新版北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明全章课件

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第七章平行线的证明

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第七章平行线的证明

全章课件1第七章

平行线的证明7.1为什么要证明第七章

平行线的证明7.1为什么要证明2思考：（1）如图，两条线段a，b的长度相等吗？一、新课引入思考：一、新课引入（2）下图中的四边形是正方形吗？（3）如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？别太相信你的眼睛和直觉呦！一、新课引入（2）下图中的四边形是正方形吗？别太相信你的一、新课引入假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？有理有据地推理解：设赤道的周长为C，则铁丝与地球赤道的间隙为二、新课讲解假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将有理有据地推理（1）代数式n2-n+11的值是质数吗？取n=0，1，2，3，4，5试一试，你能否由此得到结论：对所有自然数n，n2-n+11的值都是质数？与同伴进行交流.二、新课讲解（1）代数式n2-n+11的值是质数吗？取n=0，二、新课讲（2）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.你能肯定你的结论对所有△ABC都成立吗？与同伴进行交流.二、新课讲解（2）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.二、新课讲解实验、观察、归纳得到的结论可能正确，二、新课讲解通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确？说说你的经验与困惑，与同学交流.三、归纳小结本节课你学习了哪些知识？通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在四、强化训练（1）图中三条线段a,b,c，哪一条和线段d在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证一下.（2）图中两条线段a与b的长度相等吗？四、强化训练（1）图中三条线段a,b,c，哪一条和线段d在同10本课结束本课结束第七章

平行线的证明7.2定义与命题（第1课时）第七章

平行线的证明7.2定义与命题（第1课时）小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.“哈！这个黑客终于被逮住了”.一、新课引入黑客小华说：“这黑客是小偷!”小刚说：“可能是穿着黑色衣服的侠客!”小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.“哈！这个黑客终一对父子的谈话法律就是法国的律师爸爸，什么叫法律？法盲就是法国的盲人那么什么是法盲？一、新课引入一对父子的谈话法律就是法国的律师爸爸，什么叫法律？法盲就是法对名称或术语的含义进行描述，做出明确的规定，也就是给出他们的定义.例如：“符号不同、绝对值相等的两个数”“”的定义;“能够完全重合的图形”是“_______”的定义.互为相反数全等形二、新课讲解对名称或术语的含义进行描述，做出明确的规定，也就是给出他们的请试着说出下列名词的定义：（1）无理数：（2）直角三角形：无限不循环小数叫做无理数.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.二、新课讲解请试着说出下列名词的定义：无限不循环小数叫做无理数.有一个角

下面的语句中，哪些语句对事情做了判断？哪些没有？与同学们交流.（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；（2）对顶角相等；（3）无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行;（5）你喜欢数学吗？（6）作线段AB=CD.二、新课讲解下面的语句中，哪些语句对事情做了判断？哪些没有？与同学们

判断一件事情的句子叫做命题.如果一个句子没有对某件事情作出任何判断，那么它就不是命题.二、新课讲解判断一件事情的句子叫做命题.如果一个句子是否作出判断下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）对顶角相等；（2）画一个角等于已知角；（3）两直线平行，同位角相等；（4）a、b两条直线平行吗？（5）玫瑰花是动物.（6）若a2＝4，求a的值.（7）若a2＝b2，则a＝b.是不是是不是是不是是二、新课讲解是否作出判断下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？是不是是不观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的特征？与同伴们交流.（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；（2）如果a=b，那么a2=b2（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.二、新课讲解观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？与同学们交流.（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a≠b，b≠c，那么a≠c;（3）全等三角形的面积相等；（4）如果室外气温低于0℃,那么地面上的水一定会结冰.正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.二、新课讲解指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是

两直线平行，同位角相等

如果两直线平行，那么同位角相等条件结论

命题可看做由条件和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项二、新课讲解两直线平行，同位角相等如果两直线平行，那么同位

这节课你学到了哪些知识？1、定义、命题的概念;2、如何判断是否是真命题.三、归纳小结这节课你学到了哪些知识？1、定义、命题的概念;三、归纳231.命题：“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是

