工程结构中的阻尼

2015/10/22第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼一、阻尼材料二、工程中的阻尼器斜拉索阻尼器房屋减震阻尼器沥青阻尼垫片软橡胶高分子涂料桥梁减隔震在振动物体产生高的共振振幅前,

先将一部分振动能在自身中消耗,以达到减小振幅、降低振动能之目的,这就是阻尼材料,是具有较大内损耗、内摩擦的材料，如沥青、软橡胶以及其他一些高分子涂料。房顶减隔震第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼二、工程中的阻尼器二、工程中的阻尼器铅剪切阻尼器阻尼的作用1)

阻尼有助于降低机械结构的共振振幅，从而避免结构因动应力达到极限所造成的破坏。阻尼有助于机械系统受到瞬态冲击后，很快恢复到稳定状态。普通摩擦阻尼2)粘滞流体阻尼器3)

阻尼有助于减少因机械振动所产生的声辐射，降低机械噪声。4)

可以提高各类机床、仪器等的加工精度、测量精度和工作精度。5)

阻尼有助于降低结构传递振动或声能的能力，用于隔振、隔声及阻断能量的传递。消能减振原理粘弹性阻尼器磁流变阻尼器1)从动力学观点看，相当于增大结构的阻尼，使结构的响应变小。2)从能量观点看，结构本身的振动能量是一定的，通过耗能装置消耗掉一部分能量，使结构本身需消耗的能量减小。粘滞阻尼墙3)在风或小震下具有较大的刚度，强动力载荷情况下应首先进入非弹性，产生较大阻尼，消耗振动能量。与隔震技术相比，消能减振技术在控制中高层结构地震反应方面有独特优势。形状记忆金属阻尼器

金属阻尼器

粘弹性阻尼器

摩擦阻尼器

粘滞流体阻尼器

形状记忆金属阻尼器

橡胶隔震支座橡胶隔震支座

粘滞阻尼墙

磁流变阻尼器第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼二、工程中的阻尼器三、阻尼基本概念及分类1、基本概念（1）阻尼实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力，非弹性力起阻尼作用。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振动规律，如：（英语：damping）是指任何振动系统在振动中，引起振动幅度逐渐下降的外界作用或系统本身固有的原因，或者说是描述结构在受外界激励产生振动的过程中，机械能每个周期内产生能量耗散的参数。结构振动过程中，产生阻尼的机理是非常复杂的，整体结构在振动过程中，将振动能量不可逆转的转化为热能的本领定义为阻尼。忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。在日常生活中，很少有机会观察到无阻尼运动现象．当结构中没有阻尼时，一旦建立起振动．由于没有能量消耗．振动将一直保持下去，显然这是不存在的．然而与它十分相近的情况还是能遇到的．

最典型的例子是钟

，

这是一种产生单频长时间振动的特殊结构，振动时辐射出悦耳的声音。在设计钟时，要使其在支点处运动非常小．以便尽可能减小振动能量消耗．且当钟被撞击时，只有一个振动模态受到高强度的激励。自由振动的振幅永不衰减。共振时的振幅趋于无穷大。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅较大但为有限值。事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也不会无限增大，而是一个有限值。显而易见，任何阻尼的存在都直接影响到钟的性能。相反在噪声和振动控制中．阻尼确确实实是一种非常有效的工具和方法。为了经济、有效地应用阻尼技术，有必要了解什么是阻尼．根据对大多数物理现象的研究，从阻尼所起作用来理解阻尼是最容易的，即观察阻尼存在与否、阻尼性质及如何影响结构振动。非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构的振动规律，就要研究阻尼。12015/10/22第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼三、阻尼基本概念及分类三、阻尼基本概念及分类1、基本概念（2）阻尼系数1、基本概念定义如下两个参量表征阻尼大小的常数，常用c表示。如下运动方程中的第二项中c即表示该系统的阻尼系数。第一个为系统固有频率，第二个为阻尼比。可将方程(b)进一步写成以下形式(a)（3）阻尼力阻尼比在土木、机械、航天等领域是结构动力学的一个重要概念，指阻尼系数与临界阻尼系数（阻尼比等于1时的阻尼系数，即

