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文档简介

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知直线是曲线的切线,则()A.或1 B.或2 C.或 D.或12.已知双曲线的右焦点为,过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,延长交右支于点,若,则双曲线的离心率是()A. B. C. D.3.如图所示程序框图,若判断框内为“”,则输出()A.2 B.10 C.34 D.984.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,,则 D.若,,,则5.已知三棱锥且平面,其外接球体积为()A. B. C. D.6.复数满足(为虚数单位),则的值是()A. B. C. D.7.集合,,则=()A. B.C. D.8.已知角的终边与单位圆交于点,则等于()A. B. C. D.9.已知定义在上的偶函数,当时,,设,则()A. B. C. D.10.函数的部分图像如图所示,若,点的坐标为,若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,则的最小值为()A. B. C. D.11.1777年,法国科学家蒲丰在宴请客人时,在地上铺了一张白纸,上面画着一条条等距离的平行线,而他给每个客人发许多等质量的,长度等于相邻两平行线距离的一半的针,让他们随意投放.事后,蒲丰对针落地的位置进行统计,发现共投针2212枚,与直线相交的有704枚.根据这次统计数据,若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针,则针落地后与直线相交的概率约为()A. B. C. D.12.甲乙丙丁四人中,甲说:我年纪最大,乙说:我年纪最大,丙说:乙年纪最大,丁说:我不是年纪最大的,若这四人中只有一个人说的是真话,则年纪最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的展开式中的常数项为_______.14.如图所示梯子结构的点数依次构成数列,则________.15.不等式对于定义域内的任意恒成立,则的取值范围为__________.16.在数列中,,,曲线在点处的切线经过点,下列四个结论:①;②;③;④数列是等比数列;其中所有正确结论的编号是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知矩阵的一个特征值为4,求矩阵A的逆矩阵.18.(12分)在锐角中,,,分别是角,,所对的边,的面积,且满足,则的取值范围是()A. B. C. D.19.(12分)如图,内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,平面ABC,,.(1)求证:平面ACD;(2)设,表示三棱锥B-ACE的体积,求函数的解析式及最大值.20.(12分)已知如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC中点,AEBD于E,延长AE交BC于F,将△ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如图2所示。(Ⅰ)求证:AE平面BCD;(Ⅱ)求二面角A-DC-B的余弦值;(Ⅲ)求三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比(只需写出结果,不要求过程).21.(12分)在中,内角,,所对的边分别是,,,,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.22.(10分)已知椭圆的焦点在轴上,且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.(1)求椭圆的方程;(2)设,过椭圆右焦点的直线交于、两点,若对满足条件的任意直线,不等式恒成立,求的最小值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

求得直线的斜率,利用曲线的导数,求得切点坐标,代入直线方程,求得的值.【详解】直线的斜率为,对于,令,解得,故切点为,代入直线方程得,解得或1.故选:D【点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数,属于基础题.2、D【解析】

设双曲线的左焦点为,连接,,,设,则,,,和中,利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为,连接,,,设,则,,,,根据对称性知四边形为矩形,中:,即,解得;中:,即,故,故.故选:.【点睛】本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3、C【解析】

由题意,逐步分析循环中各变量的值的变化情况,即可得解.【详解】由题意运行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此时输出.故选:C.【点睛】本题考查了程序框图,只需在理解程序框图的前提下细心计算即可,属于基础题.4、C【解析】

根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.【详解】对于,当为内与垂直的直线时,不满足,错误;对于,设,则当为内与平行的直线时,,但,错误;对于,由,知:,又,,正确;对于,设,则当为内与平行的直线时,,错误.故选:.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析,考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况,属于基础题.5、A【解析】

由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为,所以,设,则由,可得,解得,可将三棱锥还原成如图所示的长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,所以外接球的体积.故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.6、C【解析】

直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可.【详解】由得:本题正确选项:【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用,考查计算能力.7、C【解析】

先化简集合A,B,结合并集计算方法,求解,即可.【详解】解得集合,所以,故选C.【点睛】本道题考查了集合的运算,考查了一元二次不等式解法,关键化简集合A,B,难度较小.8、B【解析】

先由三角函数的定义求出,再由二倍角公式可求.【详解】解:角的终边与单位圆交于点,,故选:B【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式,是基础题.9、B【解析】

根据偶函数性质,可判断关系;由时,,求得导函数,并构造函数,由进而判断函数在时的单调性,即可比较大小.【详解】为定义在上的偶函数,所以所以;当时,,则,令则,当时,,则在时单调递增,因为,所以,即,则在时单调递增,而,所以,综上可知,即,故选:B.【点睛】本题考查了偶函数的性质应用,由导函数性质判断函数单调性的应用,根据单调性比较大小,属于中档题.10、B【解析】

根据图象以及题中所给的条件,求出和,即可求得的解析式,再通过平移变换函数图象关于轴对称,求得的最小值.【详解】由于,函数最高点与最低点的高度差为,所以函数的半个周期,所以,又,,则有,可得,所以,将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,即平移后为偶函数,所以的最小值为1,故选:B.【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质,根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键,要求熟练掌握函数图象之间的变换关系,属于简单题目.11、D【解析】

根据统计数据,求出频率,用以估计概率.【详解】.故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景,考查利用频率估计概率,属于基础题.12、C【解析】

