单变量函数的微分课件

2-1单变量函数的微分学及应用第二章2-1单变量函数的微分学及应用第二章2-2第二章基本内容

导数与微分经济学概念导数与微分的应用（II）供求理论消费理论厂商理论市场理论导数与微分的应用（I）Lagrangian中值定理与Taylor中值定理函数单调性函数凹凸性函数的极值2-2第二章基本内容

导数与微分经济学概念导数与微分的应用2-3导数与微分变量与函数变量经济学中的实际问题，往往由许多因素组成．可分为两类：1)原因因素，数学上称作自变量，经济学上称作外生变量（不可控因素）；2)结果因素，数学上称作因变量，经济学上称作内生变量（可控因素，即模型的解）．函数我们主要研究内生变量与外生变量之间的关系，数学上用因变量与自变量之间的函数关系来描述2-3导数与微分变量与函数2-4导数定义设y=f(x)是定义在集合S上的一元函数，x0S，则f(x)在x0处的导数定义为或称f

(x)为定义在S上的导函数．由导数定义可知f(x+1)f(x)

f

(x)（参见后面的应用）2-4导数定义或称f(x)为定义在S上的导函数．2-5导数

（续）几何解释f

(x0)是函数f(x)的图形在点(x0，f(x0)点处切线的斜率，该点处切线的方程为yf(x0)=f

(x0)(xx0)经济解释经济学中许多重要的概念是用导数来刻划的；数学上的导数，对应着经济学上的边际；利用导数进行经济分析，简称边际分析；例如，需求量Qd=f(P)对价格P的导数f(P)称为价格的边际需求量．2-5导数（续）几何解释2-6导数

（续）经济应用－－经济学中的边际概念经济学中的边际概念定义为一个经济量X在原有值X0的基础上再增加一个单位而导致的另一个经济量F(X)的增量，数学上表示为F(X0+1)

F(X0)F(X0)．劳动的边际产量是指再雇用一个单位的劳动所增加的产量；假设生产函数为Q=F(L)，当前劳动为L0个单位，则劳动的边际产量为F(L0+1)

F(L0)F(L0)．2-6导数（续）经济应用－－经济学中的边际概念2-7导数与微分

（续）例如，设有生产函数Q=F(L)=L1/2/2，L0=100。计算知F'(L0)=F'(100)=0.025，F(101)F(100)=0.0249．可见导数F(100)是边际产量F(101)F(100)的一个很好的近似值尽管F'

(X)不能精确表示由X增加一个单位而导致的F(X)的增加量，但经济学家们仍然用它来表示F(X)的边际变化．这是因为1）单一项F'(X)比差F(X+1)F(X)简单；2）F'(X)避免了“用何单位度量X增加一个单位”这一问题．2-7导数与微分（续）例如，设有生产函数Q=F(L)2-8微分

定义

设y=f(x)是定义在集合S上的一元函数，x0S．给定自变量x的一个增量x，若函数的增量y可表示为：

y=f(x0+x)

f(x0)=Ax+o(x) 则称函数f(x)在x0处可微，并称Ax为函数f(x)在x0处的微分，记作dy|x=x0=Ax或dy|x=x0=Adx．微分的计算若函数f(x)在x0处可微，则dy|x=x0=f

(x0)x．2-8微分定义2-9微分

（续）微分的应用微分可用于近似计算．这是因为由微分的定义可知

y=f(x0+x)

f(x0)

f

(x0)x或f(x0+x)

f(x0)+f

(x0)x. 在前面知道可用导数计算某个经济量x增加一个单位时相应的另一个经济量的变化．若经济量X增加X个单位，则可用上式式计算相应的另一个经济量F(X)的变化．2-9微分（续）微分的应用2-10导数与微分

（续）例如，设有生产函数Q=F(L)=L1/2/2，将劳动力L由900个单位削减到896个单位，试估计产量的变化和在L0=896处的新产量．解：Q=f

(900)(896900)=1/30单位F(896)=F(900)+Q=14.9667单位2-10导数与微分（续）例如，设有生产函数Q=F(L2-11Lagrangian中值定理若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，则至少存在一个(a，b)使下式成立

f(b)

f(a)=f

()(b

a).几何解释：在弧AB上至少有一点C，使曲线f(x)在C点处的切线平行于弦AB．OCABabf(x)2-11Lagrangian中值定理若f(x)在[a，b]上2-12Taylor中值定理设x0

(a，b)，f(x)在(a，b)内有直到n+1阶的导数，则当x

(a，b)时，存在在x0与x之间，使得下式成立其中称作Taylor余项当n=0时，Taylor公式成为Lagrangian中值公式，因此Taylor中值定理是Largrangian中值定理的推广．2-12Taylor中值定理设x0(a，b)，f(x)在2-13应用(I)单调性、凸凹性、极值介绍Largrangian中值定理和Taylor中值定理在函数的单调性、极值和凹凸性等方面的应用．函数单调性的判定函数凹凸性的判定函数的极值2-13应用(I)单调性、凸凹性、极值介绍Largran2-14应用(I)单调性

f(x)单调的充分条件设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，则(1)f(x)在[a，b]上严格单调增加的充分条件是在(a，b)上恒有f'(x)>0；(2)f(x)在[a，b]上严格单调减少的充分条件是在(a，b)上恒有f'(x)<0．证明：由Largrangian中值定理证明．几何解释：f(x)在[a，b]上严格单调增加（或减少）等价于f(x)图形上任一点处的切线与x轴的正向的倾角小于（或大于）900函数的单调性在经济学中用于比较静态分析等．2-14应用(I)单调性f(x)单调的充分条件函数的2-15应用(I)单调性（续）

f(x)严格单调的必要条件设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导且f'(x)0，则(1)f(x)在[a，b]上严格单调增加的必要条件是在(a，b)上恒有f'(x)>0；(2)f(x)在[a，b]上严格单调减少的必要条件是在(a，b)上恒有f'(x)<0．证明：可由导数的定义证明．2-15应用(I)单调性（续）f(x)严格单调的必要2-16应用(I)单调性（续）

f(x)单调的充分条件若对任意x1，x2

(a，b)，f(x2)（或）f(x1)+f(x1)(x2x1)，则f(x)在(a，b)上单调增加（减少）．

f(x)是单调减少的x1x2f(x2)f(x1)+f(x1)(x2x1)f(x1)几何解释：f(x)在[a，b]上单调增加（或减少）等价于f(x)图形上任一点处的切线在f(x)图形的下方（或上方）．2-16应用(I)单调性（续）f(x)单调的充2-17应用(I)凸凹性（续）凸凹性定义（1）称函数f(x)在(a，b)上是凸的（或凹的），若对任意）[0，1]，对任意x1，x2

