九年级中考数学冲刺复习-26填空题压轴必刷45题②

填空题压轴必刷45题②一十四．一元一次不等式的应用（共1小题）16．（2009•黑河）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？一十五．一元一次不等式组的应用（共1小题）17．（2019•汶上县二模）为落实优秀传统文化进校园，某校计划购进“四书”、“五经”两套图书供学生借阅，已知这两套图书单价和为660元，一套“四书”比一套“五经”的2倍少60元．（1）分别求出这两套图书的单价；（2）该校购买这两套图书不超过30600元，且购进“四书”至少33套，“五经”的套数是“四书”套数的2倍，该校共有哪几种购买方案？一十六．一次函数的应用（共1小题）18．（2022•惠山区一模）据环保中心观察和预测：发生于甲地的河流污染一直向下游方向移动，其移动速度v（千米/小时）与时间t（小时）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，根据物理知识：梯形OABC在直线l左侧部分的面积表示的实际意义为t（小时）内污染所经过的路程S（千米），其中0≤t≤30．（1）当t＝3时，则S的值为；（2）求S与t的函数表达式；（3）若乙城位于甲地的下游，且距甲地171km，试判断这河流污染是否会侵袭到乙城？若会，求河流污染发生后多长时间它将侵袭到乙城；若不会，请说明理由．一十七．一次函数综合题（共1小题）19．（2021春•柳南区校级期末）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．（1）求k、b的值；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一十八．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）20．（2022•常州一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象上有一点D（m，），过点D作CD⊥x轴于点C，将点C向左平移2个单位长度得到点B，过点B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，AB＝4．（1）点A的坐标为（用含m的式子表示）；（2）求反比例函数的解析式；（3）设直线AD的解析式为y＝ax+b（a，b为常数且a≠0）．则不等式﹣（ax+b）＞0的解集是．一十九．反比例函数综合题（共2小题）21．（2022•锦江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且AC＝3AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D．（1）求b、k的值；（2）如图1，若点E为线段BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）于点F．若EF＝BD，求m的值．（3）如图2，在（2）的条件下，连接FD并延长，交x轴于点G，连接OD，在直线OD上方是否存在点H，使得△ODH与△ODG相似（不含全等）？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2022•成都模拟）如图，直线AB经过点B（0，﹣2），并与反比例函数交于点A（3，﹣1）．（1）求直线AB和反比例函数的表达式；（2）点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线AB的距离为d，当d最小时，求出此时点M的坐标；（3）点C是点B关于原点的对称点，Q为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q作QP∥y轴交反比例函数于点P，点D为线段QP的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当D，C，E，F四点构成的四边形为正方形时，求点Q的坐标．二十．抛物线与x轴的交点（共1小题）23．（2022•邗江区一模）已知抛物线y＝﹣x2+2x+a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标是（3，0），点D是抛物线的顶点，点P是抛物线对称轴上的一个动点．（1）求a的值和顶点D的坐标；（2）是否存在点P，使得以P、D、B为顶点的三角形中有两个内角的和等于60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．