傅里叶变换课件

第3章傅里叶变换主讲：黄慧第3章傅里叶变换主讲：黄慧目录3.3

傅里叶变换3.1

周期信号的傅里叶级数分析3.2

典型周期信号的傅里叶级数3.4

典型非周期信号的傅里叶变换3.5

傅里叶变换的基本性质3.6

周期信号的傅里叶变换3.7

取样信号的傅里叶变换3.8

系统的频域分析3.9

信号的传输目录3.3傅里叶变换3.1周期信号的傅里叶级数分析3.1周期信号的傅里叶级数分析从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。3.1周期信号的傅里叶级数分析从本章起，我们由时域分析进3.1.1三角形式的傅里叶级数设周期信号为f(t),其重复周期是T1,角频率其中推导f(t)分解为不同频率三角函数线性组合的无穷级数。基波，二次谐波….n次谐波傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。3.1.1三角形式的傅里叶级数设周期信号为f(t),其三角形式的傅里叶级数也可表示成：（2）其中an为的偶函数，为的奇函数cn为的偶函数，为的奇函数三角形式的傅里叶级数也可表示成：（2）其中an为例题求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。解：一个周期内的表达式为：例题求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。解：一因此因此3.1.2指数形式的傅里叶级数其中Fn与nw1形成函数关系f(t)分解为不同频率指数函数线性组合的无穷级数。

f(t)→Fn建立一一对应关系。3.1.2指数形式的傅里叶级数其中Fn与nw1形成函数关例题：如图所示信号f(t)的指数形式的傅里叶级数。-TsTs-τ/2τ/2tE分析：要求级数只要确定了系数Fn即可。解：例题：如图所示信号f(t)的指数形式的傅里叶级数。-TsTs例题：已知信号f(t)=cos100t,求指数形式的傅里叶级数系数Fn。解：所以例题：已知指数形式的傅里叶级数系数Fn如图所示，求信号f(t)解：所以-2w12w1-w1w1nw1Fn331例题：已知信号f(t)=cos100t,求指数形式的傅里叶级3.1.3周期信号的频谱及其特点1.周期信号的频谱（3）（1）（2）

f(t)→Fn建立一一对应关系。不同时域信号对应的Fn不同，因此可以通过研究Fn来研究信号的特性。Fn是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅度和相位变化规律称为频谱函数。可直观地看出各频率分量的相对大小和相位情况，这样的图就称为信号的幅度频谱和相位频谱。3.1.3周期信号的频谱及其特点1.周期信号的频谱（例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。解：所以例题：已知信号f(t)的频谱Fn如图所示，求信号f(t)。解：所以-2w12w1-w1w1nw1Fn221-w1w1nw1Fn0.5例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。解：所例题求题图所示的周期矩形信号指数形式的傅里叶级数，并画出频谱图。解：一个周期内的表达式为：例题求题图所示的周期矩形信号指数形式的傅里叶级数，并画出幅度频谱和相位频谱离散性谐波性收敛性频谱的特点幅度频谱和相位频谱离散性谐波性收敛性频谱的特点2.周期信号频谱的特点（1）离散性--------频谱是离散的而不是连续的，这种频谱称为离散频谱（2）谐波性--------谱线出现在基波频率的整数倍上。（3）收敛性--------幅度谱的谱线幅度随着而逐渐衰减到零。3.1.4波形的对称性与谐波特性的关系如果f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。2.周期信号频谱的特点（1）离散性--------频谱（1）偶函数所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能含有（直流）和余弦分量。（1）偶函数所以，在偶函数的傅里叶级数中不（2）奇函数在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流与余弦分量，只可能包含正弦分量。（3）奇谐函数或（2）奇函数在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流与余弦分量，只（3）奇谐函数例如（3）奇谐函数例如可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基3.2典型周期信号的频谱3.2.1周期矩形脉冲信号(1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数3.2典型周期信号的频谱3.2.1周期矩形脉冲信号(

f(t)的指数形式的傅里叶级数为（2）频谱图f(t)的指数形式的傅里叶级数为（2）频谱图一般情况：若则第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有n-1根谱线。有效带宽：或结论：矩形脉冲的频带宽度与脉冲宽度成反比。一般情况：若则第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有n-1（3）频谱结构与波形参数的关系（T1,）

