数学史概论-数学与统计学院课件

§5.1欧洲中世纪的回顾第五章希望的曙光——欧洲文艺复兴时期的数学5.2.1透视理论的创立与三角学的独立

5.2.2三、四次方程的解法

5.2.3韦达与符号代数

5.2.4对数的发明§5.2欧洲文艺复兴时期的数学§5.1欧洲中世纪的回顾第五章希望的曙光——欧洲5.1欧洲中世纪的回顾

在巴比伦、埃及、中国、印度、希腊和罗马等地的文明兴盛时代，欧洲（除希腊和意大利）还处于原始文明时期。大约在公元500年左右，欧洲才开始出现新文化。从5世纪中叶到15世纪，在科学史和哲学史上称为欧洲中世纪的黑暗时期。在这1000年左右的时间里，整个欧洲，特别是西欧，生产停滞，经济凋敝，科学文化落后。既没有像样的发明创造，也没有值得一提的科学著作。5.1欧洲中世纪的回顾在巴比伦、埃及、中国、印度、希5世纪，罗马人占领了希腊本土。由于罗马人偏重实用，他们对抽象思维毫不关心，数学研究仅限于简单的几何和测量。这对罗马帝国崩溃后的欧洲数学有一定的影响，终使黑暗时代的欧洲在数学领域毫无成就。另一方面，基督教统治人民，为了达到在精神上麻痹奴隶的目的，基督教竭力宣扬“今生忍辱负重，来生进入天堂”的谬论。他们用死后的幸福生活来欺骗被统治者，让他们安于自己被奴役的痛苦命运。为了不使谎言被揭穿，基督教强烈反对研究和传播自然科学知识。人们只能学习圣经，圣经成为这一时期人们唯一能够学习和研究的“百科全书”。在这个时期甚至从法律上明文禁止学习和研究数学，如罗马皇帝狄奥多西的法典中规定：“任何人不得向占卜人与数学家请教。”出现这一科学技术大倒退局面的原因是：5世纪，罗马人占领了希腊本土。由于罗马人偏重实用，他

在这个时期，科学赖以发展的一些主要条件如自由的学术空气、对物理世界的关注、研究抽象概念的兴趣等均已消失。尽管如此，由于宗教教育的需要，也出现一些水平低下的算术和几何教材。

罗马人博埃齐（约480－524）是罗马的一个贵族，曾不顾禁令根据古希腊著作用拉丁文编译了几何、算术、音乐、天文的初级读物。几何内容仅包含《几何原本》的第一卷和第三、四卷的部分命题以及一些简单的测量术，算术则是根据四百年前的一本浅易的著作编写的。这样简单的书籍竟一直作为欧洲教会学校的标准课本使用了近千年之久，但博埃齐本人还是遭受政治迫害被捕入狱并死在狱中。在这个时期，科学赖以发展的一些主要条件如自由的学术空1100年左右，由于阶级矛盾尖锐化，西欧终于爆发了一场前后八次历时近200年的侵略性远征——十字军东征。十字军一边抢掠一边东进，给阿拉伯人带来了苦难，但却促进了东西方的文化交流。许多用阿拉伯文保存下来的古希腊、古印度、古中国和阿拉伯文化，都在这个时期传入欧洲。古代学术传播西欧的路线如图所示：1100年左右，由于阶级矛盾尖锐化，西欧终于爆发了一

随着城市工商业的发展，市民对知识的需要增加，教会学校已不能满足这些需要，逐渐出现了普通学校。在普通学校发展的基础上，大学诞生了。如巴黎大学、牛津大学和剑桥大学。许多科学巨人都曾在大学中学习过，大学成为科学家的摇篮。近代科学兴起时，伽利略、牛顿、笛卡儿、费马等伟大的数学家就是在中世纪末建立的大学中受教育的。

如13世纪中国的四大发明已在阿拉伯广泛流行。十字军东征又把这些发明传入欧洲。虽然十字军东征是侵略性的，但它却有力促进了西欧科学技术水平的提高。在十字军东征中，意大利商人获得了巨大利益，意大利在地中海的商业优势也随之确立。意大利的经济繁荣为后来的文艺复兴奠定了基础。随着城市工商业的发展，市民对知识的需要增加，教会学校

由于商业贸易和一系列的十字军东征，欧洲人开始了解比欧洲先进得多的东方文化和科学技术，促进了欧洲科学的加速发展。在12－15世纪，欧洲在数学上主要是吸收古希腊、印度、中国和阿拉伯的数学遗产。当时的西班牙保存有许多阿拉伯著作和一些希腊著作。为了获取知识，欧洲的学者们都愿意到颇具世界性的西班牙去旅行。他们在西班牙学习并将大量科学著作翻译成拉丁文。数学著作的翻译主要有英国人阿德拉特(约1120)翻译的《几何原本》和花拉子米的天文表；意大利人普拉托（12世纪上半叶）翻译的巴塔尼的《天文学》和狄奥多修斯的《球面几何》以及其它著作。12世纪最伟大的翻译家格拉多（1114-1187）将90多部阿拉伯文著作翻译成拉丁文，其中包括托勒密的《大汇编》、欧几里得的《几何原本》、花拉子米的《代数学》。由于商业贸易和一系列的十字军东征，欧洲人开始了解比欧

因此，有人评价12世纪是欧洲数学的翻译时代，是数学史上翻译家的世纪。可以说，古希腊数学、阿拉伯数学以及印度和中国的数学成果，都对西方近代数学的诞生和发展起了一定的作用。因此，有人评价12世纪是欧洲数学的翻译时代，是数学史13世纪，欧洲出现了第一批数学家，其中代表人物是斐波那契(Fibonacci,1170—1250)。

斐波那契：意大利比萨人，父亲是一位商人。当时意大利的大商行在地中海的许多地方设有海外商站，其父就在比萨驻阿尔及利亚的海外商站工作。斐波那契就在阿尔及利亚的小港口布日跟阿拉伯人学习算学。后来，作为一名商人，他又游历了埃及、希腊、叙利亚、西西里岛等地，接触到东方和阿拉伯数学，积累了丰富的数学知识。

他特别欣赏印度－阿拉伯计算方法在实用上的优越性。1202年回国后不久，他综合阿拉伯和希腊资料发表了其数学名著《算盘书》。13世纪，欧洲出现了第一批数学家，其中代表人物是斐波

这部著名的著作主要介绍古代中国、印度和希腊数学著作的内容，包括印度-阿拉伯数码的读法和写法；整数与分数的计算；开方法；二次和三次方程；不定方程；以及《几何原本》和希腊三角学的大部分内容（如中国数学的“孙子问题”，“百鸡问题”均出现于该书中）。特别是，书中系统介绍了印度-阿拉伯数码，影响了欧洲数学面貌。《算盘书》可以看作是欧洲数学在经历了漫长的黑夜之后走向复苏的号角。这部著名的著作主要介绍古代中国、印度和希腊数学著作的

书中还有一个有趣的兔子问题：

“假定大兔每月生一对小兔，小兔1个月就长成大兔，自一对小兔开始，一年后可繁殖多少对兔子？”由该问题引出了著名的斐波那契数列（1，1，2，3，5，8，13，21，34………），即从第三项开始，每一项都是前相邻两项的和。书中还有一个有趣的兔子问题：此数列的递推关系式为：

