大一上学期高数期末考试试题(五套)详解答案

xx1xx1xx1xx1x1x12010级高数(上A解一填题(题3分共18分(将正答填下，则给)．已极

lim

2

0，常a的值别(1)。解

lim

1axblimx1

xbax1

1-a=0a=12limaxlim2xlim1xx1xx1或x2(1(aaxlim0x所1-a=0,a+b=0。或22limbaxlimaxb(1a)x所1-a=0,1+b=0。

0．函

fx)

332x

的一间点(2)解在x=3,0,-1处定，是断。limf(x)x3

3x

x3

311)(x12

，x=3是第一间点limf(x)limx1x1

x

3

x32x

x=-1是二间点limf(x)lim0

xx32

x=0是第二间点．设数

f(

可，

g(x

f2(

，

g'(x)

＝空3)。解

(x)

1f(x)f(x)21f(x)1f2(x)．设数

y2

3

2

在1取极，(4)26x2ax解在处取值则

0

，6+2a=0解

x．设

e

x

是数

f(

的个函，不积

f

()dx

(5)。word档可自由复制编辑212111212111解

fx求得

f(x)

x2则(x)dxCC．定分x2(空6)。解x1x22xxxdx

1

1

1二选题(题3分共15分(请正选填下，则给)．设数

x2sin,f(x)

00

，

f(x)

在

处D)。A.不续不导B.连续但可C.不续但导D.连续可解

limf(x)limx0

2

0f(0)f

在x=0处连续f

(0)limx0

20f(x)flimx0x00xx在处可。．设f()

可，数

yf2x

，微dy

＝)。

2sinxf

2

)

sin

(sinx)

2xf

2

)

f

2

)解

df2x)

2x)d2x2sinx)2sinxfx)(coxdx)2xf

．若数

f(x)(1)(x3)

，方

f'()0

的根数()．3C.1解函数(,+)上连且导又因f(1)=f(2)=f(3)由罗定知(1,2),(2,3)各间间少有个，

f(x)

至有2个根但

f

是次多式至有2个。所

f

有2个。．设数

f)

x

，不积

f

x

dx

)。

1B.lnxC.x

c

x解

f

(lnx)x

xfx)CelnxCC．在列常分收的()

0

xx

dx

e

1x)

dx

x

1x(lnx)

1/2

dxword档可自由复制编辑xdlnlnlim2xxx511limee3xxdlnlnlim2xxx511limee3x解A.

x1212

1x)

2

1x)

2

x1e

lnx

dx

e

lnlnx

e

x)1/ex)/2三(6分)求限

1lnxx)

0解

lim2xe

(2xe

3x

1

2x

1)

1x

..................分

x0e13x由lim2limlim2分xxx00x所

lim2xe

(2xe

3x

1

2x

1)

1x

e..............1分

x0或设

2x

3x

x

，1分lnylne1分x3e

3x3x)3xlimln分x1lim所x0..........................................2分四(6分)

ty

2

du

定函y(x

d2解

dysint22tsindt

2

2分dydy2ttdxdxsint

2分ydx2tdt

2五计下不积：(题5分共10分)．

xcos

dxword档可自由复制编辑解

2x2112dxcos2cosx2x

dx

...................2分(se1)dx

分x)C

1分．

xln(xx2x

1)

dx解

ln(x2

1)

dx

x1)21

2

1)

分

x21)d1

1分

x

2

1ln(xx

2

1)

x

2

1x

............................分

21ln(x1)

dx

...........................................1分x

1ln(xx

1)C

分六(12分)求数f(x)=xe-x的单区、凸间极值拐。解

f

x),

f

(x2)

分令

f

，x=11分f(x)f

,1)1(1,+)0-增极值e减1分令

f

，x=21分f

,2)2(2,+)0+f

凸

拐2e

凹1分函f(x)单增间(,1)；1分函f(x)单减间()。...........................................1分当时取大f(1)=e-1................................................1分函f(x)的像(,2)是凸；.........................................1分函f(x)的像(是的.........................................分拐是2,2e1分七计下定分(题5分共10分)．