c

2

km

）之比，表达结构体标准化的阻尼大小。阻尼比是无单位量纲，表示了结构在受激振后振动的衰减形式。可分为等于1，等于0,

大于1，0-1之间4种，阻尼比=0即不考虑阻尼系统，结构常见的阻尼比都在0-1之间.在物理学和工程学上，阻尼的力学模型一般是一个与振动速度大小成正比，与振动速度方向相反的力，该模型称为粘性（或粘滞）阻尼模型，这个力即为阻尼力，如以上方程(a)中的第二项即为阻尼力。注意：1）阻尼力可能与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。2）阻尼力可能与质点速度无关（如摩擦力）。对结构基本处于弹性状态的情况，各国都根据本国的实测数据并参考别国的资料，按结构类型和材料分类给出了供一般分析采用的所谓典型阻尼比的值。综合各国情况，钢结构的阻尼比一般在0.01－0.02之间（单层钢结构厂房可取0.05），钢筋混凝土结构的阻尼比一般在0.03－0.08之间，对于钢-混凝土结构则根据钢和混凝土对结构整体刚度的贡献率阻尼比取为0.025－0.035。（4）阻尼比将方程（a)改写成如下形式(b)第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼三、阻尼基本概念及分类三、阻尼基本概念及分类2、阻尼的分类2、阻尼的分类在土木结构的动力问题中，结构振动耗能是客观存在着的，根据结构振动耗能的原因，阻尼可被分为外部阻尼和内部阻尼。（1）系统阻尼指对某一振动结构上附加阻尼材料或附加结构，目的是增加自身的阻尼，即在系统中设置专用的减振弹簧和冲击阻尼器等阻尼减振器。外部阻尼是指结构周围介质对结构振动能量的消耗。它可分为介质阻尼、外摩擦阻尼和辐射阻尼。（2）库伦阻尼指用来描述两个接触的结构，在常压力下，在两个接触表面之间形成的干摩擦。

在工程中，

常用来描述两个被铆接或者是螺栓连接的阻尼形式。介质阻尼是指物体在流体介质中运动时，会产生介质的粘性阻尼诸如空气动力阻尼、水动力阻尼和油阻尼等，因此介质阻尼也称为粘性阻尼；外摩擦阻尼也称干摩擦阻尼或库仑阻尼，它是指结构构件在接触面上出现相对滑动而产生干摩擦，运动机械能通过摩擦被转化为热能，耗散到周围介质中；辐射阻尼，特指地基与结构动力相互作用中，结构的振动能量通过地基基础向外辐射传递所产生的能量耗散。（3）粘滞阻尼众多阻尼中，工程上应用最广泛的阻尼，由于阻尼模型的简化为比例阻尼，对复杂的模型解耦十分方便，并且有一定的精度保证，满足了工程上的应用。对于单自由度模型中，阻尼力假设与结构中的每个节点处运动速度成正比。（4）结构阻尼与其它阻尼相比，结构阻尼是最难于研究的阻尼形式，表现在即使在相同的材料前提下，对于不同种的结构形状，得到了不同的阻尼。由于现实机械设计加工领域以及土木工程中,不同形状结构的设计很多，这使得结构阻尼有了广阔和重要的应用价值。内部阻尼是指结构自身对振动能量的耗散性能，可分为材料阻尼和结构阻尼。材料阻尼取决于建筑的材料性质，

其阻尼由动力状态下结构或非结构构件材料内部宏观或微观粒子间的运动摩擦所形成，属于内摩擦耗能。第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼三、阻尼基本概念及分类四、工程结构中的阻尼模型十五世纪中期，意大利人达·芬奇开启了阻尼研究的历程。他发现了未涂润滑剂、干燥的两接触运动表面之间产生阻碍运动的动摩擦力，仍然遵从静摩擦力中的两条定律，即：两接触结构产生摩擦时，在很大的范围内，摩擦力的大小与两结构的接触面积是无关的；接触面间的动摩擦力大小正比于接触面上的正压力，两接触表面之间的相对运动速度对动摩擦力大小没有影响。2、阻尼的分类结构阻尼是描述振动系统在振动时能量损耗的总称。结构阻尼简单的理解就是结构本身的，内部的阻尼，是引起能量损耗的原因，主要有以下几个方面：①由于材料的内摩擦作用而使机械能量逐渐转化为热能消失在周围的介质中,这是能量耗散的主要原因;（1）粘滞阻尼模型粘滞阻尼模型所表达的阻尼力与变形速度成比例。②周围介质对振动的阻尼;