直到现在，美国的《斐波那契季刊》还专门刊载这个数列性质的最新成果。此数列的递推关系式为：直到现在，美国的《斐波

斐波那契虽将希腊和阿拉伯数学介绍到了欧洲，但其后的14世纪数学并没有蓬勃发展起来，这是由于连年战乱再加上鼠疫的流行，大大阻碍了科学的发展。此外，经院哲学的势力也使科学抬不起头来。许多学者把时间和精力消磨在诸如“一个针尖上能站立几个天使”之类的玄妙莫测的无聊问题上。14世纪相对来说成为数学上的不毛之地，数学的发展处于停滞时期。但历史总要发展，人们对长达一千多年的黑暗统治已经忍无可忍，社会、政治、经济和文化的种种原因，使得这一黑暗时期终于走到了尽头，取而代之的是一场规模宏大的文艺复兴运动。斐波那契虽将希腊和阿拉伯数学介绍到了欧洲，但其后的114世纪初到17世纪中叶，欧洲各国的封建社会处于变革和动荡之中。西欧国家先后发生资产阶级文化运动，出现了人类历史上文化蓬勃发展的新时期——文艺复兴时期。即打着复兴古希腊和罗马的科学和艺术的旗帜，开创了建立资产阶级新文化的思想解放运动。在14世纪发端于意大利，之后波及整个欧洲。特别是15－16世纪的200年中，形成文艺复兴的全盛时期或称为科学的革命时期。在这一时期，欧洲出现了思想大解放、生产大发展、社会大进步的可喜景象，科学文化技术包括数学，也随之复苏并逐渐繁荣起来。从此欧洲的数学开始走到世界的前列，并长期成为世界数学发展的中心。5.2欧洲文艺复兴时期的数学14世纪初到17世纪中叶，欧洲各国的封建社会处于变革

受商业、航海、天文和测量等的影响，数学的进展主要集中在代数学和三角形方面。从地理位置与时间上看，欧洲数学首先在意大利和德国崛起，德国人的贡献主要在天文学与三角学，而意大利的卓越之处在于代数学的发展。法国直到16世纪末才显示出她的力量，主要包括韦达、帕斯卡、笛卡儿和费马的工作。受商业、航海、天文和测量等的影响，数学的进展主要集中

公元前3世纪—公元17世纪，几何学几乎是欧氏几何一统天下，欧几里得成为几何学的同义语。这一状况直到解析几何的出现才有所改观。在解析几何产生的同时，还出现了另一种几何学——射影几何，其奠基人是法国数学家笛沙格和帕斯卡。1.透视理论的创立与三角学的独立（1）透视理论公元前3世纪—公元17世纪，几何学几乎是欧氏几何一统

中世纪的宗教绘画具有象征性和超现实性，而文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标。这就使画家们思考如何将三维现实世界绘制到二维的画布上。正是由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科——透视学的兴起，从而诞生了射影几何学。笛沙格用透视方法研究图形的性质，奠定了射影空间的基础，得到了笛沙格定理：如果两个三角形对应顶点的连线共点，则其对应边的交点共线。反之也对。中世纪的宗教绘画具有象征性和超现实性，而文艺复兴时期

笛沙格生于法国里昂，曾在陆军任职，后来成为工程师和建筑师。他没有沿用研究圆锥曲线的传统方法，而是从一个全新的角度考察了圆锥曲线。他引入无穷远点和无穷远直线，把直线变成一个具有无限大半径的圆。平行直线在无穷远点处相交，焦点重合的椭圆退化为圆，有一个焦点在无穷远处的椭圆是一条抛物线。笛沙格生于法国里昂，曾在陆军任职，后来成为工程师和建17世纪对射影几何作出重要贡献的另一位数学家是帕斯卡。

帕斯卡：法国人。三岁丧母，体弱多病，其父为专心培养帕斯卡，没有再要孩子。他考虑到帕斯卡身体太差，怕他累着，不许帕斯卡学习数学，只让他学习语言。因为帕斯卡的父亲是一位小有名气的数学家，深知学习与研究数学要求人必须为之付出艰苦繁重的脑力劳动。但帕斯卡受到父亲及其数学家朋友数学研究活动的熏陶，耳濡目染，对数学产生了浓厚的好奇心。帕斯卡请求家庭教师偷偷地教给他几何学。不久12岁的帕斯卡独立发现了三角形内角和为1800等重要命题。父亲惊喜地发现了儿子的数学天分，送给儿子一本欧几里得的《几何原本》，帕斯卡如获至宝。从此，帕斯卡走上了研究数学的道路。17世纪对射影几何作出重要贡献的另一位数学家是帕斯卡

帕斯卡在童年时就表现出了惊人的智慧。10岁时，他发现一只发声的玻璃杯用手指一碰便不再有声。由于健康原因，帕斯卡没能上大学学习，从14岁起，他跟随父亲参加每周一次的“梅森学院”的聚会，听有名的数学家和物理学家作学术报告。1666年梅森学院发展为法国科学院。16岁的帕斯卡写了一篇关于圆锥曲线的论文，在梅森学院宣读。大家不敢相信这么深刻的一篇文章竟然出自一位16岁少年的手。笛卡儿甚至怀疑该论文是帕斯卡的父亲起草的。在该文中，帕斯卡证明了帕斯卡定理。帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条圆锥曲线，则其三对对边的交点共线，此线称为帕斯卡线，反之也对。帕斯卡在童年时就表现出了惊人的智慧。10岁时，他发现

帕斯卡的父亲是一名皇家税务官。19岁的帕斯卡为了减轻父亲繁重的计算，花了两年时间发明出世界上第一台六位数手摇机械加法计算机。在数学上，帕斯卡还创立了概率论。为了解决概率论和组合分析方面的问题，帕斯卡应用了帕斯卡三角，并深入研究了二项展开式的系数规律，写成了《论算术三角形》一书。在此书中，帕斯卡成功运用数学归纳法来证明数学定理，从而奠定了数学归纳法在数学证明中的地位。在物理上，23岁的他推测出大气压力的存在，还发现了流体力学的帕斯卡定理。25岁时，当他正享有科学家的盛誉时，突然决定放弃科学研究而献身于哲学和宗教，这种难以理解的行为不能不算是科学界的极大损失。帕斯卡的父亲是一名皇家税务官。19岁的帕斯卡为了减轻

十七世纪的数学家们崇尚的是理解自然和控制自然。他们认为用代数方法处理数学问题一般更有效，也容易获得科技所需要的数量结果。而射影几何学家的方法是综合的，并且得出的结果也是定性的，不那么有用。因此，射影几何产生后不久，很快就让位于代数、解析几何和微积分，终由这些学科进一步发展出在近代数学中占中心地位的其它学科。笛沙格、帕斯卡等人的工作与结果也逐渐被人们所遗忘，直到十九世纪才又被人们重新认识。十七世纪的数学家们崇尚的是理解自然和控制自然。他们认

航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发展。在古希腊和印度、阿拉伯人的眼中，三角形是天文学的附庸，它仅仅是为了天文学的研究而使用的一种工具。1450年前，三角形一般指球面三角学。后来由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角，因此平面三角学的发展较晚。

15世纪，德国数学家穆勒将三角学从天文学的奴隶地位中解放出来，使三角学成为一个独立的数学分支。他写了《三角全书》，阐述了平面三角和球面三角的正余弦定理及如何解平面和球面三角形。（2）三角学航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发展

翻译家格拉多（1114－1187）将花拉子米的《代数学》翻译成拉丁文后，开始在欧洲传播。在花拉子米发现二次方程的求根公式之后，数学家们自然联想到三次、四次方程的求根公式问题。虽然人们也很早就接触到三次方程，并找到一些特殊解法，但16世纪前，数学家们一直未能找到三次方程的一般求根公式。甚至15世纪的意大利数学家帕西奥里认为，求解三次方程与化圆为方问题一样是不可能的。

16世纪以前，数学家们对三次、四次方程的求根公式的研究都已失败而告终。16世纪初，情况发生了变化。一项重要的数学成就——三、四次方程的求根公式被发现了。2、三、四次方程求根公式的发现翻译家格拉多（1114－1187）将花拉子米的《代数

