并集合合的交集合合的补集图形A∪B＝

A∩B＝

?UA＝符｛x|

x∈A

或

{x|

x∈A

且

｛x|

x∈U，且号x∈B｝

x∈B｝

x?

A}4.会集关系与运算的常用结论1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个,非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个．学必求其心得，业必贵于专精（2）A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.【思虑辨析】判断下面结论可否正确

(请在括号中打“√”或“×”

)(1）{x｜y＝x2＋1}＝{y|

y＝x2＋1}＝{（x，y)|

y＝x2＋1｝．(

×

）（2)若｛x2，1}＝{0，1}，则

x＝0，1。（

×

）(3)对于任意两个会集A,B，关系(A∩B）?(A∪B）恒成立．(√)（4)若A∩B＝A∩C,则B＝C.(×)（5)已知会集M＝｛1，2,3,4}，N＝｛2，3}，则M∩N＝N.（√）2(6）若全集U＝｛－1,0,1,2}，P＝｛x∈Z｜x〈4}，则?UP＝{2}．(√）1．（2014·课标全国Ⅰ）已知会集A＝{x|x2－2x－3≥0，｝B＝{x|－2≤x<2｝，则A∩B等于(）A．[－2,－1]B．［－1，2）C．［－1，1］D．[1，2）答案A解析∵A＝｛x｜x≥3或x≤－1｝，B＝{x｜－2≤x<2}，∴A∩B＝｛x｜－2≤x≤－1｝＝［－2，－1］，应选A。2．（2014·四川）已知会集A＝｛x｜x2－x－2≤0}，会集B为整数集,则A∩B等于（)学必求其心得，业必贵于专精A．{－1,0,1，2}B．｛－2，－1，0,1}C．｛0,1}D．{－1,0}答案A解析由于A＝｛x｜x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2｝，又由于会集B为整数集，所以会集A∩B＝{－1，0,1，2}，应选A。3．(2013·山东)已知会集A＝{0,1，2},则会集B＝{x－y｜x∈A，y∈A｝中元素的个数是( )A．1B．3C．5D．9答案C解析x－y∈错误!.4．设会集A＝{x|x2＋2x－3〉0}，会集B＝{x｜x2－2ax－1≤0,a>0｝．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________．答案错误!解析A＝{x|x2＋2x－3〉0}＝{x|x〉1或x<－3｝，由于函数y＝f(x）＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，f（0)＝－1〈0，依照对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f(2）≤0且f(3)>0,即4－4a－1≤0，，9－6a－1>0，所以错误!学必求其心得，业必贵于专精即错误!≤a<错误!.题型一会集的基本看法例1（1)(2013·江西)若会集A＝｛x∈R|ax2＋ax＋1＝0｝中只有一个元素，则a等于(）A．4B．2C．0D．0或4（2）设a，b∈R，会集｛1，a＋b，a｝＝错误!，则b－a＝________.思想点拨不要忽略会集中元素的互异性．答案（1)A(2）2解析(1)当a＝0时，方程化为1＝0,无解，会集A为空集，不吻合题意；当a≠0时，由＝a2－4a＝0，解得a＝4。（2）由于｛1,a＋b，a}＝错误!，a≠0,所以a＋b＝0，得错误!＝－1,所以a＝－1,b＝1.所以b－a＝2。思想升华（1）用描述法表示会集,第一要搞清楚会集中代表元素的含义，再看元素的限制条件，理解会集的种类，是数集、点集还是其他种类会集;(2）会集中元素的互异性经常简单忽略，求解问题学必求其心得，业必贵于专精时要特别注意．分类谈论的思想方法常用于解决会集问题．（1)设会集A＝{1，2,3｝，B＝{4,5}，M＝｛x|x＝a＋b，a∈A，b∈B｝,则M中的元素个数为（)A．3B．4C．5D．62)已知会集A＝{m＋2,2m2＋m｝,若3∈A,则m的值为________．答案（1）B(2）－错误!解析(1)由于会集M中的元素x＝a＋b,a∈A,b∈B,所以当b＝4时,a1，2,3，此时x＝5,6,7。当b＝5时，a＝1，2，3,此时x＝6，7，8.所以依照会集元素的互异性可知，x＝5,6,7，8.即M＝｛5，6,7，8}，共有4个元素．（2）由于3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3。当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3,此时会集A中有重复元素3，所以m＝1不吻合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－错误!或m＝1（舍去），学必求其心得，业必贵于专精此时当m＝－错误!时，m＋2＝错误!≠3吻合题意，所以m＝－错误!.题型二会集间的基本关系例2(1)已知会集A＝｛x｜x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝｛x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A?C?B的会集C的个数为( )A．1B．2C．3D．4(2)已知会集A＝｛x｜－2≤x≤7},B＝{x|m＋1〈x<2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围是________．答案（1）D（2)（－∞,4]解析(1)由x2－3x＋2＝0得A＝｛1，2｝．又B＝{1,2,3，4｝．∴满足A?C?B的会集C能够是{1,2}，{1,2,3},｛1，2，4}，｛1,2，3,4｝共4个．（2)当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠?时，若B?A，如图．则错误!，解得2〈m≤4.综上，m的取值范围为m≤4。思想升华(1)空集是任何会集的子集，在涉及会集关系时，必定优学必求其心得，业必贵于专精先考虑空集的情况，否则会造成漏解；（2)已知两个会集间的关系求参数时，重点是将条件转变成元素或区间端点间的关系，进而转变为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．(1)设M为非空的数集,M?{1,2，3}，且M中最少含有一个奇数元素，则这样的会集M共有( )A．6个B．5个C．4个D．3个（2)已知会集A＝{x｜y＝lg（x－x2）},B＝{x｜x2－cx<0，c〉0}，若A?B,则实数c的取值范围是(）A．(0，1]B．[1，＋∞)C．（0，1)D．(1，＋∞）答案（1）A（2）B解析（1）会集{1，2,3}的所有子集共有23＝8(个)，会集{2}的所有子集共有2个,故满足要求的会集M共有8－2＝6(个）．（2)A＝｛x｜y＝lg（x－x2)}＝｛x｜x－x2〉0｝＝（0,1)，B＝｛x｜x2－cx<0，c>0｝＝(0,c），由于A?B，画出数轴,以下列图,得c≥1.题型三会集的基本运算例3（1)（2014·辽宁)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0},B＝｛x|x≥1｝，则会集?U(A∪B）等于(）学必求其心得，业必贵于专精A．｛x｜x≥

