微积分学课件-19第讲微分中值定理

高等院校非数学类本科数学课程大学数学（一）——

一元微积分学第十九讲 微分中值定理编写：刘楚中教案制作：刘楚中第四章

一元函数的导数与微分本章学

：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。了解n阶导数的概念，会求常见函数的n阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。第四章一元函数的导数与微分第五节微分中值定理一.费马定理二.罗尔中值定理三.

拉格朗日中值定理四.

柯西中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理微分中值定理xf

(x

x)

f(x)f

(x)

limx0函数导数的定义为即函数在点

x

处的导数等于x

0

时,

函数xf

(x

x)

f

(x)的极限值.在点x

处的差商导数与差商我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质,推出其整体的或“大范围”性质.

为此,我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式,

这些关系式称为“微分学中值定理”.这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日、柯西等数学家.首先,从直观上来看看“函数的差商与函数的导数间的基本关系式”是怎么一回事.Oxyx1x2y

f

(x)

可微ABPx0x2

x1k

f

(x2

)

f

(x1)割线AB

的斜率点P

处切线的斜率：k

f

(

x0

)导数与差商相等！将割线作平行移动,那么它至少有一次会达到这样的位置：在曲线上与割线距离最远的那一点P

处成为切线,即在点P

处与曲线的切线重合.也就是说,

至少存在一点

(x1

,

x2

)

,

使得f

(

)

f

(x2

)

f

(x1)x2

x1该命题就是微分中值定理.极值的定义设

f

(

x)

在

U(x0

)

内有定义,

若f

(x)

f

(x0

)

x

Uˆ

(x0

)

,则称f

(x0

)为f

(x)的极大值,f

(x)

f

(x0

)

x

Uˆ

(x0

)

,则称f

(x0

)为f

(x)的极小值,x0为函数的极大点.x0为函数的极小点.一.费马定理可微函数在区间取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理设

f x)

在(

区间

I

内有定义,

且在

I

内某点

处取极大（小）值.

若

f

(

)

存在

,

则必有f

(

)

0

.Oxy

f

(x)abP费马定理的几何解释y如何证明？设

f(

x)

在区间

I

内有定义,且在x

处取极大值f

(

),则有x

Uˆ

(

)f

(x)

f

(

)若f

(

)xx0f

(

)

lim

f

(

x)

f

(

)

0

,xx0f

(

)

lim

f

(

x)

f

(

)

0

,于是f

(

)

0

.（极小值类似可证）f

(x)

C

是特殊情况如何保证函数在区间内部取极值？f

(x)

C([a,

b])

可保证f

(x)在[a, b]

内取到它的最大最小值.Oxyaby

f

(x)但是……Oxy

f

(x)Pabf

(a)

f

(b)f

(x)

C([a,

b])f

(x)

在(a,

b)

存在f

(

)

0水平的可保证在一点取到极值y二.罗尔中值定理设

(1)

f

(x)

C([a,

b])

;(2)

f

(x)

在(a,

b)

内可导;(3)

f

(a)

f

(b)

,f

(

)

0

.则至少存在一点

(a,

b)

,

使得定理Oxyy

f

(x)

abAB实际上,切线与弦线AB

平行.

f

(

x)

C([a,

b])

f

(x)

必在[a,

b]

上取到它的最大值最小值至少各一次.x[a,

b]x[a,

b]m

min

f

(x)令

M

max

f

(x)

,(1)

若

M

mx

[a,

b]x

[a,

b]

m

f

(x)

M

f

(

x)

m故

(a,

b(2)

若

m

M

(即M

m)

f

(

x)

C([a,

b])

f

(x)

必在[a,

b]

上取到它的最大值最小值至少各一次.又

f

(a)

f

(b)

,故f

(x)不能同时在x

a

和x

b

处分别取到M和m

.即至少存在一点

(a,

b),

使得f

(

)

M由费马定理可知：f

(

)

0设

a,b,c,

d

皆为实数,

a

b

c

d

,f

(x)