二十一．二次函数综合题（共3小题）24．（2022•邳州市一模）抛物线y＝x2+bx+c经过点C（0，﹣4），且OB＝OC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D、E是抛物线对称轴上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的下方，求四边形ACDE的周长的最小值；（3）如图2，点N为抛物线上一点，连接CN，直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，直接写出点N的坐标．25．（2022•高邮市模拟）在平面直角坐标系xOy中，若一个函数图象上存在P、P′两点，使得∠POP′＝90°，则称该函数为“垂动点函数”，其中一个点叫做另一个点的“垂动点”．（1）正比例函数“垂动点函数”；（填“是”或“不是”）反比例函数“垂动点函数”；（填“是”或“不是”）（2）如图1，已知第三象限的一点P在一次函数y＝x+1图象上，点P的“垂动点”是点P'，PA⊥y轴于点A、P'B⊥y轴于点B，若△PAO的面积为，求△P'BO的面积；（3）如图2，已知第三象限的一点P在二次函数y＝﹣x2图象上，点P的“垂动点”是点Q，连接PQ交y轴于点M，过点O作ON⊥PQ于点N．求点M的坐标和点N的横坐标的最大值．26．（2022春•荷塘区校级期中）如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点．（1）若a＝﹣1，b＝2，c＝3．①求此二次函数图象的顶点M的坐标；②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“好点”．（2）如图2，连接MC，直线MC与x轴交于点P，满足∠PCA＝∠PBC，且的面积为，求二次函数的表达式．二十二．三角形综合题（共2小题）27．（2022•东海县一模）【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠B＝30°，AC＝4，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，作射线AE．（1）则CE的长为；【变式思考】（2）在“问题情境”的基础上，如图2，点P是射线AE上的动点，过点P分别作PF⊥AB所在直线于点F，作PH⊥BC所在直线于点H．①求△PHE与△PFA面积之和的最小值；②连接FH，求FH的最小值是多少？【拓展探究】（3）在“问题情境”的基础上，如图3，△ABC内有点Q，且∠AQC＝60°，AB、BC上分别有一点M、N，连接QM、QN、MN，直接写出△QMN周长的最小值．28．（2022•秦淮区校级模拟）（1）如图①，O为等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5．求∠AOB的度数．（提示：可将△AOB绕点A旋转到△APC）（2）在图②中，用尺规作等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三个圆上．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）（3）如图③，直线a∥b∥c．怎样找到等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三条直线上？用尺规作出该三角形．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）二十三．四边形综合题（共2小题）29．（2022•惠山区一模）（1）【操作发现】如图1，四边形ABCD、CEGF都是矩形，，AB＝9，AD＝12，小明将矩形CEGF绕点C顺时针转α°（0≤α≤360），如图2所示．①若的值不变，请求出的值，若变化，请说明理由．②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，画出图形并求出AG的长度．（2）【类比探究】如图3，△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝α°，tan∠ABC＝，G为BC中点，D为平面内一个动点，且DG＝，将线段BD绕点D逆时针旋转α°得到DB′，则四边形BACB′面积的最大值为．（直接写出结果）30．（2022•沈河区校级模拟）（1）如图1，点E在正方形ABCD内，且在对角线AC右侧，连接AE，CE，EF⊥AE，以EF，EC为邻边作平行四边形ECGF，连接ED，EG．