0｝

B．｛x|

x≤

1｝C．{x｜0≤x≤1}D．｛x｜0〈x〈1｝(2）设U＝R，会集A＝｛x|x2＋3x＋2＝0｝，B＝｛x|x2＋（m＋1）x＋m＝0｝．若（?UA)∩B＝?，则m的值是________．答案（1)D（2)1或2解析(1）∵A＝{x|x≤0}，B＝｛x｜x≥1｝，A∪B＝｛x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图．?U（A∪B）＝｛x｜0〈x<1}．(2）A＝{－2，－1}，由(?UA）∩B＝?,得B?A，∵方程x2＋（m＋1)x＋m＝0的鉴识式＝(m＋1）2－4m＝（m－1）2≥0，∴B≠?.B＝{－1｝或B＝｛－2｝或B＝{－1,－2}．①若B＝｛－1}，则m＝1;②若B＝｛－2},则应有－（m＋1）＝（－2）＋(－2）＝－4，且m＝（－2)×（－2）＝4，这两式不能够同时成立，∴B≠｛－2｝；③若B＝｛－1，－2｝，则应有－(m＋1)＝(－1)＋（－2)＝－3，且m＝（－1)×（－2）＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2吻合条件．学必求其心得，业必贵于专精∴m＝1或2。思想升华（1）一般来讲，会集中的元素若是失散的，则用Venn图表示；会集中的元素若是连续的实数，则用数轴表示,此时要注意端点的情况．(2）运算过程中要注领悟集间的特别关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．（1)（2014·浙江）设全集U＝｛x∈N｜x≥2｝，会集A＝｛x∈N｜x2≥5｝，则?UA等于( )A．?B．{2｝C．｛5}D．{2,5}（2)设会集M＝｛x｜－1≤x<2｝，N＝{y|y〈a}，若M∩N≠?,则实数a的取值范围必然是( )A．－1≤a〈2B．a≤2C．a≥－1D．a〉－1答案(1）B(2)D解析（1）由于A＝{x∈N｜x≤－错误!或x≥错误!}，所以?UA＝{x∈N|2≤x<错误!｝，故?UA＝｛2}．(2）∵M＝｛x｜－1≤x〈2｝，N＝｛y｜y<a}，且M∩N≠?,如图只要a〉－1即可．题型四会集中的新定义问题学必求其心得，业必贵于专精例4若会集A拥有以下性质：(Ⅰ）0∈A,1∈A;（Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，错误!∈A.则称会集A是“好集"．以下命题正确的个数是（)1）会集B＝{－1,0，1｝是“好集”;2）有理数集Q是“好集”；(3）设会集A是“好集"，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.A．0B．1C．2D．3答案C解析(1)会集B不是“好集”，假设会集B是“好集",由于－1∈B,1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2?B矛盾．(2)有理数集Q是“好集”,由于0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q,且x≠0时，错误!∈Q,所以有理数集Q是“好集”．（3)由于会集A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A,所以x－（－y)∈A，即x＋y∈A。思想升华解决以会集为背景的新定义问题，要抓住两点：(1）紧扣新定义．第一解析新定义的特点,把新定义所表达的问题的实质弄清楚，并能够应用到详尽的解题过程之中,这是破解新定义型会集问学必求其心得，业必贵于专精题难点的重点所在；(2)用好会集的性质．解题时要善于从试题中发现能够使用会集性质的一些因素，在重点之处用好会集的运算与性质．设U为全集，对会集X，Y,定义运算“”，满足XY＝(?UX)∪Y,则对于任领悟集X，Y，Z,X(YZ）等于（）A．（X∪Y）∪（?UZ）B．(X∩Y)∪（?UZ）C．[(?UX)∪(?UY）］∩ZD．(?UX）∪(?UY)∪Z答案D解析由于XY＝（?UX）∪Y,所以YZ＝（?UY）∪Z，所以X(YZ)＝（?UX）∪(YZ)＝（?UX）∪（?UY）∪Z，应选D。忘掉空集致误典例：设会集A＝｛0,－4}，B＝{x｜x2＋2(a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R｝．若B?A,则实数a的取值范围是________．易错解析会集B为方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的实数根所构学必求其心得，业必贵于专精成的会集,由B?A，可知会集B中的元素都在会集A中，在解题中简单忽略方程无解,即B＝?的情况，以致漏解．解析由于A＝{0,－4}，所以B?A分以下三种情况：①当B＝A时,B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系,得错误!