三次方程求根公式的历史是与16世纪意大利数学家之间的数学论战联系在一起的。当时意大利的数学家们常常互相挑战，这不仅仅是为了赢得荣誉，而且也为了各自的切身利益。失败者名誉扫地，门前冷落，不能再招到弟子，从而失去经济来源。而胜利者则会受到邀请，去各地讲学，受人拥戴，从者如云，财源滚滚。所以，一个新方法的发明者往往不肯轻易泄露自己的发现。因为一旦有了这样的秘密武器，他就可以向对手提出自己拥有解法的相关问题。然而，这样的秘密武器却给三次方程求根公式的发现者带来了不幸。三次方程求根公式的历史是与16世纪意大利数学家之间的1515年，意大利波仑亚大学的费罗教授在寻求三次方程求根公式方面首先取得突破性进展。他发现了形如

的三次方程的公式解法，但没有公开发表他的成果，只把这个秘密透露给了学生菲奥。由于受当时欧洲保密风气的影响，菲奥也未将其公布于世。1515年，意大利波仑亚大学的费罗教授在寻求20年后，一位名不见经传的数学教师塔塔格利亚突然宣布他发现了三次方程的代数解法。据说他也曾向费罗请教过，但遭到了费罗的拒绝。因此，他发愤图强，发誓一定要攻克这一难题。终于，在费罗发现的20年后，塔塔格利亚也掌握了一些三次方程的解法。但菲奥认为，此项声明纯属欺骗，就向塔塔格利亚公开挑战，要求进行一次解三次方程的公开竞赛，一决高下，塔塔格利亚接受了挑战。这是世界上最早的数学竞赛。

塔塔格利亚20年后，一位名不见经传的数学教师塔塔格利亚

原来，塔塔格利亚从小家境贫寒。父亲是一名邮递员，在他7岁时就去世了，母子三人相依为命。13岁时塔塔格利亚在意法战争中头部受伤落下了口吃的毛病。塔塔格利亚即“口吃”之义。他没有接受过正式的教育，全靠自学掌握了拉丁文、希腊文和数学。

1530年，数学教师科拉向塔塔格利亚提出了两个问题：原来，塔塔格利亚从小家境贫寒。父亲是一名邮递

经过钻研，塔塔格利亚求出了这两个方程的正实根，因而宣布自己会解三次方程，从而引起了一场公开比赛。在公开赛上双方各向对方出30个题目，解得多、快且正确的为胜利者。结果，塔塔格利亚用了2个小时解完了形如

这两种类型的所有三次方程，而菲奥却只能解老师教给他的后一种类型的方程。塔塔格利亚大获全胜，名望大增。但他没有陶醉，而是乘胜追击。又经过一段时间的钻研，塔塔格利亚获得了三次方程的一般解法。慕名求教者纷纷要求他公开解法，但均遭到了拒绝。因为他准备将来著书立说。经过钻研，塔塔格利亚求出了这两个方程的正实

在听到塔塔格利亚竞赛获胜的消息时，卡当正在撰写一部名为《大术》的代数著作，正为收集资料而发愁。他也花了不少时间研究这个问题，但一筹莫展。1539年的一天，他把塔塔格利亚请入家中款待。在他苦苦哀求并发誓保密的条件下，塔塔格利亚终于将解法写成一首语句晦涩的诗透露给了卡当。卡当从各方面研究了这种方法，并以此为线索，得到了各种类型的三次方程的解法。可没过几年，卡当就背信弃义，不守诺言。1545年，在德国纽伦堡出版了关于代数学的拉丁文巨著《大术》。“数学怪才”卡当（1501－1576）

当时，有一位在米兰既教书又行医且不讲道德的人，名叫卡当。卡当精通数学，又嗜赌如命，还经常给人占卜算命。据说，有一次，他与别人打赌，预言自己将于某时会死去。到了这一天，为了赢得这场赌博，居然以自杀的方式结束了自己的一生。在听到塔塔格利亚竞赛获胜的消息时，卡当正在撰《大术》第一次公布了一般三次方程的求根公式，这是塔塔格利亚教给卡当的解法，当然其中也加入了他自己的证明和见解。卡当在本书的一开始就声明：“费罗在30年前发现了这一法则并传授给菲奥，后来曾与宣称也发现该法则的塔塔格利亚竞赛。塔塔格利亚在我的恳求下将方法告诉了我，但保留了证明。在这种情况下，我克服了很大的困难，找到了证明，现陈述如下。”《大术》第一次公布了一般三次方程的求根公式，

虽然卡当在书中写明了方法的来源，但失信行为仍使塔塔格利亚义愤填膺，于是提出了公开挑战。双方各向对方提出31个题目，限15天交卷，以决胜负。卡当让其学生斐拉里应战，但斐拉里经过5个月才完卷，且仅做对1题，而塔塔格利亚7天内解完了大部分题目，再次获胜。后来，塔塔格利亚又去法庭控告卡当，卡当毕竟理亏不敢出庭，就派斐拉里出庭。斐拉里能言善辩，在法庭上倒打一耙，指控塔塔格利亚偷窃了费罗的成果，再加上本来塔塔格利亚说话就口吃，所以尽管他是受害者，但在这场官司中仍然败诉了。后来郁闷而终。最后，由于《大术》的影响，人们将三次方程的求解公式称之为卡当公式。虽然卡当在书中写明了方法的来源，但失信行为仍

许多资料都记述过塔塔格利亚与卡当在一元三次方程求根公式问题上的争论。可信的是，名为卡当公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔格利亚发现的；卡当没有遵守誓言，因而受到塔塔格利亚及许多文献资料的指责，卡当错有应得。但是，卡当在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔格利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡当自己给出的，说明卡当也做了工作。卡当用自己的工作对塔塔格利亚泄露给他的秘密加以补充，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。虽然从道义上讲，卡当的行为是不道德的，但如果每一个科学家都像费罗和塔塔格利亚那样将自己的成果秘而不宣，那么，科学发展到今天会是什么样子就很难预料了。所以塔塔格利亚的悲剧留给人们的教训是：

数学家不该以任何借口推迟发表他的发现，学术上的优先权往往属于第一个发表的人。许多资料都记述过塔塔格利亚与卡当在一元三次方程求根公1540年，意大利数学家达科伊向卡当提出一个四次方程的问题，卡当未能解决，但由其学生斐拉里解决，其解法被卡当写进《大术》中。任意的四次方程总是可以通过变形，变为三次方程来得到解决。四次方程的根和二次、三次一样可以求解，并且都可以通过相应的系数经过加、减、乘、除、乘方与开方得到。

不过，公式的名称，还是应该称为方塔纳公式或塔塔格利亚公式，称为卡当公式是历史的误会。另外，一元三次方程应有三个根。塔塔格利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后，随着人们对虚数认识的加深，到了1732年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。1540年，意大利数学家达科伊向卡当提出一方法如下：任何一个形如的三次方程总可通过变换消去二次项化为形如的形式。方法如下：数学史概论-数学与统计学院课件

卡当在《大术》中引入了虚数，他提出一个问题:“怎样将10分成两部分，使其两者乘积为40。”他发现把10分成两部分，则不管这两个式子代表什么数，结果都正确。特别是在求三次方程的实根时，有时也不能回避虚数。如有实根，但相应的二次方程有两个虚根。1637年，笛卡儿在《几何学》中第一次给出虚数的名称，与实数相对。

18世纪欧拉首次用i表示，后来高斯给出了复数的几何解释。他主张用（ａ，ｂ）来表示他所命名的复数a+bi。它可用平面上的点几何表示，这种平面称为复平面。19世纪，形成了复变函数论这一分支。卡当在《大术》中引入了虚数，他提出一个问题:“怎样将