当AE＝EF时，ED与EG之间的数量关系为；（2）如图2，点E在矩形ABCD内，且在对角线AC右侧，连接AE，CE，EF⊥AE，以EF，EC为邻边作平行四边形ECGF，连接ED，EG，当AE＝EF，且AD：DC＝5：4，求ED：EG的值；（3）如图3，点E在矩形ABCD内，且在对角线AC右侧，连接AE，CE，EF⊥AE，以EF，EC为邻边作平行四边形ECGF，连接ED，EG．若AD＝35，CD＝25，＝，且G，D，F三点共线．若＝，求的值．【参考答案】一十四．一元一次不等式的应用（共1小题）16．（2009•黑河）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？【解析】解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价m元．则：．解得：m＝4000．经检验，m＝4000是原方程的根且符合题意．所以甲种电脑今年每台售价4000元；（2）设购进甲种电脑x台．则：48000≤3500x+3000（15﹣x）≤50000．解得：6≤x≤10．因为x的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案；（3）设总获利为W元．则：W＝（4000﹣3500）x+（3800﹣3000﹣a）（15﹣x）＝（a﹣300）x+12000﹣15a．当a＝300时，（2）中所有方案获利相同．此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利．一十五．一元一次不等式组的应用（共1小题）17．（2019•汶上县二模）为落实优秀传统文化进校园，某校计划购进“四书”、“五经”两套图书供学生借阅，已知这两套图书单价和为660元，一套“四书”比一套“五经”的2倍少60元．（1）分别求出这两套图书的单价；（2）该校购买这两套图书不超过30600元，且购进“四书”至少33套，“五经”的套数是“四书”套数的2倍，该校共有哪几种购买方案？【解析】解：（1）设五经的单价为x元，则四书的单价为（2x﹣60）元，依题意得x+2x﹣60＝660，解得x＝240，∴2x﹣60＝420，∴五经的单价为240元，则四书的单价为420元；（2）设购买四书a套，五经b套，依题意得，解得33≤a≤34，∵a为正整数，∴a＝33或34，∴当a＝33时，b＝66；当a＝34时，b＝68；∴该校共有2种购买方案：①四书33套，五经66套；②四书34套，五经68套．一十六．一次函数的应用（共1小题）18．（2022•惠山区一模）据环保中心观察和预测：发生于甲地的河流污染一直向下游方向移动，其移动速度v（千米/小时）与时间t（小时）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，根据物理知识：梯形OABC在直线l左侧部分的面积表示的实际意义为t（小时）内污染所经过的路程S（千米），其中0≤t≤30．（1）当t＝3时，则S的值为9；（2）求S与t的函数表达式；（3）若乙城位于甲地的下游，且距甲地171km，试判断这河流污染是否会侵袭到乙城？若会，求河流污染发生后多长时间它将侵袭到乙城；若不会，请说明理由．【解析】解：（1）由图象可知：直线OA的解析式为y＝2t，当t＝3时，y＝2×3＝6，∴S＝×3×6＝9；（2）当0≤t≤5时，S＝•t•2t＝t2；当5＜t≤10时，S＝×5×10+10（t﹣5）＝10t﹣25；当10＜t≤30时，S＝×5×10+10×5+（t﹣10）×10﹣×（t﹣10）×（t﹣10）＝﹣t2+15t﹣50．综上所述，S＝；（3）河流污染发生后将侵袭到乙城，理由如下：当0≤t≤5时，S最大值＝52＝25＜171，当5＜t≤10时，S最大值＝10×10﹣25＝75＜171，当10＜t≤30时，令﹣t2+15t﹣50＝171，解得t1＝26，t2＝34，∵10＜t≤30，∴t＝26，∴河流污染发生26h后将侵袭到乙城．一十七．一次函数综合题（共1小题）19．（2021春•柳南区校级期末）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．