1.若不变，扩大一倍，即（3）频谱结构与波形参数的关系（T1,）

2.若不变，减小一半，即

谱线间隔只与周期T1

有关，且与T1成反比；零值点频率只与有关，且与成反比；而谱线幅度与和都有关系，且与成反比与成正比。2.若不变，减小一半，即3.2.2周期锯齿脉冲信号E/2tf(t)-E/2T1/2-T1/2周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。3.2.2周期锯齿脉冲信号E/2tf(t)-E/2T1/3.2.3周期三角脉冲信号周期三角脉冲的频谱只包含直流、奇次谐波的余弦分量，谐波的幅度以的规律收敛。Ef(t)t-T1-T1/2T1/2T13.2.3周期三角脉冲信号周期三角脉冲3.3傅里叶变换周期信号的离散谱非周期信号的连续谱由于3.3傅里叶变换周期信号的离散谱非周期信号的连续谱由于频谱密度函数则-----------非周期信号f(t)

的傅里叶变换记为F[f(t)]---------傅里叶逆变换F–1频谱密度函数则-----------非周期信号f(t)------------相位谱周期信号：------连续谱------离散谱------------幅度谱傅里叶逆变换：傅里叶变换：------------相位谱周期信号：------连3.4典型非周期信号的傅里叶变换一、单边指数信号3.4典型非周期信号的傅里叶变换一、单边指数信号二、双边指数信号二、双边指数信号三、对称矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号：P102最下边之间满足如下关系：三、对称矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号：P102最下边之间满第三章傅里叶变换课件四、符号函数F四、符号函数F第三章傅里叶变换课件五、冲激函数和冲激偶函数单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或“白色频谱”。(1）冲激函数的傅里叶变换五、冲激函数和冲激偶函数单位冲激函数(2）冲激函数的傅里叶逆变换F或FF(2）冲激函数的傅里叶逆变换F或FF（3）冲激偶的傅里叶变换F即：上式两边对t求导得：F同理：F（3）冲激偶的傅里叶变换F即：上式两边对t求导得：F同理：五、阶跃信号FFF五、阶跃信号FFF3.5傅里叶变换的基本性质3.5.1线性则F[af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w)3.5.2对称性若F[f1(t)]=F1(w),F[f2(t)]=F2(w)02πf(ω)ω(2π)tF(t)=1010F(ω)=R(ω)=1ω1例如：0(1)t若F[f(t)]=F(w),则F[F(t)]=2πf(-w)3.5傅里叶变换的基本性质3.5.1线性则F又如：又如：F例3-3：求解：F例3-3：求解：例3-4已知求逆变换。解：例3-4已知求逆变换。解：3.5.3对偶性3.5.3对偶性两种特定关系：1.若f(t)是实函数，或纯虚函数

[f(t)=j

g(t)]，则|F(w)|是偶函数,φ(w)是奇函数。2.若f(t)是t的

实偶函数，则F(w)必为w的实偶函数

F(w)=R(w)若f(t)是t的实奇函数，则F(w)必为w的虚奇函数

F(w)=jx(w)两种特定关系：1.若f(t)是实函数，或纯虚函数[f(t3.5.4位移特性（1）时移特性例3-5：求下图所示的单边矩形脉冲信号的频谱函数。解：因为对称矩形脉冲信号EGτ(t)的傅里叶变换为F[EGτ(t)]=EτSa(wτ/2)根据时移特性若F[f(t)]则同理F[f(t-t0)]=F[f(t+t0)]=3.5.4位移特性（1）时移特性例3-5：求下图所示的单幅度谱保持不变，相位谱产生附加相移-wτ/2F[f(t)]=EτSa(wτ/2)e-jwτ/2-wτ/2则若F[f(t)](2)频移特性幅度谱保持不变，相位谱产生附加相移-wτ/2F[f(t)]解：

例3-7：求的频谱。解：例3-8：求矩形调幅信号的频谱函数，已知f(t)=G(t)cosω0t，其中

G(t)为矩形脉冲，脉幅为E,脉宽为τ。解：f(t)=G(t)cosω0t=0.5G(t)(ejω0t+e-jω0t)例3-8：求矩形调幅信号的频谱函数，已知f(t)=G(t)