由于解四次方程依赖于解一个相关联的三次方程，18世纪欧拉曾试图将5次方程的求解归结为一个相关联的四次方程，但未获成功。30年后拉格朗日类似的尝试也失败了。后来，意大利数学家鲁菲尼证明了五次和五次以上的代数方程无根号解，1824年挪威数学家阿贝尔又独立予以证明，引起了代数学上的一次大变革。由于解四次方程依赖于解一个相关联的三次方程，18世纪15世纪，随着中国印刷术的西传，欧洲开始出版印刷的数学书籍，这对数学发展的一个重要影响就是由此产生了改进符号的要求。正是从这个时期开始，数学在慢慢地但却明显地朝着我们今天所熟悉的符号方向发展。符号对数学的重要作用不容置疑，它可以节约思维劳动。例如如果没有印度－阿拉伯数码，就不会出现我们这个统一化的数字世界。它的简洁实用使它成为当今科学世界的通用语言。而12世纪前，甚至13－14世纪的欧洲，还使用罗马数字进行演算，就连数学家也把现在非常简单的加减乘除运算也看成是人世间最麻烦的事。3.韦达和符号代数的建立15世纪，随着中国印刷术的西传，欧洲开始出版印刷的数I

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欧洲人至今仍用“掉在乘除里”这一习语来形容某人陷入了困境。直到现在，一些图书的篇章和钟表上的数字仍采用罗马数字，可见影响之深。CCXXXVIVCCCCCCCCXXXXXXXXXXXXVVVVDCCCCXXXXCMXL(940)I

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关于方程的记号，丢番图对未知数和幂使用了缩写词。中国的天元术和四元术也采用了符号，但在阿拉伯像阿尔.花拉子米却写什么都用文字，甚至连数也用文字。到了文艺复兴时期，有些学者在写代数书时引用了一些特殊记号和符号，逐渐地缩写词和符号在欧洲发展起来。

在符号体系上使代数学发生最大变革的是法国数学家韦达。韦达在年青时是家乡丰特内的一名律师，后来在议会工作，从事政治。他虽不是职业数学家，但他将所有的业余时间都致力于数学研究。他研究数学竟专心到有时为了解某个问题，连续几昼夜不睡觉。为了将自己的研究成果及时发表，他自筹资金印刷发行。关于方程的记号，丢番图对未知数和幂使用了缩写词。中国1591年，韦达《分析方法引论》出版，这被推崇为第一部符号代数学。在这本书中，韦达第一个有意识地系统地运用字母代表数，这标志着代数从算术脱胎而出，成为一门独立的学科。韦达用统一符号表示已知量和未知量，取代以往惯用的词的缩写方法，带来了代数学理论研究的重大进步。这种方法使方程和代数恒等式有了简洁清楚的表达方式，代数式本身也可以成为运算的对象，因而有助于对方程性质的研究和方程根的一般公式的表达，从而奠定了符号代数学的基础。韦达把运用符号的代数叫类的算术，以区别于数的算术。他明确指出类和数的算术的区别在于前者是对事物类进行运算，后者是对数进行运算，于是代数成为带有普遍性的学问，符号代数由此诞生。韦达被称为“符号代数之父”。在《论方程的整理与修正》一书中，韦达提出了韦达定理。但仅就二次和三次方程的特殊情况得出了结论，并没有给出n次方程的韦达定理的一般说明，这个定理的证明是在高斯证明了代数基本定理后才给出的。1591年，韦达《分析方法引论》出版，这被推崇为第一1.有一位比利时的大使曾向法国国王亨利夸口说：法国没有一位数学家能解决他们比利时罗芒乌斯1593年提出的需要解45次方程的问题。亨利找韦达来解决这个问题。韦达几分钟内就给出了2个根，后来又求出21个根。当然，他没有考虑负根。反过来，韦达又向罗芒乌斯提出挑战，看谁能解古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的“作一个圆与三个给定圆相切”的问题。韦达顺利地用欧几里得几何求出了解，而罗芒乌斯却百思不得其解。当罗芒乌斯知道韦达的天才解法后，十分敬佩，专程长途跋涉到丰特内拜访韦达，两人从此结下深厚友谊。轶闻趣事1.有一位比利时的大使曾向法国国王亨利夸口说：法国没2.在法国与西班牙的战争中，韦达成功地破译了西班牙的军事密码，使得法国掌握了战争的主动，从而获胜。于是西班牙国王菲利普二世向教皇控告法国在战争中对西班牙施用了魔法，说这是与基督教信仰的惯例相违背的。更加荒谬的是，在韦达缺席的情况下，西班牙宗教裁判所竟以背叛上帝的罪名判处韦达焚烧致死的极刑。当然，韦达也不会跑到西班牙去服刑。轶闻趣事2.在法国与西班牙的战争中，韦达成功地破译了西班牙的

这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用，它主要是由于天文和航海计算的强烈需要。比如为了确定一个星球的位置，常常需要在计算上花去几个月的时间。人们特别希望能简化计算，因此迫切需要改进数字计算的方法。为简化天文、航海方面所遇到复杂而繁重的数值计算，人们自然希望将乘除法归结为简单的加减法，这种设想受到熟知的三角公式的启示，或许受到斯蒂费尔在他的《综合算术》（1544）中所发现的几何级数1,r,r2,r3,

……与其指数构成的算术级数0,1,2,3,……

之间对应关系及运算性质的启示。5.2.4计算技术与对数的发明这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用，它主要1614年，英国数学家纳皮尔发表了《关于奇妙的对数法则的说明》一书，论述了对数的性质，给出了有关对数表的说明、实例及使用规则。纳皮尔发明了对数。纳皮尔建立的对数概念并不像中学课本中的对数概念那样以指数概念为基础。因为在数学史上，指数的概念产生于对数之后。他是借助于运动概念与连续的几何量的结合来引入对数。其定义如下：1614年，英国数学家纳皮尔发表了《关于奇妙的对数法

假定质点P沿着一有限直线AZ运动，另一质点Q沿一无限长直线A1Z1运动。两个质点开始运动的初速度相同。Q的速度保持不变，而P的速度按如下方式变化：在其路径上，任一点B的速度与BZ成正比。设比例系数为1，如果当点P位于B时，Q点位于B1，则将A1B1称为BZ的对数。ZBAPya-yQA1Z1B1x令AZ=a,BZ=y,A1B1=x,AB=a-y，质点P在B点的速度由给出由定义，在A点t=0,y=a,故c=-lna。Q沿A1Z1做匀速运动，即纳皮尔称x为y的对数。假定质点P沿着一有限直线AZ运动，另一质点Q沿一无限

这实际上是以为底的对数，但纳皮尔并没有“底”的概念，因为当时还没有指数概念。对数概念的建立先于指数，这是数学发展过程中的一个趣闻。纳皮尔的目的是想用对数解决平面和球面三角问题，因此他制作了以分弧为间隔的0－90角正弦的对数表。这实际上是以为底的对数，但纳皮尔并没有“底

纳皮尔对数与自然对数和常用对数不同，也不满足通常对数的运算法则。但对数的实用价值很快为纳皮尔的朋友——伦敦格雷沙姆学院几何学教授布里格斯(HenryBriggs,1561－1631)所认识。1616年他专程到爱丁堡向这位伟大的对数发明者致敬。通过这次访问，他与纳皮尔合作，决定将对数加以改良，使得1的对数是0，10的对数是1，以便造出的对数表更便于计算。即采用

y=10x，这样就获得了今天所谓的“常用对数”。由于我们的数系是十进制的，从而它在数值计算上具有优越性。可惜第二年纳皮尔不幸逝世。纳皮尔去世后，布里格斯继承纳皮尔未完成的事业继续造表，他后来发表了《对数算术》（1624），其中编制了1－2000以及90000－100000的14位常用对数表。纳皮尔对数与自然对数和常用对数不同，也不满足通常对数