（1）求k、b的值；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上，∴，解得：k＝﹣1，b＝4；（2）存在两种情况：①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°，由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，∴△OBP≌△O'BP（AAS），∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8；②如图所示：当P在x轴的负半轴时，由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，∴S△BOP＝OB•OP＝＝8+8；（3）分4种情况：①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为（0，0）；②当BP＝PQ时，如图3，∵∠BPC＝45°，∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，∴∠APB＝22.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝4，∴OP＝4+4，∴P（4+4，0）；③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，∵∠BPC＝45°，∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，△PCA中，∠APC＝22.5°，∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP＝4，∴OP＝4﹣4，∴P（4﹣4，0）；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，∴此时P（﹣4，0）；综上，点P的坐标是（0，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）或（﹣4，0）．一十八．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）20．（2022•常州一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象上有一点D（m，），过点D作CD⊥x轴于点C，将点C向左平移2个单位长度得到点B，过点B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，AB＝4．（1）点A的坐标为（m﹣2，4）（用含m的式子表示）；（2）求反比例函数的解析式；（3）设直线AD的解析式为y＝ax+b（a，b为常数且a≠0）．则不等式﹣（ax+b）＞0的解集是0＜x＜1或x＞3．【解析】解：（1）D（m，），BC＝2，∴OB＝m﹣2，又∵AB＝4，AB⊥OC，∴A（m﹣2，4），故答案为：（m﹣2，4）；（2）反比例函数y＝（x＞0）的图象上有A，D两点，∴k＝4×（m﹣2）＝m，解得m＝3，∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；（3）∵A（1，4），D（3，），∴不等式﹣（ax+b）＞0的解集为0＜x＜1或x＞3．故答案为：0＜x＜1或x＞3．一十九．反比例函数综合题（共2小题）21．（2022•锦江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且AC＝3AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D．（1）求b、k的值；（2）如图1，若点E为线段BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）于点F．若EF＝BD，求m的值．（3）如图2，在（2）的条件下，连接FD并延长，交x轴于点G，连接OD，在直线OD上方是否存在点H，使得△ODH与△ODG相似（不含全等）？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）作CM⊥x轴于M，如图1：∵∠BOA＝∠CMA，∠BAO＝∠CAM，∴△BOA∽△CMA，∵直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），∴﹣3+b＝0，解得b＝3，∴直线解析式为：y＝3x+3，∴B（0，3），∵AC＝3AB，∴CM＝3BO＝9，AM＝3OA＝3，∴C点坐标为（2，9），∴将C点坐标代入y＝，得k＝18．（2）∵BD∥x轴，∴D点的纵坐标为3，代入y＝，得x＝6，∴D点坐标为（6，3），将E点横坐标代入y＝3x+3，得y＝3m+3，∵EF∥BD，∴F点纵坐标为3m+3，代入y＝，得x＝，∴F点坐标为（，3m+3），∵EF＝BD，∴﹣m＝×6，解方程得m＝1或﹣4（舍），∴m＝1．