20182019学年高中物理第六章万有引力与航天第4节万有引力理论成就学案新人教必修2

20182019学年高中物理第六章万有引力与航天第4节万有引力理论的成就教案新人教版必修220182019学年高中物理第六章万有引力与航天第4节万有引力理论的成就教案新人教版必修258/58袂PAGE58螀螆袈蕿蒆蚃羂膆膀蚆薀袀芅膅肂螅薁薆肈肁肄蒃膂莄羂蒆螀节肇螁膁芇腿莆芈艿袆芃芁袆薀芇羀蒀薅薁蚅蒅羁膇莈螁蚈膃螅肄莂膇膀蚈莇蒁袅蚄螃肇薇羀膅羄袅薇衿羇艿膁羄节羅膆芀袇螇莂羇螄肅蚅蚁螇葿荿螆肂膄芄肂蚇袇薀蒅蚄芄袃艿薈虿袁芄袂莄螆蚀薈肇螈芇蒄莄螁肁袃蝿蒅肆膈蒄莀蒂螄芆蚆袄蚀薄罿袂蚄羈袇袇羈蚄袂罿薄蚀袄蚆芆螄蒂莀蒄膈肆蒅蝿袃肁螁莄袀芇膄肇羃蚀膂莄芈芄芇虿羃艿荿芄肀蒅羆袇肃肂螀膄蒇螆螅葿膃蚁膁肅腿羇螇螇芃芀薁羅蚇羄薆艿莃衿羂袅荿膅莅薇蒃螃聿袅袇莇肄膀薂莂蒀螅蕿蚈膇莈薂羁袁蚅羇薅袆羀蚂薀节芁虿袆蚅芈螂腿蚃膁膆肇蚈螀袂羂螀膂袈肄蒆肈羂薁膀肂薀芅芅薀肂膀薁羂肈蒆肄袈膂螀羂袂螀蚈肇膆膁蚃腿螂芈蚅袆虿芁节薀蚂羀袆薅羇蚅袁羁薂莈膇蚈蕿螅蒀莂薂膀肄莇袇袅聿螃蒃薇莅膅荿袅羂衿莃艿薆羄蚇羅薁芀芃螇螇羇腿肅膁蚁膃葿螅螆蒇膄螀肂肃袇羆蒅肀芄荿艿羃虿芇芄芈莄膂蚀羃肇膄芇袀莄螁肁袃蝿蒅肆膈蒄莀蒂螄芆蚆袄蚀薄罿袂蚄羈袇袇羈蚄袂罿薄蚀袄蚆芆螄蒂莀蒄膈肆蒅蝿袃肁螁莄袀芇膄肇羃蚀膂莄芈芄芇虿羃艿荿芄肀蒅羆袇肃肂螀膄蒇螆螅葿膃蚁膁肅腿羇螇螇芃芀薁羅蚇羄薆艿莃衿羂袅荿膅莅薇蒃螃聿袅袇莇肄膀薂莂蒀螅蕿蚈膇莈薂羁袁蚅羇薅袆羀蚂薀节芁虿袆蚅芈螂腿蚃膁膆肇蚈螀袂羂螀膂袈肄蒆肈羂薁膀肂薀芅20182019学年高中物理第六章万有引力与航天第4节万有引力理论的成就教案新人教版必修2

第4节万有引力理论的成就

核心涵养要点词知识系统

若不考虑地球自转的影响，地面上物体所

Mm受重力等于地球对物体的引力，即mg＝GR2，

gR2可得地球质量M＝G，该公式同样适用于其

他天体.

依照万有引力供应行星做圆周运动的向心

力，只要测得某行星绕太阳运转的轨道半径r

34πr

GT

英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的

天文学家勒维耶预知了海王星的存在，1846

年9月23日晚，德国的伽勒发现了被预知的海王星.

彗星的回归.

一、地球质量的计算

在不考虑地球自转的情况下，地球表面物体所受的重力等于地球对它的万有引力，即

MmgR2mg＝GR2，解得M＝Gg、R并在卡文迪许正确测定引力常量G后，可据上式获取地球的质量.

二、天体质量的计算

计算中心天体的质量，第一察看围绕天体的轨道半径r和运动周期T，依照万有引力提1Mm4π2M＝4π23供向心力，G2＝m2r，解得中心天体质量2rＷ.rTGT三、发现未知天体

海王星的发现和哈雷彗星的回归.

一、合作研究找规律考点一计算天体的质量T和卫星到地心的距离r，能够计算卫星的质量吗？T和地球到太阳的距离r，能够计算太阳的密度吗？GMm4π2r2＝mT2r，等式两边卫星的质量消去了，只能计算中心天体的质量.