(a，b)，恒有下式成立f(x1+(1)x2)（或）

f(x1)+(1

)f(x2)（2）若对任意(0，1)，对任意x1，x2(a，b)且x1

x2，恒有上式中的严格不等式成立，则称函数f(x)是(a，b)上的严格凸（或凹）函数．由定义易知，严格凸（或凹）函数一定是凸（或凹）函数．2-17应用(I)凸凹性（续）凸凹性定义2-18应用(I)凸凹性continued凸凹性几何意义

所以f(x)是凹函数x1x2f(x2)x3=x1+(1)x2f(x1)f(x3)=f(x1+(1)x2)

f(x1)+(1

)

f(x2)Ox32-18应用(I)凸凹性continued凸凹性几何意2-19应用(I)凸凹性continued凸凹性判断法判定法之一（利用一阶导数）设函数f(x)在(a，b)上可导，则f(x)在(a，b)上为凸（或凹）函数的充要条件是对任意x1，x2(a，b)有f(x2)（或）f(x1)+f

(x1)(x2

x1)当上面的严格不等式对任意x1，x2

(a，b)且x1

x2成立时，即为严格凸（或凹）函数的充要条件．2-19应用(I)凸凹性continued凸凹性判断法2-20应用(I)凸凹性continued几何意义x1x2f(x2)f(x1)+f(x1)(x2x1)f(x1)

f

(x)是凹函数f(x2)

f(x1)+f

(x1)(x2

x1)几何解释：f(x)是[a，b]上的凹函数（或凸函数）等价于f(x)图形上任一点处的切线在f(x)图形的上方（或下方）．2-20应用(I)凸凹性continued几何意义x12-21应用(I)凸凹性continued凸凹性判断法判定法之二（利用二阶导数）若函数f(x)在(a，b)上是二阶连续可微的，则f(x)是(a，b)上的凸（或凹）函数的充要条件是对任意x(a，b)有

f

(x)0(或f

(x)0)， 而f(x)是(a，b)上的严格凸（或凹）函数的充分条件是上面的严格不等式成立．几何意义凸函数2-21应用(I)凸凹性continued凸凹性判断法2-22应用(I)函数的极值极值的必要条件设函数f(x)在x0可导，且在x0取得极值，则f(x0)=0几何解释：曲线在函数取得极值的点x0处的切线是水平的．x02-22应用(I)函数的极值极值的必要条件x02-23应用(I)函数的极值（续）极值的充分条件(I)（一阶充分条件）设f(x)在x0的一个领域内可导且

f(x0)=0．（1）若x取x0左侧邻近的值时，f(x)的符号恒为正；当x取x0右侧邻近的值时，f(x)的符号恒为负，则f(x)在x0处取得极大值;（2）若x取x0左侧邻近的值时，f(x)的符号恒为负；当x取x0右侧邻近的值时，f(x)的符号恒为正，则f(x)在x0处取得极小值．2-23应用(I)函数的极值（续）极值的充分条件(I)2-24应用(I)函数的极值（续）极值的充分条件(II)（二阶充分条件）设f(x0)=0，f(x)在x0处具有二阶导数且f(x0)0．（1）当f(x0)<0时，f(x)在x0处取得极大值（2）当f(x0)>0时，f(x)在x0处取得极小值2-24应用(I)函数的极值（续）极值的充分条件(II2-25应用(I)函数的极值（续）极值的充分条件(III)（N阶充分条件）设f(x0)=f(x0)==f(N

1)(x0)=0，f(N)(x0)0．（1）当N为偶数且f(N)(x0)<0时，f(x)在x0处取得极大值；（2）当N为偶数且f(N)(x0)>0时，f(x)在x0处取得极小值；（3）当N为奇数时，(x0，f(x0))为拐点．练习：考虑函数y=x3

和y=x6+6极值点和拐点．2-25应用(I)函数的极值（续）极值的充分条件(II2-26应用(I)函数的极值（续）几类特定函数的最大值和最小值只有一个驻点x0(f(x0)=0)的函数．设a）f(x)的定义域是一个区间I；b）x0是f(x)在区间I上的唯一驻点；c）x0是f(x)的（局部）极值点．则x0是f(x)在区间I上的（全局）最值点二阶导数处处非零的函数若f(x)是区间I上的二阶连续可微函数，且f(x)在区间I上处处非零，则f(x)在区间I上至多有一个驻点．若有一个驻点x0，则x0是最值点．若f(x0)>0，则x0是最小值点；若f(x0)<0，则x0是最大值点．2-26应用(I)函数的极值（续）几类特定函数的最大值2-27应用(I)函数的极值（续）没有最大值或最小值的函数定义域为开区间的函数不一定有最大（或小）值，如函数f(x)=x33x．定义域为开区间的严格单调增加的函数（或严格单调减少的函数）没有最大值（或最小值）同时，有这样的函数，有最小值，但无最大值，如f(x)=x4；也有这样的函数，有最大值，但无最小值，如f(x)=

