历年全国中考数学真题分类-018B.二次函数的应用

一选题（2012广西桂林分图，在边长为4的正ABCD动点P从A出发，以每1个位长度的速度沿AB向点运动，同时点从点发，以每秒2单位长度的速度沿BC→CD运动，当点PB点P两点止运动。设P点运动时间为的积为则t的关系式的图象是（【答案】D北分翔在如图I所的地速跑步，他从点发，箭头所示方向经过点跑点C用时30秒的教练选了一个固定的位置观察小翔的跑步过小跑步的时间为位他与教练的距离为（：米yt的函数关系的图象大致如图2所则这个固定位可能是图中的（）A.点MB.点C.点PD.点Q【答案】D2222二填题(2012湖荆，3分)如图(1)示，为形的AD上点，动点P、Q同从B出，点沿折线——DC运到点时止点Q沿BC运到点C时止它们动的速度都是1cm/设PQ同秒时的积为y已知与t函数关系图象如图2)(曲OM抛物线的一部)，则下列结论AD＝BE5∠＝正确的结论_填序号．

2；当0≤5时＝t；t＝秒，∽△QBP；其中ADP

y1

MNBQO图(第17题【答案】①④

57图2)

Ht三解题（2012广珠海，22分如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB32，DC，=2，对角线ACBD交H平行于线段BD的条直线MN同从点A出沿方向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的于M、和、，别交对角线AC于F、；直线到点时两直线同时停止移记等腰梯形ABCD被线扫过的图形面积为、直RQ扫过的图形面积为，直12线平移的速度为单位/秒，直线移的速度为2单/，设两直线移动的时间为秒.填空：AHB=若S，求；21（3）设mS，m的化范围2

；=

；11D

C

D

CH

HR

RM

G

M

GF

FA

NQE

BA

NQ

E

B第2图【案），

第2题备用图（2直线移动有两种情况1＜x＜

3及≤x≤22①当＜x＜

32

时∵∥∴∽△ANF∽△∴S213②当≤≤2时2

S2)2SAF1CGCHS

BCD

1x)2

2

)

21

x

2

,S8(2)2

2由

S2

，得方程

8)2

2x2，得3

（舍去）,

x1∴

的值为23（）0＜x＜是m23当≤x≤2时由2

S21

，得

m

8)2x3

2

364812)2x2xx311m是的二次函数，当≤≤2时，即当≤≤时，随的增大而增大，x2x当

x

32

时，最大值m：

x

时，最小值m=3∴3≤（2012湖武汉，，10分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB成，已知河底ED是平的，ED=16米，米抛物线的顶点CED距离是11米以ED所的直线为x，抛物线的对称轴为y轴立平面直角坐标系。求抛物线的解析式；已知从某时刻开始的小时内，水面与底ED的离单位：)随时间t单位：时）的变化满足函数22关系

h

1128

(t2

，且当水面到顶点C的离不大于米时，需禁止船只通行，通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？【答案】解）依题意可得，顶点的标为（抛线解析式为

yax

由抛物线的对称性可得，点B，得

a

3抛物线的解析式为y。64（

）

画

出

抛

物

线

h

1128

(t2

的图象，当水面到顶点C的距离不大于5米，当h=6时解得

tt

。由图象的变化趋势可得，禁止船只通行的时间为

t1

2

=32（时答：禁止船只通行的时间为（时湖南娄底，分如图13，在△中，AB，BD在上，在段上DE△是边三角形，边DF交于M，边交AC于N求证：BMD△CNE；当BD为值时，以M为心，以MF半径的圆与BC相？设BD边形ANEDM面积为，求y与之的函数解析式（要求写出自变量x的值范围当x为值时，有大值？并求的最大.222222FA

NMBD

E图13【答案）AB=AC∴∠∠C∵△是边三角形，∴∠∠FED，而∠FDE=∠DMB∠∠∴∠DMB=∴△BMDCNE（2设BD=x，则，FAM

NBHEC3作MH⊥DE于H得x，－x，又由题设知MH=MF2得

32

x，得3∴当BD=

时，以M为心，以MF为半径的圆与相（3由BD=x，DE=4BC=8得－，则EN=EC=4－x∴y=S－－=ABCBDM

163333x)=3由M、N分在线段AB、AC上，BM<ABCN<AC得

833x3

833

解得

43当时y有大值，最大值为

1033（2012山潍坊10分多庭以燃气作为做饭的燃料用水是我们日常生活中非常现实的问题款燃气灶旋钮位置从0到度如图11气关闭时，燃气灶旋钮的位置为0度，旋钮角度越，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋钮角度为度为测试气灶旋钮在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择在燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能将水烧开，故选择旋钮角度度范围是≤x≤录关数据得到下表：旋钮角度（度）所用燃气升）