，结论是

.2.若a2=b2,则a=b.这个命题是

命题（填“真”或“假”）.四、强化训练1.命题：“垂直于同一条直线的两条直线平四、强化训练3、判断下列命题是真命题还是假命题(1)相等的角是对顶角(2)内错角相等(3)大于90度的角是平角(4)如果a>b,b>c,那么a>c假命题假命题真命题假命题四、强化训练3、判断下列命题是真命题还是假命题假命题假命题真命题假命题四4、下图表示某地的一个灌溉系统.ABCEFH

GDK

IJ如果C地水流被污染，那么_________的水流也被污染.E、F根据上图，你能说出其他的命题吗？P四、强化训练4、下图表示某地的一个灌溉系统.ABCEFHGDK本课结束本课结束第七章

平行线的证明7.2定义与命题（第2课时）第七章

平行线的证明7.2定义与命题（第2课时）我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？一、新课引入我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实如何证实一个命题是真命题呢用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法.这些方法往往并不可靠.那已经知道的真命题又是如何证实的?.能不能根据已经知道的真命题证实呢?那可怎么办？一、新课引入如何证实一个命题是真命题呢用我们以前学过的观察、实验、验证特证实其它命题的正确性推理2、公理:1、原名:3、证明:4、定理:

书上P168页，了解古希腊数学家欧几里得(公元前300前后）和他的《原本》；找出下列各个定义.某些数学名词称为原名.公认的真命题称为公理.除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.演绎推理的过程称为证明.经过证明的真命题称为定理.推理的过程叫证明经过证明的真命题叫定理原名、公理一些条件+二、新课讲解证实其它命推理2、公理:1、原名:3、证明:4、定理:1.两点确定一条直线.2.两点之间线段最短.3.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;4.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;5.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;6.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;7.三边对应相等的两个三角形全等;8.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.本套教材选用如下命题作为公理:二、新课讲解1.两点确定一条直线.本套教材选用如下命题作为公理:二、新定理同角（等角）的补角相等.定理同角（等角）的余角相等.定理三角形的任意两边之和大于第三边.二、新课讲解定理同角（等角）的补角相等.二、新课讲解例已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC=∠BOD.证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定义）.∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）.∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）定理：对顶角相等.二、新课讲解例已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠B

2、原名、公理、证明、定理的定义及它们的关系1、命题的分类:真命题和假命题.这节课你学习了什么知识？证实其它命题的正确性推理推理的过程叫证明经过证明的真命题叫定理原名、公理一些条件+三、归纳小结2、原名、公理、证明、定理的定义及它们的关系1、命题的分类1、“两点之间，线段最短”这个语句是（）

A、定理B、公理

C、定义D、只是命题2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（）

A、定理B、公理

C、定义D、只是命题BC四、强化训练1、“两点之间，线段最短”这个语句是（）2、“同一平面内3、下列命题中，属于定义的是（）

A、两点确定一条直线

B、同角的余角相等

C、两直线平行，内错角相等

D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离D四、强化训练3、下列命题中，属于定义的是（）D四、强化训练本课结束本课结束第七章

平行线的证明7.3平行线的判定第七章

平行线的证明7.3平行线的判定前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？

“同位角相等，两直线平行”你能证明它们吗？试试看.一、新课引入前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？一、新课引入定理两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简述为：内错角相等，两直线平行abc︵︵︵123已知：∠1和∠2是直线a,b线被直线c截出的内错角，且∠1=∠2.求证：a∥b证明：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（对顶角相等），∴∠2=∠3（等量代换）.∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.二、新课讲解定理两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简述为：同旁内角互补，两直线平行.二、新课讲解定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条已知：如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.求证：a∥b∴∠1+∠2=180o（互补的定义）