解得a＝1；②当B≠?且BA时，B＝{0｝或B＝{－4｝，并且＝4(a＋1）24(a2－1)＝0,解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；③当B＝?时，＝4（a＋1)2－4（a2－1）<0，解得a〈－1.综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.答案（－∞，－1]∪{1｝温馨提示（1）依照会集间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的重点是抓住会集间的关系以及会集元素的特点．(2)已知会集B，若已知A?B或A∩B＝?，则考生很简单忽略A＝?而造成漏解．在解题过程中应依照会集A分三种情况进行谈论。方法与技巧学必求其心得，业必贵于专精1．会集中的元素的三个特点，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转变．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性,进行合理转变；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独观察等号可否取到．3．对失散的数集间的运算，或抽象会集间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一表现．失误与防范1．解题中要明确会集中元素的特点，关注会集的代表元素（会集是点集、数集还是图形集)．2．空集是任何会集的子集，是任何非空会集的真子集，时刻关注对空集的谈论,防范漏解．3．解题时注意区分两大关系:一是元素与会集的隶属关系；二是集合与会集的包含关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行会集交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.学必求其心得，业必贵于专精A组专项基础训练(时间:30分钟）1．以下会集中表示同一会集的是（）．M＝｛（3，2)｝,N＝｛（2,3)｝B．M＝{2,3｝，N＝{3,2｝C．M＝｛（x,y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1｝D．M＝｛2，3},N＝{（2,3）}答案B解析选项A中的会集M表示由点（3,2)所组成的单点集，会集N表示由点（2，3）所组成的单点集，故会集M与N不是同一个会集．选项C中的会集M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的会集,会集N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的会集，即N＝｛y|x＋y＝1｝＝R，故会集M与N不是同一个会集．选项D中的会集M是数集，而会集N是点集，故会集M与N不是同一个会集．对选项B，由会集元素的无序性,可知M，N表示同一个会集．2．(2014·课标全国Ⅱ）设会集M＝｛0，1,2},N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N等于（)A．{1｝B．{2}C．｛0,1｝D．{1,2}答案D学必求其心得，业必贵于专精解析由x2－3x＋2＝(x－1）（x－2)≤0，解得1≤x≤2，故N＝｛x|1≤x≤2｝，∴M∩N＝｛1，2｝．3．已知全集S＝｛1,2,a2－2a＋3｝，A＝｛1，a},?SA＝{3｝,则实数a等于()A．0或2B．0C．1或2D．2答案D解析由题意，知错误!则a＝2.4．已知会集M＝{0,1,2，3，4}，N＝｛1，3,5｝，P＝M∩N，则P的子集共有（)A．2个B．4个C．6个D．8个答案B解析∵M＝{0,1,2,3，4｝，N＝｛1，3，5},∴M∩N＝｛1,3｝．∴M∩N的子集共有22＝4个．5．(2013·辽宁）已知会集A＝｛x｜0＜log4x＜1｝，B＝｛x｜x≤2｝，则A∩B等于（）A．(0，1)B．（0，2］学必求其心得，业必贵于专精C．(1,2）D．(1,2]答案D解析A＝{x|1＜x＜4｝，B＝{x|x≤2｝，∴A∩B＝{x|1＜x≤2｝．6。设全集U为整数集，会集A＝｛x∈N｜y＝错误!｝,B＝｛x∈Z|－1〈x≤3｝，则右图中阴影部分表示的会集的真子集的个数为（)A．3B．4C．7D．8答案C解析由于A＝{x∈N｜y＝7x－x2－6}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝｛x∈N｜1≤x≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的会集为A∩B＝{1,2，3}，所以其真子集有：