请你从所学习过的一次函数反例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量升旋转角度x度变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；当旋转角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？5050（3某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋转角度，每月平均节约立方米，求该家庭以前每的平均燃气用量．图11120【答案）设y（≠0，得5．k1所以，=代得y=6583，所以不符合；5若设

k（k≠，得k=14601460所以，=代得y=29.2≠67所以不符合；若设ax

aa20，则由2500a，得．54900a97所以

12x（≤x≤90505把x=80代入得y=，把=90代入得y，符合题意．所以选用二次函数能表示所用燃气量升旋转角度度变化规律．（2由1）得

12x=40)，50550即当x=40时y取最值．即当旋转角度为40度，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65．（3由2）及表格知，采用最节省燃气的旋转角0度把把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气65=50（升设该家庭以前每月平均用气量为方米，则由题意得解得=（立方米

50115

a，即该家庭以前每月平均燃气用量为立米．（四巴中，，）某商的进价为每件，售价为每件60，每个月可卖出件如果每件商品的售价上涨1元则每个月少卖10（每件售价不能高于72每商品的售价上涨x元x为整数个的销售利润为元.(1)求y与的数关系式并接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得大利润？最大月利润是多少元？【答案】解）题有（2当x=5时最大月利润y元（2012四达州，8分分题背若矩形的周长为1则可求出该矩形面积的最大.我们可以设矩形的一边长为12x(s数关系式为：﹥0用函数的图象或通过配方均可2

，面积为

s

，则

s

与

的函求得该函数的最大值.提新题若矩形的面积为1则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？分问若设该矩形的一边长为，周长为y

，则y的数关系式为：

y2(x

1x

)（x﹥题转化为研究该函数的最大（小）值解问借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数

yx

1x

)

（

﹥）的最大（小）.（1实践操作：填写下表，并用描点法画函数

y2(x

1x

)

（

﹥0）的图象：（2察猜想察函数的图象想=

时数

y2(x

1x

)（x﹥有最

（填大或小

（）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数

s

2

x(

﹥0）的最大值，请你尝试通过配方求函数

y2(x

1x

)

（

﹥0的最大（小）值，以证明你的猜想〔示当

＞0时，

xx)

〕【答案）x)x)（21、小、4（3）证明：

y2x)

2

x

2

)2=

x

1

)

当

x

x

时，

的最小值是即

=1时

的最小值是4（2012四达州，23，12分如图，在直角坐标系中，已知点A（0，2B（，0点B和线段OA的中点C作线，以线段BC为向上作正方形（1）填空：点D的坐标为（E的标为（）（2）若抛物线

y(

经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式（3正形和抛物线均以每秒个位长度的速度沿射线BC时向上平移至方形的顶点落在轴上时，正方形和抛物线均停止运

①在运动过程中，设正方形落在轴右侧部分的面积为

s

，求

s

关于平移时间

t

（秒）的函数关系式，并写出相应自变量

t

的取值范围.②运动停止时，求抛物线的顶点坐标22【答案）（-1E（-3分（）物线经过（0，229ab

解得

2

∴

y

13x2x22（3①当点D运到轴时，当0＜≤

时，如右图设′C交y轴点F∵

∠BCO=

OBOC

又∠BCO=∠′∴

∠即

=2∵′=5t,∴∴

eq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)C′F

11CC′=2

5t×5t当点运到点时

当

＜≤1时如右图22222222设′E交y轴点，过作GH⊥B′C于在BOC中

2

∴GH=

∴CH=

15GH=22∵′=∴′=5t-

55∴′=22∴

CC′D

1(5t-2

t)

=5t-

54当点E运到轴时，t=

32

当1＜≤

32

时，如右图所示设′E、′B分交y轴点M、∵′=

t，′C

∴′=

t-

∴′=

t-

∵′E′=5∴′E-′N=355t∴

1′N=(2

-

t)∴

△

′

145(35-2(-25t)=5t-15t+24∴

B′C′MN

B′C′E′

=(5)