x4．2-27应用(I)函数的极值（续）没有最大值或最小值的2-28应用(I)函数的极值（续）定义域是闭区间的函数：Weierstrass定理：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值．凸（凹）函数设f(x)是区间I上的凸（或凹）函数，x0I是它的极小点（或极大点），则x0一定是f(x)的最小（或最大）值点．2-28应用(I)函数的极值（续）定义域是闭区间的函数2-29应用(II)经济学供求理论消费理论厂商理论市场理论2-29应用(II)经济学供求理论2-30应用(II)供求理论需求向下倾斜规律观察由需求表得到的需求曲线Qd=f(p)，它是向下倾斜的；换言之，需求量与价格成反向变动．数学上描述为或供给向上倾斜规律供给曲线是向上倾斜的，即随着价格的增加，供给量也增加．数学上描述为或（1）如何度量价格对需求的影响？（2）边际需求是否受价格和需求量的单位的影响？2-30应用(II)供求理论需求向下倾斜规律或供给向上倾2-31应用(II)供求理论（续）需求弹性价格的变化如何影响需求的变化？可用需求函数Qd=F(p)关于价格p的导数F(p)来衡量，F(p)称作边际需求．边际需求是否受价格和需求量的单位的影响？例如，设价格增加1角导致汽油的消耗量减少1百万桶，则边际需求为：桶/分桶/元百万桶/分Yes2-31应用(II)供求理论（续）需求弹性桶/分桶/元百2-32应用(II)供求理论（续）经济学者希望需求对价格的变化的灵敏度不受所选择单位的影响，该灵敏度可用来比较具有不同货币、不同重量和体积单位的不同国家的消费行为．解决办法是用一个经济量的变化的百分率而不是它的增量来度量该量的变化．2-32应用(II)供求理论（续）经济学者希望需求对价格2-33应用(II)供求理论（续）设某个经济量q的初值是q0，后变化为q1．则用(q1q0)/q0描述q的变化，而不用q=q1q0．前者不依赖于q的度量单位，称作q的变化的百分率，有时称之为q的增长率．例如，若价格由$1.25变到$1.5，则价格变化的百分率（或价格的增长率）为(1.51.25)/1.25=20%．若选其度量单位如美分或人民币，这个增长率仍不变2-33应用(II)供求理论（续）设某个经济量q的初值是2-34应用(II)供求理论（续）需求的价格弹性弹性用两个经济量变化的百分率的比值来刻划一个量量对另一个量的影响程度．这个比值称作弹性．需求的价格弹性用变化的百分率分别度量价格的变化和需求的变化，进而价格的变化对需求量变化的影响程度可以如下度量Edp=点弹性：Edp=（Qd=F(p)关于价格p是可导的）2-34应用(II)供求理论（续）需求的价格弹性Edp=2-35应用(II)供求理论（续）需求的价格弧弹性的计算中点公式Edp=低点公式Edp=Edp=对数公式Edp=Edp=2-35应用(II)供求理论（续）需求的价格弧弹性的计算2-36应用(II)供求理论（续）缺乏弹性价格的任何变动，会引起需求量较小程度的变化；或1%价格的变化导致少于1%需求量的变化．单一弹性价格的任何变动，会引起需求量同等程度的变化；或需求变化的百分率与价格变化的百分率完全相同．Edp分类完全无弹性不管价格如何变动，需求量固定不变．2-36应用(II)供求理论（续）缺乏弹性单一弹性Edp2-37应用(II)供求理论（续）Edp分类富有弹性价格的任何变动会引起需求量较大程度的变化；或1%价格的变化导致大于1%需求量的变化．完全弹性价格的任何变动，会引起需求量无限的变动．2-37应用(II)供求理论（续）Edp分类富有弹性完全2-38应用(II)供求理论（续）线性需求函数的点弹性设有线性需求函数Qd=a

bP，a，b>0是常数．将需求量作为横坐标，价格作为纵坐标．垂直线Qd=Q0，其中Q0是常数．此时Edp=0．水平线P=m，其中m是常数．此时Edp=+．Edp==Q=Q0POQ完全无弹性P=mPOQ完全弹性2-38应用(II)供求理论（续）线性需求函数的点弹性2-39应用(II)供求理论（续）线性需求函数的点弹性斜线Qd=a

bP，其中b

0．中点E处的点弹性为1；线段AE上任一点处的点弹性位于区间(1，+)；线段EB上任一点处的点弹性位于区间(0，1)．ABEQPOa/baa/2a/(2b)2-39应用(II)供求理论（续）线性需求函数的点弹性A2-40应用(II)供求理论（续）下面证明线段AE上任一点处的点弹性位于区间(1，+)．

