第五次课行列式定义及性质

第三章行列式及其应用行列式的定义行列式的性质行列式的应用学习要点：了解行列式的定义及其性质。会运用行列式的性质求行列式的值。重点掌握行列式在理论推导中的应用，主要有以下三个定理：行列式展式定理；法则；行列式乘法定理。定义，二阶行列式与三阶行列式的计算21

22a

aa11

a12

a11a22

a12a21a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33

a11a22a33

a12a23a31

a13a21a32

-

a11a23a32

-

a12a21a33

-

a13a22a31a21

a22

a23a31

a32

a33a11

a12

a1331

3231

3332

33a13

aa21

a22a12

aa21

a23a11

aa22

a23

a

a

a

a11A11

a12

A12

a13

A13

a11a22a33

a12a23a31M11

a13a21a32

-

a11a23a32

-

a12a21a33

-

a13a22a31M12

M1312A

(1)11

M

A

(1)12

M11

11

121313A

(1)13

M定义1：在n

阶行列式中，把元素aij所在的第i

行和第j

列划去后，余下的n－1

阶行列式叫做元素aij的

式。

记为Mij称

ijiji

jA

1

M为元素

aij

的代数

式。444341

423433323124232221a

a

a

aa

a

a

aa

a

a

aa11

a12

a13

a14例如：D

4442413432311411

1223a

a

aM

a

a

aa

a

a2323A

123

M23

M

.2414aaa22

a23a31

a32

a33

34a41

a42

a43

a44aa11

a12

a13D

a21a21

a23

a24a33

a34a41

a43

a44M12

a31

121212A

112M

Ma31

a32

a33a11

a12

a13a22

a23M44

a21444444A

144

M

M式和一个注：行列式的每个元素都分别对应着一个代数

式。11M12Ma21

a23a31

a33

an1

an

3

a2

a3an1111A

1)1(1

M1212A

1)1(2

M例如nn

aA

...

......a

...

a...

...a

...

an

2n12

n

2221a1n

a11

a12aa11

a12 ...

a1na21

a22

...

a2

n...

...

...

...an1

an

2

...

annA

nA

aj

11

j

1

j(-1)

1

j

M定义3.1（行列式的递归定义）

n

阶行列式当n≥2时，假设对n-1阶行列式已有定义，则.........a11

a12a22a1na2nan1

an2annA

a21n

a1

j

A1

j

a11

A11

a12

A12

a1n

A1nj

1（上式又称按第一行展开）（3.1）的值定义如下：当n=1时，

A

=a11;na11Aan1

an

2

a21

a22按第1行展开a11

aa22a32

a33an

2

an

3按第 行展开441

22anna3343aaan3

an

4ann

(n2)

a11a22

annn

annan1

an

2a11

a21

a22例3.1

计算下三角行列式

A解根据行列式的定义in1

2n

d

d

d

di

1dnd2特别地，d13.2

行列式的性质

n0,

A,

j

ij

iaik

Ajkk

1a

A

n

ki

kj0,

A

,

j

ij

ik

1定理3.1（行列式展开定理）(i,

j

1,2,,

n)即行列式等于其任一行（列）元素与其对应的代数 式乘积之和（亦即行列式可按任一行或任一列展开）；任一行（列）元素与另一行（列）元素所对应的代数

式乘积之和为零。-1

21

3-1

-

51

0)

4

1

(-2

53

0

315

5

20

20按第1行展开

3例3.2验证行列式的展开定理3

1

4D

1

2

51

3

03

1

41

2

51

3

0解3

1

41

2

51

3

0-1

-

54

)2

-

54

3

(-

3按第3行展开

1

1

-13

311

203

1

41

2

51

3

01

)1

3

1

32

(-5)

(-

3按第3列展开

4

-1

-20

(-5)

(-8)

20再验证一下错列或错行展开是否为零?a12

A13

a22

A23

a32

A3311

2

3

3

5

16

21

0a11

A21

a12

A22

a13

A233

0

3(

14

)

1

34

4

(

31

0

1

31

)

312

4

32

021

3

1

11

31

)

2

(

33

1

4D

1

2

51

3

0推论3.1

如果行列式A

中有两行（列）的元素相同，则该行列式的值为零。例如a

b

ca

b

ca

a

0

b

b

0c

c3132aA

bA

cA按第三行展开33

等于零？也可以看做第一行元素与第三行代数 式的乘积1254123

2222242

21，求D的第3列元素的代数式之和。4233

a32a12

A13

a22

A23432132(

A

A

A从而，即，

A4323330.