(x

a)(x

b)(x

c)(x

d

,证明方程

f

(x)

0

仅有三个实根,

并

根所在区间.f

(x)

C(

[a,

b],[b,

c],[c,

d

,),又

f

a

f

b

f

c

f

d

f x)

是(

四次多项式,

在

内可微)在

[a, b]

,[b, c]

,[c, d

]

上运用罗尔中值定理

,

得f

(1)

f

(2

)

f

(3

)

0

.例1其中,1

(, )

,

2

(, )

,

3abb(,ccd

)

.即

f

(x)

0

至少有三个实根

.

f

(x)是四次多项式,

f

(x)是三次多项式,f

(x)

0

至多有三个实根.综上所述,f

(x)

0

仅有三个实根,分别在

(a,

b)设

f

(x)C([a,

b])2x

(

f

(b)

f

(a))

(b2

a2

)

f

(x)在(a,

b)

内至少有一根.2x

(

f

(b)

f

(a))

(b2

a2

)

f

(x)

0(

x2

(

f

(b)

f

(a))

(b2

a2

)

f

(x)

)

0a2

(

f

(b)

f

(a))

(b2

a2

)

f

(a)

b2

(

f

(b)

f

(a))

(b2

a2

)

f

(b)

a2

f

(b)

b2

f

(a)例2分析设

f

(x)C([a,

b])2x

(

f

(b)

f

(a))

(b2

a2

)

f

(x)例2在(a,

b)

内至少有一根.令F

(x)

x2

(f

(b)

f

(a))(b2

a2

)f

(x)则由

f(

x)

的连续性和可导性,

得F

(x)

C([a,

b])

,

F

(x)

在(a,

b)

内可导,又

F

(a)

F

(b)

a2

f

(b)

b2

f

(a)由罗尔定理,

至少存在一点

(a,

b)

使得F(

)

2

(

f

(b)

f

(a))

(b2

a2

)

f

(

)

0即

方程在(a,

b)

内至少有一根.分析问题的条件,

作出辅助函数是证明的关键

.满足1

n21

03 2n

1a

a

an

(1)n1证明方程a1

cos

x

a2

cos

3x

an

cos(2n

1)x

02在（0,

）内至少有一根

,

其中实数

a

,

,

aaan213 2n

1a

sin

x

sin

3x

sin(2n

1)x令F

(x)2则F

(0)

F

(

)

0

,且满足罗尔定理其它条件,故

(0,

)

使2F(

)

a1

cos

a2

cos

3

an

cos(2n

1)

0例32即方程在（0,

）内至少有一根

.设

f

(x)、g(x)

C([a,

b])

,

在(a,

b)

内可导,(g(x))2f

(x)g(x)

f

(x)g(x)

g(x)

f

(x)

如果

x1,

x2

是

f

(

x)

0

的两个根

,

则f(x1)

f

(x2

)

0

(这时必须g(x)

0).g(x1)

g(x2

)例4分析且x

(a,

b),

f

(x)g(x)

f(x)g(x)

0

.

证明方程f

(x)

0

的两各根之间至少有

g(x)

0

的一个根

.设

f

(x)

、g(

x)

C([a,

b])

,

在(a,

b)

内可导,例4且x

(a,

b),

f

(x)g(x)

f(x)g(x)

0

.

证明方程f

(x)

0

的两各根之间至少有

g(x)

0

的一个根

.设

x1,

x2

(a,

b)

是

f

(

x)

0

的两个根.不妨假设x1

x2

.并设方程g(x)

0

在x1

与x2

及其之间没有根.令

F

(

x)

f

(x)

,

此时

g(x)

0）.g(x)则由已知条件可知:F

(x)

在[

x1,

x2

]

上满足罗尔定理条件,,)使得故至少存在一点

(x1,

x2F

(

)

f

(

)g(

)

f

(

)g(

)