由上可见，信号在时域中压缩等效在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展等效在频域中压缩。

3.5.5尺度变换特性则若F[f(t)]F[f(at)]由上可见，信号在时域中压缩等效在频域中扩展；综合时移特性和尺度变换特性，可以证明以下两式：3.5.6微分与积分特性（1）时域微分特性F[f(at-t0)]F[f(at+t0)]则若F[f(t)]F[df(t)/dt]F[dnf(t)/dtn]综合时移特性和尺度变换特性，可以证明以下两式：3.5.6（2）时域积分特性例如：由于F所以FF则若F[f(t)]F若F(0)=0则F思考问题：若已知函数m’(t)=f(t),并且f(t)傅里叶变换为F(w),那么能否直接利用上式求出m(t)的傅里叶变换？答案是否定的。关键在于f(t)的积分不一定等于m(t)。（2）时域积分特性例如：由于F所以FF则若F[f(t)]F若因此，若已知函数m’(t)=f(t),并且f(t)傅里叶变换为F(w),那么利用F(w)求m(t)的傅里叶变换时应利用若m(-∞)和m(+∞)都为0，那么上式因此，若已知函数m’(t)=f(t),并且f(t)傅里叶变换例：利用积分特性分别求f1(t)=u(t)及f2(t)=0.5sgn(t)的傅里叶变换。解：由于例：利用积分特性分别求f1(t)=u(t)及f2(t)=0（3）频域微分特性例：若则（3）频域微分特性例：若则3.5.7卷积定理（1）时域卷积定理（2）频域卷积定理若F[f2(t)]则F[f1(t)*f2(t)]=F[f1(t)]若则F[f2(t)]F[f1(t)]F[f1(t)f2(t)]=3.5.7卷积定理（1）时域卷积定理（2）频域卷积定例3-13：利用频域卷积定理求余弦脉冲的频谱。解：我们把f(t)看作是矩形脉冲G(t)

与无穷长余弦函数的乘积。Ftf(t)tt例3-13：利用频域卷积定理求余弦脉冲的频谱。解：我们把f(ttFf(t)t相乘卷积ttFf(t)t相乘卷积例3-12：利用时域卷积定理求三角脉冲的频谱解：我们可以把三角脉冲看作是两个同样的矩形脉冲的卷积。而矩形脉冲的幅度、宽度可以由卷积的定义直接看出，分别为√2E/τ及τ/2。t-τ/4τ/4G(t)f(t)t-τ/2τ/2E例3-12：利用时域卷积定理求三角脉冲的频谱解：我们可以把三f(t)t-τ/2τ/2Et-τ/4τ/4G(t)f(t)t-τ/2τ/2Et-τ/4τ/4G(t)3.6.1正弦、余弦信号的傅里叶变换周期信号傅里叶级数非周期信号？傅里叶变换3.6周期信号的傅里叶变换3.6.1正弦、余弦信号的傅里叶变换周期信号傅里叶级数非

3.6.2一般周期信号的傅里叶变换

令周期信号f(t)的周期为T1,角频率为。它的傅里叶级数为

周期信号f(t)的傅里叶变换是由一系列冲激函数所组成，这些冲激位于信号的谐频处，每个冲激的强度等于f(t)的傅里叶级数相应系数Fn的倍。其中：对式（1）两边取傅里叶变换或：3.6.2一般周期信号的傅里叶变换令周期例3-14：求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。例3-14：求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。解：已知矩形脉冲f0(t)的傅里叶变换F0(jω)为例3-15：求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数及傅里叶变换。