A

AA1341

A42

A43

A44.练习1

5

7

81

1

1

1已知

D

2

0

3

6，1

2

3

4计算

A例3.3

设D

解

根据行列式的展开定理可得利用展开定理得到计算行列式的基本方法Ⅰ“降阶法”，即利用行列式展开定理,可将n阶行列式的计算转化为n-1阶行列式的计算。n

a1na2

n

anna11

a12a22A

计算上三角行列式例3.4解

根据行列式的展开定理，按第一列展开得An

a11a22

ann

.0

0

0

0

0

0

0

0

例如

ni),性质3.1

如果行列式

A

有一行（列）的

元素为零，则该行列式的值等于零。a11

a12

a1n

b1

c1

b2

c2

bn

cn

an1

an

2

anna11a12a1na11a12a1nb1b2bn＋c1c2cnan1an

2annan1an

2ann即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。性质3.2例如1031002041992003953013006000

3100204

200

120039530030600

200200

395

1

200 395

300

300

600

1

0

600100

100

204

00

204思考题1a11

+a21

+b21

a22an1

+bn1

an

2

ann

+

bnn

bn

2可以拆开成多少个行列式的和?性质3.4

如果行列式

A

中的某行元素（列）有公因子，则该公因子可提到行列式的外面。例如1113331214824636121233

2

284261

2

1推论3.2A,对于n阶方阵A，则

A

n

是一个数。推论3.3

如果行列式A

中有两行（列）元素对应成比例，则1

2

0

0

02

4

其行列式的值为零。例如1

2

3

03

6

9推论3.2

是一个数。A,对于n阶方阵A，则

A

n性质3.3设A是一个方阵，(1)设A

ri

rj

(i

j

)

B

，则B

A;性质7

对换行列式中两行的位置,行列式反号.,第一步是把第k行加到第i行,第二步是把第i行的(-1)倍加到第k行,第三步是把第k行加到第i行,最后再把第k

行的公因子(-1)提出.x性质3.3互换行列式的两行（列），行列式的值变号。证明：设nn21ss21a1anaaasnaaaanna1211D

a11

a12

a1nas1

at

1

as

2

at

2

asn

atnat

1

at

2

atnan1

an2

anna11

a12

a1nas1

at

1

as

2

at

1at

2

asn

atna11

a12

a1nat

1

at

2

atnas1as

2asnas1as

2asnan1an2annan1an2ann性质3.3设A是一个方阵，(2)设A

rj

kri

B，则B

A;性质3.3(2)：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。证明：a11

a12

a1n

as1

as

2

asnD

a

an1

an

2

ann作rs

krt得aasnannan1at

1as1a12a11a1n

katnast21

kat

2

kaD1

an

2a11

a12

a1n

a11

a12

a1n

as1

as

2

asn

ka

a

a

an1

an

2

ann

an1

an

2

ann

D

0

D说明1

行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立，反之亦然。说明2

计算行列式的方法很多，技巧也很强，重点掌握降阶法和化三角形法。定理3.2

矩阵A的行列式与其转置矩阵AT

的行列式的值相等，即A

AT

.b1nbnncn1c1k

b11

cnk

bn1c11a1kakka11ak10D

akka1ka11D1

det(aij

)

ak1bnnb1n

,b11

,

D2

det(bij

)

bn1则D

D1D2重要结论P62例3.11证明pkk

p11

pkka11

a1k

p11设为

D1

ak1

akk

pk11对

D1

作运算

ri

krj2对

D2

作运算

ci

kc

jnnn0

1

11

b1bn

q11设为

D2

n1

bnbn

n1对D

的前k

行作同前的运算ri

krj，再对后n

列作同前运算ci

kc

j

,把D

化为下三角形行列式11

kk

11

故npp)

D1D2n

ccnkn1n1p110bnncnk

bn1cn1a1ka110D

ak1c11akkc1kb11

b1nk1

11

ppkkc1ck

q11

000

000

000

0

0

0

0

例3性质8

设A，B都是n阶方阵，则AB

A

B思考题什么样的行列式的值是零如何变换行列式的值不变?什么样的变换行列式的值相差一个正负号？一个数乘行列式的某一行，行列式的值如何变化？一行拆开成两项之和，行列式可分解为？什么样的行列式（高阶）的值很好求？利用行列式的性质得到计算行列式的基本方法Ⅱ“化三角形法”。其基本思路是：通过行列式的行（列）变换将行列式化简为阶梯形行列式，再利用三角形行列式的值等于其对角线上元素的积计算其结果。2