∴∠1=180o-∠2（等式的性质）∴∠3=180o-∠2（等式的性质）证明：∵∠1与∠2互补（已知）∵∠3+∠2=180o（平角的定义）∴∠1=∠3（等量代换）∴a∥b（同位角相等，两直线平行）注意：证明的依据只能是有关概念、定义、所规定的公理及已经证明的定理.abc312二、新课讲解已知：如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且43证明一个命题的一般步骤：（1）弄清题设和结论；（2）根据题意画出相应的图形；（3）根据题设和结论写出已知,求证；（4）分析证明思路,写出证明过程.三、归纳小结证明一个命题的一般步骤：（1）弄清题设和结论；（2）根据题意如图：直线AB、CD都和AE相交，且∠1+∠A=180º.求证：AB//CD∴∠1=∠2（等量代换）∵∠1+∠A=180º

（

）∴∠2+∠A=180º（等量代换）

//∴（）已知AB

CD同旁内角互补，两直线平行证明：∵∠1+∠3=180º（1平角=180º）

∠2+∠3=180º（）1平角=180ºCBAD21E3四、强化训练如图：直线AB、CD都和AE相交，且∠45本课结束本课结束第七章

平行线的证明7.4平行线的性质第七章

平行线的证明7.4平行线的性质我们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，判定两条直线平行的三种方法.思考：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？一、新课引入我们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互定理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简述为：两直线平行，同位角相等.BE21已知：如图，直线AB//CD，∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角.求证：∠1=∠2.ACDMN二、新课讲解定理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.BE21已知：证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH//CD又因为AB//CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾这说明∠1≠∠2不成立，所以∠1=∠2GH二、新课讲解证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EM利用上面的定理，我们可以证明：定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简述为：两直线平行，内错角相等.二、新课讲解利用上面的定理，我们可以证明：定理：两条平行直线被第三条直线已知：如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.求证：∠1=∠2123abc证明：∵a∥b()∴∠3=∠2(

)∵∠3=∠1(

)∴∠1=∠2已知两直线平行，同位角相等对顶角相等(等量代换)类似的，还可以证明：定理：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简述为：两直线平行，同旁内角互补.二、新课讲解已知：如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截例已知：如图，b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直线a、b、c被直线d截出的同位角.求证：b∥c.证明：∵b∥a（已知）∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）∵a∥c（已知）∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）∴∠2=∠3（等量代换）∴b∥c（同位角相等，两直线平行）定理：平行于同一条直线的两条直线平行二、新课讲解例已知：如图，b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直线a、本节课你学习了什么知识？１．平行线的性质：定理：两直线平行，同位角相等．定理：两直线平行，内错角相等．定理：两直线平行，同旁内角互补．２．证明的一般步骤（１）根据题意，画出图形．（２）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.（３）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．三、归纳小结本节课你学习了什么知识？１．平行线的性质：２．证明的一般步骤四、强化训练证明：“两直线平行，同旁内角互补”.四、强化训练证明：“两直线平行，同旁内角互补”.55本课结束本课结束第七章

平行线的证明7.5三角形内角和定理（第1课时)第七章

平行线的证明7.5三角形内角和定理（第1课时)我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？一、新课引入我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结思考：如图，如果我们只把∠A移到了∠1的位置，你能证明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？一、新课引入思考：如图，如果我们只把∠A移到了∠1的位置，你能证明这个结已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=1800.分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.ABCE213D二、新课讲解已知:如图,△ABC.分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥二、新课讲解证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则∠1=∠A（两直线平行,内错角相等）,∠2=∠B（两直线平行,同位角相等）.又∵∠1+∠2+∠3=1800（平角的定义）,∴∠A+∠B+∠ACB=1800（等量代换）.二、新课讲解证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则61思考：你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？ABCPQ如果把三角形三个角“凑”到A处，过点A作直线PQ∥BC（如图），他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？二、新课讲解思考：你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？ABCPQ如果

例如图，在△ABC中，∠B=38°,∠C=62°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.二、新课讲解例如图，在△ABC中，∠B=38°,∠C=62°

在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可行吗?请你帮小明把想法化为实际行动.小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?证明:过点A作PQ∥BC,则∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定义),∴∠BAC+∠B+∠C=1800(等量代换).所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时首先叙述出来.ABCPQ231二、新课讲解在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于1800.△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:∠A=1800–(∠B+∠C).∠B=1800–(∠A+∠C).∠C=1800–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.这里的结论,以后可以直接运用.