0.,0与)()已()(知)(g(

)2从而

f

g

f

g

该说明命题为真.如果使用一次罗尔定理后,f

(x)仍满足罗尔定理条件,能否再一次使用罗尔定理?如果需要,

当然可以使用.例5设

f

(

x),

g(x)

C([a,

b]),

在(a,b)

内二阶可导,且

f

(a)

g(a),

f

(c)

g(c),

f

(b)

g(b),

c

(a,b),证明:

至少存在一点

(a,b),

使得

f

(

)

g

(

).令

(x)

f

(x)

g(x),

则

(a)

(c)

,由罗尔中值定理,至少存在一点1

(a,c),使得(1)

0.同理,

至少存在一点2

(c,b),

使得(2

)

0.在[1,2

]

上对函数(

x)

再运用罗尔中值定理,

则至少存在一点

(1,2

)

(a,b),

使得((

))

(

)

0,即

f

(

)

g

(

).例6设

f

(x),

g(x)

在区间

I

上可微,

且有

f

(a)

0,f

(b)

0,

a,

b

I

,

证明方程

f

(

x)

f

(x)g(x)

0至少存在一根x0

(a,b).由于

(ex

)

ex

,

ex

0

x

(,),

所以,

令F

(x)

eg

(

x)

f

(x),0

0

000

f

(x

)e g

(x

)

0.

f

(x

)eg

(

x

)

g

(

x

)xx0F(x

)

(eg

(

x)

f

(x))则由已知条件可知:F

(x)

C([a,b]),

在(a,b)

内可导,

且

F

(a)

F

(b)

0,故由罗尔中值定理:至少存在一点x0

(a,b)使得0,

故有

f

(x0

)

f

(x0

)g(x0

)

0,

即得所证.0因为eg

(x0

)达布中值定理引理1设

f

(

x)

在

[a,b]

上处处可导,

且

f

(a)

f

(b)

0,则至少存在一点

(a,b),

使得

f

(

)

0.达布中值定理设

f

(

x)

在

[a,b]

上处处可导,

且

f

(a)

f

(b),则对介于

f

(a)

和

f

(b)

之间的任何一个数值

,都至少存在一点

(a,b),

使得

f

(

)

.费马定理的一种推广引理1中不要求f

(x)连续.证明引理1不妨设

f

(a)

0,

f

(b)

0.x

a由

lim

f

(x)

f

(a)

f

(a)

0,

根据极限的保号性得xax

U

(a),x

af

(x)

f

(a)

0,x[a,b]从而可推出:

x1

Uˆ

(a)

(a,b),

使得

f

(x1)

f

(a).由此断定f

(a)不是f

(x)在[a,b]上的最小值.类似地,

可以断定

f

(b)

不是

f

(x)

在[a,b]

上的最小值.综上所述,

可知至少存在一点(内点)

(a,b)

使得f

(

)

min

f

(x),

故由费马定理得f

(

)

0.证明达布中值定理利用推论1即可.作辅助函数F

(x)

f

(x)

x,推论1

和推论2

中的导数f

(a),f

(b)可以换成f(a),f(b).请自己完成!Oxyy

f

(x)abAABBPb

af

(

)

f

(b)

f

(a)如何描述这一现象三.

拉格朗日中值定理设f

(x)

C([a,

b])

;f

(x)

在(a,

b)

内可导,则至少存在一点

(a,

b)

,

使得f

(

)

f

(b)

f

(a)b

af

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)即定理Oxyy

f

(x)abAB切线与弦线AB

平行b

ay

f

(a)

f

(b)

f

(a)

(x

a)弦AB

的方程：如何利用罗尔定理来证明？b

a令

(

x)

f

(x)

f

(a)

f

(b)

f

(a)

(x

a)则由已知条件可得：

(x)

C([a,

b])

,

(x)

在(a,

b)

内可导.且

(a)

(b)

0

,故由罗尔定理,

至少存在一点

(a,

b)

,

使得(

)

f

(

)

f

(b)

f

(a)