已知周期矩形脉冲信号f(t)的幅度为E，脉宽为τ，周期为T1,角频率为ω1=2π/T1。解：已知矩形脉冲f0(t)的傅里叶变换F0(jω)为例3-1设：设：

所谓“取样”就是利用取样脉冲序列p(t)从连续信号f(t)中“取样”一系列的离散样值，这种离散信号通常称为“取样信号”。3.7.1信号的取样3.7取样信号的傅里叶变换也称抽样，它是用离散化的一组样本值表示连续函数的过程或者方法。抽样脉冲信号的频率称为抽样频率，记为fs。抽样脉冲信号原始信号已抽样脉冲信号所谓“取样”就是利用取样脉冲序列p(t)fs(t)取样连续信号f(t)量化、编码数字信号取样脉冲p(t)取样过程方框图已取样信号fs(t)取样连续信号f(t)量化、编码数字信号取样脉冲p(3.7.2已取样信号的傅里叶变换其中：E所以，令连续信号f(t)的傅里叶变换为取样脉冲p(t)的傅里叶变换为已取样信号fs(t)的傅里叶变换为3.7.2已取样信号的傅里叶变换其中：E所以，令连续信号（1）矩形脉冲取样

取样脉冲p(t)是矩形脉冲，令它的脉冲幅度为E，脉宽为τ，取样角频率为ωs，这种取样也称为“自然取样”。E（1）矩形脉冲取样取样脉冲p(t)是矩形脉冲相乘tfs(t)Ts卷积ωFs(jω)ωs-ωsωP(jω)ωs-ωs(Eτωs)Ep(t)tTs设：相乘tfs(t)Ts卷积ωFs(jω)ωs-ωsωP(jω)（2）冲激取样若取样脉冲p(t)是冲激序列，此时称为“冲激取样”或“理想取样”显然，F(jω）在以ωs

为周期的重复过程中幅度以的规律变化。

由于冲激序列的傅里叶系数Pn为常数，所以F(jω)是以ωs为周期等幅地重复。tp(t)Ts(1)（2）冲激取样若取样脉冲p(t)是冲激序列，此时称为“冲激取tp(t)Ts(1)ωP(ω)(ωs)ωs-ωstfs(t)Ts相乘ωFs(jω)ωm-ωm1/Tsωs-ωs卷积tp(t)Ts(1)ωP(ω)(ωs)ωs-ωstfs(t)3.7.3取样定理并且如何从取样信号中恢复原连续信号？

用取样脉冲对连续信号进行取样，取样周期取多大合适呢？ωFs(ω)ωm-ωm1/Tsωs-ωs从上图可知：只有满足才不会产生频谱混叠，即保留了原连续时间信号的全部信息。这时只要将施加于“理想低通滤波器”，就可恢复原信号f(t)。理想低通滤波器的频率特性为：3.7.3取样定理并且如何从取样信号中恢复原连续信号？ωFs(ω)ωm-ωm1/Tsωs-ωsωωm-ωm1/Ts其中：

通常把最低允许的取样率称为奈奎斯特取样率，把最大允许的取样间隔称为奈奎斯特间隔。即或：ωFs(ω)ωm-ωm1/Tsωs-ωsωωm-ωm1/Ts时域取样定理：一个频谱受限的信号f(t)，如果频谱只占据-ωm~ωm的范围，则信号f(t)可以用等间隔的取样值来惟一地表示。而取样间隔Ts≤1/(2fm)(其中ωm=2πfm），或者说，取样频率fs≥2fm。时域取样定理：一个频谱受限的信号f(ttf(t)ωF(ω)ωm-ωm1ωωm-ωm1/Ts-ωsωsF(ω)tfs(t)Tsωωm-ωm1/Ts-ωsωsFs(ω)tfs(t)Tstf(t)ωF(ω)ωm-ωm1ωωm-ωm1/Ts-ωsω解:（1）奈奎斯特取样率为：例3-16已知信号用对其进行取样，（1）确定奈奎斯特取样率；（2）若取求取样信号并画出波形图；（3）求并画出频谱图；（4）确定低通滤波器的截止频率F解:（1）奈奎斯特取样率为：例3-16已知信号（2）（3）（2）（3）即低通滤波器的截止频率应满足下式：（4）即低通滤波器的截止频率应满足下式：（4）3.8.1系统响应的频域表示设FFF（1）对式（1）两边取傅里叶变换：或：--------系统函数（或转移函数）--------激励信号的频谱--------响应信号的频谱--------系统函数3.8系统的频域分析3.8.1系统响应的频域表示设FFF（1）对式（1）两边3.8