（3）存在，理由如下：如图2，过点D作DQ⊥x轴于点Q，由（2）知D（3，6），F（6，3），∴直线FD的解析式为：y＝﹣x+9，OQ＝6，DQ＝3，∴OG＝9，∴DQ：GQ＝3，∴∠QGD＝∠QDG＝45°．∴OD＝3，DG＝3．Ⅰ、当∠HOD＝∠DOG时，如图2所示，设BD与OH交于点P，由（2）知，BD∥x轴，∴∠BDO＝∠DOG，∴∠BDO＝∠HOD，∴OP＝PD，设OP＝m，则BP＝6﹣m，在Rt△OBP中，由勾股定理可得，32+m2＝（6﹣m）2，解得m＝；∴BP＝；∴P（，3），∴直线OP的解析式为：y＝x；①若△ODG∽△ODH，则OD：OD＝OG：OH＝1，不符合题意，舍去；②若△ODG∽△OHD，∴OD：OH＝OG：OD，即3：OH＝9：3，解得OH＝5，设H（3t，4t），∴（3t）2+（4t）2＝52，解得t＝1，负值舍去，∴H（3，4）；Ⅱ、当∠HOD＝∠DGO时，①若△ODG∽△DHO，如图4，∴∠DOG＝∠ODH，DG：OH＝OG：DO，∴DH∥OG，即点H在BD上，3：OH＝9：3，∴OH＝，∴BH＝1，∴H（1，3），直线OH的解析式为：y＝3x；②若△ODG∽△HDO，∴DG：OD＝OG：OH，即3：3＝9：OH，解得OH＝，设H（t，3t），∴t2+（3t）2＝（）2，解得t＝，负值舍去，∴H（，）；Ⅲ、当∠HOD＝∠ODG时，OH∥EG，∴直线OH的解析式为：y＝﹣x；①若△ODG∽△DOH，则OD：OD＝OG：DH＝1，不符合题意，舍去；②若△ODG∽△HOD，如图5，∴OD：OH＝DG：OD，即3：OH＝3：3，解得OH＝，设H（t，﹣t），∴t2+（﹣t）2＝（）2，解得t＝﹣，正值舍去，∴H（﹣，）；综上，符合题意的点H的坐标为：（3，4）或（1，3）或（，）或（﹣，）．22．（2022•成都模拟）如图，直线AB经过点B（0，﹣2），并与反比例函数交于点A（3，﹣1）．（1）求直线AB和反比例函数的表达式；（2）点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线AB的距离为d，当d最小时，求出此时点M的坐标；（3）点C是点B关于原点的对称点，Q为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q作QP∥y轴交反比例函数于点P，点D为线段QP的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当D，C，E，F四点构成的四边形为正方形时，求点Q的坐标．【解析】解：（1）将A（3，﹣1）代入y＝中得，，∴k＝﹣3，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（3，﹣1）与B（0，﹣2）代入得，，∴，∴直线AB的解析式为y＝；（2）将直线AB向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时，此时d最小，设直线l的解析式为y＝，∴方程有两个相等的实数根，整理得x2+3bx+9＝0，∴Δ＝（3b）2﹣4×1×9＝0，解得b＝2或﹣2，∵直线l与y轴交于正半轴，∴b＝﹣2舍去，解方程，得x＝﹣3，∴y＝﹣，∴M（﹣3，1）；（3）分两种情况讨论：①当CE⊥CD时，如图，作CN∥x轴交PQ于点N，∵PQ∥y轴，∴∠EOC＝∠OCN＝∠CND＝90°，∵四边形DCEF为正方形，∴EC＝DC，∠ECD＝90°＝∠OCN，∴∠ECO＝∠DCN，在△ECO与△DCN中，，∴△ECO≌△DCN（AAS），∴CN＝CO，∵C与B关于原点对称，∴OC＝OB＝2，CN＝OC＝2，∴C（0，2），设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，∵CN＝2，点Q在直线PQ上，∴点Q的横坐标为2，当x＝2时，y＝0，∴Q（2，0）；②当CD⊥DE时，如图，过点D作x轴的平行线MN，交AC于点H，过E作y轴的平行线交MN于点N，则四边形OMNE是矩形，∴OM＝NE，∴∠CMD＝∠DNE＝90°，∵四边形DCEF为正方形，∴CD＝DE，∠CDE＝90°，∵∠CDM+∠EDN＝∠CDM+∠DCM＝90°，∴∠EDN＝∠DCM，在△CDM与△DEN中，，∴△CDM≌△DEN（AAS），∴MD＝EN＝OM，由①知直线AB的解析式为y＝﹣x+2与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，2），∴∠ACB＝45°，∴△CMH为等腰直角三角形，∴MH＝CM，∠CHM＝45°，∴△QDH为等腰直角三角形，∵MD+DH＝OM+CO，∴DH＝OC＝2，∴DH＝QD＝2，∵D是PQ的中点，∴PQ＝4，设Q（a，﹣a+2），则P（a，﹣），∴﹣a+2﹣（）＝4，∴a＝﹣3（设）或a＝1，∴﹣a+2＝﹣1+2＝1，∴Q（1，1），当CE⊥DE时，同理可得△COE≌△EGD（AAS），∴OC＝EG＝2，OE＝DG，设E（m，0），则D（m+2，m），∴Q（m+2，﹣m+），P（m+2，﹣），∴2m＝﹣，解得m＝，∴Q（，）或（，），综上，Q点的坐标为（2，0）或（1，1）或（，）或（，）．