算法起始课的教学反思

《算法》起始课的教学反思一．背景与起因2022年5月11日,中学数学核心概念、思想方法及教学设计课题组第四次会议在浙江省黄岩中学举行，根据课题组研究计划的安排，杭州市子课题组带去了一节研究课，课题是人教A版《算法》起始课，研究课由陈海玲老师执教。该课按照总课题组研究制定的《课堂教学设计》体例和要求进行设计，经过集体研讨、试教和三次修订。算法起始课开设后，课题组成员对做了评析，指出了这节课存在的问题，其中有些还是十分严重的问题。整理、研究了课题组各位专家的评析后，我们对这节课进行了反思。二．算法起始课过程简介为能清楚地表达我们的反思，先简单介绍本节课的教学过程。借助教材章头图引出课题投影人教A版算法一章的章头图。陈老师：请同学们看教材的章头图。前景放着算筹、算盘和计算机，是什么把这三者联系在一起？是算法！从本节课开始我们将学习算法的有关知识。（二）兴趣设景，初识算法：问题1：一个农夫带着一条狼、一头山羊和一篮蔬菜要过河,但只有一条小船.乘船时,农夫只能带一样东西.当农夫在场的时候,这三样东西相安无事.一旦农夫不在,狼会吃羊,羊会吃菜.请设计一个方案,使农夫能安全地将这三样东西带过河.在师生对话中，通过电脑演示：得出解决该问题的步骤：第一步，农夫带羊过河.第二步,农夫独自回来.第三步，农夫带狼过河.第四步，农夫带羊回来.第五步，农夫带蔬菜过河.第六步，农夫独自回来.第七步，农夫带羊过河.陈老师：这里解决问题的步骤就是解决该问题的一种算法。至此，让学生对算法有了初步认识。（三）借助解决问题，引入算法概念:问题2:“鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问：雉兔各几何？”师生活动：得出：第一步，设有只鸡，只兔，第二步，列方程：第三步，解方程组得：，第四步，答：笼子里有鸡23只，兔12只。陈老师：从上述解决问题的过程看，解决问题可以分若干步来完成：第一步，设.第二步，列.第三步，解.第四步，答.这四个步骤构成了一般的列方程解应用题的算法。问题3：你能写出求解二元一次方程组：的步骤吗？教师提出问题，让学生把求解过程一步步地表达出来。得第一步：得：–2y=–24,第二步：解得,第三步：(1)4–(2)得：2x=46,第四步：解得x=23,第五步：得到方程组的解陈老师小结如下：1.以上求解的步骤就是解二元一次方程组的算法.2.本题的算法也适合一般的二元一次方程组的解法.3．在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题。通常把这些步骤称为解决这些问题的算法．问题4：写出求方程组解的步骤。这是在复习解具体二元一次方程组基本步骤的基础上安排的，因此，易于得到：求解过程的步骤。第一步，，得.第二步，解，得.第三步,得.第四步,解,得.第五步,得到方程组的解为:.陈老师：1．本题的步骤就是求一般的二元一次方程组的算法.2．在写出此步骤基础上，我们将上述步骤进一步用计算机能够识别的语言表达出来，并输入计算机，就能用计算机来求解二元一次方程组的解了。陈老师现打开程序，展示程序画面后说：我事先按照上面算法编写了程序，请你们任报数据，我让计算机直接给出方程组的解。此时设计旨在加深学生对算法的了解，感受算法是与计算机相联系的，也体会学习算法的作用与价值。（四）分析归纳，得到算法概念问题5：到底什么是算法？如何表达算法的含义？先让学生在上面体验的基础上，用自己的语言表达对算法概念的理解。在学生回答的基础上，投影出人教A版的算法定义：算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。在此基础上，为帮助学生进一步理解算法的概念，引入了下列问题。问题6(1)写出交换两个大小相同的杯子中的液体(A水、B酒)的一个算法．(2)写出求一元二次方程根的算法.问题6，由学生动手写出算法，在此基础上，教师告诉学生，你们现在写出的算法是算法的自然语言表示。(五)算法应用,体会思想：问题7设计一个算法，判断7是否为质数。陈老师：提出下列问题，旨在帮助学生形成解决该问题的基本步骤，从而自然地完成一个算法的设计，并用自然语言表示出来。1.什么是质数？2.如何判断一个数是不是质数？3.