ABC二、新课讲解三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于1800.∠A+∠这节课学习了什么知识？学习了如何利用三角形的内角和求角的度数三、归纳小结这节课学习了什么知识？学习了如何利用三角形的内角和求角的度数1、如图，已知AD是△ABD

和△ACD的公共边.求证：∠BDC=∠BAC+∠B+∠CABCD1234证法一：∵在△ABD中,∠1＝180°－∠B－∠3，在△ADC中,∠2＝180°－∠C－∠4（三角形内角和定理），又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义）∴∠BDC＝360°－（180°－∠B－∠3）－（180°－∠C－∠4）＝∠B+∠C+∠3+∠4.

又∵∠BAC＝∠3+∠4,∴∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC（等量代换）（等量代换）四、强化训练1、如图，已知AD是△ABDABCD1234证法一：（等量2、如图，已知AD是△ABD

和△ACD的公共边.求证：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C证法二：ABCD12四、强化训练2、如图，已知AD是△ABD证法二：ABCD12四、强化68本课结束本课结束第七章

平行线的证明7.5三角形内角和定理（第2课时)第七章

平行线的证明7.5三角形内角和定理（第2课时)一、新课引入

前面我们已经学习过三角形的内角和定理，三角形有内角，那么三角形有没有外角呢？如果有，是怎样的？一、新课引入前面我们已经学习过三角形的内角和定理，71△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.如图,∠1是△ABC的外角.你能在图中画出△ABC的其他外角吗ABCD1234二、新课讲解△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△A三角形外角定义:三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外角.特征:（1）.顶点在三角形的一个顶点上.（2）.一条边是三角形的一边.（3）.另一条边是三角形某条边的延长线.实际上三角形的一个外角,就是三角形一个内角的邻补角二、新课讲解三角形外角定义:三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,73

如图.∠1是△ABC的一个外角,∠1与图中的其它角有什么关系?∠1+∠4=1800

∠1>∠2，∠1>∠3∠1=∠2+∠3.证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理),∠1+∠4=1800(平角的意义),∴∠1=∠2+∠3.(等量代换).∴∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).ABCD1234能证明你的结论吗?三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.二、新课讲解如图.∠1是△ABC的一个外角,∠1与图中的ABCD1234在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论.推论可以当作定理使用.二、新课讲解ABCD1234在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两三角形内角和定理的推论:推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.△ABC中:∠1=∠2+∠3;∠1>∠2,∠1>∠3.ABCD1234这个结论以后可以直接运用.二、新课讲解三角形内角和定理的推论:△ABC中:ABCD1234这个结

例

已知：在△ABC中，∠B=∠C,AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.分析：要证明AD//BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知），∴∠C=0.5∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=0.5∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAC=∠C（等量代换）∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）对于例2，你还有其它证明方法吗？二、新课讲解例已知：在△ABC中，∠B=∠C,AD平分外例

已知如图，P是△ABC内一点，连接PB、PC.求证：∠BPC>∠A.二、新课讲解证明：如图，延长BP，交AC于点D.∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义），∴∠BPC＞∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义），∴∠PDC＞∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），∴∠BPC＞∠A.你还有其他的证明方法吗？与同伴进行交流例已知如图，P是△ABC内一点，连接PB、PC.二、新课这节课你学习了哪些知识？1、外角的概念;2、外角的推论;3、利用外角解决相关问题.三、归纳小结这节课你学习了哪些知识？1、外角的概念;三、归纳小结四、强化训练

如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度？四、强化训练如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的外80本课结束本课结束新版北师大版八年级数学上册