对AE上任一点（Q0，P0）有

所以1<a/(bP0)<2，0>1a/bP0>1因此|Edp|>1．

易知A(0，a/b)，E(a/2，a/2b)，B(a，0)ABEQPOa/baa/2a/(2b)2-40应用(II)供求理论（续）下面证明线段AE上任一2-41应用(II)供求理论（续）需求价格弹性与消费者总支出的关系考虑完全垄断市场．当某种商品的价格P上升，消费者总支出PQd将如何变化呢？变化是不确定的．这是因为P和Qd反向变化．但有下面的结论．1)价格的增加导致总支出的增加的充要条件是商品的需求缺乏弹性；2)价格的增加导致总支出的减少的充要条件是商品的需求富有弹性;3)无论价格上升或下降，总支出不变的充要条件是商品的需求是单一弹性．证明：设商品的需求函数为Q=F(P)，则总支出为E(P)=PQ．进而E(P)=2-41应用(II)供求理论（续）需求价格弹性与消费者总2-42应用(II)供求理论（续）需求收入弹性指消费者收入的相对变动所引起的需求量的变动．需求量是收入I的连续且可导的函数时EdI=EdI=供给价格弹性（略）2-42应用(II)供求理论（续）需求收入弹性需求量是收2-43应用(II)消费理论研究需求函数背后的消费者的行为理论．从生产者的角度可称为需求理论．需求的实现或欲望的满足，就是消费．消费是人们为满足欲望而使用物品的一种经济行为，是人类一切经济活动的出发点和归宿点，是经济学研究的首要问题．消费者行为的分析法确定性分析：包括基数效用理论和序数效用理论；不确定性分析：风险情况下的消费选择2-43应用(II)消费理论研究需求函数背后的消费者的行2-44应用(II)消费理论（续）经济学上一般用效用理论分析消费者的行为．效用是人们从消费一种产品中所得到的满足．一种产品，必须既有满足人们欲望的性能，人们又有对它满足的欲望，才能产生效用．它是一种主观的使用价值．基数效用分析方法原理基数效用分析方法（Cardinalutilityapproach），即边际效用分析方法，认为一种产品对一个人的效用可用一个基数度量，如1，2.1，6，7，7.32，…，且每个人都能说出这种产品对自己的效用，单位为尤特尔（util）．2-44应用(II)消费理论（续）经济学上一般用效用理论2-45应用(II)消费理论（续）总效用总效用是指消费者在一定时间内消费某种产品而获得的效用总量．若只消费一种产品，则总效用函数（简称效用函数）可表示为为TU=TU(X)．这个概念对序数效用分析法同样适用2-45应用(II)消费理论（续）总效用2-46应用(II)消费理论（续）边际效用函数一种产品的边际效用（以MU表示），是指在原有的消费水平X0下，再追加一个消费单位所增加的总效用，即MU=TU(X0+1)TU(X0)．边际效用的度量法MU=TU(X0)这是因为TU(X0+1)TU(X0)

TU(X0)．MU>0，即TU(x)是增函数．2-46应用(II)消费理论（续）边际效用函数2-47应用(II)消费理论（续）边际效用递减法则也叫Gossen第一法则，是指在一定时间内，一个人消费一种产品的边际效用，随其消费量的增加而减少．数学分析Gossen第一法则等价于TU是凹函数2-47应用(II)消费理论（续）边际效用递减法则Gos2-48应用(II)消费理论（续）消费者均衡消费者均衡是指消费者以一定的收入，在一定市场价格下，购买一定数量的产品，能够获得最大满足的状态总效用最大状态．无约束消费者均衡消费者的消费行为不受任何限制，他消费一种产品的最大效用可表示为一个自由极值问题：maxTU(X)X*是均衡消费量的必要条件是

假设X*满足则X*是均衡消费量的二阶充分条件是2-48应用(II)消费理论（续）消费者均衡假设X*2-49应用(II)消费理论end有约束消费者均衡消费者的消费行为受某种限制，如消费量XI，I是一个区间．他消费一种产品的最大效用可表示为一个约束极值问题：maxTU(X)s.t.X

I这等价于求函数TU(X)在区间I上的极大值或最大值．序数效用分析方法在多元函数微分法和优化理论中介绍．2-49应用(II)消费理论end有约束消费者均衡2-50应用(II)厂商理论厂商理论具有两重性，可从两个方面进行研究：1)从实物形态上研究生产的原理，叫生产理论；2)从货币形态上研究成本的结构，叫成本理论．二者是同一生产者行为的两个方面，只是表现形式不同．我们将看到厂商理论中所采用的分析方法，基本上是消费理论中用过的方法．生产理论仅考虑短期生产函数：Q=F(L)或Q=F(K)，即劳动和资本中只有一个发生变化．2-50应用(II)厂商理论厂商理论具有两重性，可从两个2-51应用(II)厂商理论（续）生产函数假设考虑生产函数Q=F(X)．（1）是连续的或C2（即有二阶连续导数）（2）是增函数（3）存在一个投入水平LN，使F(X)是（0，LN

）上的凸函数，是（LN

，+）上的凹函数．若F(X)是C2的，则假设（2）和（3）可表示为：（2'）对任意的投入水平L

，F

(X)>0．（3'）存在一个投入水平LN

，使对任意的投入水平X(0，LN)，F

(X)>0；对任意的投入水平X(LN

，+)，F

(X)<0．2-51应用(II)厂商理论（续）生产函数假设2-52图2.4.2生产函数LQNOQ=F(L)LN2-52图2.4.2生产函数LQNOQ=F(L)LN2-53实物产量总产量一定技术下，变动投入L(或K)和一定量的其它投入相结合所能生产的最大产量叫总实物产量，记为TP．TP=F(L)或TP=F(K)．平均产量一定技术条件下，平均每个单位劳动或资本投入所生产的总产量，叫劳动或资本的平均实物产量，记作APL或APK．

APL=TP/L，APK=TP/K．边际产量在一定条件下，资本或劳动投入的微小变动所引起的总产量的变动，叫劳动或资本的边际实物产量，简称劳动或资本的边际产量．记为MPL或MPK．

MPL=

F(L)MPK=

F(K)应用(II)厂商理论（续）2-53实物产量应用(II)厂商理论（续）2-54点（L0，Q0）处的实物产量的几何图形表示LQNOQ=F(L)LNL0Q0L12-54点（L0，Q0）处的实物产量的几何图形表示LQNO2-55实物产量间的关系QLNROTPLNSLSLRAPMPLQOLNLSLRM2-55实物产量间的关系QLNROTPLNSLSLRAPMP2-56应用(II)厂商理论（续）实物产量间的关系与实物产量的极值TP与AP：TP上任一点M(L，Q)处的AP是自原点到点(L，Q)处的射线的斜率．开始时，该斜率（AP）随L值的增加而增大，即AP递增．当这条射线与TP曲线切于点S时（L=LS），其斜率最大，即AP最大．过了点S，其斜率递减，即AP递减（见定理2.4.2）．2-56应用(II)厂商理论（续）实物产量间的关系与实物2-57应用(II)厂商理论（续）实物产量间的关系与实物产量的极值TP与MP：TP曲线上任何一点的边际产量MP是TP曲线在这一点处切线的斜率．在拐点N以前，切线的斜率为正且递增，即MP递增．到拐点N，切线斜率达到最大，即MP最大．过了拐点N后，切线的斜率递减．到了点R，切线的斜率为零（即MP=0），这时TP达到最大．过点R以后，切线的斜率由正变负，MP为负数，TP也递减．2-57应用(II)厂商理论（续）实物产量间的关系与实物2-58应用(II)厂商理论（续）为什么MP在拐点N处获极大值？MP=F(L)，由生产函数的假设知N(LN，F(LN))是拐点，即dMP/dL(LN)=F(LN)=0；当L(0，LN)时，