你在回答这个数是不是质数前，你在头脑中经历了怎样的思考、操作过程？在学生回答这些问题的基础上，教师接着提出问题：4.计算机如何判断整除呢?从而引导学生用规范的语言来表达算法.5.能否设计一个算法，判断35是不是质数？6．判断7是否是质数的算法和判断35是否是质数的算法有什么不同？7.任意给定一个大于1的整数n，能否设计一个算法对n是否为质数做出判断？对第7点，学生已知道要判断一个大于2的整数n是否为质数，只要根据质数的定义，用比这个整数小的数去除n，如果它只能被1和本身整除，而不能被其它整数整除，则这个数便是质数，反之就不是质数。在此基础上，帮助学生得出：操作只要用2～（n-1）去除n，而将判断的过程表达出来就形成了解决问题的这样一个算法：第一步，给定大于2的整数n.第二步,用2去除n，得到余数t.若t=0，则2能够整除n,n不是质数,算法结束；否则,进入第三步.第三步,用3去除n，得到余数t.若t=0，则3能够整除n,n不是质数,算法结束，否则,进入第四步.……第（n-1）步,用（n-1）去除n，得到余数t.若t=0，则（n-1）能够整除n,n不是质数,算法结束；否则,n是质数.陈老师：从2～（n-1）都在重复同一件事,因此，可以用递归语言进行表达.在完成上述算法表达的基础上。陈老师小结：1．用自然语言描述一个算法,最便捷的方式就是按解决问题的步骤进行描述,每一步做一件事情.这样描述的算法体现按部就班有序性的特点。2．对于在解决问题过程中反复进行的步骤,可以用递归语言进行描述.用递归语言进行描述时,通常分三个步骤:首先要给一个初始值,接着表达重复做的事情,最后要进行终止判断.3．打开根据上面算法编制的演示程序，由学生报数，计算机解决是否为质数问题。问题8.用二分法设计一个求方程的近似根的算法.教师引导学生回顾二分法求方程近似根的方法，回忆二分法的基本思想，并通过以下一连串问题，引导学生完成二分法求方程近似解的算法。1．二分法求方程近似解是通过求对应函数的近似零点得到的，所以首先要建立函数，而且要有具体精确度要求，因此第一步应该怎么做？2．二分法分的是什么？3．如何确定新区间的端点？4．如何表达出反复二分区间的过程？（引导学生学习用递归语言表达）然后引导学生说出解决该问题的每一个步骤，形成本例算法。解：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过，算法：第一步，令.给定精确度.第二步,给定区间,满足.第三步,取中间点.第四步,若则含零点的区间为;否则含零点的区间为.将新得到的含零点的仍然记为.第五步,判断的长度是否小于或者是否等于０.若是，则是方程的近似解;否则，返回第三步．在得到算法后教师带领学生看书,阅读课本第4页上有关内容,并说明按以上步骤，我们将依次得到课本第4页的表1-1和图。（六）借助问题,归纳小结：将本节的主要内容以问题的形式呈现，让学生通过思考和回答问题，达到回顾和总结的目的．问题9：你能举出更多算法的例子吗？问题10：与一般解决问题的过程相比，你认为算法最重要的特征是什么？三.算法起始课出现的问题：算法起始课开出后，课题组成员进行了评课。归纳评课中各位专家的意见，本节课主要有下列问题：(1)问题选择不当，干扰目标实现如问题1、问题2和问题6（1）等都与本课的教学目标相悖，使用这些问题，不仅干扰了目标的实现，而且使简单问题复杂化，同时也占用了课堂时间，造成教材安排的问题、思考和例题未能真正发挥作用。(2)混淆解法与算法两个概念如问题2的解决过程只是一种解法,问题7中,判断7和35是否为质数也是在解特殊的问题,其过程确实与算法有联系,但根据教材的算法定义，这只是一种解法.（3）教材编写用意未能体现本节课教学设计中的问题3至问题4、问题7和问题8都取自人教A版，教学中我们用了这些问题（例），但没有真正理解编写者的意图，从而未能充分地发挥教材中这些问题（例）具有的作用。(4)教师讲的多,学生活动过少.由于共安排了10个问题,因此，留给学生的思考时间就少了,这使得学生没经过体验、感受就“得到”了结果，没经历操作、思维就“解决”了问题。造成概念形成的不自然，也在无意中放弃了让学生真正感受算法作用，体验算法价值的机会，同时，借助算法起始课教学，培养学生逻辑思维能力的设计也未能安排。