2

12xdx12xdx

1分0

2

1

2

x)dx

1分0

2

2

1分0word档可自由复制编辑2220

分

2

1分

20

11

20

1112

................................2分

20

tan

2

x

dx

...................................................1分

arctan2

20

1分

1222

分八分设平图由线

x(

)和线x2

及y0围成求①平图的积②平图绕

轴转周成旋体体。解①

20

xdxx210

4分②

Vx

20

4

......................................6分九(8分)证：当

x0

时

x

3

。证：x=0时

sin

3

。.......................................1分当时，

f(x)sinx

3

，分则在[)上续在()内可，1分且f(0)=0,

fx

2

。1分f

在0,+)上续在0,+)内可，

f

f

xx

。f

在0,+)上续在0,+)内可，

f

，f

cosx10

，为任有的间，

f

只有个点所

f

在0,+)上调增...................................................1分当时

f

f

，所以

在0,+)上调增从

f

(x)f

0

，所f(x)在0,+)单递，f(x)>f(0)=01分即

sinx

3

。1分总，

x

时

sinxx

3

。1分十、(5分)设函数

f(，()在[

上存在二阶导数，且

g

，f()f(b)g()g(b

。明存

,b)

使

)f)

。证令

F(x)f(x)g

f

(x)g(x)

，2分word档可自由复制编辑1x01x0因

f(x)

，

g(x)

在

[b]

上在阶数所

在a,b]上连且导F(x)f

(x)g

(x)f(x)g

f

(x)g(x)f

f(x)g

(x)f

(x)g(x)

..1分又为

f(a)f(b)g(a)g(b)0

；故

F(a)(a)g

(a)g(a)

；

F(b)f(b)g

(b)g(b)

........分所由尔理存

b)

使

F

，f()g

)f

所

f(fg()

.......................................................1分2010高数()解一填题(题3分共18分、极limx

sinx2xxx

-2。解

sinxlimxlimxxx

22x

-2、函

f

23

的断为。、设数

sin

2

，y

2cosx

2

2

2

。解

x

2

)x

2

x

2

sinx

2

)2cos

2

2

2、设数

2x

在x=1处取得值，a=-3。解

2ax

，

y

即6+2a=0，得a=-3

1、设e是数f(x)的一原数则定分解f(x)xe2x

f

(x)dx

x

C

。

ffCxC、定分xxdx2。2解222xcos222xx0002

2

cosx20

2二选题(题3分共15分word档可自由复制编辑dxlnln0lnlnxdxlnln0lnlnxe2、设数

f

,xx),x0

在-,+)上续则a=A。B.eD.

1e解

f(0)limfsinx00xf)f(x)ln(ax)af(x)

在x=0连续，

0f(0

)(0

)(0)，a=1、设数可导y=f(x)则分dy=。

f

(x

2

f(x

2

2xf

(x

2

2

解

f2)

2xf2)dx、设数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)则程

f(x)

的根数B。B.3D.1解函在-,+)上续且导，因f(0)=f(1)=f(2)=，罗定知在各区之至各有个，

f

至有3个根但

f

是次多式至有3个实。所

f

(x)

有3个根、不积=。

(x

x

(x1)e

x

C

(1x)e

C解

dx

xex

x

xe

C(x1)e

、在列常分收的B。

0

ln

dx

e

x)

e

ln

1x(ln2

解A.

0

ln122

1dx(lnx)x)2

11

e

lnlnedln1x(lnx)2x)2

word档可自由复制编辑tt三(6分)求限

lim0

sinx2ln(1x)

。解

lim0

sinx2ln(1x)

cos

0

3sinxx

·················2分

limx0

3

sin3xx2

····················

分四(6分)设数由参数程

u20t

确，二导

dy解

t

2

，

(sin2)2tsint

2

············

分dydydx

dx

sint2t

t

·····················

分ydtdx2t2t

2t

1sint

··················

分dt五计下不积：(题5分共10分)、

2x2x

dx解

cos2x1xdxcos2xx1

dx

················2分1(sec21xC2

·························1分·························2分、

解

xtan

xdx

x(sec

x1)dx

··················1分xdx

························

分

x

2

··························分

1tanx2

······················1分1x|x2

2

····················1分word档可自由复制编辑00六(12分)求数

f(xe

2x

的调间函曲的凸间极及点解

fe2xxex1)x)e

2x

················1分令

f(x)

得x=1··························1分,1(1,+)f

(x)

0-增极值e减··································2分在处取极值f(1)=e·····················1分所函在-,1]上调加在[)上调小；··········1分fe2(1x)e