2.不能够够，只能计算太阳的质量，但由于不知道太阳的半径，故无法计算太阳的密度.

考点二发现未知天体

如图，行星在围绕太阳做匀速圆周运动.

行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？

行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自己质量相关

吗？

Mmv2GMGr2＝mr得v＝r，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星的轨道半径共同决定的.Mmnv224π2m，能够消掉.Gr2＝ma＝mr＝mωr＝mT2r各项中都含有2

二、理解看法做判断

卡文迪许测出了万有引力常量，使得万有引力定律有了实质的应用价值.(√)

利用万有引力能够确定天体的质量，如确定地球的质量.(√)

冥王星被称为“笔尖下发现的行星”.(√)

科学家在察看双星系统时，同样能够用万有引力定律来解析.(√)

要点1|计算天体的质量和密度

计算天体质量的思路和公式

将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力供应的，依照圆周运动的知识和牛顿第二定律可知相关天体运动的一些物理量有以下关系：

Mm向＝v224π2Gr2＝＝mrω＝＝2.mamrmωvmrT重力近似等于其所受的万有引力，即：

Mmmg＝GR2(m在M的表面上).

说明：①万有引力供应天体运动的向心力以及重力近似等于万有引力是我们研究天体运动的两大依照.

②式中的r是天体做匀速圆周运动的轨道半径，R是被围绕天体的半径.

计算被围绕天体质量的几种方法

应用万有引力定律，不但能够计算太阳的质量，还可以够计算其他天体的质量.下面以地

球质量的计算为例，介绍几种关于计算天体质量的方法：

若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为r，依照万有引力供应向

M·m4π22r34π地r月＝mrT，可求得地球质量M＝GT.心力，即G2月2地2

3(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和月球运转的线速度v，由于地球地·月v2Mm对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，依照牛顿第二定律，得Gr2＝m月r，解得地球质量地＝rv2.MG(3)若已知月球做匀速圆周运动的线速度v和周期T，由于地球对月球的引力等于月球M·m2πM·mv2地月＝m月vT地月做匀速圆周运动的向心力，依照牛顿第二定律，得Gr2，Gr2＝m月r，以Tv3上两式消去r，解得地球的质量为M地＝2πG.说明：依照万有引力定律只能计算被围绕的中心天体的质量.

利用绕地球运转的各种航天器(卫星、宇宙飞船、航天飞机、空间站)，测出其轨道

半径r、周期T或线速度v等，利用万有引力供应向心力列出相关方程即可求出地球质量.

求其他天体的质量的思路和方法：经过察看，搜寻其卫星，测出其卫星运转的轨道半径、周期、线速度等；也许对该天体发射一围绕运转的翱翔器，测出该翱翔器运转的轨道

半径、周期、线速度等，利用万有引力供应向心力列出相关方程求解.

利用天体的卫星来求天体的密度

Mm4π2设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程Gr2＝mT24π2r3423πM＝GT3.当天体的卫星围绕天体表面运动时，其r，又M＝ρ·πR3，得ρ＝＝2r334πR34πR3GTR33轨道半径r等于天体半径3πR，则天体密度ρ＝2.GT

利用天体表面的重力加速度来求天体的密度

由＝Mm＝43＝3g为天体表面的重力加速度，为天2和ρ·πR，得ρ，其中gRmgGRM34πGR体的半径.

典例11969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只足迹，迈出了人类征服宇宙的一大步，在月球上，若是阿姆斯特朗和伙伴奥尔德林用弹簧测力计测出质量为m的食品的重力为F；而另一位宇航员科林斯驾驶指令舱，在月球表面周边4

翱翔一周，记下时间为T.引力常量G已知.

试依照以上数据求出月球的质量；

据题中所给数据求出月球的平均密度.

【思路点拨】利用月球表面处万有引力等于重力，当用弹簧秤在月球表面处测重力时，

F＝mg

再对指令舱依照万有引力供应向心力，列圆周运动的方程能够求出.