如空气、水、油等对处于其中的结构的阻尼作用。粘性阻尼在相当广的范围内与速度平方成正比，只有在低速(小于

0.2

m/s)运动中与速度的一次方成正比，通常建筑物阻尼力与速度的一次方成比例，则其阻尼力是线性的，表示为③节点、支座联接间的摩擦阻力,

主要是由构件之间或构件与支座间的相对运动所产生的;FD

cx此时单自由度体系的运动方程为④通过支座基础散失一部分能量。建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，振动波在土壤中传播而耗散能量；mx

cx

kx

f采用阻尼比来表示时，运动方程可以表达为：x

2

x

2

x

f

m0022015/10/22第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼四、工程结构中的阻尼模型四、工程结构中的阻尼模型（2）等效粘滞阻尼系数工程中结构的阻尼源于多方面，其特点和数学描述更为复杂，这时可以将复杂的阻尼在一定的意义上等效成粘性阻尼。

一般采用基于能量等效的原则。阻尼耗散能量的大小可以用阻尼力的滞回曲线反映。WDUceq

WD

-----为非粘滞阻尼机构中逸散能2U-----为稳态响应的幅值粘滞阻尼自由振动系统衰减记录不同粘滞阻尼自由振动系统衰减记录2粘滞阻尼模型的显著特点是数学上处理的方便性，

不论是简谐振动还是非简谐振动都可以直接写出系统的运动方程。由于与速度成正比，它所建立的运动方程为线性微分方程，使求解简便，故粘滞阻尼模型是迄今应用最为广泛的阻尼模型。TTFcxdt

cx2dt

c2U

2

cos2t

dt

πcU

2WD000（3）滞变阻尼模型滞变阻尼模型所表达的阻尼力与弹性恢复力成正比，方向与速度同相位。其阻尼力可表示为粘滞阻尼模型存在着不足之处，按该模型推得的对数衰减率与自振频率成反比，这是不符合实际情况的。近代大量试验表明对数衰减率主要与材料性质及结构类型有关，而与自振频率的关系不大。FD

ikxη

----为复阻尼系数，也称为损耗因子。该模型下单自由度体系的运动方程为复数微分方程：mx

k(1

i)x

f第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼四、工程结构中的阻尼模型mx

k(1

i)x

f由于采用复数表示阻尼力，滞变阻尼模型也称为复阻尼模型。四、工程结构中的阻尼模型该模型下单自由度体系的运动方程为：mx

FN

sign(x)

kx

f干摩擦在一个周期内耗散的能量为滞变阻尼模型的特点是它具有非频变的特性，符合材料内摩擦等耗能因素引起的阻尼力在相当宽的频带内变化平缓的事实，在结构简谐振动的分析中行之有效。E

4FNU库伦摩擦SDOF系统该模型的分析结论原则上只适用于稳态简谐振动与稳态简谐受迫振动，将其应用于更一般的动力分析，将遇到有悖于物理事实的问题，如考虑阻尼时的自振频率大于不考虑阻尼时的自振频率，这是不符合客观物理事实的，并且对于一般的非简谐地震反应来说，其计算过程复杂，基于以上原因，滞变阻尼模型在结构地震反应分析中应用不多。所以，等效粘性阻尼为E4FNce

πU2

U（4）库仑阻尼模型干摩擦阻尼(库仑阻尼模型)遵循库仑定律F

F

sgn

xdN库伦摩擦系统的自由振动响应其中μ为动摩擦系数；sgn为符号函数振幅线性衰减第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼四、工程结构中的阻尼模型四、工程结构中的阻尼模型（5）Rayleigh阻尼也称为经典阻尼Rayleigh阻尼模型是广泛采用的一种正交阻尼模型，其数学表达式如下：利用公式:得到：结构的振型是关于质量阵和刚度阵正交的，很容易想到，质量矩阵和刚度矩阵的线性组合必定满足正交条件，因此,Rayleigh阻尼是一种正交阻尼。其中a