0b

af

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)即定理的证明方法很多,

例如,

可作辅助函数F

(x)

(

f

(b)

f

(a))x

(b

a)

f

(x)不论a

b

还是a

b

定理中的公式均可写成f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a) (

在a,b

之间)拉格朗日有限增量公式f

(x

x)

f

(x)

f

(x

x)x

(0

1)y

f

(

)x

(

在x

与x

x

之间)拉格朗日中值定理的公式可写成|

f

(b)

f

(a)|

|

f

(

)||

b

a

| (

在a,b

之间)拉格朗日中值定理告诉我们,在t=a

到t=b

的时间段内,连续运动的物体至少会在某一时刻达到它的平均速度.由拉格朗日中值定理可以得出其它的什么结论？f

(b)

f

(a)

f

(

)

(b

a)f

(x2

)

f

(x1)

f

(

)

(

x2

x1)f

(x)f

(x)|

f

(x)

|

M

.(3)

f

(x)|

f

(x)

f(x0

)

|

M

|

x

x0

|

.f

(x)

()还有什么？f

(

)???f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)若

f

(x)

0

,

x

I

.

则

x1,

x2

I

,

有f

(x1)

f

(x2

)

f

(

)(x1

x2

)

0

,f

(x1)

f

(x2

)

.推论1若

f

(

x)

0

,

x

I

,

则

f

(x)

C

,

x

I

.(

f

(x)

g(x))

f

(x)

g(x)若

f

(

x)

g(x)

x

I

,推论2若

f

(

x)

g(x)

x(C

为常数)x

I

,x

I

.则F(x)(f

(x)

g(x))

0,F

(x)

f

(x)

g(x)

C

,f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)推论3f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)若

|

f

(x)

|

M

(即

f

(x)

有界)

,则

|

f

(b)

f

(a)

|

|

f

(

)

||

b

a

|

M

|

b

a

|

.若

f

(x)

在[a,

b]

上满足拉格朗日中值定理条件,

且

|

f

(x)|

f

(b)

f

(a)

|

M

|

b

a

|用来证明一些重要的不等式推论4f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)x1,x2

I,

不妨设x2

x1

.f

(x2

)

f(x1)

f

(

)(x2

x1) (

x1

x2

)x

I

,

则

f

(x2

)

f

(x1)

,x

I

,

则

f

(x2

)

f

(x1)

,若f

(x)

0若f

(x)

0若f

(x)在区间I

可导,且f

(x)

0(f

(x)

0),则

f

(

x)

在区间

I

上单调增加(减少)用来判断函数的单调性在推论4

中,如果

f

(

x)

在[a,

b]

上连续,

在(a,

b)

内可导,且

f

(x)

0 (

f

(x)

0)

,

则可推出

f

(x)

[a,

b

][a,(

f

(x)如果在区间I

上

f

(

x)

0 (

f

(x)

0)

,

则

f

(

x)在区间I

上严格单调增加(严格单调减少).如果

f

(

x)

0 (

f

(x)

0),

但仅在孤立点处出现

f

(

x)

0,

则

f(

x)

仍在区间

I

上严格单调增加(严格单调减少).推论5设f

(x),g(x)在区间I

内可导,且f

(a)

g(a)(

a

I

)

.

若

f

(x)

g(x)

x

(a,

b)

I

,

则f

(x)

g(x)令

(x)

f

(x)

g(x)

,

则

(x)

0,

(a)

0.再由推论

4,

即得命题成立.该推论可以用来证明不等式.y

x3

,

x

的单调性.Oxyy

x3(故

xx

(,

)时,y

(x3

)

3x2

0

,且仅当

x

0

时,

y

0

,解例7证明：当0

a

b

时,b

a

ln

b

b

a

.b

a

a即要证

1

(b

a)

ln

b

ln

a

1

(b

a)b

a令

f

(

x)

ln

x

,

x

[a,

b],则

f

(x)

在[a,

b]