二十．抛物线与x轴的交点（共1小题）23．（2022•邗江区一模）已知抛物线y＝﹣x2+2x+a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标是（3，0），点D是抛物线的顶点，点P是抛物线对称轴上的一个动点．（1）求a的值和顶点D的坐标；（2）是否存在点P，使得以P、D、B为顶点的三角形中有两个内角的和等于60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解析】解：（1）将点B（3，0）代入y＝﹣x2+2x+a，得﹣9+6+a＝0，解得：a＝3，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴函数的顶点D的坐标为（1，4）．（2）记对称轴与x轴的交点为点H，则DH＝4，BH＝2，∴BD＝2，tan∠BDH＝＜，∴∠BDH＜30°，∴∠D+∠DBP＝60°或∠D+∠DPB＝60°，点P在点D的下方，设点P（1，p），则DP＝4﹣p，①如图，当∠D+∠DBP1＝90°时，∠BP1H＝60°，∴tan∠BP1H＝，∴p＝，∴点P1的坐标为（1，）；②当∠D+∠DP2B＝60°时，∠DPB1＝∠DP2B，∴△DBP1∽△DP2B，∴，即，解得：DP2＝，∴P2（1，﹣），综上所述，点P的坐标为（1，）或（1，﹣）．二十一．二次函数综合题（共3小题）24．（2022•邳州市一模）抛物线y＝x2+bx+c经过点C（0，﹣4），且OB＝OC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D、E是抛物线对称轴上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的下方，求四边形ACDE的周长的最小值；（3）如图2，点N为抛物线上一点，连接CN，直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，直接写出点N的坐标．【解析】解：（1）∵点C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OB＝OC∴OB＝3，∴点B（3，0），∵抛物线y＝x2+bx+c经过点C（0，﹣4），点B（3，0），∴，解得，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；（2）把C向上移1个单位得点C′，再作C′关于抛物线的对称轴的对称点C″，连接AC″，与对称轴交于点E，再在对称轴上E点上下方取点D，使得DE＝1，连接CD，则CD＝C′E＝C″E，此时四边形ACDE的周长最小，∵C（0，﹣4），∴C′（0，﹣3），∵y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝﹣＝1，∴C″（2，﹣3），A（﹣1，0），∴AC＝＝，AC″＝＝3，∴AE+DE+CD+AC＝AE+1+C″E+＝1++AE+C″E＝1++AC″＝1++3的值最小，∴四边形ACDE的周长的最小值为1++3；（3）如图，设直线CN交x轴于点E，直线CN把四边形CBNA的面积分为3：1两部分，又∵S△NCB：S△NCA＝EB×（yN﹣yC）：AE×（yN﹣yC）＝BE：AE，则BE：AE＝1：3或3：1，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，则AE＝3或1，即：点E的坐标为（2，0）或（0，0），∵当点E的坐标为（0，0）时，直线CE与抛物线不可能交于点N，故不合题意，舍去，当点E的坐标为（2，0）时，设直线CN的表达式：y＝kx﹣4，∴2k﹣4＝0，解得k＝2，∴直线CN的表达式：y＝2x﹣4，联立y＝x2﹣x﹣4并解得：x＝或0（不合题意，舍去），故点N的坐标为（，3）．25．（2022•高邮市模拟）在平面直角坐标系xOy中，若一个函数图象上存在P、P′两点，使得∠POP′＝90°，则称该函数为“垂动点函数”，其中一个点叫做另一个点的“垂动点”．