F(L)>0，即MP递增；当L(LN，+)时，F(L)<0，即MP递减．故MP在N(LN，F(LN))处获极大值．

AP与MP：定理2.4.2（1）AP递增的充要条件是MP>AP（2）AP递减的充要条件是MP<AP；（3）AP在LS处达到极大的充分条件是MP(LS)

=AP(LS)且F

(LS)

<0．证明：（见P21页）．

2-58应用(II)厂商理论（续）为什么MP在拐点N处获2-59定理2.4.2（1）AP递增的充要条件是MP>AP；

（2）AP递减的充要条件是MP<AP；（3）AP在LS处达到极大的充分条件是MP(LS)

=AP(LS)且F

(LS)<0图2.4.2实物产量间的关系LAPMPQOLNLSLR分析：为了获得AP的增减情况和极值情况，我们找到AP的表达式，用其导数的符号来判断．证明：据AP=F(L)/L，有

从而结论（1）和（2）成立．

为了证明结论（3），需要证明

由MP(LS)

=AP(LS)及AP导数的表达式可知由F

(LS)<0及可知证毕2-59定理2.4.2（1）AP递增的充要条件是MP2-60应用(II)厂商理论（续）成本理论总成本、总固定成本和总变动成本平均固定成本、平均变动成本与平均成本边际成本2-60应用(II)厂商理论（续）成本理论2-61TRQC'A'QVQCQATCPOQBV'B'TVCTFCM'M''QM总固定成本TFC总变动成本TVC总成本TC总收入TR2-61TRQC'A'QVQCQATCPOQBV'B'TVC2-62应用(II)厂商理论（续）总成本、总固定成本和总变动成本（1）总固定成本（TFC）一定产量范围内，不随产量变动而变动的成本之和，如厂房、机器以及保险费、常雇人员工资等经常性的开支．即使停产，产量为零，TFC仍存在．假设TFC=b．可分为两类：1)与产量无关的当期支出，如利息、租金、水电费、职员工资等．2)不一定当期支出，但最后必须支付，如正常利润．2-62应用(II)厂商理论（续）总成本、总固定成本和总2-63应用(II)厂商理论（续）（2）总变动成本（TVC）随产量变动而变动的成本之和，如原材料、燃料、电力、运输费、直接生产工人的工资等．如暂时停产，产量为0，总变动成本也为0，总成本=总固定成本．一般满足假设：TVC在(0，QM)上是Q的凹函数，在(QM，+)上是Q的凸函数．2-63应用(II)厂商理论（续）（2）总变动成本（TV2-64应用(II)厂商理论（续）（3）总成本（TC）总成本是总固定成本和总变动成本之和，即TC=TVC+TFC．一般满足的假设与TVC满足的假设相同，即TC在(0，QM)上是Q的凹函数，在(QM，+)上是Q的凸函数．若TC是关于Q

的二阶连续可导函数，则此假设可表示为：在(0，QM)上TC(Q)<0，在(QM，+)上TC

(Q)>0，且TC(QM)=0．2-64应用(II)厂商理论（续）（3）总成本（TC）2-65应用(II)厂商理论（续）平均固定成本、平均变动成本与平均成本（1）平均固定成本（AFC）AVC是原点O到TVC上一点射线的斜率．开始时，AVC递减；直到自原点的射线与TVC相切于点V时，AVC最低；在这以后，AVC又递增．在产量OQV之前，AVC的斜率为负，在产量OQV

之后，AVC的斜率为正．其数学分析见定理2.4.3．（2）平均变动成本（AFC）2-65应用(II)厂商理论（续）平均固定成本、平均变动2-66应用(II)厂商理论（续）（3）平均（总）成本（ATC或AC）AC=TC/Q=AFC+AVCAC是从原点到TC曲线上一点射线的斜率．开始时，AC递减；直到自原点的射线与TC曲线相切于点C时，AC最低；在这以后，AC又递增．在产量OQC以前，AC的斜率为负，在产量OQC

以后，AC的斜率为正．其数学分析见定理2.4.4．注记：TC>TVC，AC>AVC，AC最低的产量大于AVC最低的产量．2-66应用(II)厂商理论（续）（3）平均（总）成本（2-67应用(II)厂商理论（续）边际成本（MC）边际成本指每增加一个单位产量所增加的成本．可表示为MC(Q)=TC(Q+1)TC(Q)．当TC(Q)是连续可导函数时，可表示为几何上，MC(Q)是TC(Q)曲线在Q处的斜率．开始时，在拐点M之前，TC曲线的斜率递减，因而MC递减；到拐点M时斜率最小，即MC(QM)最小，在拐点M之后，TC曲线的斜率递增，因而MC递增．2-67应用(II)厂商理论（续）边际成本（MC）几何2-68应用(II)厂商理论（续）几何上，MC(Q)是TC(Q)曲线在Q处的斜率．开始时，在拐点M

之前，TC曲线的斜率递减，因而MC递减；到拐点M时斜率最小，即MC(QM)最小，在拐点M

之后，TC曲线的斜率递增，因而MC递增．MC(Q)在QM达到极小来自对函数TC(Q)的假设．即在(0，QM)上MC(Q)=TC(Q)<0，在(QM，+)上MC(Q)=TC(Q)>0，且MC(QM