这些问题虽然发生在起始课中，但若不加以解决，则会延伸到整章算法教学之中，因此有必要对产生问题的原因作出分析，从而使算法教学能符合教学目标和教学要求。四.出现问题原因分析本节课经过本市一些教师的共同研究，但仍然出现了以上问题，原因何在？概括地分析如下：问题(1)是对教学目标的定位出现了偏差而造成的；问题(2)是对算法知识的理解未到位而产生的；问题(3)是对教材编写的意图未能真正理解而引起的;问题（4）既涉及到教学观方面的问题，也是前面3个问题综合起来必然会导致的结果。具体地分析：选择的入手点是我们对本课所作出的教学设计，由此出发分析出现问题的原因。正是因为教学设计中的内容解析，目标分析和教学问题诊断中已经出现了问题，根据这些形成的教学过程设计也必然会产生问题。1.对算法定义的理解：在教学设计中,我们考虑到,算法至今没有公认的统一定义,因此,在内容与内容解析中引入了两种定义：算法是规则系统一种循序渐进解决问题的过程，尤指一种为在有限步骤内解决问题而建立的可重复应用的计算过程。（概念的内涵广义）在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。（概念的内涵狭义）这里前一段取自网上某篇文章，是所谓的算法广义定义，第二段的定义取自人教A版教材（我们称为狭义定义）。同时,在教学设计的教学问题诊断中,我们提出:本节算法对学生来说并不陌生。生活中很多问题是按照指定的要求一步步解决的；小学的四则混合运算所遵循的先乘除、后加减的规则，括号的处理规则等，都是学生最初接触到的算法实例。初中学习的方程组的解法等，也是算法的典型体现。高中学习的必修1中求函数零点的二分法的解题步骤、必修5中线性规划的解题规律等更成了算法的经典问题。还有数列的求和、质数的判定、最大公约数和最小公倍数的求法等，都涉及到算法。基本这些理解,使得算法起始课出现下列三项偏差：(1)泛化概念：教学设计时，我们根据算法的广义定义引入了问题1、问题6（1），试图表明算法并不神秘，也表明算法思想有着广泛的应用。但由问题1入门，会使学生形成的算法概念未能紧扣教材给出的算法概念，会使学生建立的算法概念出现泛化，即看到“算法”会联想到“农夫狼羊菜”之类问题，不仅占有了课堂教学用时，而且会造成对算法特征、作用和基本结构的忽视。(2)冲淡概念：问题2至问题3是由“鸡兔同笼”问题带出特殊的二解一次方程组求解问题，设计时我们认为：这样可以给学生两次接触算法的情境，一是解决应用问题的过程是一种算法，二是解特殊的二元一次方法组的解法就是算法。设计依据算义的广义定义，似乎源于教材又开发了教材，但教学实施中造成了新的问题：不仅占用了课堂教学用时，剥夺了学生概念形成前对概念内涵的感受，而且，做了一件简单问题复杂化的事，把原本可以在解决特殊二元一次方程组后，借助教材思考，引出一般二元一次方程算法的过程延长了，而这样设计下的延长，仅突出了“步骤”，而没涉及算法概念中存在的其它要素，无疑冲淡了学生对算法概念的认识。(3)混淆概念：两种定义的引入,无意中淡化了课本的定义,使得教学中未能扣住教材定义中“解决某一类问题”和“通常可以编成计算机程序”等关键词，把问题1、问题2等问题的解法都称为了算法，造成特殊问题的解法与一般问题的算法混为一谈。2．对算法作用的理解在内容与内容解析中，我们缺少对算法引入意义的解析，因此，教学设计时，用了章头图，但未能真正发挥该图的教育、教学价值。同时，尽管采用了教材中的所有问题，但没有设计情境，让学生感受算法的作用、价值和优势。3．对教学重点的理解在我们的教学设计中,经过目标解析和教学问题诊断后认为：本节课教学重点是通过实例让学生体会算法思想，会用自然语言表达一些具体问题的算法。基于这样的认识:为突出重点，我们在教学设计中，引入的问题都围绕着让学生体会算法思想，如问题1至问题4都有这样的用意,在概念引出后安排的各个问题中,一方面保持着这一要求,另一方面也是促进学生学会用自然语言表示算法,8个问题构成的问题链中，似乎扣住了重点,但深入剖析问题就出现了：算法思想是重要的，但不是起始课一节课就能形成的，把教学重点放在这里，显然偏离了本节课的目标，放弃了应该重点抓住的算法概念形成,用自然语言描述算法这两项任务,可谓是该做的事没做好，做不了的事则做了。