【解析】(1)设月球的质量为M、半径为R、表面的重力加速度为g，依照万有引力定

Mm律，有F＝mg＝GR2，①

依照指令舱做匀速圆周运动的向心加速度就是月球表面的重力加速度，有Fan＝g＝＝m2π2.②TR34联立①②求得月球质量＝FT43.M16Gπm指令舱的向心力等于月球对它的万有引力，即

Mm2π2GR2＝mTR

4π2R3得月球质量M＝2GT

4π2R3M23π所以月球的平均密度GTρ＝＝4＝2.433GT3πR3πRF3T43π【答案】(1)43(2)216GπmGT变式训练1－1(2018·济宁一模)关于围绕地球做圆周运动的卫

星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学依照测得的不

同卫星做圆周运动的半径r与周期T关系作出以下列图图象，则可求得地球质量为(已知引

力常量为G)()54π2b4π2aA．GaB．GbGaGbC．4π2bD．4π2aMm4π23GM2解析：卫星碰到的万有引力供应其圆周运动的向心力，Gr2＝mT2r，解得r＝4π2T，GMa4π2a比较图象可知，4π2＝b，地球的质量M＝Gb，B选项正确.答案：B

解决天体问题的思路和方法：

建立两种模型

①建立质点模型：天体有自然天体(如地球、月亮)和人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)两种，无论是哪一种天体，无论它的体积有多大，在解析天体问题时，第一应把研究对象看做

质点，人造天体直接看做一个质点，自然天体看作是位于球心地址的一个质点.

②建立匀速圆周运动模型：行星或卫星的绕行轨道多半为椭圆，但用圆周运动知识办理

近圆的椭圆轨道问题，误差不大并且方便解决.

抓住两条思路

天体问题实际上是万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律的综合应用，解决

问题的基本思路有两条：

思路1：利用在中心天体表面或周边万有引力近似等于重力.

MmGR2＝mg0(g0表示天体表面的重力加速度).

思路2：利用万有引力供应向心力

6Mmv224π2由此获取Gr2＝ma＝mr＝mωr＝mωv＝mT2r.

名师点易错

1.计算天体的质量的方法不但适用于地球，也适用于其他任何星体.注意方法的拓展应

.

要注意R、r的区分.R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径.若近地轨道运转，则有R＝r.

要点2|双星模型

双星模型以下列图：

1.两颗星球绕中心连线的某一点做匀速圆周运动，万有引力供应向心力，属于同轴转动

的模型，模型中的向心力、周期、角速度相等.

2.双星的轨道半径之和等于双星之间的距离，即rA＋rB＝L.mm2AB3.每颗星做匀速圆周运动的向心力由双星之间的万有引力供应，即GL2＝mAωrA＝B2BmArBmωr，解得＝r，两星做匀速圆周运动的半径与自己的质量成反比.mAB典例2冥王星和其周边的星体卡戎的质量分别为M、m(m<M)，两星相距L，它们只在互相间的万有引力作用下，绕球心连线的某点O到O点的距离分别为R和r.则以下说法正确的选项是()Mm2A．可由GR2＝MRω计算冥王星做圆周运动的角速度7

Mmv2B．可由GL2＝ML计算冥王星做圆周运动的线速度

Mm2π2C．可由GL2＝mrT计算星体卡戎做圆周运动的周期

D．冥王星与星体卡戎绕O点做圆周运动的线速度大小相等

【思路点拨】冥王星和其周边的星体卡戎依靠互相之间的万有引力供应向心力，使它

们绕连线上某点做圆周运动，两者必然拥有同样的周期和角速度，对两个星体分别列方程即

可求得.

Mm2v2【解析】依照题意，对冥王星受力解析能够知道：GL2＝MωR＝MR能够获取冥王星

Mm2π2的角速度和线速度，应选项A、B错误；对卡戎依照万有引力定律能够获取：GL2＝mTr

Mm2Mm计算星体卡戎做圆周运动的周期，应选项C正确；对冥王星：GL2＝MωR，对卡戎：GL2＝222

点做圆周运动的线速度大小不相等，应选项D错误.

【答案】C

变式训练2－1(多项选择)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只碰到互相

之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统，设某双星系统A、B绕其连线上的O点做

匀速圆周运动，以下列图.若AO＞OB，则()

A．星球A的质量小于星球B的质量

B．星球A的线速度大于星球B的线速度

C．星球A碰到的向心力大于星球B碰到的向心力D．星球A的向心加速度小于星球B的向心加速度AB22AGmmrB，解得，m解析：双星系统中，恒星间的万有引力供应向心力，2＝mAωrA＝mBω＝LBm8rBB的质量，A选项正确；双星角速度相等，线速度之比vArA，故星球A的质量小于星球＝，rAvBrB故星球A的线速度大于星球B的线速度，B选项正确；星球A碰到的向心力等于星球B碰到的向心力，C选项错误；向心加速度a＝ω2r，星球A的向心加速度大于星球B的向心加速度，D选项错误.答案：AB

所谓“双星”就是指两颗恒星在互相的万有引力作用下，绕两颗星连线上的某点做圆周运动的系统，以下列图.

