简单的线性规划问题线性规划的实际应用NO课堂强化

1．配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：kg)原料药剂甲乙A25B54药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为100元、200元，现有原料甲20kg，原料乙33kg，那么可以获得的最大销售额为()A．600元 B．700元C．800元 D．900元解析：设配制药剂A为x剂，药剂B为y剂，则有不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋5y≤20，,5x＋4y≤33，,x∈N*，,y∈N*，))成立，即求u＝100x＋200y在上述线性约束条件下的最大值．借助于线性规划可得x＝5，y＝2时u最大，umax＝900.答案：D2．某电视台每周播放甲、乙两部连续剧，播放连续剧甲一次需80分钟，有60万观众收看，播放连续剧乙一次需40分钟，有20万观众收看．已知电视台每周至少播出电视剧6次，总时间不超过320分钟，则电视台最高收视率为每周观众有()A．300万人 B．200万人C．210万人 D．220万人解析：设电视台每周播放连续剧甲x次，连续剧乙y次，收视观众为z万人，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(80x＋40y≤320，,x＋y≥6，,x，y∈N*，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤8，,x＋y≥6，,x，y∈N*，))目标函数z＝60x＋20y，l0：3x＋y＝0.作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分的整点，将直线l0向可行域平移，当直线l0过A时，z有最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝8，,x＋y＝6，))得A(2,4)，则zmax＝60×2＋20×4＝200(万人)．答案：B3．(2022·四川高考)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为()A．4650元 B．4700元C．4900元 D．5000元解析：设派用甲型卡车x(辆)，乙型卡车y(辆)，获得的利润为u(元)，u＝450x＋350y，由题意，x，y满足关系式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤12，,2x＋y≤19，,10x＋6y≥72，,0≤x≤8，,0≤y≤7，))作出相应的平面区域，u＝450x＋350y＝50(9x＋7y)在由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤12，,2x＋y≤19))确定的交点(7,5)处取得最大值4900元．答案：C4．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋6y≥50，,10x＋20y≥140，,x∈N*，,y∈N*.))目标函数为z＝200x＋300y.作出其可行域(图中阴影部分的整点)，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2300元．答案：23005．某验室至少需要某种化学药品10kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3kg，价格为12元；另一种是每袋2kg，价格为10元．由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为________元．解析：设购买每袋3kg的药品袋数为x，购买2kg的药品袋数为y，花费为z元，由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≥10,0≤x≤5,0≤y≤5))，作出不等式组表示的平面区域，结合图形可知，当目标函数z＝12x＋10y对应的直线过整数点(2,2)时，目标函数z＝12x＋10y取得最小值12×2＋10×2＝44，故在满足需要的条件下，花费最少为44元．答案：446．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足病人的营养需要，又使费用最省？解：设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg，总费用为z，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋7y≥35，,10x＋4y≥40，,x≥0，,y≥0.))目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：把z＝3x＋2y变形为y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2)，得到斜率为－eq\f(3,2)，它是在y轴上的截距为eq\f(z,2)且随z变化的一组平行直线．由图可知，当直线y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2)经过可行域上的点A时，截距eq\f(z,2)最小，即z最小．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x＋4y＝40，,5x＋7y＝35，))得A(eq