2x

((x2)e

2x

···············1分令

f

得x=2··························1分(-,2)f

凸拐2凹··································2分函图在-,2]上凸；[)上是的············分拐是2,2)。····························1分七计下定分每5分共10分）、

2

2

·············分0xx0

0·························1分

24

40

sinx)dx

···············1分cosxcosx··················1分021211)····················1分、0

1121sinx0cosx2x

··············1分1x02tanxarctan2tan

·······················2分······················1分122

··························分八10分求曲y=sinxcosx,y=1,x=0和

所成平图的积并由图绕轴旋体体。解

20

2

112

·····5分word档可自由复制编辑2x2xVx

20

1cosx)

2

dx2

20

2

xsin

4

x)dx131)24222

············5分九证：x>0时1x1x

)1x

。证设f(x)ln(x1

)1

，在)连，0,+)内导且f(0)=0,f

)x

1x1

1

21

21x

ln(xx)10

121x21x

2所f(x)在0+)上调增当x>0时，即xln(xx)x十f(x)在[上续在0,1)可导且f(0)=f(1)=0,使)=1

f)

试存证：，则在[0,1]上续，在内导，且

1F()

，，由点在理存

(

，得F(x)=0又为F(0)=00所F(x)在间0,x]满罗定条，罗定知，在(0,x使得，00即f)=12011级等学上A解一选题每3分共15分（意请把案在表，则给分题12345答CCDAA“当时，A是无小是0A.充条应B.必条

fAx

的CC.充必条D.既非分非要件．设数

f()(xa)2g(

，中

g)

连，

f

为CA.不在B.0C.

g()

g()解

f)2(a)(x)()2gx)f

(a)x

f

(x)fxa

(a)

limxa

)(a)a

2

()

2g()．若

(b)

内数

f(x)

的阶数

f

(x)0

，阶数

f

(0

，函

f()

在此间（。A.单减，线凹B.单调少曲是的C.单增，线凹D.单调加曲是的．设

f(

是续数F(x)

f()

的函，（。word档可自由复制编辑x2xx2x当当

f(f(

是函时是函时

F(x)F(x)

必偶数必奇数当当

f(f(

是期数，是调数，

F(x)F(x)

必周函；必单函。解A.证，

f()

是函，

f()f(x)

。

(x)

x

f(是f(x

的个函。0()

x

f)，设u

，

dtdu0()

x

f)f()f(u)du()所

()

0是函。

0F()x)C0F(x)(x)x)CF(x)00F(x)是函。反，f(x)=cosxF(x)=sinx+1反，f(x)=1+cosx；F(x)=x+sinxD.反，f(x)=2xF(x)=x

2．如数+Cx)e，足始件y|，y=1，则C,C值（。1x=0x=02=0，C=1B.C=1，C=0C.CC=0=0，=121222解Cexx)e212C0代初条得解得21二填题每2分共12分（意请把案在表，则给分题1234答1

二

dx

充

发或

ye

C．极

lim

sin

=_______________sin21sin2解sinlimxlimxxxxlimx

xlimx1x．

x

是数

1y

的_____________类断。解

1limxx0

1x函数ex的第二间点．设y算dy=________________。x解sinsinx)dyxln(1x)ln(1sin)(1x)sinx)xdln(1

word档可自由复制编辑12lim212lim2)

x

xsinsinx)

x

xcosdx1

sinx)

x

sinx)

xcosx1sin

dxsin)x

ln(1sin)

cos1sin

dx．函

f(x)

在

[,

上续

f(

在

[a

上积充分条。．积

20

dx(1x

2

解

10

dx)

2

11

10

广积发。．微方

xy

0

的解

ye

Cx

。解

lnyxlnxye

Cx三计下极(题6分，共18分)（）

lim2n3

。解由1nn

1

，·············3分而

lim3，limn

13n

3所由逼则得

lim12

3

。··········6（）

limx0

x

1x2解：

y(

sinxx

1)

，

1lnyx2x

··········分limlnyx0

limx

1sinlnx2x

limx

ln

sinxxxx2

limx

xxsinx1cosxxsinxcosx22

1sinxlim6x

16

····················5分所

lim(x

sinx

1)

1e6

···················6分word档可自由复制编辑1xsinx223221dydt1xsinx223221dydt解：意

sinxsinxx(lim()xlim(1)sinxxxx0x0x

)

···3分因

limx

xcosx11limlimx036

······5分所

lim(x

sinx

1)