?

，{1}

，{2}

，{3},

｛1，2},{1

，3},｛2,3}，共

7个．7．已知会集

A＝{x｜x〉1}，B＝｛x｜x2－2x〈0}，则

A∪B

等于（

）A．｛x｜x>0}

B．｛x｜x〉1｝C．｛x|1

〈x〈2}

D．｛x|0

〈x〈2}答案

A解析由x2－2x〈0,得0〈x<2，∴B＝｛x｜0〈x〈2},故A∪B＝{x|x〉0｝．学必求其心得，业必贵于专精8．已知会集A＝｛x|－1〈x〈0｝，B＝｛x｜x≤a｝，若A?B，则a的取值范围为( )A．（－∞,0］B．［0，＋∞）C．(－∞,0)D．（0,＋∞）答案B解析用数轴表示会集A,B(如图）由A?B得a≥0。9．（2014·重庆)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10｝,A＝{1,2,3,5，8｝，B＝｛1,3，5,7,9｝，则(?UA）∩B＝________。答案｛7，9｝解析U＝{1,2，3，4,5,6，7，8,9,10｝，画出Venn图，以下列图，阴影部分就是所要求的会集，即（?UA）∩B＝｛7，9｝．10．已知全集U＝R，会集A＝{x∈Z｜y＝错误!}，B＝{x|x>5}，则A∩(?UB)＝________。答案｛3，4,5｝解析∵A＝｛x∈Z｜x≥3｝，?UB＝｛x|x≤5｝，A∩（?UB)＝｛3,4,5｝．学必求其心得，业必贵于专精11．已知会集A＝｛（0，1)，（1,1），(－1，2)｝，B＝｛(x，y）｜x＋y1＝0,x，y∈Z}，则A∩B＝__________.答案{（0,1）,(－1,2)}解析A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的会集，代入考据即可．12．已知会集A＝{x|1≤x〈5}，C＝{x|－a<x≤a＋3}．若C∩A＝C,则a的取值范围是________．答案（－∞，－1］解析由于C∩A＝C，所以C?A.①当C＝?时，满足C?A，此时－a≥a＋3,得a≤－错误!;②当C≠?时，要使C?A，则｛－a<a＋3，解得－－a≥1，，a＋3〈5，错误!〈a≤－1。综上,a的取值范围是(－∞，－1］．B组专项能力提升(时间：15分钟）13．设会集A＝｛1,2,3,4,5,6｝，B＝{4,5，6，7，8｝,则满足S?A且S∩B≠?的会集S的个数是(）A．57B．56C．49D．8学必求其心得，业必贵于专精答案B解析会集S的个数为26－23＝64－8＝56.14．（2014·山东)设会集A＝{x|｜x－1｜<2}，B＝{y|y＝2x,x∈［0，2］}，则A∩B等于（)A．[0，2]B．(1，3)C．[1，3）D．(1,4）答案C解析由|x－1｜〈2，解得－〈1x〈3，由y＝2x，x∈［0,2]，解得1≤y≤4，∴A∩B＝(－1，3)∩［1，4］＝[1，3)．15．若会集A＝｛x｜x2－9x<0，x∈N＊}，B＝｛y｜错误!∈N*｝，则A∩B中元素个数为（)A．0B．1C．2D．3答案D解析由A得x2－9x<0，x∈N＊，所以0〈x<9,且x∈N＊，得A＝｛1，2，3,4，5,6，7，8}，由B得错误!∈N*，即y＝1、2、4，得B＝｛1，2，4｝，故A∩B＝｛1,2，4｝．16．（2013·福建）设S，T是R的两个非空子集,若是