又由于安排了各方面共8个问题,造成教学过程中,教师讲得多,学生思考不充分,从而使学生失去了概念形成前充分感知概念内涵的机会,既造成了学生形成的算法概念泛化,也未能创设情境使学生发现算法特征。也由于安排的问题过泛,造成教学中，丧失了利用算法教学材料训练学生逻辑思维能力的时机。会用自然语言描述算法，是本节课的一项重点，但在用自然语言描述的过程中，有使学生体会算法特征，理解算法概念的任务，也有使用学生了解算法内在的基本逻辑结构的任务，更有使学生进行逻辑思维能力培养的作用。这些目标显然没有挖掘出来。4．对教学难点的理解在教学设计中,我们进行了教学问题诊断后提出：教学难点是对算法概念的理解和对算法的描述，尤其是对循环问题的递归语言表达，由于学生初次接触，更加难以掌握。基本这一定位,教学设计时,不仅使用了教材中的所有问题(例题),还引入了其它问题,其中大部分是我们认为与学生生活相近的或容易理解的问题,如问题1、问题2和问题6(1)等.难点的确定是从学生学习角度分析得出的，采用上面问题是想要借助学生熟悉的问题来帮助学生克服难点，但实际教学中，新增了这些问题无疑使教学过程中的“问题链”增长，教师讲解用时过多，学生思维活动时间减少，这种操作怎能帮助学生克服难点呢？其次，这些问题的引入，是似乎是破除了算法的“神秘感”，但也曲解了算法概念。“循环问题的递归语言表达”是本节课中必定要碰到问题，学生初次接触这类问题，会感到不知所措，因此，必需要给学生充分体验、尝试的机会，让学生先感知它，认识它背后的循环结构，但教学设计中沉长的“问题链”没能创设这种思维活动情境。反思中，我们也明白了，我们解决难点的教学方式与真正能够有效解决教学难点的教学方式是南辕北辙的。这里既有我们对算法知识理解的问题，也有我们教学观方面的问题。综合上面分析，追究问题出现的本源，主要是我们对算法知识理解出现了问题。算法对我们讲是全新的章节，教师们不会受经验影响造成教学过深、过宽等现象，但也会因为对算法知识体系、结构等的理解出错，造成教学偏离目标。五．反思所得：因为有了这节研究课，也因为有了专家的评课，才使我们通过反思，对算法和算法教学有了新的认识。1．人教A版采用的算法定义实际为算法的起始课提供了一个标尺，由定义出发，容易理解算法与解法的联系与区别：解法是“授之以鱼”，即是对某个特定问题的解决过程，或者说解法是解决某一个问题的步骤，解法一般要有答案。算法是“授之以渔”，即是解决某一类问题的步骤，而且是实现人机联系的方法，有着明确性、有限性和有序性等特征，算法不一定要有答案(可以交给计算机解决)。由此出发，在问题选择时，就会扣住“解决某一类问题”，“能用计算机解决”这些基本要素，就不会采用哪些无关的、会冲淡目标实现的问题。教学中也能挖掘材料的价值，揭示算法特征，展现算法的作用。2．本节课有两项主要任务，1）在迁移特殊问题的解法得出一般问题解法的过程中，让学生理解算法的概念,2）在由特殊问题的解法得出一般问题算法的过程中，学会用自然语言描述算法.在这两个过程中，学生的原有的经验与体验往往会分隔两者的联系或混淆两者的区别，因此，本节课的教学难点会发生在：学生从关注特殊问题的解法转到关注解决一般问题的结构的过程中。由此出发，教学中在由特殊到一般的过程中，必需要给学生较充分的思维时间，要设计相应的问题，使学生的思维有效。要知道难点不是靠题海来解决的，因此，需要重视教材，教材中虽然只有三组问题，但可以给学生提供好的活动情境，如果用好了，难点就会自然解决。3．本节课是概念课，而概念的形成需要“延迟”,需要先给学生思维活动的机会，让学生充分感知概念的内涵，从而使概念形成水到渠成。算法概念没有统一的定义，因此，需要创设条件，使学生从概念的特征方面去真正理解概念。由此出发，教学过程设计中的“问题链”要围绕上述要求进行，使“问题链”能产生学生有效的思维活动，能一环一环相扣，引导学生理解算法概念。4．算法起始课，需要让学生了解算法的作用，体会算法的价值。中西古代数学有明显的不同，古希腊数学是演绎数学，由演绎产生的数学，成为人类进步的工具，而中国古代数学十分重视算法，是能解决具体问题的数学。在算盘代替算筹，计算机代替算盘的进程中，工具变化了，但算法不仅保留下来了，而且更显示出其优越性。算法是解决一类问题的方法，是联系人脑与计算机的桥梁，正是有了算法，我们才能进入信息社会。