)=TC

(QM)=0，因此MC(Q)在QM达到极小．2-68应用(II)厂商理论（续）几何上，MC(Q)2-69应用(II)厂商理论（续）AVC与MC之间的关系定理2.4.3设TC(Q)是函数，则（1）AVC是增函数的充要条件是MC>AVC；（2）AVC是减函数的充要条件是MC<AVC；（3）AVC在QV处达到极小值的充分条件是MC(QV

)=AVC(QV

)且TC

(QV)>0．AC与MC之间的关系定理2.4.4设TC(Q)是函数，则（1）AC是增函数的充要条件是MC>AC；（2）AC是减函数的充要条件是MC<AC；（3）AC在QC处达到极小值的充分条件是

MC(QC

)=AC(QC

)且TC

(QC)>0．2-69应用(II)厂商理论（续）AVC与MC之间的关系2-70TRQC'A'QVQCQATCPOQBV'B'TVCTFCM'M''QM总固定成本TFC总变动成本TVC总成本TC总收入TR2-70TRQC'A'QVQCQATCPOQBV'B'TVC2-71MCQMVCAQVQMQCQAACAVCAFCPOAR=MR=PAAR=MR=PCAR=MR=PVAR=MR=PMQBBAR=MR=PRAR=MR=PSRS平均固定成本AFC平均变动成本AVC平均成本AC边际成本MC图2.4.3完全竞争厂商的盈亏分析QS2-71MCQMVCAQVQMQCQAACAVCAFCPOA2-72应用(II)市场理论前面已研究了消费者行为理论和生产者行为理论，将两者结合起来，进一步研究它们之间的交易行为怎样共同决定产品市场的价格和产量，通称市场理论．市场类型：完全竞争；完全垄断；垄断竞争和寡头垄断本小节仅考虑前两种市场，其余的放在优化理论的章节中讨论．2-72应用(II)市场理论前面已研究了消费者行为理论和2-73应用(II)市场理论（续）完全竞争完全竞争市场的特征价格既定：个别家庭或厂商都是价格的接受者．即P=P0，P0是确定的常数产品同质、无异投入要素可在产业间自由转移．信息充分：所有厂商和顾客完全掌握现在和将来的价格信息，因而不会有任何人以高于市场的价格进行购买，以低于市场的价格进行销售．完全竞争厂商面对既定的市场价格而调整自己的产量，只能控制产量这一变量，中心问题是研究产量决策．2-73应用(II)市场理论（续）完全竞争完全竞争市场2-74应用(II)市场理论（续）完全竞争短期均衡——盈亏分析法（1）总收入总成本分析法max(Q)=TR(Q)

TC(Q)几何上π(Q*)是极大值的条件可叙述为：π(Q*)极大的必要条件是：TR曲线的斜率=TC曲线的斜率．π(Q*)极大的充分条件是：MC曲线自右下方与MR曲线相交．几何解释见下图．2-74应用(II)市场理论（续）完全竞争短期均衡——2-75QTOQBPQTRTCQM完全竞争厂商的亏损分析QTQMMQTOQBQMMC=MR=PTPQMC

PT2-75QTOQBPQTRTCQM完全竞争厂商的亏损分析QT2-76应用(II)市场理论（续）完全竞争短期均衡——盈亏分析法（2）边际收入边际成本分析法

定理2.4.5利润极大的必要条件（MR=MC定理）π(Q)在Q*处取得极大值的必要条件是MR(Q*)=MC(Q*)．证明：见讲义．几何解释见上图．推论2.4.7（MR=MC定理）

π(Q)在Q*处取得极大值或S(Q)在Q*处取得极小值的必要条件是P*=MC(Q*)．2-76应用(II)市场理论（续）完全竞争短期均衡——2-77应用(II)市场理论（续）完全竞争定理2.4.5的解释：一个厂商应该继续生产产品，一直到再多生产一单位产品的成本（MC）刚好与该单位产品所带来的收入（MR）相抵消．若下一个单位产品给厂商增加的收入大于它给厂商增加的成本（MR>MC），则生产下一个单位的产品将增加厂商的利润，因而厂商应进行生产．若再多生产一单位产品所增加的成本大于它给厂商（在市场上）增加的收入（MC>MR），则再多生产一单位的产品将减少厂商的利润，即厂商本应该早点儿停产．2-77应用(II)市场理论（续）完全竞争定理2.4.52-78应用(II)市场理论（续）完全竞争（2）边际收入边际成本分析法定理2.4.6

（利润极大或损失极小的充分条件）假设Q*满足MR(Q*)=MC(Q*)，则

π(Q)在Q*处取得极大值的充分条件是推论2.4.8（利润极大或损失极小的充分条件）假设Q*满足MR(Q*)=MC(Q*)，则π(Q)在Q*处取得极大值或S(Q)在Q*处取得极小值的充分条件是

或或2-78应用(II)市场理论（续）完全竞争（2）边际收入2-79应用(II)市场理论（续）完全竞争零利润点、停止生产点、停止决策、盈利与亏损1）零利润点对完全竞争市场，当市场价格为PC时，即MR曲线（P=PC）与MC曲线交于AC曲线的最低点C时PC

=MR=AC，因而TR=TC=PCQC，即超额利润为零（正常利润已含在成本内）．使TR=TC的点C（指生产水平）叫零利润点，收支相抵点或扯平点．（3）盈亏的确定即使推论2.4.7和推论2.4.8中的的必要和充分条件都满足，TR也有可能不足TC，即出现亏损．考虑图2.4.3（P23），当市场的价格是PS时，均衡产量为QS．此时有TR<TC，出现亏损．2-79应用(II)市场理论（续）完全竞争零利润点、停止2-80应用(II)市场理论（续）完全竞争2）停止生产点对完全竞争市场，当市场价格为PV时，即MR曲线（P=PV）与MC曲线交于AVC曲线的最低点V，有PV