和a

是两个比例常数(比例系数)，分别具有s-1和s的量纲。可以用设ζ

和ζ

给定，可写出计算a

和a

的矩阵形式01实际测量得到的结构阻尼比来确定，或通过给定的两个振型阻尼比的值ij01来确定，为此要把Rayleigh阻尼公式化成由阻尼比表示的形式。将Rayleigh阻尼公式分别左乘振型的转置{φ}nT和右乘振型{φ}n得:振型阻尼比ζ

=ζ

=ζ时，上式简化为：ij其中C

、M

、K

分别是第n阶振型阻尼系数、振型质量和刚度:nnn32015/10/22第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼四、工程结构中的阻尼模型五、测定阻尼的方法经过简单的运算就可以得到进行结构动力反应计算所需的阻尼矩阵：1、共振放大法1根据动力放大系数Rd

Rd

[1

(

/

)2

]2

[2

(

/

)]2nn保证构造的阻尼矩阵合理、可靠，在确定Rayleigh阻尼的常数a0和a1时，必须遵循一定的原则，否则构造的阻尼阵可能导致计算结果的当发生共振(ω/ωn＝1)时严重失真.u0

(ustu0ust

nn)12定Rayleigh阻尼的原则：R

(

)

dn所选择的两个用于确定常数a

和a

的频率点ω

和ω

要覆盖结构分析中感兴趣的频段。01ij兴趣频段要根据作用于结构上的外荷载的频率成份和结构的动力特性综合考虑。1ust如果已知结构各构件的单元阻尼矩阵，则可以抛弃本节的内容，直接生成阻尼阵。如果采用振型叠加法分析经典阻尼体系时，则根本不用生成结构的总体阻尼矩阵。

2R

(

)

2u

(

)dn0n第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼五、测定阻尼的方法五、测定阻尼的方法1、共振放大法2、半功率(带宽)法1ust

利用自功率谱的共振峰寻找系统的固有频率，再根据其谱线求得系统阻尼。半功率点2R

(

)

2u

(

)dn0n在纵坐标上寻找半功率点，即取峰值的由于从动力放大曲线定u

(ω

)不容易，一般用u0m代替，0n1,2u0m=max(u

)，则:也就是约为峰值的0.707处，并过此值作一水平线，它与功率谱曲线的交点称为半功率点，对应于水平轴上得到01ust

2(Rd

)max

2u0m用共振放大法确定体系的阻尼比，方法简单。但实际工程中测得的动力放大系数曲线一般以u0－ω图给出，用以上公式计算阻尼比时，还需得到零频时的静位移值ust，实际测量静载位移无论从加载设备和记录(拾振)设备都有一定的困难，即实现动力加荷和测量动力信号的设备不能在零频率时工作。因此工程中往往采用半功率(带宽)法从动力试验中得到阻尼比ζ。两个频率点，其差为

,已知共振频率（峰值频率）为n则可得系统阻尼比为第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼五、测定阻尼的方法五、测定阻尼的方法2、半功率(带宽)法2、半功率(带宽)法此方法简便易用，在工程中应用极广，但是在小阻尼的情况下，在低频段如果峰值频率存在误差，即使有很小的误差，计算出的阻尼误差也很大，而且在频率分辨率不是很高的情况下，即当

