最新人教A版必修四高中数学112-弧度制公开课课件

§1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制§1.1任意角和弧度制明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04明目标填要点探要点内容010203当堂测041.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.明目标、知重点1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.31.度量角的单位制(1)角度制用

作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的

.(2)弧度制①弧度制的定义长度等于

的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.以

作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.度填要点·记疑点

半径长弧度1.度量角的单位制度填要点·记疑点

半径长弧度4②任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个

；负角的弧度数是一个

；零角的弧度数是

.③角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝

.正数负数零

②任意角的弧度数与实数的对应关系正数负数零

5角度化弧度弧度化角度360°＝

rad2πrad＝

180°＝

radπrad＝

1°＝

rad≈0.01745rad1rad＝

≈57.30°2.角度制与弧度制的换算(1)2π360°π180°角度化弧度弧度化角度360°＝rad2π6度0°1°30°45°60°90°弧度0(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系

度120°135°150°270°360°弧度π2π

度0°1°30°45°60°90°弧度0(2)一些特殊角的度7度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝l＝

扇形的面积S＝S＝

＝

3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则

度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝l＝ 扇形的面8探要点·究所然情境导学

探要点·究所然情境导学

9探究点一弧度制思考1

1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关.如图所示，∠AOB就是1弧度的角.探究点一弧度制思考11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和10思考2如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.

AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数0没旋转顺时针方向πr逆时针方向2πr顺时针方向00°

－90°π180°－2π－360°（思考2如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α11

逆时针方向

r逆时针方向

2r顺时针方向

1°1－2

逆时针方向 r逆时针方向 2r顺时针方向 1°1－212

13思考3角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.角度化弧度弧度化角度360°＝

rad2πrad＝

180°＝

radπrad＝

1°＝

rad1rad＝2π360°π180°思考3角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补14例1

(1)把67°30′化成弧度；例1(1)把67°30′化成弧度；15反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记πrad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以

即可.反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之16

288

28817探究点二弧度制下的弧长公式和扇形面积公式思考我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式.(设半径为r，圆心角弧度数为α).探究点二弧度制下的弧长公式和扇形面积公式思考我们已经学习18例2已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，所以当扇形的圆心角为2rad，半径为10cm时，扇形的面积最大为100cm2.例2已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么19反思与感悟灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.反思与感悟灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决20

21探究点三利用弧度制表示终边相同的角导引在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度.思考1利用弧度制表示出终边落在坐标轴上的角的集合.终边所在的位置角的集合x轴

y轴

坐标轴

{α|α＝kπ，k∈Z}探究点三利用弧度制表示终边相同的角导引在弧度制下，与α终22思考2利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合.α终边所在的象限角α的集合Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

思考2利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合.α终边所23

解

(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°.

解(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－24∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.反思与感悟在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.反思与感悟在同一问25跟踪训练3

(1)把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；跟踪训练3(1)把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的26(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.又β∈[－4π，0]，(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β27当堂测·查疑缺12341.时针经过一小时，时针转过了(

)解析时针经过一小时，转过－30°，B当堂测·查疑缺12341.时针经过一小时，时针转过了(2812342.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是(

)A.1 B.1或2 C.1或4 D.2或4解析设扇形半径为r，中心角弧度数为α，C12342.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇2912343.已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为__________________.解析设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，12343.已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角301234123431呈重点、现规律1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.呈重点、现规律1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数323.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应33§1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制§1.1任意角和弧度制明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04明目标填要点探要点内容010203当堂测041.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.明目标、知重点1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.361.度量角的单位制(1)角度制用

作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的

.(2)弧度制①弧度制的定义长度等于

的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.以

作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.度填要点·记疑点

半径长弧度1.度量角的单位制度填要点·记疑点

半径长弧度37②任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个

；负角的弧度数是一个

；零角的弧度数是

.③角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝

.正数负数零

②任意角的弧度数与实数的对应关系正数负数零

38角度化弧度弧度化角度360°＝

rad2πrad＝

180°＝

radπrad＝

1°＝

rad≈0.01745rad1rad＝

≈57.30°2.角度制与弧度制的换算(1)2π360°π180°角度化弧度弧度化角度360°＝rad2π39度0°1°30°45°60°90°弧度0(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系

度120°135°150°270°360°弧度π2π

度0°1°30°45°60°90°弧度0(2)一些特殊角的度40度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝l＝

扇形的面积S＝S＝

＝

3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则

度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝l＝ 扇形的面41探要点·究所然情境导学

探要点·究所然情境导学

42探究点一弧度制思考1

1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关.如图所示，∠AOB就是1弧度的角.探究点一弧度制思考11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和43思考2如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.

AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数0没旋转顺时针方向πr逆时针方向2πr顺时针方向00°

－90°π180°－2π－360°（思考2如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α44

逆时针方向

r逆时针方向

2r顺时针方向

1°1－2

逆时针方向 r逆时针方向 2r顺时针方向 1°1－245

46思考3角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.角度化弧度弧度化角度360°＝

rad2πrad＝

180°＝

radπrad＝

1°＝

rad1rad＝2π360°π180°思考3角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补47例1

(1)把67°30′化成弧度；例1(1)把67°30′化成弧度；48反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记πrad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以

即可.反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之49

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28850探究点二弧度制下的弧长公式和扇形面积公式思考我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式.(设半径为r，圆心角弧度数为α).探究点二弧度制下的弧长公式和扇形面积公式思考我们已经学习51例2已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，所以当扇形的圆心角为2rad，半径为10cm时，扇形的面积最大为100cm2.例2已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么52反思与感悟灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.反思与感悟灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决53

54探究点三利用弧度制表示终边相同的角导引在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度.思考1利用弧度制表示出终边落在坐标轴上的角的集合.终边所在的位置角的集合x轴

y轴

坐标轴

{α|α＝kπ，k∈Z}探究点三利用弧度制表示终边相同的角导引在弧度制下，与α终55思考2利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合.α终边所在的象限角α的集合Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

思考2利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合.α终边所56

解

(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°.

解(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－57∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.反思与感悟在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.反思与感悟在同一问58跟踪训练3

(1)把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0