=MR=AVC<AC，因而TR=TVC=PVQV．此时厂商可以继续生产，也可以停产，不论厂商是否继续生产，都亏损TFC．所以AVC曲线的最低点V点称为停止生产点．使TR=TVC的点（市场价格）叫停止生产点．2-80应用(II)市场理论（续）完全竞争2）停止生产点2-81应用(II)市场理论（续）完全竞争当市场价格P=PS<PV时，即MR曲线（P=PS）与MC曲线交于S点．这时，AC和AVC曲线都在MR曲线之上，因此AC>PS

=MR<AVC或TC>TR<TVC.说明此时厂商如果生产的话，不仅亏损TVC，而且也要亏损部分TFC，故必须停产．当市场价格P=PR>PV时，即MR曲线（P=PR）与MC曲线交于R点．这时，MR曲线在AC曲线之下，在AVC曲线之上，因此AC>PR

=MR>AVC或TC>TR>TVC说明此时厂商应继续生产，收益不仅能抵消TVC，且能抵消部分TFC．综上述，对完全竞争市场而言有下面的结论3）和4）．2-81应用(II)市场理论（续）完全竞争当市场价格P2-82应用(II)市场理论（续）完全竞争3）厂商的有效供给曲线是以停止生产点V以上的那部分边际成本所代表的曲线VA，如图2.4.3（P23）所示．可表示为P=MC(Q)，当P

PV时；Q=0，当P<PV时．上面的部分MC之所以看作单一厂商的供给曲线是因为函数P=MC(Q)表示了价格P和最优产量Q的关系且最优产量可由MC曲线上的一个点表示；对任意的价格P，厂商愿意提供的最优产量位于水平价格线与MC曲线的交点处，即P=MC(Q)给出了价格与最优产量组合的轨迹．2-82应用(II)市场理论（续）完全竞争3）厂商的有效2-83应用(II)市场理论（续）完全竞争例如给定厂商的成本函数：C=Q314Q2+69Q+128，其中固定成本为128．试求厂商的供给曲线（见P27）．4）停止决策若AVC(Q)

P，应生产，根据市场价格P的高低，增减自己的供给数量；若AVC(Q)

P，应停产，不供给任何数量的产品，均衡产量为0．5）盈利与亏损若AC<P，则盈利；若AC>P，则亏损．这里AC是指均衡产量下的平均成本；P是市场既定的价格．2-83应用(II)市场理论（续）完全竞争例如给定厂商2-84应用(II)市场理论（续）完全竞争完全竞争短期均衡模型(Q)=TR(Q)

TC(Q)TR(Q)=PQP=P0TC(Q)=F(Q)+d其中F(Q)是可变成本，d是固定成本，P0是市场既定的价格．前两个方程称作定义方程，第三、四个方程称作行为方程，最后三个式子称作均衡条件．P0是外生变量，(Q)、TR(Q)、TC(Q)和Q是内生变量，d为参数．2-84应用(II)市场理论（续）完全竞争完全竞争短期均2-85应用(II)市场理论（续）完全垄断完全垄断市场的特征完全垄断产业只有一个厂商，提供整个产业的产销量产品不能替代而是价格的制订者，它可利用各种手段决定价格，可达到垄断的目的．据销售条件实行价格歧视完全垄断厂商是市场价格的制定者，他必须根据多种因素控制产量和价格这两个变量，中心问题是研究产量、价格与利润的函数关系．2-85应用(II)市场理论（续）完全垄断完全垄断市场的2-86应用(II)市场理论（续）完全垄断边际收入与平均收入的关系我们用微分的方法说明二者的关系．完全垄断市场以及其它各种不完全竞争市场，由于市场价格随着产销量的增加而下降，AR与MR不象完全竞争厂商那样，是完全重合在一起的．而是具有不同负斜率的两条曲线．二者的关系如下述定理所述（参见图2.4.6）．2-86应用(II)市场理论（续）完全垄断边际收入与平均2-87应用(II)市场理论（续）完全垄断AR

QROMR

图2.4.6平均收入与边际收入曲线AR>MR2-87应用(II)市场理论（续）完全垄断ARQROM2-88应用(II)市场理论（续）完全垄断定理2.4.9对于完全垄断市场以及其它各种不完全竞争市场，则MR必然低于AR，即MR<AR．证明：由于TR=PQ，而P是Q的减函数，故证毕。收入曲线与需求的价格弹性自学2-88应用(II)市场理论（续）完全垄断定理2.4.92-89应用(II)市场理论（续）完全垄断短期均衡模型单个工厂的情形总利润：(Q)=TR(Q)－TC(Q)总收入：TR=PQ需求方程式：P=g(Q)总成本：TC=F(Q)+b均衡条件：

P

AVC其中F(Q)是可变成本，b是固定成本．前两个方程称作定义方程，第三、四个方程称作行为方程，最后三个式子称作均衡条件．P，Q，TR(Q)，

TC(Q)和(Q)都是内生变量，b为参数．短期均衡模型多个工厂情形（优化理论）2-89应用(II)市场理论（续）完全垄断短期均衡模型2-90例如：线性需求函数和线性成本函数情形1）假设厂商的逆需求函数为P=a

bQ，这里a是需求截距，b是需求斜率，a，b>0．2）假设厂商的成本函数为TC=cQ+f，这里c是边际成本，f是固定成本，c，f>0．3）假设a>c.试确定均衡生产量和均衡价格．解：(Q)=TR

TC=(a

bQ)Q(cQ+f)令(Q)=(a2bQ)

c=0得到Q*=(a

c)/2b(Q*)=2b<0P*=a

bQ*=(a+c)/2

c=AVC因此Q*和P*分别是最优生产量和最优定价问题：当a<c时，厂商是否有均衡产量和均衡价格？2-90例如：线性需求函数和线性成本函数情形2-91应用(II)市场理论（续）完全垄断双寡头垄断（dulpoly）和寡头垄断（oligopoly）放在优化理论中介绍．2-91应用(II)市场理论（续）完全垄断双寡头垄断（d2-92单变量函数的微分学及应用第二章2-1单变量函数的微分学及应用第二章2-93第二章基本内容