(5t

45)=-5t+15t-4综上所述，与函数关系式为：1当＜≤时S=52

t

1当＜≤1时，S=5t24当＜≤

325时，2②当点运到点时运动停如下图所示2222∵∠CB′E∠，∠′CE∴△∽eq\o\ac(△,E)eq\o\ac(△,)′B∴

OBBC∵OB=2B

∴

∴′=

5257∴′=OC+CE=27∴（，）27由点E（，2）运动到点E（0，）可整条抛物线向右平移了单位，向上平移了个位.22∵

13yxy(x)22∴原抛物线顶点坐标为（

325，）28337∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为（，）28（2011江苏宿迁，28，12分如，在平面直角坐标系xOy中已知直线l：＝1于点，直线l与x轴交于点N．2

x与l：y＝－x＋6相2求，N的标；在矩形ABCD中已知＝，＝2，边在x轴上，矩形沿轴自左向右以每秒1单位长度的速度移动．设矩形ABCD重部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与重时开始计时到点A与N重时计时结束写与自变量t之的函数关系（不需要出解答过程在（）的条件下，当t为何值时的值最大？并求出最大值．解：（）令直线l：＝－＋6中＝0得＝，2N，0)由

解

22244222222224422222M(4，2)．综上，，的标别为M(4，、(6，．（2分五种情况讨论如下：1当0≤≤1时，＝t；411当＜≤4时S＝t；24当＜＜，＝

349t2t42

；13当5t＜6时＝－＋；2当6t≤7＝

(7－．综上所述，自变量t之的数关系式为1t2,1);41t,4);4349t,(44292)2,7).1（3解法一：0t≤1时，S＝；7当＜≤4时＝；当＜＜，＝

311(t)，故当＝时＝；43当t时S＝；1当6t≤7S＝．综上可知，当t＝

1311时，S的最大，且最大值为．3解法二：由）中的函数关系式可知的最大值一定在＜＜取得．当4t＜＝

313111311t)，当t＝时S的最大，且最大值为．436（2012山日照22,10分如图，矩形ABCD的边长AB

=18cm=4cm，点、Q分从A、时出发，边AB上方以每秒的度速运动Q边上沿方以每秒速度匀速运动．设运动时间为秒△PBQ的积为y（

）（）求关的数关系式，并写出的值范围（）求△的积的最大值.eq\o\ac(△,S)222最大值222）22）eq\o\ac(△,S)222最大值222）22）【答案解）∵=

P·BQ,PB=AB－AP=18x，BQ=x，∴y=

（－x）x，即y－x+9x（x≤）;（）由（1）知：y=－x，981∴y=－x－）+,24

…5分∵当≤

92

时，y随的增大而增大，……………而≤，∴当x=4时，y，即△的大面积是

…9分10.（2012黑江省哈尔滨市24，6分小磊制作一个三角形的钢架模型，在个三角形中，长度为x（单位：）的边与这条边上的高之和为40cm这个三角形的面积S（位cm）随x（单位：）的变化而变化。请直接写出Sx之的函数关系式（不要写出自变量的值范围当x是少时，这个三角形面积S大？最大面积是多少？【参考公式：当

x

b2a

时，二次函数

bx

（≠）有最小（大）值】4a【答案】解（）

x

…2分（）方一∵

-

<0∴有大值∴

b202

…………….2分∴的大为

20

……………分∴为20cm时三形积大最面是200cm。方二∵

-

<0∴S有最值∴

b20202a2

……………分∴的大为

2

……………2分2222222222535最大值2222222222535最大值∴为20cm时，三形积大最面是200cm。11.（河，，分小满分9分某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计薄板的形状均为正方形，变长（单位）在5~50之间每张薄板的成本价（位：元）与它的面积（单位cm）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板边长成正比例.在营销过程中得了表格中的数薄板的边长cm）出厂价（元张

3070求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；已知出厂一张边长40cm的薄板，获得的利润是元（；利润出厂价﹣成本价①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系.②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（≠0的顶点坐标是（

b4，）2a4【答】解）一张薄的边长为xcm，的出厂价为y元基础价为元浮动价为kx元，则y=kx+n.………………2）,由表格中的数据，得30

解得

k2,所以y=2x+10.（2①设一张薄板的利润为元它的成本价为mx元，由题意，得P=y﹣mx=2x+10﹣mx.……（分）将，P=26代﹣mx中，得26=2﹣m.解得

125

1所以P=………………7）251②因为﹣＜，所以，当x=﹣25

b21

（在5~50之）时，12=即出厂一张边长为25cm薄板，获得的利润最大，最大利润是35.…（）12.（2012贵黔东南州，，分）如图，已知抛物线经过点（－，0（，（03）D点。（1求抛物线的解析式。（2M是段上不与BC重M作∥的代数式表示MN的。

轴交抛物线于若M的坐为请用（3在）的条件下，连接、，是否存在点

m

，的积最大？若存在，求

m

的值，若不存在，说明理由。2