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文档简介
小学数学方法的梳理五)五.方程和函数思想、方程和函数思想的概念。方程和函数试初等数学代数领域的主要内容是解决实际问题的重要工具们可以用来描述现实世界的数量关系而他们之间有着密切的联系此本文将二者放在一起进行讨论。(1方程思想。含有未知数的等式叫方程,判断一个式子是不是方程,只需要同时满足两个条件;个是含有未知数,另一个必须是等式。如有些小学老师经常有疑问的判断;x=0和x=1是不是方程?根据方程的定义他满足方程的条件都是方程方程按照未知数的个数和未知数的最高次数,可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程一次方程等等些是初等数学代数领域最基本的内容程想的核心是将问题中未知量用数字以外的数学符号(常用x、y等母)表示,根据数量关系之间的相等关系构建方程模型。方程思想体现了已之与未知数的对立统一。函数思想。设集合两个非空数集,如果按照某种确定的对立关系f如果对于集合的任意一个数在集合b中有唯一确定的数y和的对应,那么就称是x的函数,记作y=f(x)。其中叫做自变量x的取值范围叫做函数的定义域y叫函数或因变量,与相对应的的叫做函数值y的取值范围做值域。以上函数的定义是从初等数学的角度出发的自变量只有一个与之应的函数值也是唯一的样的函数研究的是两个变量之间的关系一变量的取值发生变化一个变量的取值也相应发生了变化中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数实现实中变量的变化而相应变化样的函数是多元函数虽在中小学里不学习多元函数,但只机上它是存在的,如圆柱的体积与底面半r和柱的高的关;πrh.半径和高有一对取值也就是说体随半径和高的变化而变化过对这种变化的探究找出对应关系之间的法则,从而构建函数模型。函数思想体现了运动变化的、普遍性的观点。.方程和函数的区别。从小学数学到中学数学与代数领域经历了从算数到方程术研究具体确定的常数以及他们之间的数量关系程究定的常数与未知的数量之间的关系数究变量之间的数量关系。方程和函数虽然都是表示数量关系的是他们有本质的区别二一次的不定方程中的未知数往往是常量,而一次函数中的自变量和因变量一定是量变,因此二者有本质的不同。方程必须有未知数知数是常量且一定用等式的形式呈现者一不可2x-4=6而函数至少要有两个变量两个变量依据一定的法则相对应现的形式可以有解析式图像法和列表法等集大小等于1小于等于10的数合b为于的偶数。那么两个集合的数之间的对应关系可以用表,还可以用如下的表格表示。xy
人们运用方程思想关注的通过设未知数如何找出数量之间的相等关系构建方程并求出方程的解从而解决数学问题实际问题们运用函数思想一般更加关注数量之间的对应关系通过构建函数模型并究函数的一些性质来解决数学问题和实际问题程中的未知数往往是静态的,而函数的变量则是动态的。方程已经有多的历史,而函数概念的产生不过才年。
(2方程和函数的关系。(3方程和函数虽然有本质的区别,但是他们同属代数领域,也有密切的关系。如二元一次不定方程ax+by+c=0和一次函数如果方程的解在实数范围内函数的定义域和值域都是实数那方和过变换可转化为y=-a/bx-c/b,们在直角坐标系里画出来的图像是一条直线。因此可以说一个一元一次方程对应一个一次函数如果使一次函数y=kx+b中函数植等于0,那么一次函数转化为这就是一元一次方程因此,可以说求这个一元一次方程的解,际上就是求使函数值伪的自变量的值,者说求一次函数图象与X轴交的横坐标的.一般地就初等数学而言,今令函数值为0,么这个函数就转化为含有一个未知数的方程;方程的,是求使函数值为0的变量的,者说求函数图像与X轴点的横坐标的值.方程和数思想的重要意.世以前,人们主要是运用算术和方程方法解现实生活中的各种实际问方程与算术相比由未知数参与了等量关系式的够建更加便于人理解问题\分析数量关系并够建模型而方程在解决以常量为主要的实际问题中发挥了重要作用,到世,随社会的发展传统的研究常量的算术和方程已经不能解决以研两个变量之间的关系为主的经济,技军事等领域的重要问这时函数变产生了函数为研究运动变化的数量之间的依存应关系和构建模型带来了方便从能够解决比较复杂的问题.概括的说程和函数思想是中小学数学尤是中学数学的重要内容之一.方程和函数在研究和构建现实世界的数量关系模型方面挥着重要的不可替代的作用.方程和数思想的具体运.小学数学在学习方程之前的问题,通过算术方法解决,在入方程之后,学数学中比较复杂的有关数量关系的问题,都以通过方程解决,方思想是小学思想的重要思想其中一元一次方程是小学数学的必学内容在学数学里没有学习函数的概念但是有函数思想的渗透与正比例函数和反比例函数最接近的正比例函数和反例函数是小学数学的必学内容另,小学数学的一些知识中也会渗透函数思想如数与数的一一对应体现了函数思方程和函数是小学数学与初中数学衔接的纽小学数学中方程和函数思想的应用如下.思想方法方程思想函数思想
知识点方程分数,百分数和比例等量代换鸡兔同笼加法积的变化规律商的变化规律
应用举例用一元一次方程解决整数和小数等各种问题用一元一次方程解决分数,百数和比例等各种问题二(三)元一次方程思想的渗透用方程解决鸡兔同笼问题一个加数不变,和着另一个加数的变化而变化,可表示为Y=KX.渗正比例函数思想一个因数不变积着另一个因数的化而变化,表示为渗正比例函数关系除数不变,商着被除数的变化变化,可示为渗正比例函数思想,被数不变商着除数的变化而变,可示为Y=X\K,渗反比例函数思想
正比例关系反比例关系数列空间与图形统计图表程和函数思想的教
正比例关系改写成Y=KX,就是正比例函数反比例函数改写成就反比例函数等差数列,等比数列,般数列的每一项与序号之间的对应关系都可以看作是特殊的函数关.长方形正形,平四边形,三形梯的面积公式,长体.,正方圆柱,圆的体积公式的周长和面积公式都渗透了函数思想函数的列表法与统计表都有相似之处方程和函数都是义务教育阶段重要的数学思想方用方程和函数表示数量关系和变化规,不仅体现方程和函数的思想的价值.也助于学生形成模型思想根据课程标准的理念,方和函数思想的教学应关注以下几方中的字X,Y等表具体的未知的常即未知,是代数思想和方程思想的基础.正例关系和反比例关系等函数关系中的字母X,Y代表的是变化的,即变量,且这两个量是相关联的量一个量的变另一个量也会随着变,这是函数思想的基础,要让学生体会它的区.结具体情境通分析数量关系来理解等量并方程表示等关再通过解方程解决问题从而认识方程的作用结简单情境,认成正比例的量或反比例的量,通分析数量关系和变化规
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