导数与微分经济学概念导数与微分的应用（II）供求理论消费理论厂商理论市场理论导数与微分的应用（I）Lagrangian中值定理与Taylor中值定理函数单调性函数凹凸性函数的极值2-2第二章基本内容

导数与微分经济学概念导数与微分的应用2-94导数与微分变量与函数变量经济学中的实际问题，往往由许多因素组成．可分为两类：1)原因因素，数学上称作自变量，经济学上称作外生变量（不可控因素）；2)结果因素，数学上称作因变量，经济学上称作内生变量（可控因素，即模型的解）．函数我们主要研究内生变量与外生变量之间的关系，数学上用因变量与自变量之间的函数关系来描述2-3导数与微分变量与函数2-95导数定义设y=f(x)是定义在集合S上的一元函数，x0S，则f(x)在x0处的导数定义为或称f

(x)为定义在S上的导函数．由导数定义可知f(x+1)f(x)

f

(x)（参见后面的应用）2-4导数定义或称f(x)为定义在S上的导函数．2-96导数

（续）几何解释f

(x0)是函数f(x)的图形在点(x0，f(x0)点处切线的斜率，该点处切线的方程为yf(x0)=f

(x0)(xx0)经济解释经济学中许多重要的概念是用导数来刻划的；数学上的导数，对应着经济学上的边际；利用导数进行经济分析，简称边际分析；例如，需求量Qd=f(P)对价格P的导数f(P)称为价格的边际需求量．2-5导数（续）几何解释2-97导数

（续）经济应用－－经济学中的边际概念经济学中的边际概念定义为一个经济量X在原有值X0的基础上再增加一个单位而导致的另一个经济量F(X)的增量，数学上表示为F(X0+1)

F(X0)F(X0)．劳动的边际产量是指再雇用一个单位的劳动所增加的产量；假设生产函数为Q=F(L)，当前劳动为L0个单位，则劳动的边际产量为F(L0+1)

F(L0)F(L0)．2-6导数（续）经济应用－－经济学中的边际概念2-98导数与微分

（续）例如，设有生产函数Q=F(L)=L1/2/2，L0=100。计算知F'(L0)=F'(100)=0.025，F(101)F(100)=0.0249．可见导数F(100)是边际产量F(101)F(100)的一个很好的近似值尽管F'

(X)不能精确表示由X增加一个单位而导致的F(X)的增加量，但经济学家们仍然用它来表示F(X)的边际变化．这是因为1）单一项F'(X)比差F(X+1)F(X)简单；2）F'(X)避免了“用何单位度量X增加一个单位”这一问题．2-7导数与微分（续）例如，设有生产函数Q=F(L)2-99微分

定义

设y=f(x)是定义在集合S上的一元函数，x0S．给定自变量x的一个增量x，若函数的增量y可表示为：

y=f(x0+x)

f(x0)=Ax+o(x) 则称函数f(x)在x0处可微，并称Ax为函数f(x)在x0处的微分，记作dy|x=x0=Ax或dy|x=x0=Adx．微分的计算若函数f(x)在x0处可微，则dy|x=x0=f

(x0)x．2-8微分定义2-100微分

（续）微分的应用微分可用于近似计算．这是因为由微分的定义可知

y=f(x0+x)

f(x0)

f

(x0)x或f(x0+x)

f(x0)+f

(x0)x. 在前面知道可用导数计算某个经济量x增加一个单位时相应的另一个经济量的变化．若经济量X增加X个单位，则可用上式式计算相应的另一个经济量F(X)的变化．2-9微分（续）微分的应用2-101导数与微分

（续）例如，设有生产函数Q=F(L)=L1/2/2，将劳动力L由900个单位削减到896个单位，试估计产量的变化和在L0=896处的新产量．解：Q=f

(900)(896900)=1/30单位F(896)=F(900)+Q=14.9667单位2-10导数与微分（续）例如，设有生产函数Q=F(L2-102Lagrangian中值定理若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，则至少存在一个(a，b)使下式成立

f(b)

f(a)=f

()(b

a).几何解释：在弧AB上至少有一点C，使曲线f(x)在C点处的切线平行于弦AB．OCABabf(x)2-11Lagrangian中值定理若f(x)在[a，b]上2-103Taylor中值定理设x0

(a，b)，f(x)在(a，b)内有直到n+1阶的导数，则当x

(a，b)时，存在在x0与x之间，使得下式成立其中称作Taylor余项当n=0时，Taylor公式成为Lagrangian中值公式，因此Taylor中值定理是Largrangian中值定理的推广．2-12Taylor中值定理设x0(a，b)，f(x)在2-104应用(I)单调性、凸凹性、极值介绍Largrangian中值定理和Taylor中值定理在函数的单调性、极值和凹凸性等方面的应用．函数单调性的判定函数凹凸性的判定函数的极值2-13应用(I)单调性、凸凹性、极值介绍Largran2-105应用(I)单调性

f(x)单调的充分条件设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，则(1)f(x)在[a，b]上严格单调增加的充分条件是在(a，b)上恒有f'(x)>0；(2)f(x)在[a，b]上严格单调减少的充分条件是在(a，b)上恒有f'(x)<0．证明：由Largrangian中值定理证明．几何解释：f(x)在[a，b]上严格单调增加（或减少）等价于f(x)图形上任一点处的切线与x轴的正向的倾角小于（或大于）900函数的单调性在经济学中用于比较静态分析等．2-14应用(I)单调性f(x)单调的充分条件函数的2-106应用(I)单调性（续）

f(x)严格单调的必要条件设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导且f'(x)0，则(1)f(x)在[a，b]上严格单调增加的必要条件