瑞士仪器工匠比尔吉（1552－1632）1600年也独立地发明了对数方法以简化天文计算。他的对数思想的基础是斯蒂费尔的级数对应思想，属于算术性质而略异于纳皮尔的做法。不过他的发明迟至1620年才得到发表。

对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲，尤其是天文学界简直为这个发现沸腾了。拉普拉斯（Laplace,1749－1827）曾赞誉道：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”。伽利略甚至说：“给我空间、时间和对数，我即可创造一个宇宙。”恩格斯在论及近代科学产生时期的主要工作时也把纳皮尔的对数与笛卡儿和费马的解析几何、牛顿和莱布尼兹的微积分，并列为最重要的数学方法。瑞士仪器工匠比尔吉（1552－1632）1600年也独立

作为对数的一个应用，开普勒利用对数发现了行星运动的第三定律。在太阳系的行星中，以地球为标准，把地球到太阳的距离作为一个单位，地球绕太阳公转一周的时间也作为一个时间单位（1年）。天文学家开普勒观察了其它行星与太阳的距离d和它们公转的周期T，将九大行星的距离与周期列表：行星水星金星地球火星木星土星天王星海王星冥王星d0.3870.72311.525.29.5419.230.139.5T0.240.61511.8811.929.584165248

从这些数字似乎很难看出什么规律，但是开普勒利用对数重新列表，观察发现了规律：作为对数的一个应用，开普勒利用对数发现了行星运动的第行星水星金星地球火星木星土星天王星海王星冥王星lgd－0.41－0.1400.180.720.981.281.481.6lgT－0.62－0.2100.271.071.471.922.222.39行星水星金星地球火星木星土星天王星海王星冥王星lgd－0

在文艺复兴时期，特别是十六、十七世纪，欧洲的数学工作者们冲破宗教势力的禁锢，发奋图强，使得整个初等数学的主要内容基本定型。文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴起及以后的惊人发展铺平了道路，并为后来欧洲成为世界数学的中心且长盛不衰打下了坚实的基础。结束语在文艺复兴时期，特别是十六、十七世纪，欧洲的数学工作

有一次，我的一个同学问我的数学老师一道数学题。数学老师一看，题目挺简单，于是大怒，说道：“你这个笨蛋，这道题不就这么这么这么作.....”难题

又一次，该同学找了一道很难的问题问他。他一看，似乎进入了思考状态，然后开始踱步思考，然后开始向教室外踱去，然后就消失了。有一次，我的一个同学问我的数学老师一道数学题。数学老

德国女数学家爱米·诺特，虽已获得博士学位，但无开课“资格”，因为当时不准女教师讲课。当时，著名数学家希尔伯特十分欣赏爱米的才能，他到处奔走，要求批准她为哥廷根大学的第一名女讲师，但在教授会上还是出现了争论。一位教授激动地说：“怎么能让女人当讲师呢？如果让她当讲师，以后她就要成为教授，甚至进大学评议会。难道能允许一个女人进入大学最高学术机构吗？”另一位教授说：“当我们的战士从战场回到课堂，发现自己拜倒在女人脚下读书，会作何感想呢？”希尔伯特站起来，坚定地批驳道：“先生们，候选人的性别绝不应成为反对她当讲师的理由。大学评议会毕竟不是洗澡堂！”不是洗澡堂德国女数学家爱米·诺特，虽已获得博士学位，但无开课“

工程师、化学家和数学家住在一家老客栈的三个相邻房间里.当晚先是工程师的咖啡机着了火,他嗅到烟味醒来,拔出咖啡机的电插头,将之扔出窗外,然后接着睡觉.不慌不忙的数学家

过一会儿化学家也嗅到烟味醒来,他发现原来是烟头燃着了垃圾桶.他自言自语道:“怎样灭火呢?应该把燃料温度降低到燃点以下,把燃烧物与氧气隔离.浇水可以同时做到这两点.”

于是他把垃圾桶拖进浴室,打开水龙头浇灭了火,就回去接着睡觉.

数学家在窗外看到了这一切,所以,当过了一会儿他发现他的烟灰燃着了床单时,他一点儿也不担心.说:“嗨,解是存在的!”就接着睡觉了.工程师、化学家和数学家住在一家老客栈的三个相邻房间里1、下列哪些数学家对三、四次方程代数解法作出了贡献（）（A）塔塔格利亚（B）花拉子米（C）卡当（D）斐拉里（E）纳西尔.丁ACD1、下列哪些数学家对三、四次方程代数解法作出了贡献（§5.1欧洲中世纪的回顾第五章希望的曙光——欧洲文艺复兴时期的数学5.2.1透视理论的创立与三角学的独立

5.2.2三、四次方程的解法

5.2.3韦达与符号代数

5.2.4对数的发明§5.2欧洲文艺复兴时期的数学§5.1欧洲中世纪的回顾第五章希望的曙光——欧洲5.1欧洲中世纪的回顾

在巴比伦、埃及、中国、印度、希腊和罗马等地的文明兴盛时代，欧洲（除希腊和意大利）还处于原始文明时期。大约在公元500年左右，欧洲才开始出现新文化。从5世纪中叶到15世纪，在科学史和哲学史上称为欧洲中世纪的黑暗时期。在这1000年左右的时间里，整个欧洲，特别是西欧，生产停滞，经济凋敝，科学文化落后。既没有像样的发明创造，也没有值得一提的科学著作。5.1欧洲中世纪的回顾在巴比伦、埃及、中国、印度、希5世纪，罗马人占领了希腊本土。由于罗马人偏重实用，他们对抽象思维毫不关心，数学研究仅限于简单的几何和测量。这对罗马帝国崩溃后的欧洲数学有一定的影响，终使黑暗时代的欧洲在数学领域毫无成就。另一方面，基督教统治人民，为了达到在精神上麻痹奴隶的目的，基督教竭力宣扬“今生忍辱负重，来生进入天堂”的谬论。他们用死后的幸福生活来欺骗被统治者，让他们安于自己被奴役的痛苦命运。为了不使谎言被揭穿，基督教强烈反对研究和传播自然科学知识。人们只能学习圣经，圣经成为这一时期人们唯一能够学习和研究的“百科全书”。在这个时期甚至从法律上明文禁止学习和研究数学，如罗马皇帝狄奥多西的法典中规定：“任何人不得向占卜人与数学家请教。”出现这一科学技术大倒退局面的原因是：5世纪，罗马人占领了希腊本土。由于罗马人偏重实用，他

在这个时期，科学赖以发展的一些主要条件如自由的学术空气、对物理世界的关注、研究抽象概念的兴趣等均已消失。尽管如此，由于宗教教育的需要，也出现一些水平低下的算术和几何教材。

罗马人博埃齐（约480－524）是罗马的一个贵族，曾不顾禁令根据古希腊著作用拉丁文编译了几何、算术、音乐、天文的初级读物。几何内容仅包含《几何原本》的第一卷和第三、四卷的部分命题以及一些简单的测量术，算术则是根据四百年前的一本浅易的著作编写的。这样简单的书籍竟一直作为欧洲教会学校的标准课本使用了近千年之久，但博埃齐本人还是遭受政治迫害被捕入狱并死在狱中。在这个时期，科学赖以发展的一些主要条件如自由的学术空1100年左右，由于阶级矛盾尖锐化，西欧终于爆发了一场前后八次历时近200年的侵略性远征——十字军东征。十字军一边抢掠一边东进，给阿拉伯人带来了苦难，但却促进了东西方的文化交流。许多用阿拉伯文保存下来的古希腊、古印度、古中国和阿拉伯文化，都在这个时期传入欧洲。古代学术传播西欧的路线如图所示：1100年左右，由于阶级矛盾尖锐化，西欧终于爆发了一