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平行线的证明7.1为什么要证明第七章

平行线的证明7.1为什么要证明83思考：（1）如图，两条线段a，b的长度相等吗？一、新课引入思考：一、新课引入（2）下图中的四边形是正方形吗？（3）如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？别太相信你的眼睛和直觉呦！一、新课引入（2）下图中的四边形是正方形吗？别太相信你的一、新课引入假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？有理有据地推理解：设赤道的周长为C，则铁丝与地球赤道的间隙为二、新课讲解假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将有理有据地推理（1）代数式n2-n+11的值是质数吗？取n=0，1，2，3，4，5试一试，你能否由此得到结论：对所有自然数n，n2-n+11的值都是质数？与同伴进行交流.二、新课讲解（1）代数式n2-n+11的值是质数吗？取n=0，二、新课讲（2）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.你能肯定你的结论对所有△ABC都成立吗？与同伴进行交流.二、新课讲解（2）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.二、新课讲解实验、观察、归纳得到的结论可能正确，二、新课讲解通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确？说说你的经验与困惑，与同学交流.三、归纳小结本节课你学习了哪些知识？通过这节课的学习，经过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在四、强化训练（1）图中三条线段a,b,c，哪一条和线段d在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证一下.（2）图中两条线段a与b的长度相等吗？四、强化训练（1）图中三条线段a,b,c，哪一条和线段d在同91本课结束本课结束第七章

平行线的证明7.2定义与命题（第1课时）第七章

平行线的证明7.2定义与命题（第1课时）小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.“哈！这个黑客终于被逮住了”.一、新课引入黑客小华说：“这黑客是小偷!”小刚说：“可能是穿着黑色衣服的侠客!”小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.“哈！这个黑客终一对父子的谈话法律就是法国的律师爸爸，什么叫法律？法盲就是法国的盲人那么什么是法盲？一、新课引入一对父子的谈话法律就是法国的律师爸爸，什么叫法律？法盲就是法对名称或术语的含义进行描述，做出明确的规定，也就是给出他们的定义.例如：“符号不同、绝对值相等的两个数”“”的定义;“能够完全重合的图形”是“_______”的定义.互为相反数全等形二、新课讲解对名称或术语的含义进行描述，做出明确的规定，也就是给出他们的请试着说出下列名词的定义：（1）无理数：（2）直角三角形：无限不循环小数叫做无理数.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.二、新课讲解请试着说出下列名词的定义：无限不循环小数叫做无理数.有一个角

下面的语句中，哪些语句对事情做了判断？哪些没有？与同学们交流.（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；（2）对顶角相等；（3）无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行;（5）你喜欢数学吗？（6）作线段AB=CD.二、新课讲解下面的语句中，哪些语句对事情做了判断？哪些没有？与同学们

判断一件事情的句子叫做命题.如果一个句子没有对某件事情作出任何判断，那么它就不是命题.二、新课讲解判断一件事情的句子叫做命题.如果一个句子是否作出判断下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）对顶角相等；（2）画一个角等于已知角；（3）两直线平行，同位角相等；（4）a、b两条直线平行吗？（5）玫瑰花是动物.（6）若a2＝4，求a的值.（7）若a2＝b2，则a＝b.是不是是不是是不是是二、新课讲解是否作出判断下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？是不是是不观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的特征？与同伴们交流.（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；（2）如果a=b，那么a2=b2（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.二、新课讲解观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？与同学们交流.（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a≠b，b≠c，那么a≠c;（3）全等三角形的面积相等；（4）如果室外气温低于0℃,那么地面上的水一定会结冰.正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.二、新课讲解指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是

两直线平行，同位角相等

如果两直线平行，那么同位角相等条件结论

命题可看做由条件和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项二、新课讲解两直线平行，同位角相等如果两直线平行，那么同位

这节课你学到了哪些知识？1、定义、命题的概念;2、如何判断是否是真命题.三、归纳小结这节课你学到了哪些知识？1、定义、命题的概念;三、归纳1041.命题：“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是

，结论是

.2.若a2=b2,则a=b.这个命题是

命题（填“真”或“假”）.四、强化训练1.命题：“垂直于同一条直线的两条直线平四、强化训练3、判断下列命题是真命题还是假命题(1)相等的角是对顶角(2)内错角相等(3)大于90度的角是平角(4)如果a>b,b>c,那么a>c假命题假命题真命题假命题四、强化训练3、判断下列命题是真命题还是假命题假命题假命题真命题假命题四4、下图表示某地的一个灌溉系统.ABCEFH