（1）正比例函数不是“垂动点函数”；（填“是”或“不是”）反比例函数不是“垂动点函数”；（填“是”或“不是”）（2）如图1，已知第三象限的一点P在一次函数y＝x+1图象上，点P的“垂动点”是点P'，PA⊥y轴于点A、P'B⊥y轴于点B，若△PAO的面积为，求△P'BO的面积；（3）如图2，已知第三象限的一点P在二次函数y＝﹣x2图象上，点P的“垂动点”是点Q，连接PQ交y轴于点M，过点O作ON⊥PQ于点N．求点M的坐标和点N的横坐标的最大值．【解析】解：（1）根据“垂动点函数”的定义，在正比例函数的图象和反比例函数图象上不存在在P、P′两点，使得∠POP′＝90°，∴正比例函数不是“垂动点函数”，反比例函数也不是“垂动点函数”，故答案为：不是，不是；（2）设P（m，m+1），∵△PAO的面积为，∴PA•OA＝（﹣m）•（﹣m﹣1）＝，解得m＝（此时P不在第三象限，舍去）或m＝﹣，∴P（﹣，﹣），∴PA＝，OA＝，设P'（n，n+1），则P'B＝﹣n，OB＝n+1，∵∠POP'＝90°，∴∠POA＝90°﹣∠P'OB＝∠OP'B，又∠PAO＝∠P'BO＝90°，∴△PAO∽△OBP'，∴＝，即＝，解得n＝﹣，∴P'（﹣，），∴P'B＝，OB＝，∴△PAO的面积为××＝；（3）设P（t，﹣t2），Q（s，﹣s2），则OA＝﹣t，AP＝t2，OB＝s，BQ＝s2，同（2）可证△AOP∽△BQO，∴＝，即＝，∴s＝﹣，∴Q（﹣，﹣），设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P（t，﹣t2），Q（﹣，﹣）代入得：，解得，∴直线PQ解析式为y＝x﹣4，令x＝0得y＝﹣4，∴M（0，﹣4），过N作CD∥y轴交x轴于D，过M作MC⊥CD于C，如图，设N（p，﹣q），p＞0，q＞0，则CM＝OD＝p，DN＝q，∵ON⊥PQ，∴∠MNC＝90°﹣∠OND＝∠NOD，又∠ODN＝∠MCN＝90°，∴△MCN∽△NDO，∴＝，即＝，∴p2＝q（4﹣q），要使p最大，需q（4﹣q）最大，而q（4﹣q）在q＝4﹣q，即q＝2时，取得最大值4，∴p2最大值为4，∴p最大值为2，∴点N的横坐标的最大值是2．26．（2022春•荷塘区校级期中）如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点．（1）若a＝﹣1，b＝2，c＝3．①求此二次函数图象的顶点M的坐标；②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“好点”．（2）如图2，连接MC，直线MC与x轴交于点P，满足∠PCA＝∠PBC，且的面积为，求二次函数的表达式．【解析】解：（1）①∵a＝﹣1，b＝2，c＝3，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M的坐标为（1，4）；（2）当x＝y时，﹣x2+2x+3＝x，∴x2﹣x﹣3＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，∴二次函数y＝﹣x2+2x+3有两个不同的“好点”；（3）∵tan∠PBC＝，点C的坐标为（0，c），则BO＝2c，点B坐标为（2c，0），由一元二次方程根与系数的关系：x1•x2＝可得x1•2c＝，∴x1＝，∴点A坐标为（，0），∵顶点坐标M（﹣，），C（0，c），设直线MC的函数关系式为：y＝mx+n，根据题意得：，解得：，∴直线MC的解析式为：y＝x+c，∴点P坐标为（﹣，0），由此可得PA＝+，PB＝2c+，∵∠PCA＝∠PBC，∠CPA＝∠BPC，∴△PCA∽△PBC，∴＝，∴PC2＝PA•PB，∵PC2＝OP2+OC2＝（﹣）2+c2＝+c2，∴+c2＝（+）（2c+），∴c2＝++，∴c＝++＝①，把点B（2c，0）代入二次函数解析式，得：4ac2+2bc+c＝0，∴4ac+2b+1＝0，∴4ac+b+1＝﹣b②，将②式代入①式得，c＝﹣＝﹣，将c＝﹣代入4ac+2b+1＝0，得，﹣4+2b+1＝0，解得：b＝，∴P的坐标为（﹣，0），又∵S△PBC＝PB•CO＝（2c+）•c＝，∴＝，解得，c＝（﹣舍去），又∵c＝﹣＝﹣，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+．二十二．三角形综合题（共2小题）27．（2022•东海县一模）【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠B＝30°，AC＝4，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，作射线AE．