717利用空间向量解立体几何

向量法解立体几何基本思路与方法一、基本工具1、数量积：ababcos2、射影公式：向量a在b上的射影为abb3、直线AxByC0的法向量为A,B，方向向量为B,A4、平面的法向量（略）二、用向量法解空间地址关系1、平行关系线线平行两线的方向向量平行线面平行线的方向向量与面的法向量垂直面面平行两面的法向量平行2、垂直关系线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直线面垂直线与面的法向量平行面面垂直两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离1、点点距离:PQ(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)22、点线距离:求点Px0,y0到直线l:AxByC0的距离：方法：在直线上取一点Qx,y，则向量PQ在法向量nA,B上的射影PQnAx0By0C=A2B2即为点P到l的距离.n3、点面距离:求点Px0,y0到平面的距离：方法：在平面上去一点Qx,y，得向量PQ，计算平面的法向量n，计算PQ在上的射影，即为点P到面的距离.四、用向量法解空间角1、线线夹角（共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角2、线面夹角的步骤：①先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；②再求其余角，即是线面的夹角.设平面α的法向量为n=（x,y,1)，则直线AB和平面α所成的角θ的正弦值为sinθ=cos(-θ)=|cos<AB,n>|=AB?n2AB?n3、面面夹角（二面角）：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.n五、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为n(x,y,z)，在a、b上任取一点A、B，异面直线a、＇|AB?n|b的距离d=AB·cos∠BAA=*|n|其中，n的坐标可利用a、b上的任向来量a,b（或图中的AE,BF），与n的定义得nan?a0①解方程组可得n。nbn?b02、求点到面的距离求A点到平面α的距离，设平面α的法向量法为n(x,y,1)，在α内任取一点B，则A点到平面α的距离为d=|AB?n|，的坐标由n与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，|n|获取方程组（近似于前面所述,若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设n(1,y,0)，下同）。3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a到平面α的距离，设平面α的法向量法为n(x,y,1)，在直线a上任取一点A，在平面α内任取一点B，则直线a到平面α的距离d=|AB?n||n|4、求两平行平面的距离设两个平行设平面α、β的公共法向量法为n(x,y,1)，在平面α、β内各任取一点A、B，则平面α到平面β的距离d=|AB?n||n|六、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面α、β，两个面α、β的法向量为n1,n2，则：a//an1aa//n1//n1//n2n1n2应用举例：例1：如右以下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1.求二面角C—DE—C1的正切值;求直线EC1与FD1所成的余弦值.解：（I）以A为原点，AB,AD,AA1分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则D(0,3,0)、D(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C(4,3,2)11于是，DE(3,3,0),EC1(1,3,2),FD1(4,2,2)想法向量n(x,y,2)与平面C1DE垂直，则有nDE3x3y0xy1nEC1x3y2z0n(1,1,2),向量AA1(0,0,2)与平面CDE垂直,n与AA1所成的角为二面角CDEC1的平面角cosn?AA110102263|n||AA1|1140042tan2（II）设EC1与FD1所成角为β，则EC1?FD11(4)322221cos22222214|EC1||FD1|132(4)22例2：在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.例3：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-ABCD中，O是底面中心，求AO与BC111111的距离。D1C1A1B1DCOAB例4：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，求A1到面BDFE的距离。解：如图，建立坐标系D-ACD1，则B（1，1，0），A1（1，0，1），E（1，1，1）1,0,1)2∴BD(1,1,0)BE(A1B(0,1,1)2D1FC1设面BDFE的法向量为n(x,y,1)，则A1B1EnBD(x,y,1)?(1,1,0)0xy0x21,0,1)1x1∴DCnBE(x,y,1)?(00y222ABn(2,2,1)∴A到面BDFE的距离为d=|A1B?n|0,1,1?2,2,1|3|1|n|232212五、课后练习:1、如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点.（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线;（2）求点D1到面BDE的距离.A1D1B1C12、已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD=1，E、F分别是AB和BC的中点，（1）求D到平面PEF的距离；（2）求直线AC到平面PEF的距离3、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2（如图）（1）求证：平面A1BC1//平面ACD1；（2）求（1）中两个平行平面间的距离；（3）求点B1到平面