GDK

IJ如果C地水流被污染，那么_________的水流也被污染.E、F根据上图，你能说出其他的命题吗？P四、强化训练4、下图表示某地的一个灌溉系统.ABCEFHGDK本课结束本课结束第七章

平行线的证明7.2定义与命题（第2课时）第七章

平行线的证明7.2定义与命题（第2课时）我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？一、新课引入我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实如何证实一个命题是真命题呢用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法.这些方法往往并不可靠.那已经知道的真命题又是如何证实的?.能不能根据已经知道的真命题证实呢?那可怎么办？一、新课引入如何证实一个命题是真命题呢用我们以前学过的观察、实验、验证特证实其它命题的正确性推理2、公理:1、原名:3、证明:4、定理:

书上P168页，了解古希腊数学家欧几里得(公元前300前后）和他的《原本》；找出下列各个定义.某些数学名词称为原名.公认的真命题称为公理.除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.演绎推理的过程称为证明.经过证明的真命题称为定理.推理的过程叫证明经过证明的真命题叫定理原名、公理一些条件+二、新课讲解证实其它命推理2、公理:1、原名:3、证明:4、定理:1.两点确定一条直线.2.两点之间线段最短.3.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;4.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;5.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;6.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;7.三边对应相等的两个三角形全等;8.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.本套教材选用如下命题作为公理:二、新课讲解1.两点确定一条直线.本套教材选用如下命题作为公理:二、新定理同角（等角）的补角相等.定理同角（等角）的余角相等.定理三角形的任意两边之和大于第三边.二、新课讲解定理同角（等角）的补角相等.二、新课讲解例已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC=∠BOD.证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定义）.∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）.∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）定理：对顶角相等.二、新课讲解例已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠B

2、原名、公理、证明、定理的定义及它们的关系1、命题的分类:真命题和假命题.这节课你学习了什么知识？证实其它命题的正确性推理推理的过程叫证明经过证明的真命题叫定理原名、公理一些条件+三、归纳小结2、原名、公理、证明、定理的定义及它们的关系1、命题的分类1、“两点之间，线段最短”这个语句是（）

A、定理B、公理

C、定义D、只是命题2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（）

A、定理B、公理

C、定义D、只是命题BC四、强化训练1、“两点之间，线段最短”这个语句是（）2、“同一平面内3、下列命题中，属于定义的是（）

A、两点确定一条直线

B、同角的余角相等

C、两直线平行，内错角相等

D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离D四、强化训练3、下列命题中，属于定义的是（）D四、强化训练本课结束本课结束第七章

平行线的证明7.3平行线的判定第七章

平行线的证明7.3平行线的判定前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？

“同位角相等，两直线平行”你能证明它们吗？试试看.一、新课引入前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？一、新课引入定理两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简述为：内错角相等，两直线平行abc︵︵︵123已知：∠1和∠2是直线a,b线被直线c截出的内错角，且∠1=∠2.求证：a∥b证明：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（对顶角相等），∴∠2=∠3（等量代换）.∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.二、新课讲解定理两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简述为：同旁内角互补，两直线平行.二、新课讲解定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条已知：如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.求证：a∥b∴∠1+∠2=180o（互补的定义）

∴∠1=180o-∠2（等式的性质）∴∠3=180o-∠2（等式的性质）证明：∵∠1与∠2互补（已知）∵∠3+∠2=180o（平角的定义）∴∠1=∠3（等量代换）∴a∥b（同位角相等，两直线平行）注意：证明的依据只能是有关概念、定义、所规定的公理及已经证明的定理.abc312二、新课讲解已知：如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且124证明一个命题的一般步骤：（1）弄清题设和结论；（2）根据题意画出相应的图形；（3）根据题设和结论写出已知,求证；（4）分析证明思路,写出证明过程.三、归纳小结证明一个命题的一般步骤：（1）弄清题设和结论；（2）根据题意如图：直线AB、CD都和AE相交，且∠1+∠A=180º.求证：AB//CD∴∠1=∠2（等量代换）∵∠1+∠A=180º