与花式滑冰中两运动员的转动模型近似，双星系统拥有以下特点：(1)双星互相间的万有引力供应各自做圆周运动的向心力，即向心力等大、反向.(2)双星拥有共同的角速度，轨道半径和线速度均与双星的质量成反比.(3)双星向来与它们共同的圆心在同一条直线上.名师点易错

双星转动半径其实不是双星之间的距离，其转动周期同样而线速度大小一般不相等.

对点训练一计算天体的质量和密度

1.(2018·乐山模拟)一卫星绕某一行星表面周边做匀速圆周运动，其线速度大小为v.

假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体，物体静止时，弹簧测力计

的示数为F.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()

924mvFvA．GFB．Gm24FvmvC．GmD．GF解析：围绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力供应向心力.重力加速度g是联系星球表面宏观物体运动和天体运动的桥梁.物体专家星表面静止时，万有引力与弹簧弹力等大反向，＝，则行星表面的重力加速度gFMm＝，万有引力供应向心力，2FmgmGR24vmv＝mR＝mg，联立解得M＝GF，D选项正确.答案：D

2.

如图，人造卫星、在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动.已知、连线与、MNMNMO连线间的夹角最大为θ，则M、N的运动周期之比等于()31A．sinθB．sin3θ31C．sinθD．sin3θ

解析：设M、N的轨道半径分别RM、RN.据题卫星M、N连线与M、O连线间的夹角最大时，

MN连线与卫星N的运转轨道应相切，如图：

32TRT依照几何关系有RN＝RMsinθ，依照开普勒第三定律有：MMM3＝2，联立解得：＝RNTNTN10

1sin3θ，故D正确，A、B、C错误.

答案：D

3.(多项选择)已知质量分布平均的球壳对其内部物体的引力为零；假想在地球赤道正上方高

h处和正下方深为h处各修建一绕地心的环形真空轨道，轨道面与赤道面共面；两物体分别

在上述两轨道中做匀速圆周运动，轨道对它们均无作用力，设地球半径为R，则()

RRA．两物体的速度大小之比为R－h(R＋h)

RB．两物体的速度大小之比为R2－h2Rh

R3C．两物体的加速度大小之比为(R＋h)2(R－h)D．两物体的加速度大小之比为

R＋h

R－h

解析：设地球密度为ρ，则有：

43GρπR2在赤道上方：32＝v1＝a1，(R＋h)R＋h4(R－h)3Gρπ23v2在赤道下方：(R－h)2＝R－h＝a2解得：v1R(R＋ha1R3，故、正确；、错误.应选．＝22，＝2v2R－h)Ra2(R＋h)(R－h)ACBDAC答案：AC

对点训练二双星模型类问题

4.11

(多项选择)以下列图，在地月系统中，若忽略其他星球的影响，地球A和月球B在引力作用

下都绕O点做匀速圆周运动，两者中心之间的距离为L，引力常数为G.若不断把月球上的矿

藏搬运到地球上，经长时间开采后，地、月仍可看作是平均球体且地月之间的距离不变，地

月的总质量不变，则以下说法正确的选项是()

A．地月间的万有引力不变

B．地月的运动周期不变

C．月球的轨道半径增大

D．地球的轨道半径增大

解析：设月球质量为m，地球质量为M，月球与地球之间的距离为r，依照万有引力定GMm律得地球与月球间的万有引力：F＝r2，由于不断把月球上的矿藏搬运到地球上，所以m减小，M增大.由数学知识可知，当m与M相凑近时，它们之间的万有引力较大，当它们的质量之差逐渐增大时，m与M的乘积将减小，它们之间的万有引力值将减小，故A错误；设地球质量为，月球质量为，地球做圆周运动的半径为r1，月球做圆周运动的半径为r2，Mm则：地月间距离r＝r1＋r①2Mm4π2关于地球有：Gr2＝MT2r1②Mm4π2关于月球有：Gr2＝mT2r2③可得双星系统的周期＝2πr3，由于地月总质量＋不变，所以地球、月球TG(M＋m)Mm运动的周期不变，故B正确；由②③可得：Mr1＝mr2，因M增大，m减小，则r1减小，r2变大，故C正确，D错误.应选BC．

答案：BC

【增强基础】

R，公转周期为T，万有引力常量为G，由此可求出12

()