随着城市工商业的发展，市民对知识的需要增加，教会学校已不能满足这些需要，逐渐出现了普通学校。在普通学校发展的基础上，大学诞生了。如巴黎大学、牛津大学和剑桥大学。许多科学巨人都曾在大学中学习过，大学成为科学家的摇篮。近代科学兴起时，伽利略、牛顿、笛卡儿、费马等伟大的数学家就是在中世纪末建立的大学中受教育的。

如13世纪中国的四大发明已在阿拉伯广泛流行。十字军东征又把这些发明传入欧洲。虽然十字军东征是侵略性的，但它却有力促进了西欧科学技术水平的提高。在十字军东征中，意大利商人获得了巨大利益，意大利在地中海的商业优势也随之确立。意大利的经济繁荣为后来的文艺复兴奠定了基础。随着城市工商业的发展，市民对知识的需要增加，教会学校

由于商业贸易和一系列的十字军东征，欧洲人开始了解比欧洲先进得多的东方文化和科学技术，促进了欧洲科学的加速发展。在12－15世纪，欧洲在数学上主要是吸收古希腊、印度、中国和阿拉伯的数学遗产。当时的西班牙保存有许多阿拉伯著作和一些希腊著作。为了获取知识，欧洲的学者们都愿意到颇具世界性的西班牙去旅行。他们在西班牙学习并将大量科学著作翻译成拉丁文。数学著作的翻译主要有英国人阿德拉特(约1120)翻译的《几何原本》和花拉子米的天文表；意大利人普拉托（12世纪上半叶）翻译的巴塔尼的《天文学》和狄奥多修斯的《球面几何》以及其它著作。12世纪最伟大的翻译家格拉多（1114-1187）将90多部阿拉伯文著作翻译成拉丁文，其中包括托勒密的《大汇编》、欧几里得的《几何原本》、花拉子米的《代数学》。由于商业贸易和一系列的十字军东征，欧洲人开始了解比欧

因此，有人评价12世纪是欧洲数学的翻译时代，是数学史上翻译家的世纪。可以说，古希腊数学、阿拉伯数学以及印度和中国的数学成果，都对西方近代数学的诞生和发展起了一定的作用。因此，有人评价12世纪是欧洲数学的翻译时代，是数学史13世纪，欧洲出现了第一批数学家，其中代表人物是斐波那契(Fibonacci,1170—1250)。

斐波那契：意大利比萨人，父亲是一位商人。当时意大利的大商行在地中海的许多地方设有海外商站，其父就在比萨驻阿尔及利亚的海外商站工作。斐波那契就在阿尔及利亚的小港口布日跟阿拉伯人学习算学。后来，作为一名商人，他又游历了埃及、希腊、叙利亚、西西里岛等地，接触到东方和阿拉伯数学，积累了丰富的数学知识。

他特别欣赏印度－阿拉伯计算方法在实用上的优越性。1202年回国后不久，他综合阿拉伯和希腊资料发表了其数学名著《算盘书》。13世纪，欧洲出现了第一批数学家，其中代表人物是斐波

这部著名的著作主要介绍古代中国、印度和希腊数学著作的内容，包括印度-阿拉伯数码的读法和写法；整数与分数的计算；开方法；二次和三次方程；不定方程；以及《几何原本》和希腊三角学的大部分内容（如中国数学的“孙子问题”，“百鸡问题”均出现于该书中）。特别是，书中系统介绍了印度-阿拉伯数码，影响了欧洲数学面貌。《算盘书》可以看作是欧洲数学在经历了漫长的黑夜之后走向复苏的号角。这部著名的著作主要介绍古代中国、印度和希腊数学著作的

书中还有一个有趣的兔子问题：

“假定大兔每月生一对小兔，小兔1个月就长成大兔，自一对小兔开始，一年后可繁殖多少对兔子？”由该问题引出了著名的斐波那契数列（1，1，2，3，5，8，13，21，34………），即从第三项开始，每一项都是前相邻两项的和。书中还有一个有趣的兔子问题：此数列的递推关系式为：

直到现在，美国的《斐波那契季刊》还专门刊载这个数列性质的最新成果。此数列的递推关系式为：直到现在，美国的《斐波

斐波那契虽将希腊和阿拉伯数学介绍到了欧洲，但其后的14世纪数学并没有蓬勃发展起来，这是由于连年战乱再加上鼠疫的流行，大大阻碍了科学的发展。此外，经院哲学的势力也使科学抬不起头来。许多学者把时间和精力消磨在诸如“一个针尖上能站立几个天使”之类的玄妙莫测的无聊问题上。14世纪相对来说成为数学上的不毛之地，数学的发展处于停滞时期。但历史总要发展，人们对长达一千多年的黑暗统治已经忍无可忍，社会、政治、经济和文化的种种原因，使得这一黑暗时期终于走到了尽头，取而代之的是一场规模宏大的文艺复兴运动。斐波那契虽将希腊和阿拉伯数学介绍到了欧洲，但其后的114世纪初到17世纪中叶，欧洲各国的封建社会处于变革和动荡之中。西欧国家先后发生资产阶级文化运动，出现了人类历史上文化蓬勃发展的新时期——文艺复兴时期。即打着复兴古希腊和罗马的科学和艺术的旗帜，开创了建立资产阶级新文化的思想解放运动。在14世纪发端于意大利，之后波及整个欧洲。特别是15－16世纪的200年中，形成文艺复兴的全盛时期或称为科学的革命时期。在这一时期，欧洲出现了思想大解放、生产大发展、社会大进步的可喜景象，科学文化技术包括数学，也随之复苏并逐渐繁荣起来。从此欧洲的数学开始走到世界的前列，并长期成为世界数学发展的中心。5.2欧洲文艺复兴时期的数学14世纪初到17世纪中叶，欧洲各国的封建社会处于变革

受商业、航海、天文和测量等的影响，数学的进展主要集中在代数学和三角形方面。从地理位置与时间上看，欧洲数学首先在意大利和德国崛起，德国人的贡献主要在天文学与三角学，而意大利的卓越之处在于代数学的发展。法国直到16世纪末才显示出她的力量，主要包括韦达、帕斯卡、笛卡儿和费马的工作。受商业、航海、天文和测量等的影响，数学的进展主要集中

公元前3世纪—公元17世纪，几何学几乎是欧氏几何一统天下，欧几里得成为几何学的同义语。这一状况直到解析几何的出现才有所改观。在解析几何产生的同时，还出现了另一种几何学——射影几何，其奠基人是法国数学家笛沙格和帕斯卡。1.透视理论的创立与三角学的独立（1）透视理论公元前3世纪—公元17世纪，几何学几乎是欧氏几何一统

中世纪的宗教绘画具有象征性和超现实性，而文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标。这就使画家们思考如何将三维现实世界绘制到二维的画布上。正是由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科——透视学的兴起，从而诞生了射影几何学。笛沙格用透视方法研究图形的性质，奠定了射影空间的基础，得到了笛沙格定理：如果两个三角形对应顶点的连线共点，则其对应边的交点共线。反之也对。中世纪的宗教绘画具有象征性和超现实性，而文艺复兴时期

笛沙格生于法国里昂，曾在陆军任职，后来成为工程师和建筑师。他没有沿用研究圆锥曲线的传统方法，而是从一个全新的角度考察了圆锥曲线。他引入无穷远点和无穷远直线，把直线变成一个具有无限大半径的圆。平行直线在无穷远点处相交，焦点重合的椭圆退化为圆，有一个焦点在无穷远处的椭圆是一条抛物线。笛沙格生于法国里昂，曾在陆军任职，后来成为工程师和建17世纪对射影几何作出重要贡献的另一位数学家是帕斯卡。

