2022-2023学年上海市复旦附中浦东分校数学高一上期末调研模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．定义运算，则函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.2．与终边相同的角是A. B.C. D.3．已知是锐角三角形，，，则A. B.C. D.与的大小不能确定4．设，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.5．设，则A. B.0C.1 D.6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足，当时,,则（）A. B.C. D.7．已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于()A. B.C. D.8．我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，，，则（）A. B.C. D.9．已知是定义在上的奇函数，且当时，，那么A. B.C. D.10．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________12．已知奇函数满足，，若当时，，则______13．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是______.14．若函数fx=-x+3,x≤2,logax,x>2（a>0且a≠1）.①若a=12，则f15．已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式为：____________16．已知函数对于任意，都有成立，则___________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）写出下列两组诱导公式：①关于与的诱导公式；②关于与的诱导公式.（2）从上述①②两组诱导公式中任选一组，用任意角的三角函数定义给出证明.18．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资的单位均为万元）图（1）图（2）（1）分别求，两种产品的利润关于投资的函数解析式（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入，两种产品的生产①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱AC和A1B1的中点，且AB＝BC（1）求证：平面BMN⊥平面ACC1A1；（2）求证：MN∥平面BCC1B120．已知，若在上的最大值为，最小值为，令.（1）求的函数表达式；（2）判断函数的单调性，并求出的最小值.21．已知非空数集，设为集合中所有元素之和，集合是由集合的所有子集组成的集合（1）若集合，写出和集合；（2）若集合中的元素都是正整数，且对任意的正整数、、、、，都存在集合，使得，则称集合具有性质①若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由；②若集合具有性质，且，求的最小值及此时中元素的最大值的所有可能取值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】根据运算得到函数解析式作图判断.【详解】，其图象如图所示：故选：B2、D【解析】与终边相同的角是.当1时，故选D3、A【解析】分析：利用作差法，根据“拆角”技巧，由三角函数的性质可得.详解：将，代入，，可得，，由于是锐角三角形，所以，，，，所以，，综上，知．故选A点睛：本题主要考查三角函数的性质，两角和与差的三角函数以及作差法比较大小，意在考查学生灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.解答本题的关键是运用好“拆角”技巧.4、D【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，再结合0,1两个中间量即可求得答案.【详解】因为，，，所以.故选：D.5、B【解析】详解】故选6、B【解析】由题意得，因为，则，所以函数表示以为周期的周期函数，又因为为奇函数，所以，所以，，，所以，故选B.7、C【解析】，，即①，同理可得②，①+②得，故选C考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算8、C【解析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可【详解】∵∴∵∴＝∴＝，∴故选：C9、C【解析】由题意得，，故，故选C考点：分段函数的应用.10、C【解析】先由题意得到二次函数在区间是增函数，且在上恒成立；列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为函数在区间是减函数，所以只需二次函数在区间是增函数，且在上恒成立；所以有：，解得；故选C【点睛】本题主要考查由对数型复合函数的单调性求参数的问题，熟记对数函数与二次函数的性质即可，属于常考题型.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】由复合函数同增异减得单调减区间为的单调减区间，且，解得故函数的单调递减区间为12、【解析】由，可得是以周期为周期函数，由奇函数的性质以及已知区间上的解析式可求值，从而计算求解.【详解】因为，即是以周期为的周期函数.为奇函数且当时，，，当时，所以故答案为：13、【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为，则，，解得14、①.-2②.1<a≤2【解析】先计算f-1的值，再计算ff-1【详解】当a=12时，所以f-1所以ff当x≤2时，fx当x=2时，fx=-x+3取得最小值当0<a<1时，且x>2时，f(x)=log此时函数无最小值.当a>1时，且x>2时，f(x)=log要使函数有最小值，则必须满足loga2≥1，解得故答案为：-2；1<a≤2.15、【解析】先根据图象得到振幅和周期，即求得，再根据图象过，求得，得到解析式.【详解】由图象可知，，故，即.又由图象过，故，解得，而，故，所以.故答案为：.16、##【解析】由可得时，函数取最小值，由此可求.【详解】，其中，．因为，所以，，解得，，则故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）按要求写出对应公式即可.（2）利用任意角定义以及对称性即可证明对应公式.【详解】（1）①，，.②，，.（2）①证明：设任意角的终边与单位圆的交点坐标为.由于角的终边与角的终边关于轴对称，因此角的终边与单位圆的交点与点关于轴对称，所以点的坐标是.由任意角的三角函数定义得，，，；，，.所以，，.②证明：设任意角的终边与单位圆的交点坐标为.由于角的终边与角的终边关于轴对称，因此角的终边与单位圆的交点与点关于轴对称，所以点的坐标是.由任意角的三角函数定义得，，，；，，.所以，，.【点睛】主要考查对诱导公式的掌握以及推导过程，熟练运用任意角三角函数的定义，属于基础题.18、(1)，;(2)当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元【解析】（1）设投资为万元（），设，，根据函数的图象，求得的值，即可得到函数的解析式；，（2）①由（1）求得，，即可得到总利润．②设产品投入万元，产品投入万元，得到则，结合二次函数的图象与性质，即可求解【详解】（1）设投资为万元（），，两种产品所获利润分别为，万元，由题意可设，，其中，是不为零的常数所以根据图象可得，，，，所以，（2）①由（1）得，，所以总利润为万元②设产品投入万元，产品投入万元，该企业可获总利润为万元，则，令，则，且，则，当时，，此时，当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中能够从图象中准确地获取信息，利用待定系数法求得函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题19、（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由面面垂直的性质定理证明平面，再由面面垂直的判定定理得证面面垂直；（2）取BC中点P，连接B1P和MP，可证MN∥PB1，从而可证线面平行【详解】（1）因为M为棱AC的中点，且AB＝BC，所以BM⊥AC，又因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC因为BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM又因为AC，A1A⊂平面ACC1A1且AC∩A1A＝A，所以BM⊥平面ACC1A1因为BM⊂平面BMN，所以：平面BMN⊥平面ACC1A1（2）取BC的中点P，连接B1P和MP，因为M、P为棱AC、BC的中点，所以MP∥AB，且MPAB，因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以A1B1∥AB，A1B1＝AB因为N为棱A1B1的中点，所以B1N∥BA，且B1NBA；所以B1N∥PM，且B1N＝PM；所以MNB1P是平行四边形，所以MN∥PB1又因为MN⊄平面BCC，PB1⊂平面BCC1B1所以MN∥平面BCC1B1【点睛】本题考查证明面面垂直与线面平行，掌握它们的判定定理是解题关键．立体几何证明中，要由定理得出结论，必须满足定理的所有条件，缺一不可．有些不明显的结论需要证明，明显的结论也要列举出来，否则证明过程不完整20、(1)；(2)答案见解析.【解析】解：(1)函数的对称轴为直线,而∴在上最小值为，①当时，即时，②当2时，即时，，(2)请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.21、（1），；（2）①有，理由见解析；②的最小值为，所有可能取值是、、、、.【解析】（1）根据题中定义可写出与；（2）（i）求得，取、、、、，找出对应的集合，使得，即可得出结论；（ii）设，不妨设，根据题中定义分析出、，，，，，然后验证当、、、、时，集合符合题意，即可得解.【小问1详解】解：由题中定义可得，.【小问2详解】解：（ⅰ）集合具有性质，理由如下：因为，所以当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；综上可得，集合具有性质；（ⅱ）设集合，不妨设因为为正整数，所以，因为存在使得，所以此时中不能包含元