上满足拉格朗日中值定理条件

,故

ln

b

ln

a

1

(b

a)a

b,从而b

a

ln

b

b

a

.b

a

a例8证明：当x

1即要证

x

1

ln

x

(

x

1)比较

f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)在[1,

x]

上运用

ln1

0

,

有x

1

ln

x

ln1.令

f

(t)

lnt t

[1,

x],

则由拉格朗日中值定理(1

x).得

ln

x

ln1

1

(x

1)

x

1,ex故当

x

1时,

ex.例92x

[1,

1].证明：arcsin

x

arccos

x

,11)

0

,

(当x

[1,1]时,(arcsin

x

arccos

x)

2arcsin

x

arccos

x

x

(1,

1)

.1

x2

1

x2故

arcsin

x

arccos

x

C x

(1,

1)取x

0

计算得

C

,

从而2

例102x

[1,

1].arcsin

x

arccos

x

由

(arcsin

x

arccos

x)

C([1,

1]

)

,

可得延拓!证明：若f

(x)在(,

)内满足关系式f

(0)

1,

f

(

x)

fx

(,

)

.f

(x)

1,ex即要证,

x

(,

),f

(x)ex令

(

x)

问题转化为证

(x)

Ce2

xf

(x)ex

f

(x)

ex

(

x)

例11

(x)

C,

0,

x

(,

),f

(0)

1,x

(,

).

又ef

(x)x

C

(x)

故

(0)

f

(0)

1C

1.从而x

(,

)

.e0f

(x)

ex

,定理的条件.由

(3b2

2b

5)

(3a2

2a

5)

(6

2)(b

a)

,得

3(b

a)

6

,2

b

a

.从而所求为f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)例12设

f

(

x)

3x2

2x

5

,

求

f

(

x)

在[a,

b]上满足拉格朗日中值定理的

值.解

易验证

f

(

x)

在[a,

b]

满足拉格朗日中值y

x

sin

x

在[0,

2

]

上的单调性.

y

x

sin

x

C([0,

2

]

)

,y

1

cos

x

0

,

x

(0,

,

y

x

sin

x

[0,

2

]

.例13解f

(

x)

C([0,

)

)

,又1f

(0)

0

,

0,

(x

0

时),1

xf

(x)

1

故f

(x)

[0,

)

,(

x

0)

,从而

f

(x)

f

(0)

0

,即x

0

时,例14证明：x

0

时,

x

ln(1

x)

.证

令

f

(x)

x

ln(1

x)

,

x

[0,

)

,则x1

x证明：x

0

时,

ln(1

x)

令f

(x)

ln(1

x),.,

x

[0,

)

.1

xxg(

x)

f

(0)

11

x又

f

(x)

,1(1

x)2,

g(x)

x

(0,

)

,x

(0,

)

,且

f

(x)

g(x)

,故

f

(x)

g(x)

,即.x1

xx

0

时,

ln(1

x)

则

f

(x),

g(x)

在(0,

)

内可导,例15设弧AB

的参数方程为t

[a,

b]

x

g(t)

y

f

(t)则弧AB

上任意一点处的切线的斜率为d

y

f

(t)d

x

g(t)而弦AB

的斜率为g(b)

g(a)k

f

(b)

f

(a)OxyAB

y

f

(x)在拉格朗日中值定理中,将曲线用参数方程表示,会出现什么结论？由拉格朗日中值定理,至少存在一点P

,使曲线在该点的切线与弦线平行,即它们的斜率相等.设对应于

P

点,

t

,

则有(

g(t)

0)g(b)

g(a)g(

)f

(b)

f

a

f

(

)注意:当f

(t)与g(t

)真正具有任意性时,上述结论就是柯西定理.曲线的参数方程表示式中f

(t)与g(t)之间并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定.四.柯西中值定理设g(

)g(b)

g(a)f

(b)

f

(a)

f

(

)f

(x)

,

g(

x)

C([a,

b])

;f

(x)

,

g(

x)

在(a,

b)

内可导

,且g(x)

0,则至少