高阶导数的运算法则莱布尼兹公式-北京师范大学数学科学学院课件

第2章导数与微分2.1.4高阶导数2.1导数11/24/20221北京师范大学第2章导数与微分2.1.4高阶导数2.1导数11/212.1导数(127)21.高阶导数的概念2.1.4高阶导数2.1导数(127)21.高阶导数的概念2.1.422.1导数(127)3二阶导数的导数为三阶导数,2.1导数(127)3二阶导数的导数为三阶导数,32.1导数(127)4三阶导数的导数为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.2.1导数(127)4三阶导数的导数为四阶导数,二阶和42.1导数(127)52.高阶导数求法举例例34设解（1）直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.2.1导数(127)52.高阶导数求法举例例34设52.1导数(127)6例35解将上式两边对

x

求导，得2.1导数(127)6例35解将上式两边对x求导，得62.1导数(127)7例36解2.1导数(127)7例36解72.1导数(127)8例37解注意：

求高阶导数时,先求出的结果不要急于合并,分析其规律性,写出高阶导数(进行归纳证明).2.1导数(127)8例37解注意：求高阶导数82.1导数(127)9例38解同理可得2.1导数(127)9例38解同理可得92.1导数(127)10例39解2.1导数(127)10例39解102.1导数(127)112.1导数(127)11112.1导数(127)12例40解2.1导数(127)12例40解122.1导数(127)13（2）高阶导数的运算法则（莱布尼兹公式）2.1导数(127)13（2）高阶导数的运算法则（莱布尼132.1导数(127)14例41解2.1导数(127)14例41解142.1导数(127)15（3）间接法常用高阶导数公式：利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.2.1导数(127)15（3）间接法常用高阶导数公式：利152.1导数(127)16例42设解2.1导数(127)16例42设解162.1导数(127)17例43解2.1导数(127)17例43解172.1导数(127)18隐函数求导法则：直接对方程两边求导;对数求导法：对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是用复合函数求导法则;相关变化率：通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法：通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.2.1.5小结与思考题2.1导数(127)18隐函数求导法则：直接对方程两边求182.1导数(127)19高阶导数的数学定义及物理意义;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);高阶导数的求法;1.直接法;2.间接法.2.1导数(127)19高阶导数的数学定义及物理意义;高192.1导数(127)20思考题设连续，且，求.2.1导数(127)20思考题设连202.1导数(127)21思考题解答可导不一定存在故用定义求2.1导数(127)21思考题解答可导不一定存在故用定义21第2章导数与微分2.1.4高阶导数2.1导数11/24/202222北京师范大学第2章导数与微分2.1.4高阶导数2.1导数11/2222.1导数(127)231.高阶导数的概念2.1.4高阶导数2.1导数(127)21.高阶导数的概念2.1.4232.1导数(127)24二阶导数的导数为三阶导数,2.1导数(127)3二阶导数的导数为三阶导数,242.1导数(127)25三阶导数的导数为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.2.1导数(127)4三阶导数的导数为四阶导数,二阶和252.1导数(127)262.高阶导数求法举例例34设解（1）直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.2.1导数(127)52.高阶导数求法举例例34设262.1导数(127)27例35解将上式两边对

x

求导，得2.1导数(127)6例35解将上式两边对x求导，得272.1导数(127)28例36解2.1导数(127)7例36解282.1导数(127)29例37解注意：

求高阶导数时,先求出的结果不要急于合并,分析其规律性,写出高阶导数(进行归纳证明).2.1导数(127)8例37解注意：求高阶导数292.1导数(127)30例38解同理可得2.1导数(127)9例38解同理可得302.1导数(127)31例39解2.1导数(127)10例39解312.1导数(127)322.1导数(127)11322.1导数(127)33例40解2.1导数(127)12例40解332.1导数(127)34（2）高阶导数的运算法则（莱布尼兹公式）2.1导数(127)13（2）高阶导数的运算法则（莱布尼342.1导数(127)35例41解2.1导数(127)14例41解352.1导数(127)36（3）间接法常用高阶导数公式：利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.2.1导数(127)15（3）间接法常用高阶导数公式：利362.1导数(127)37例42设解2.1导数(127)16例42设解372.1导数(127)38例43解2.1导数(127)17例43解382.1导数(127)39隐函数求导法则：直接对方程两边求导;对数求导法：对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是用复合函数求导法则;相关变化率：通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法：通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.2.1.5小结与思考题2.1导数(127)18隐函数求导法则：直接对方程两边求392.1导数(127)40高阶导数的数学定义及物理意义;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);高阶导数的求法;1.直接法;2.间接法.2.1导数(127)19高阶导数的数学定义及物理意义;高402.1导数(127)41思考题设连续，