1e6

···················6分

costdt（）

lim

x)解

lim

dtln(1)

cos2lim1

··············6分1x四6分）设数

y(x)

由程

y

3

3x

2

yx1确定求

(0)

。解在程边导得

2

y

2

y

·················2分整得

1y)

······················4分注到

时

。此有

(0)

112(0212)3

··················6分五8分）设数

y(x)

由数程

arctantln()

2确。二导。解计得dx11dy12(1t)1dy

··········2因，2tdxdx1dt2(1)t

·············4分进，

dy2dytdxdxdxdt

2(1t

····8分dx2(1t)六计下不积积(题6分共分（）

lnx

dx解：

t

，有

t

，

2tdt

。是有word档可自由复制编辑11

ln

dx

tdt4

··············3分4tt4

xlnxCxlnx解：

····················6分

ln

dxx

···················2分

xx

··················4分xlnx

。···················6分（）

x1cos2x

dx解注到

xxdxdx1cos22x2

xdx

··········分11xxdx22

···················5分11tanxcosx2

·················6分七8分）计定分分

2xx

dx

。解：注到分间称而函

f(

21x

是函，

g(

xx11

2是函。此

22

dx

2

dx

············3分4

10

2(1x)(1x2x)

dx

(11)044

1

x

2

dx

·····················6分0下计积

1

x

2

dx

。0（）用何义知

1

x

2

dx

表四之单圆面。此12dx=0（）变，

01。4sin

，

dxcostdt

，

0t

，

x1

2

。此

10

1x2dxtdt0

12

。word档可自由复制编辑1x222211x22221故

2xx2

dx4

10

x

。······8分解：上

22

dx

2

dx

············3分作换令

t

，

dxcostdt，x00，x

2

。是

22

dx

2

dx4

20

t1cost

···················6分4

20

1t1

20

t1442

。···················8分八(6分)求分方

y

11yx1

2

的解解注到是个阶性齐方。中

(x)

11,Q(x)x1

2

分利同公可ye

1x

dx

x

···············3分e

11Cxdx1xx1x11)x2

···················6分九5分）若

0

，

p

。明

px1(1x(1x)

。证设

f(t)

，

f(t

在

[x,1]

上续在

(x

内导且

f)pt

1

，拉朗日值理存

(x

，得f(1)f(x)f)

··················2分即

1x

p

x)

。于

(x

，以

。而有px

)p

)px)故

px1(1x

(1x)

··············5分说：学采单性别明个等亦。阅老酌情理十(10分曲

y(0

2

)

与线

x

2

,y0

围一面形求(1)此平图的积(2)

x

轴转成转的积

x

。解

S

20

xcosx0

············5分

Vx

2xsin2xdx0224

····10分word档可自由复制编辑1112x2x2x2x1112x2x2x2x2011级等学上B卷答一选题每3分共15分（意请把案在表，则给分题1235答CACA“当时，f()是无穷”0A.充条B.要件

limf(x)x

的CC.充必条D.非充又必条．若

f

(0

存，

lim0

f(x)f()0x

=Afx)B.fx)00f(xf(x)解lim0

2fx)0f(xf(x)lim0

fx)0)0．若

f)在b]

上续在

(a,)

内导且

xb时，f

()0，又()

，则C

f(x)f(x)f(x)

在在在

[,[,[,

上增上增上减

f(b)f(b)f(b)

f(x)

在

[,

上增但

f(b)

的号法定解因

f(x)

，以

f(x)

单减;因a<b．下反积发的（B

10

dx

1

dxx2

xe

dx1

2解

10

x2

x0

，散所

1

dxx2

发。．如数+Cx)e，足始件y|，y=1，则C,C值（A。1x=0x=02C=0，C=1B.=1=0121C=C=0C=0C=12解+Cx)e2x，1e+(C+Cx)e2=(2C+C+2Cx)e21代初条得

C0C12

C=112二填题每2分共12分（意请把案在表，则给分题235答0

03sin7x．极limxsin=_______________。x解

sin7xlimsinx

sin7xlimsinlimxword档可自由复制编辑11lim3xx．设

f(

，

f

。解

f

(x)

x

f

x)

f．反积

x2

。解

2

dx2x2

dx(x1)

arctan(x．函

Fx)

x

te

的值_____________。0解

F

x

2

，F

2

xe

2

(

2

)e

x

2令(x)=0得x=0(0)=1>0所F(x)在x=0处取得小，．函

11xf()x0x

的断是__________。解

f

1x)lim1

处间0x0

f(1)limflimx1f

1x1)limf(x)x)111-)=f(1+)=f(1),在x=1处续三判题每2分共10分意请答（、）入表否不分题1235答错错错1．0是函数的一间点解

1limx

，第类断。．若(x)在处导则f(x)在处必导00解反，在x=0处．设数

f(

可，

f

()是f()在点有值充条。00解反，在x=0处．函

f()