帕斯卡：法国人。三岁丧母，体弱多病，其父为专心培养帕斯卡，没有再要孩子。他考虑到帕斯卡身体太差，怕他累着，不许帕斯卡学习数学，只让他学习语言。因为帕斯卡的父亲是一位小有名气的数学家，深知学习与研究数学要求人必须为之付出艰苦繁重的脑力劳动。但帕斯卡受到父亲及其数学家朋友数学研究活动的熏陶，耳濡目染，对数学产生了浓厚的好奇心。帕斯卡请求家庭教师偷偷地教给他几何学。不久12岁的帕斯卡独立发现了三角形内角和为1800等重要命题。父亲惊喜地发现了儿子的数学天分，送给儿子一本欧几里得的《几何原本》，帕斯卡如获至宝。从此，帕斯卡走上了研究数学的道路。17世纪对射影几何作出重要贡献的另一位数学家是帕斯卡

帕斯卡在童年时就表现出了惊人的智慧。10岁时，他发现一只发声的玻璃杯用手指一碰便不再有声。由于健康原因，帕斯卡没能上大学学习，从14岁起，他跟随父亲参加每周一次的“梅森学院”的聚会，听有名的数学家和物理学家作学术报告。1666年梅森学院发展为法国科学院。16岁的帕斯卡写了一篇关于圆锥曲线的论文，在梅森学院宣读。大家不敢相信这么深刻的一篇文章竟然出自一位16岁少年的手。笛卡儿甚至怀疑该论文是帕斯卡的父亲起草的。在该文中，帕斯卡证明了帕斯卡定理。帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条圆锥曲线，则其三对对边的交点共线，此线称为帕斯卡线，反之也对。帕斯卡在童年时就表现出了惊人的智慧。10岁时，他发现

帕斯卡的父亲是一名皇家税务官。19岁的帕斯卡为了减轻父亲繁重的计算，花了两年时间发明出世界上第一台六位数手摇机械加法计算机。在数学上，帕斯卡还创立了概率论。为了解决概率论和组合分析方面的问题，帕斯卡应用了帕斯卡三角，并深入研究了二项展开式的系数规律，写成了《论算术三角形》一书。在此书中，帕斯卡成功运用数学归纳法来证明数学定理，从而奠定了数学归纳法在数学证明中的地位。在物理上，23岁的他推测出大气压力的存在，还发现了流体力学的帕斯卡定理。25岁时，当他正享有科学家的盛誉时，突然决定放弃科学研究而献身于哲学和宗教，这种难以理解的行为不能不算是科学界的极大损失。帕斯卡的父亲是一名皇家税务官。19岁的帕斯卡为了减轻

十七世纪的数学家们崇尚的是理解自然和控制自然。他们认为用代数方法处理数学问题一般更有效，也容易获得科技所需要的数量结果。而射影几何学家的方法是综合的，并且得出的结果也是定性的，不那么有用。因此，射影几何产生后不久，很快就让位于代数、解析几何和微积分，终由这些学科进一步发展出在近代数学中占中心地位的其它学科。笛沙格、帕斯卡等人的工作与结果也逐渐被人们所遗忘，直到十九世纪才又被人们重新认识。十七世纪的数学家们崇尚的是理解自然和控制自然。他们认

航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发展。在古希腊和印度、阿拉伯人的眼中，三角形是天文学的附庸，它仅仅是为了天文学的研究而使用的一种工具。1450年前，三角形一般指球面三角学。后来由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角，因此平面三角学的发展较晚。

15世纪，德国数学家穆勒将三角学从天文学的奴隶地位中解放出来，使三角学成为一个独立的数学分支。他写了《三角全书》，阐述了平面三角和球面三角的正余弦定理及如何解平面和球面三角形。（2）三角学航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发展

翻译家格拉多（1114－1187）将花拉子米的《代数学》翻译成拉丁文后，开始在欧洲传播。在花拉子米发现二次方程的求根公式之后，数学家们自然联想到三次、四次方程的求根公式问题。虽然人们也很早就接触到三次方程，并找到一些特殊解法，但16世纪前，数学家们一直未能找到三次方程的一般求根公式。甚至15世纪的意大利数学家帕西奥里认为，求解三次方程与化圆为方问题一样是不可能的。

16世纪以前，数学家们对三次、四次方程的求根公式的研究都已失败而告终。16世纪初，情况发生了变化。一项重要的数学成就——三、四次方程的求根公式被发现了。2、三、四次方程求根公式的发现翻译家格拉多（1114－1187）将花拉子米的《代数

三次方程求根公式的历史是与16世纪意大利数学家之间的数学论战联系在一起的。当时意大利的数学家们常常互相挑战，这不仅仅是为了赢得荣誉，而且也为了各自的切身利益。失败者名誉扫地，门前冷落，不能再招到弟子，从而失去经济来源。而胜利者则会受到邀请，去各地讲学，受人拥戴，从者如云，财源滚滚。所以，一个新方法的发明者往往不肯轻易泄露自己的发现。因为一旦有了这样的秘密武器，他就可以向对手提出自己拥有解法的相关问题。然而，这样的秘密武器却给三次方程求根公式的发现者带来了不幸。三次方程求根公式的历史是与16世纪意大利数学家之间的1515年，意大利波仑亚大学的费罗教授在寻求三次方程求根公式方面首先取得突破性进展。他发现了形如

的三次方程的公式解法，但没有公开发表他的成果，只把这个秘密透露给了学生菲奥。由于受当时欧洲保密风气的影响，菲奥也未将其公布于世。1515年，意大利波仑亚大学的费罗教授在寻求20年后，一位名不见经传的数学教师塔塔格利亚突然宣布他发现了三次方程的代数解法。据说他也曾向费罗请教过，但遭到了费罗的拒绝。因此，他发愤图强，发誓一定要攻克这一难题。终于，在费罗发现的20年后，塔塔格利亚也掌握了一些三次方程的解法。但菲奥认为，此项声明纯属欺骗，就向塔塔格利亚公开挑战，要求进行一次解三次方程的公开竞赛，一决高下，塔塔格利亚接受了挑战。这是世界上最早的数学竞赛。

塔塔格利亚20年后，一位名不见经传的数学教师塔塔格利亚

原来，塔塔格利亚从小家境贫寒。父亲是一名邮递员，在他7岁时就去世了，母子三人相依为命。13岁时塔塔格利亚在意法战争中头部受伤落下了口吃的毛病。塔塔格利亚即“口吃”之义。他没有接受过正式的教育，全靠自学掌握了拉丁文、希腊文和数学。

1530年，数学教师科拉向塔塔格利亚提出了两个问题：原来，塔塔格利亚从小家境贫寒。父亲是一名邮递

经过钻研，塔塔格利亚求出了这两个方程的正实根，因而宣布自己会解三次方程，从而引起了一场公开比赛。在公开赛上双方各向对方出30个题目，解得多、快且正确的为胜利者。结果，塔塔格利亚用了2个小时解完了形如

这两种类型的所有三次方程，而菲奥却只能解老师教给他的后一种类型的方程。塔塔格利亚大获全胜，名望大增。但他没有陶醉，而是乘胜追击。又经过一段时间的钻研，塔塔格利亚获得了三次方程的一般解法。慕名求教者纷纷要求他公开解法，但均遭到了拒绝。因为他准备将来著书立说。经过钻研，塔塔格利亚求出了这两个方程的正实