分别假设甲乙丙丁说的是真话,结合其他人的说法,看是否只有一个说的是真话,即可求得年纪最大者,即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话,则年纪最大的是甲,那么乙说谎,丙也说谎,而丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故甲说的不是真话,年纪最大的不是甲;②假设乙说的是真话,则年纪最大的是乙,那么甲说谎,丙说真话,丁也说真话,而已知只有一个人说的是真话,故乙说谎,年纪最大的也不是乙;③假设丙说的是真话,则年纪最大的是乙,所以乙说真话,甲说谎,丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故丙在说谎,年纪最大的也不是乙;④假设丁说的是真话,则年纪最大的不是丁,而已知只有一个人说的是真话,那么甲也说谎,说明甲也不是年纪最大的,同时乙也说谎,说明乙也不是年纪最大的,年纪最大的只有一人,所以只有丙才是年纪最大的,故假设成立,年纪最大的是丙.综上所述,年纪最大的是丙故选:C.【点睛】本题考查合情推理,解题时可从一种情形出发,推理出矛盾的结论,说明这种情形不会发生,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

写出展开式的通项公式,考虑当的指数为零时,对应的值即为常数项.【详解】的展开式通项公式为:,令,所以,所以常数项为.

故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解,难度较易.解答问题的关键是,能通过展开式通项公式分析常数项对应的取值.14、【解析】

根据图像归纳,根据等差数列求和公式得到答案.【详解】根据图像:,,故,故.故答案为:.【点睛】本题考查了等差数列的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.15、【解析】

根据题意,分离参数,转化为只对于内的任意恒成立,令,则只需在定义域内即可,利用放缩法,得出,化简后得出,即可得出的取值范围.【详解】解:已知对于定义域内的任意恒成立,即对于内的任意恒成立,令,则只需在定义域内即可,,,当时取等号,由可知,,当时取等号,,当有解时,令,则,在上单调递增,又,,使得,,则,所以的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性和最值,解决恒成立问题求参数值,涉及分离参数法和放缩法,考查转化能力和计算能力.16、①③④【解析】

先利用导数求得曲线在点处的切线方程,由此求得与的递推关系式,进而证得数列是等比数列,由此判断出四个结论中正确的结论编号.【详解】∵,∴曲线在点处的切线方程为,则.∵,∴,则是首项为1,公比为的等比数列,从而,,.故所有正确结论的编号是①③④.故答案为:①③④【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法,考查根据递推关系式证明等比数列,考查等比数列通项公式和前项和公式,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、.【解析】

根据特征多项式可得,可得,进而可得矩阵A的逆矩阵.【详解】因为矩阵的特征多项式,所以,所以.因为,且,所以.【点睛】本题考查矩阵的特征多项式以及逆矩阵的求解,是基础题.18、A【解析】

由正弦定理化简得,解得,进而得到,利用正切的倍角公式求得,根据三角形的面积公式,求得,进而化简,即可求解.【详解】由题意,在锐角中,满足,由正弦定理可得,即,可得,所以,即,所以,所以,则,所以,可得,又由的面积,所以,则.故选:A.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用,以及三角形的面积公式和正切的倍角公式的综合应用,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.19、(1)见解析(2),最大值.【解析】

(1)先证明,,故平面ADC.由,即得证;(2)可证明平面ABC,结合条件表示出,利用均值不等式,即得解.【详解】(1)证明:∵四边形DCBE为平行四边形,∴,.∵平面ABC,平面ABC,∴.∵AB是圆O的直径,∴,且,平面ADC,∴平面ADC.∵,∴平面ADC.(2)解∵平面ABC,,∴平面ABC.在中,,.在中,∵,∴,∴,∴.∵,当且仅当,即时取等号,∴当时,体积有最大值.【点睛】本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积,考查了学生逻辑推理,空间想象,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.20、(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)1:5【解析】

(Ⅰ)由平面ABD⊥平面BCD,交线为BD,AE⊥BD于E,能证明AE⊥平面BCD;(Ⅱ)以E为坐标原点,分别以EF、ED、EA所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系E-xyz,利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;(Ⅲ)利用体积公式分别求出三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积,再作比写出答案即可.【详解】(Ⅰ)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,交线为BD,又在△ABD中,AE⊥BD于E,AE⊂平面ABD,∴AE⊥平面BCD.(Ⅱ)由(1)知AE⊥平面BCD,∴AE⊥EF,由题意知EF⊥BD,又AE⊥BD,如图,以E为坐标原点,分别以EF、ED、EA所在直线为x轴,y轴,z轴,

建立空间直角坐标系E-xyz,设AB=BD=DC=AD=2,

则BE=ED=1,∴AE=,BC=2,BF=,则E(0,0,0),D(0,1,0),B(0,-1,0),A(0,0,),

F(,0,0),C(,2,0),,,由AE⊥平面BCD知平面BCD的一个法向量为,设平面ADC的一个法向量,则,取x=1,得,∴,∴二面角A-DC-B的平面角为锐角,故余弦值为.

(Ⅲ)三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比为:1:5.【点睛】本题考查线面垂直的证明、几何体体积计算、二面角有关的立体几何综合题,属于中等题.21、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根据正弦定理先求得边c,然后由余弦定理可求得边b;(Ⅱ)结合二倍角公式及和差公式,即可求得本题答案.【详解】(Ⅰ)因为,由正弦定理可得,,又,所以,所以根据余弦定理得,,解得,;(Ⅱ)因为,所以,,,则.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形,以及利用二倍角公式及

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