在

[,]

上续

f(x)

在

[a

上积充条。word档可自由复制编辑limlim．

lim

ln(1)xxarctanx

lim

x2x

1

。x

解

lim

)arctan

0四求限每6分共12分)．

tanxx3解

limx

tanxxsecxlim

·················

分limx

22

limx0

23x

·····················

分．

limn

2

解由

nn

n

n2

n

nn

······

分而

nn

1，lim1

·····················

分所由逼则知11limnn五求数每6分共12分)

。················6．设

ye2xe

2

，

y

。解

2e

2x

sine

2x

x

2x

(2sinxx)

···········3分

2x

(4sin2cosx)e

2x

(2cos2xxx)

························6分．设

t2)t

2，。dx解注到

dx2tdy,t

2

tt

2

············2分dyt

因，

dydx

dx2t

t2

·····················4分

进，

dt11t2dx2t

t4t

···········6分t

六求分每6分共18分)word档可自由复制编辑22x0101)ln222x0101)ln2．

dx解令

xt

，

dx2tdt

。是··················2分

dx2tdtx1t

··························分2

1

11

dt2ln(1t)C

················5分22ln(1x)C

。······················

分．设

1fx

0

，

0

f(x1)dx

。解设

xt

，

x

，

dx

，当

x0

时

t

；

2

时

t

。是·································2分f(xf01dx1e

0111

··········3··········5lnln(e1)

。·················6分．

sinsin

3

xdx0解

3

|cosx|

·············分

0cossinxdxxxdx

·················4分23(sinx)2(sinx)2。·················6分302七(8分)求分方cosxcosy满足始件的解4解分变可

tanydy

··················2分两积

····················4分得分程解

lnylnC

。·············5分即

cos

··························分代初条

y

x0

得C。此微方的解42

cos

。分八(6分)证：当

x时，e

证设

f

x

ex

，

f(x)

在1,+)上续在1,+)内可。····2分注到x时，f'(x)e

x

e。以(x)

在1,+)上调加··4分因，

1

时有

ff(1)0

。当

1

时

e

。······6分九(8分)由线

2与

所成图的积，求述围的面形绕

轴转周成转的积word档可自由复制编辑1111解由22x

求交(于曲所图面························2分4

0

(1

2

)dx

83

·························4分旋体体V

1

x2)dx

1

4

···················6分

120

163

······················8分十、(6分)

f(x)

在

]

上可导证明：

内至

，使f

((

。证设

f(x)sin

，

(x)

在

[]

上续在

)

内导2分注到

(0)()

，以罗定知在

(0,)

使

'(0

。·4分由

'(x)f'(x)sin

，得论立············6分~__2013__年学期

高数（）期试标答及分准A卷专各一填题每3分共15分）

班2012级各、极

limx

sinsinx

。、设数

f(

可，

yf(2)，f

x)

。、反积

0

2

x2

dx

。、定分

1

2xx4

dx

。、微方

y

x

的解

e

x

y

(C

。二选（题3分,共15分）f(x)

sin,ln(axx0

(,

（A）。word档可自由复制编辑dx1e3xdx1e3xA1B、eC、2D、1/e、曲

3

3

7在（A）。

x1123

x0

x130

xy21由程

ey0

所定隐数

y(x)

的数

（C。

01D.2、若

为

f()

的个函，

xf

(x)dx

（C）。．

xxcB.2

2sinxc

x

2sin

c、下反积中敛是A

11

1

13x2x2

dx

e

dx三计下各（每6分共24分）1求限

limexx解

lim2xe

x

(2e

3

12x

2

1)

1x

....................

x0x

x

)

e

3x)x0

5分

...........................................................6分word档可自由复制编辑21212

xlntyt

定函y(x求

d2dx

解

dxt11t21dx

分d2dx

d11tdttt

...................................分3求定分

x2sinx

dxsinA(2sinx3cos)

解3x(