在听到塔塔格利亚竞赛获胜的消息时，卡当正在撰写一部名为《大术》的代数著作，正为收集资料而发愁。他也花了不少时间研究这个问题，但一筹莫展。1539年的一天，他把塔塔格利亚请入家中款待。在他苦苦哀求并发誓保密的条件下，塔塔格利亚终于将解法写成一首语句晦涩的诗透露给了卡当。卡当从各方面研究了这种方法，并以此为线索，得到了各种类型的三次方程的解法。可没过几年，卡当就背信弃义，不守诺言。1545年，在德国纽伦堡出版了关于代数学的拉丁文巨著《大术》。“数学怪才”卡当（1501－1576）

当时，有一位在米兰既教书又行医且不讲道德的人，名叫卡当。卡当精通数学，又嗜赌如命，还经常给人占卜算命。据说，有一次，他与别人打赌，预言自己将于某时会死去。到了这一天，为了赢得这场赌博，居然以自杀的方式结束了自己的一生。在听到塔塔格利亚竞赛获胜的消息时，卡当正在撰《大术》第一次公布了一般三次方程的求根公式，这是塔塔格利亚教给卡当的解法，当然其中也加入了他自己的证明和见解。卡当在本书的一开始就声明：“费罗在30年前发现了这一法则并传授给菲奥，后来曾与宣称也发现该法则的塔塔格利亚竞赛。塔塔格利亚在我的恳求下将方法告诉了我，但保留了证明。在这种情况下，我克服了很大的困难，找到了证明，现陈述如下。”《大术》第一次公布了一般三次方程的求根公式，

虽然卡当在书中写明了方法的来源，但失信行为仍使塔塔格利亚义愤填膺，于是提出了公开挑战。双方各向对方提出31个题目，限15天交卷，以决胜负。卡当让其学生斐拉里应战，但斐拉里经过5个月才完卷，且仅做对1题，而塔塔格利亚7天内解完了大部分题目，再次获胜。后来，塔塔格利亚又去法庭控告卡当，卡当毕竟理亏不敢出庭，就派斐拉里出庭。斐拉里能言善辩，在法庭上倒打一耙，指控塔塔格利亚偷窃了费罗的成果，再加上本来塔塔格利亚说话就口吃，所以尽管他是受害者，但在这场官司中仍然败诉了。后来郁闷而终。最后，由于《大术》的影响，人们将三次方程的求解公式称之为卡当公式。虽然卡当在书中写明了方法的来源，但失信行为仍

许多资料都记述过塔塔格利亚与卡当在一元三次方程求根公式问题上的争论。可信的是，名为卡当公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔格利亚发现的；卡当没有遵守誓言，因而受到塔塔格利亚及许多文献资料的指责，卡当错有应得。但是，卡当在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔格利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡当自己给出的，说明卡当也做了工作。卡当用自己的工作对塔塔格利亚泄露给他的秘密加以补充，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。虽然从道义上讲，卡当的行为是不道德的，但如果每一个科学家都像费罗和塔塔格利亚那样将自己的成果秘而不宣，那么，科学发展到今天会是什么样子就很难预料了。所以塔塔格利亚的悲剧留给人们的教训是：

数学家不该以任何借口推迟发表他的发现，学术上的优先权往往属于第一个发表的人。许多资料都记述过塔塔格利亚与卡当在一元三次方程求根公1540年，意大利数学家达科伊向卡当提出一个四次方程的问题，卡当未能解决，但由其学生斐拉里解决，其解法被卡当写进《大术》中。任意的四次方程总是可以通过变形，变为三次方程来得到解决。四次方程的根和二次、三次一样可以求解，并且都可以通过相应的系数经过加、减、乘、除、乘方与开方得到。

不过，公式的名称，还是应该称为方塔纳公式或塔塔格利亚公式，称为卡当公式是历史的误会。另外，一元三次方程应有三个根。塔塔格利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后，随着人们对虚数认识的加深，到了1732年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。1540年，意大利数学家达科伊向卡当提出一方法如下：任何一个形如的三次方程总可通过变换消去二次项化为形如的形式。方法如下：数学史概论-数学与统计学院课件

卡当在《大术》中引入了虚数，他提出一个问题:“怎样将10分成两部分，使其两者乘积为40。”他发现把10分成两部分，则不管这两个式子代表什么数，结果都正确。特别是在求三次方程的实根时，有时也不能回避虚数。如有实根，但相应的二次方程有两个虚根。1637年，笛卡儿在《几何学》中第一次给出虚数的名称，与实数相对。

18世纪欧拉首次用i表示，后来高斯给出了复数的几何解释。他主张用（ａ，ｂ）来表示他所命名的复数a+bi。它可用平面上的点几何表示，这种平面称为复平面。19世纪，形成了复变函数论这一分支。卡当在《大术》中引入了虚数，他提出一个问题:“怎样将

由于解四次方程依赖于解一个相关联的三次方程，18世纪欧拉曾试图将5次方程的求解归结为一个相关联的四次方程，但未获成功。30年后拉格朗日类似的尝试也失败了。后来，意大利数学家鲁菲尼证明了五次和五次以上的代数方程无根号解，1824年挪威数学家阿贝尔又独立予以证明，引起了代数学上的一次大变革。由于解四次方程依赖于解一个相关联的三次方程，18世纪15世纪，随着中国印刷术的西传，欧洲开始出版印刷的数学书籍，这对数学发展的一个重要影响就是由此产生了改进符号的要求。正是从这个时期开始，数学在慢慢地但却明显地朝着我们今天所熟悉的符号方向发展。符号对数学的重要作用不容置疑，它可以节约思维劳动。例如如果没有印度－阿拉伯数码，就不会出现我们这个统一化的数字世界。它的简洁实用使它成为当今科学世界的通用语言。而12世纪前，甚至13－14世纪的欧洲，还使用罗马数字进行演算，就连数学家也把现在非常简单的加减乘除运算也看成是人世间最麻烦的事。3.韦达和符号代数的建立15世纪，随着中国印刷术的西传，欧洲开始出版印刷的数I

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欧洲人至今仍用“掉在乘除里”这一习语来形容某人陷入了困境。直到现在，一些图书的篇章和钟表上的数字仍采用罗马数字，可见影响之深。CCXXXVIVCCCCCCCCXXXXXXXXXXXXVVVVDCCCCXXXXCMXL(940)I

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关于方程的记号，丢番图对未知数和幂使用了缩写词。中国的天元术和四元术也采用了符号，但在阿拉伯像阿尔.花拉子米却写什么都用文字，甚至连数也用文字。到了文艺复兴时期，有些学者在写代数书时引用了一些特殊记号和符号，逐渐地缩写词和符号在欧洲发展起来。

在符号体系上使代数学发生最大变革的是法国数学家韦达。韦达在年青时是家乡丰特内的一名律师，后来在议会工作，从事政治。他虽不是职业数学家，但他将所有的业余时间都致力于数学研究。他研究数学竟专心到有时为了解某个问题，连续几昼夜不睡觉。为了将自己的研究成果及时发表，他自筹资金印刷发行。关于方程的记号，丢番图对未知数和幂使用了缩写词。中国1591年，韦达《分析方法引论》出版，这被推崇为第一部符号代数学。在这本书中，韦达第一个有意识地系统地运用字母代表数，这标志着代数从算术脱胎而出，成为一门独立的学科。韦达用统一符号表示已知量和未知量，取代以往惯用的词的缩写方法，带来了代数学理论研究的重大进步。这种方法使方程和代数恒等式有了简洁清楚的表达方式，代数式本身也可以成为运算的对象，因而有助于对方程性质的研究和方程根的一般公式的表达，从而奠定了符号代数学的基础。韦达把运用符号的代数叫类的算术，以区别于数的算术。他明确指出类和数的算术的区别在于前者是对事物类进行运算，后者是