f

n

2

时，利用半功率带宽法时需要采用插值，这样带来的误差更大。由于半功率带宽法只需要自功率谱上三点的值，有人在此基础上提出了功率谱三点法来求取阻尼。解得当阻尼比很小时（1）单自由度系统的半功率(带宽)法考察半功率点对应的频率值，即满足方程m---系统质量其中固有频率------阻尼比的两个解从而求幅频曲线的峰值所对应的圆频率得到该方法同样适用于速度和加速度的频响函数。42015/10/22第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼五、测定阻尼的方法五、测定阻尼的方法2、半功率(带宽)法例题分析3、每周共振能量损失法每周共振能量损失法又称为滞回曲线方法。对于一个有阻如下图1所示，一振动系统的频谱图，式采用半功率带宽法计算该系统的阻尼系数。尼的动力系统，在振动过程中，力和位移形成一滞回曲线。由于系统中的惯性力、弹性力和其它保守荷载的存在，滞回曲线的形状会发生变化。但是，在一个完整的循环过程中，保守力做功为零。故此，系统的功就等于系统能量的损耗，这是由系统阻尼力做功产生的。从而，根据力与位移滞回曲线的面积可求出系统的阻尼。解：半功率带宽法计算公式定义在一个循环过程中能量损失为f为阻尼力d同样，通过力与位移滞回曲线可以确定系统的最大能量。可以通过如下方程计算能量损失因子第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼五、测定阻尼的方法五、测定阻尼的方法3、每周共振能量损失法3、每周共振能量损失法2

/2

/

(

)

0cx

xdtcx

dt2这里，在一个循环过程中单位质量能量损耗可通过以下方式计算0U

2mx02n

c02

/

[x0cos(t

)]2dt考虑公式

cx02考虑公式得到在一个循环过程中单位质量能量损耗可表示为

cx02在一个循环过程中单位质量能量损耗可通过积分求解得到我们知道，系统的最大能量可通过系统的初始势能表示为

EDfDdx第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼五、测定阻尼的方法五、测定阻尼的方法4、阻尼比的测定3、每周共振能量损失法ykyk12r对数递减率：

ln

T

因为n从而当1ykyk12

ln故此，可根据上式计算出结构的阻尼1

2U4Umax

当

0.2，则

1r该方法仍属于时域分析方法。对数衰减率与阻尼比之间的精确和近似关系1

r2

yk1yk

lnlnyk

1

2

yk

1

252015/10/22第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼五、测定阻尼的方法五、测定阻尼的方法4、阻尼比的测定4、阻尼比的测定对数递减率：yk2rykyk12r对数递减率：ln

Tln

T

1

ryk

1yk12yklnr

ln当

0.2，则

1当

0.2，则

12

yyk

1r自由振动的振幅减少50%所需要的循环次数k

11yk1yk

rlnlny(t)12

nykykn12ny12

yk

1

2

yk

1设和yk

yk+n相隔

个周期，则：n

ln

lnetky设yk和yk+n

相隔n个周期，则：j1e(tk

nT

)12

nykykn1y1t

ln

ln2n

yj10tktk

+nTe

tT2/d体系自由振动的加速度记录第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼五、测定阻尼的方法五、测定阻尼的方法4、阻尼比的测定4、阻尼比的测定例题分析例题分析计算图示刚架的阻尼系数已知：

•

柱子无重、刚性梁；T

1.40s

m

894t5mm确定体系的自振频率1•••F=90kN使大梁产生5mm的初位移；F摆动1周后的位移4mm；周期为1.4s.m:11.4vf

0.714Hz

2f

4.48rad/sln

0.0355EI1

T115EIEI阻尼特性:

ln

0

[解]

确定梁的有效质量:2π

v1

242mk计算阻尼系数：T

2

1.40sc

2m

28944.480.0355

284

kNs/m六周以后振幅：221.4

T

2

90m

k

894tvv6456v6

5.0

1.311mm0

v0

20.0051

第四讲：工程结构中的阻尼第四讲：工程结构中的阻尼五、测定阻尼的方法六、粘性阻尼体系的能量耗散4、阻尼比的测定例题分析SDOF体系在简谐力p(t)=p0sinωt作用下，[例13.8]

已知结构的振动周期为T=0.3s

，ξ=0.1，y0=1mm,试求振幅衰减到初始位移的5%时（y=0.005mm)以下所需的时间（以整周计算）。在一个振动循环内的能量耗散记为：ED—

阻尼引起的能量耗散，即阻尼力做的功；EI

—

外力做的功；ya弹性力做的功；EK

—

惯性力做的功。y