1r

rr3

r140

0

2

4解只用ri+krj这种变换，例3.5把行列式化为三角形，然后计算行列式D的值。1

2141210110221101

21D

1102r4

2r1011

22110053

81

2

1

42

1

0D

11

2141

21400

24r2

r30112011

2011

2053

8053

843

2

5r2r

r1

214r112240088r4

4r31

2140112002

4000

2

4只用ri+krj变换或只用ci+kcj变换一定能把行列式化为上(下)三角形,行列式的值不变。计算行列式1

2

3

43

4

13

4

1

24

1

2

3D

2将行列式第2、3、4列加到第一列,得321211

4321

14

10j

2,3,4110Dc1

c

j1

2

30

1

12

20

1

1i

2,3,4

0ri

r10

0

0

4rr

10

16

160例3.6解特征1：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。a

n

1

ba

n

1

b

b

b

ba

n

1

b

a

b

bb

a

b

b

b

aD

a

n

1

b

1

b

b

b1

a

b

b

a

(n

1)b

1

b

a

b1

b

b

a计算n

阶行列式b

b

ba

b

bD

b

b

a

b

b

b

b

a例3.7解将行列式第2,3,…,n列加到第一列,得ba

bb

ba

ba

b1a

(n

1)b

a

(n

1)b(a

b)n1ri

r1i

2,,

nna1x2xny2a2ynanD

(a2a3

an

0)nnan

k

k

akx

y22x

xak

200a1

nk

2kaxk

yk

)

a2

a3

an

(a1

kkac

c

yk1k

2,,

nnD特征2：第一行，第一列及对角线元素除外，计算n

阶行列式其余元素全为零的行列式称为爪型行列式。例3.8解利用初等列变换可将该行列式化为三角形行列式21212nnnn

1

an

1n

1an

1an

1n

2

an

2n

1an

2an

2a2aa2a2D

aann

1211

1

1

1a1

a2

an

1

an计算范 德(Vandermonde)行列式

ann

a

an特征3：范德(Vandermonde)行列式的计算过程及结论。例3.9解

从最后一行开始，每行减去上一行的an倍。121121

1nnn2

(a a

)ana

)a1

an

aD

an

2an

3an

3

(aa1

(a1

an

)

a2

(21212nnnn

1

an

1n

1an

1an

1n

2

an

2n

1an

2an

2a2aa2a21

1an

1

anD

aann

1211

1a1

a2

ann

a

an2122n

2n

1n

2aan

2an

2aa2

a21a1

an

1n

2n

2211

1

1a2

an

2

an

1

an

a

)(aD

(1)n

1

(an

1按最后一列展开Dn-121121

1nnn2

(a a

)ana

)D

an

an

an

3

(a1a1

ana1

(a1

an

)

a2

an1

)Dn1Dn

(an

a1

)(an

a2

)(anDn1

(an1

a1

)(an1

a2

)(an1

an2

)Dn2D3

(a3

a1

)(a3

a2

)D2D2

(a2

a1

)D1

a2

a11

jin

(ai

a

j

)21212nnnn

1

an

1n

1an

1an

1n

2

an

2n

1an

2an

2a2aa2a2D

aann

1211

1

1

1a1

a2

an

1

an定理3.3（行列式的乘法定理）设A，B是

n

阶方阵，则

AB

A B

.注

当A，B都是n阶方阵时，一定有AB

BA.ij证明

只用第三种初等行变换可把A化为上三角矩阵

S

只用第三种初等列变换可把B化为上三角矩阵T

[tij

]即存在第三种初等矩阵

Pi

(i

1,

2, ,

m

使得snnjPm

P1

A

,

BQ1

Qk

TA

S

s11s22并有因此AB

Pm

P1

ABE

A

AT

A

A

(

AT

E)A

(

AT

E)

A

(

AT

E)T

A

E

(E

A)

(1)n

E

A

E

A设A是奇数阶方阵，且AT

A

E,A

1,证明E

A

0.例3.10证明解例3.11sin

2sin

2sin(

)

A

sin(

)

sin(

)sin(

)sin

2

sin(

)sin(

)

，计算

A00cos

cos

cos

sin0coscos

cos

sin

00

sinsin

A

sin

sin

0

0sin0

coscos

cos

sin

0sin

cos

cos

cos

A

sin

0

sin0

0sin

0Ex

5

7dca

bc

dbaD

2na

bc

dad0

dc0b

02

nD

a

(1)112(

n1)(

2n1)(

2n1)Dad(1)计算行列式D2n的值cd0ca

bc

db0

a

b

(1)12

n2(n1)(

2n1)1D

bc(1)备用题2解按第一行展开1)12(n1)(

2n2(

n1)1)(

2n1)(

2nDD

bc(1)

(ad

bc)D2(

n1)

(ad

bc)ndc

ad(1)a

bc

dbaD

2n111

21n2

nnD

2

11

2

11

2

11n2

(

n1)(

n1)D

2

(1)21

10

2

11

2

112

(

n1)(

n1)1

(1)3

2Dn1

Dn2Dn

Dn1

Dn1

Dn2备用题3

计算n阶行列式的值解

按第一行展开

Dn2

Dn3

D2

D1

2得递推公式1

2Dn

Dn1

1

(n

2,

3,

)Dnn1

Dn1D1

2,所以Dn

n

1.特征4：所求行列式某一行（列）至多有两个非零元素，按这一行展开，并能够得到较低阶的具有相同结构的行列式，如备用题2、3。计算n

阶行列式n

x

x3

x2x1

Dn

x3

x2x1x2x1

0

0x3

0

xnDn

注意与例3.7的形式不同。x