A．某行星的质量B．太阳的质量

C．某行星的密度D．太阳的密度

Mm2π24π2R3m被解析：由GR＝mRT得太阳的质量为M＝GT，B对；由上式可知行星的质量22约掉，故不能够求出某行星的质量及密度，A、C错；由于不知道太阳的体积，不能够求出太阳的密度，D错.答案：B2.(2018·宿迁一模)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内太空授课时，指令长聂海胜悬浮在太空舱内“太空打坐”的情况如图.若聂海胜的质量为，距离地球表面的高度为h，地m球质量为，半径为，引力常量为，地球表面的重力加速度为，则聂海胜在太空舱内受MRGg到重力的大小为()A．0B．mgMmMmC．G2D．G2h(R＋h)Mm解析：聂海胜在太空舱内碰到重力的大小等于万有引力，F＝G(R＋h)2，D选项正确，A、B、C选项错误.答案：D3.比邻星是离太阳系近来(距离太阳4.2光年)的一颗恒星，依照报道：2016年天文学家在比邻星的宜居带发现了一颗岩石行星——比邻星b，理论上在它的表面能够保持水的存在，甚至有可能拥有大气层.若比邻星b绕比邻星的公转半径是地球绕太阳公转半径的p倍，比邻星b绕比邻星的公转周期是地球绕太阳公转周期的q倍，则比邻星与太阳的质量之比为()

13A．p3q2B．p3q－2C．p－3q2D．p2q－3GM比邻mb4π223M日m地4π223解析：依照1，得比邻＝4πr12，解得日＝4πr22＝m2r2.依照G2＝地2r2.MmMrbTGTrTGT121122M比邻r32则1T23－2.故B正确，A、C、D错误.应选B．＝·＝pqMr322T日1答案：B

(2018·江西一模)地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，忽略行星自转影

响.依照下表，火星和地球对照()

行星半径/m质量/kg轨道半径/m地球×106×1024×1011火星62311×10×10×10

A．火星表面的重力加速度较大

B．火星的公转周期较大

C．火星的第一宇宙速度较大

D．火星做圆周运动的加速度较大

MmGM解析：解析可知，物体在星球表面碰到的重力近似等于万有引力，mg＝GR2，解得g＝R2，GM火2解析表格数据可知，火星表面重力加速度g火＝2＝3.7m/s，小于地球表面的重力加速度，R火GMm2π2A选项错误；星球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力供应向心力，r2＝mTr，解得T＝2πr3B选项正确；第一宇，火星的轨道半径大于地球公转轨道半径，公转周期较大，GMv2宙速度是近地卫星的围绕速度，重力充当向心力，mg＝mR，解得v＝gR，火星表面重力加GMm速度和星球半径均小于地球，第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，C选项错误；r2＝GMma，解得a＝r2，火星的轨道半径大于地球的轨道半径，圆周运动的加速度较小，D选项错14

误.

答案：B

5.为研究太阳系专家星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为

m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T.则

太阳的质量为()

4π2r3T2R2gA．T2R2gB．4π2mr34π2mgr24π2mr3C．T2R3D．T2R2gMm4π2解析：地球绕太阳运动的周期为T，万有引力供应向心力，Gr2＝mT2·r，质量为m′mm′的物体在地球表面碰到的万有引力近似等于重力，GR2＝m′g，联立解得太阳的质量M＝4π2mr3，D选项正确.22TRg

答案：D

【牢固易错】

6.(多项选择)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统以下列图，

三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个极点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的

引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则()

GmA．每颗星做圆周运动的线速度为R

3GmB．每颗星做圆周运动的角速度为R3

R3C．每颗星做圆周运动的周期为2π3Gm15

D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量没关

Gmm解析：任意两个星星之间的万有引力F＝R，每一颗星星碰到的合力，F＝3F，21

3由几何关系知：它们的轨道半径r＝3R①

2Gmmmv合力供应它们的向心力：3R2＝r②

Gmv3Gm2π联立①②，解得v＝R，故A正确；角速度ω＝r＝R3，故B正确；由T＝ω可得每颗星做圆周运动的周期为R3T＝2π，选项C正确；任意两个星体之间的万有引3GmGmmF＝3F，故向心加速度与质量相关，故力F＝R，每一颗星星碰到的合力就是其向心力，21

D错误.应选ABC．

答案：ABC

(2018·石景山区一模)双星是两颗相距较近的天体，在互相间万有引力的作用下，绕

连线上某点做匀速圆周运动.关于两颗质量不等的天体组成的双星，以下说法中正确的选项是

()

A．质量较大的天体做匀速圆周运动的向心力较大

B．质量较大的天体做匀速圆周运动的角速度较大

C．两颗天体做匀速圆周运动的周期相等

D．两颗天体做匀速圆周运动的线速度大小相等

解析：两天体在两者万有引力的作用下做匀速圆周运动，