（

）∴∠2+∠A=180º（等量代换）

//∴（）已知AB

CD同旁内角互补，两直线平行证明：∵∠1+∠3=180º（1平角=180º）

∠2+∠3=180º（）1平角=180ºCBAD21E3四、强化训练如图：直线AB、CD都和AE相交，且∠126本课结束本课结束第七章

平行线的证明7.4平行线的性质第七章

平行线的证明7.4平行线的性质我们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，判定两条直线平行的三种方法.思考：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？一、新课引入我们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互定理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简述为：两直线平行，同位角相等.BE21已知：如图，直线AB//CD，∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角.求证：∠1=∠2.ACDMN二、新课讲解定理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.BE21已知：证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH//CD又因为AB//CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾这说明∠1≠∠2不成立，所以∠1=∠2GH二、新课讲解证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EM利用上面的定理，我们可以证明：定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简述为：两直线平行，内错角相等.二、新课讲解利用上面的定理，我们可以证明：定理：两条平行直线被第三条直线已知：如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.求证：∠1=∠2123abc证明：∵a∥b()∴∠3=∠2(

)∵∠3=∠1(

)∴∠1=∠2已知两直线平行，同位角相等对顶角相等(等量代换)类似的，还可以证明：定理：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简述为：两直线平行，同旁内角互补.二、新课讲解已知：如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截例已知：如图，b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直线a、b、c被直线d截出的同位角.求证：b∥c.证明：∵b∥a（已知）∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）∵a∥c（已知）∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）∴∠2=∠3（等量代换）∴b∥c（同位角相等，两直线平行）定理：平行于同一条直线的两条直线平行二、新课讲解例已知：如图，b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直线a、本节课你学习了什么知识？１．平行线的性质：定理：两直线平行，同位角相等．定理：两直线平行，内错角相等．定理：两直线平行，同旁内角互补．２．证明的一般步骤（１）根据题意，画出图形．（２）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.（３）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．三、归纳小结本节课你学习了什么知识？１．平行线的性质：２．证明的一般步骤四、强化训练证明：“两直线平行，同旁内角互补”.四、强化训练证明：“两直线平行，同旁内角互补”.136本课结束本课结束第七章

平行线的证明7.5三角形内角和定理（第1课时)第七章

平行线的证明7.5三角形内角和定理（第1课时)我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？一、新课引入我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结思考：如图，如果我们只把∠A移到了∠1的位置，你能证明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？一、新课引入思考：如图，如果我们只把∠A移到了∠1的位置，你能证明这个结已知:如图,△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=1800.分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.ABCE213D二、新课讲解已知:如图,△ABC.分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥二、新课讲解证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则∠1=∠A（两直线平行,内错角相等）,∠2=∠B（两直线平行,同位角相等）.又∵∠1+∠2+∠3=1800（平角的定义）,∴∠A+∠B+∠ACB=1800（等量代换）.二、新课讲解证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则142思考：你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？ABCPQ如果把三角形三个角“凑”到A处，过点A作直线PQ∥BC（如图），他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？二、新课讲解思考：你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？ABCPQ如果

例如图，在△ABC中，∠B=38°,∠C=62°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.二、新课讲解例如图，在△ABC中，∠B=38°,∠C=62°

在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可行吗?请你帮小明把想法化为实际行动.小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?证明:过点A作PQ∥BC,则∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定义),∴∠BAC+∠B+∠C=1800(等量代换).所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时首先叙述出来.ABCPQ231二、新课讲解在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于1800.△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:∠A=1800–(∠B+∠C).∠B=1800–(∠A+∠C).∠C=1800–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.这里的结论,以后可以直接运用.

ABC二、新课讲解三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于1800.∠A+∠这节课学习了什么知识？学习了如何利用三角形的内角和求角的度数三、归纳小结这节课学习了什么知识？学习了如何利用三角形的内角和求角的度数1、如图，已知AD是