由此出发，教学设计时，就会充分发挥好章头图的作用，开启其文化功能，融入教学过程。5．算法引入新课程，确实在于它是与时俱进中不可缺少的数学知识，同时，它也是培养学生逻辑思维能力的重要载体。而能力的培养是“教”不会的，需要给学生创设情境，通过亲历问题解决来实现，教师的作用就是在“问题链”的设计中，借题创景，提供学生亲历的机会。上述认识如何实现？在反思中，我们也得到了这样的结论：人教A版教材在本节的编写中，已经提供了实现上述要求的可能，关键是能否理解教材编写的意图，用好教材.人教A版教材起始课共设计了三个从特殊到一般的问题(例),第一个,即上面问题3到问题4，第二个即上面的问题7，第三个是上面的问题8。从解决特殊问题的解法，提练出解决一般问题的算法是三个问题的共性，但三个问题又有着各自的侧重，发挥着不同的作用。由问题3的解法，可以发现加减消元法存在着结构上的重复（求x与求y结构相同），由此，在教材思考的引导下，学生容易得出问题4的解法。在学生活动的基础上，把问题4的解法定义为算法，学生能体会解法与算法的区别，能感受到算法并不神秘，也能理解算法定义中的一些要素，从而对算法概念有了大致的了解。问题7中，如果让学生先探索特殊问题的解法，很容易发现解决问题中有重复的过程，也能以此为基础，实现特殊到一般的过渡，同时，也能发现从特殊到一般时，这个重复过程仍然保持着，此时，学生经历了感知算法内涵的过程，形成了一个十分有利于促进理解算法概念及其特征的情境，此外，也使学生体验了逻辑思维，经历了观察、发现。在由特殊进入一般时，类比特殊问题的解法，写出步骤，会出现省略号。教师此时追问：计算机能看懂省略号吗？这既可以促使学生理解定义中，为什么要涉及到计算机，也可以引出算法明确性的特征。教师继续设问：对重复的过程，算法可以如何表示？这就非常自然地涉及循环结构问题，在得出问题的算法后，一方面，可以使学生理解算法的作用，算法比解法优越之处，也能使学生体会算法为什么在信息时代能重新得到重视，为什么能成为高中必修知识之一，另一方面，也自然显示出了算法的顺序性，明确性和有限性的特征，使学生进一步理解算法的概念。问题解决后，教师可以与学生共同小结。归纳了下列所得：1）解决该类问题的算法确实优于解决特殊问题的解法；2）有了解决该类问题的算法，虽然我们没有当场看到结果，但其结果的出现可以由计算机来完成；3）算法的三个特征。问题8面上讲是解一个特殊的一元二次方程的近似根,但实际得出的是解一般的一元高次方程一个近似根的算法.由特殊问题入手，可以帮助学生回忆高一所学的“二分法”，在此基础上，教师可以先不给精度要求，组织学生试用自然语言写出算法，在学生体验到，二分法操作可以使根存在的区间越来越小时，教师追问：若不加控制会如何？此时，学生容易理解，为什么需要引入控制量？学生也会有指向地学习如何进行控制？这样设计的学生活动，可以使学生结合问题运用逻辑思维，可以使学生在尝试中学习用自然语言描述算法，更可以使学生亲历体验产生问题，从而带着需要解决的问题接受新知。在这样的设计下，解决问题的过程就是解决问题的算法的形成过程，暴露这一过程，体验这一过程，能促进学生面对问题，有方法、有途径去得出算法。以上实际是问题8含有的重要功能。同时，本问题也自然涉及到算法的特征：明确性、有限性和有序性，若能借题发挥，能促进学生理解算法概念，认识算法作用。此外，问题7和问题8在得出算法的过程中，已经出现了算法的基本逻辑结构，如顺序、条件分支和循环，这虽然不是本节课要完成的教学任务，但此时自然地出现后的揭示是十分需要的，是这两个问题可以开发的另一个点。一是由于后续的算法学习，侧重的是问题中存在的算法结构，因此，揭示可以起铺垫作用，二是，揭示算法的基本逻辑结构，必然涉及到算法的条件、循环结构，故需要引入计数变量，从而借助循环简捷地表示重复出现的量，这显示了算法独有并擅长的功能。由此，足以说明算法的作用、优势，也能使学生认识到为什么要学习算法。人教A版算法起始课的内容，简言之：有三组“特殊到一般”的问题，解决特殊问题的过程中不在于仅仅得到解，而在于借助解法的迁移得到一般问题的算法；不在于关注特殊问题能得出解，而在于借助解决特殊问题让学生生产思维活动，为解决一般问题，暴露障碍,生产疑问提供条件。这是教学设计中，选择问题，用好问题的依据。同时，我们也更明确了下面观点：在解决问题时，不需要