（1）则CE的长为；【变式思考】（2）在“问题情境”的基础上，如图2，点P是射线AE上的动点，过点P分别作PF⊥AB所在直线于点F，作PH⊥BC所在直线于点H．①求△PHE与△PFA面积之和的最小值；②连接FH，求FH的最小值是多少？【拓展探究】（3）在“问题情境”的基础上，如图3，△ABC内有点Q，且∠AQC＝60°，AB、BC上分别有一点M、N，连接QM、QN、MN，直接写出△QMN周长的最小值．【解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B＝30°，∴∠AEC＝60°，∴tan∠AEC＝，∴CE＝＝，故答案为：；（2）①过点P作PG⊥AC于点G．∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE．∴∠EAB＝∠B＝30°．∴∠EAC＝∠EAB＝30°．∴PF＝PG，CE＝DE，∵AE＝AE，∴Rt△EAC≌Rt△EAD（HL）．设PG＝x，则AG＝，CG＝PH＝，HE＝，∴△PHE与△PFA面积之和为＝．∴最小值为；②连接BP，取BP的中点O，连接OH，OF，过点B作BM⊥AE于点M．∵PF⊥AB，PH⊥BC，点O为PB中点，∴OP＝OF＝OB＝OH．∴点P、F、B、H四点在以O为圆心，PB为直径的同一个圆上，又∵∠EBF＝30°，∴∠HOF＝60°．∴△HOF为等边三角形．∴HF＝BP．∵AC＝4，∴AB＝8．∴BP的最小值为BM＝4．∴FH的最小值为2；（3）以AC为底边作等腰三角形AOC，使∠AOC＝120°，连接OB，作点Q关于BC、AB的对称点Q'、Q''，连接Q'Q''，由轴对称的性质得，△QMN周长为Q'Q''，BQ'＝BQ''＝BQ，∠Q'BQ''＝60°，∴△BQ'Q''是等边三角形，∵∠AQC＝60°，∴点Q在以O为圆心，OA为半径的圆上运动，当点O、Q、B共线时，QB最小，延长CO交AB于H，∵∠ACH＝30°，∠CAB＝60°，∴∠AHC＝90°，∴AH＝2，CO＝，BH＝AB﹣AH＝8﹣2＝6，∴OH＝OA＝，由勾股定理得，OB＝＝，∴BQ的最小值为﹣，∴△QMN周长的最小值为﹣．28．（2022•秦淮区校级模拟）（1）如图①，O为等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5．求∠AOB的度数．（提示：可将△AOB绕点A旋转到△APC）（2）在图②中，用尺规作等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三个圆上．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）（3）如图③，直线a∥b∥c．怎样找到等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三条直线上？用尺规作出该三角形．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）【解析】解：（1）如图，将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时AB正好与AC重合，得到△ACP，连接OP，根据旋转的性质可知，AO＝AP，∠OAP＝60°，CP＝OB＝4，∴△AOP为等边三角形，∴OP＝OA＝3，∠APO＝60°，∵OP2+PC2＝32+42＝52＝OC2，∴△OPC为直角三角形，∴∠OPC＝90°，∴∠APC＝∠APO+∠OPC＝60°+90°＝150°，∴∠AOB＝∠APC＝150°；（2）在最小的圆上取一点A，然后以点A为圆心，OA为半径画弧，与小圆交于点P，再以P为圆心，中间的圆的半径长为半径画弧，与最大的圆交于一点B，连接AB，以B为圆心，AB长为半径画弧，与中间的圆交于一点C，连接BC，AC，则△ABC为所求三角形，如图所示，（3）在直线a上任意取一点A，过点A作AD⊥b于点D，以点A为圆心，AD的长为半径画圆，以D为圆心，AD为半径画弧，交⊙A于一点P，过点P作PB⊥CB，交直线c于点B，连接AB，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交直线b于点C，连接AC，BC，则△ABC即为所求．二十三．四边形综合题（共2小题）29．（2022•惠山区一模）（1）【操作发现】如图1，四边形ABCD、CEGF都是矩形，，AB＝9，AD＝12，小明将矩形CEGF绕点C顺时针转α°（0≤α≤360），如