广东高考数学(理)一轮题库33导数的应用

匠心文档，专属精选。第3讲导数的应用(二)一、选择题1．若函数yfxfx有实根”是“fx)有极值”的()．＝()可导，则“′()＝0(A．必需不充分条件B．充分不用要条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件答案A2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()．A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)分析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以＝4a2－4×3(a＋6)＞0，解得a＜－3或a＞6.答案B3．设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝x·f′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()．A．f(1)与f(－1)B．f(－1)与f(1)C．f(－2)与f(2)D．f(2)与f(－2)分析由图象知f′(2)＝f′(－2)＝0.∵x>2时，y＝x·f′(x)>0，∴f′(x)>0，∴y＝f(x)在(2，＋∞)上单一递加；同理f(x)在(－∞，－2)上单一递加，在(－2,2)上单一递减，y＝f(x)的极大值为f(－2)，极小值为f(2)，应选C.答案C．设a∈，函数fx＝x－x的导函数是f′(x，且f′(x是奇函数．若e＋a·e4R()))曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是3)，则切点的横坐标为(2A．ln2B．－ln2C.ln2D.－ln222匠心教育文档系列1匠心文档，专属精选。分析fxxa－x，这个函数是奇函数，因为函数fx)在0处有定义，′()＝e－e(所以f′(0)＝0，故只好是a＝1.此时f′(x)＝ex－e－x，设切点的横坐标是x0x0－e－x03x02x0x0－2)(2ex0＋1)＝0，只，则e＝2，即2(e)－3e－2＝0，即(e能是x0＝，解得x0＝ln2.正确选项为A.e2答案A．设函数f(x＝ax2＋bx＋ca，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极5)(值点，则以下图象不行能为y＝f(x)的图象是()．分析若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则易得a＝c因选项、B的.A函数为fx＝ax＋1)2，则f(xx]′＝f′(x)ex＋fxx′＝ax＋1)(x()([)e()(e)(＋3)ex，∴x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，知足条件；选项C中，对称b轴x＝－a＞0，且张口向下，∴a＜0，b＞0，∴f(－1)＝2a－b＜0，也知足2条件；选项D中，对称轴bx＝－a＜－1，且张口向上，∴a＞0，b＞2a，2f(－1)＝a－b＜，与图矛盾，故答案选D.∴20答案D．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1，2，且1∈－，－1]，26xx[2x∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是()．A.－3，3B.3，622C．[3,12]D.－3，122分析因为f(x)有两个极值点x1，x2，所以f′(x)＝3x2＋4bx＋c＝0有两个根x1，2，且x1∈[－，－1]，2x2xf′－2≥0，∈[1,2]，所以f′－1≤0，即f′1≤0，f′2≥0，匠心教育文档系列2匠心文档，专属精选。12－8b＋c≥0，3－4b＋c≤0，3＋4b＋c≤0，12＋8b＋c≥0，画出可行域以下图．因为f(－1)＝2b－c，由图知经过点A(0，－3)时，f(－1)获得最小值3，经过点C(0，－12)时，f(－1)获得最大值12，所以f(－1)的取值范围为[3,12]．答案C二、填空题．函数f(x＝x2－2lnx的最小值为________．7)分析由f′(x22又x＞，所以x＝因为＜x＜时，)＝2x－＝，得x＝1.1.1x000′(x)＜0，x＞1时f′(x)＞0，所以当x＝1时，f(x)取极小值(极小值独一)也即最小值f(1)＝1.答案18．若fx＝x3＋ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围()3________．分析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由已知条件>0，即36a2－36(a＋2)>0，解得a<－1，或a>2.答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)9．已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰巧与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单一递减，则实数t的取值范围是________．分析由题意知，点(－1,2)在函数f(x)的图象上，故－m＋n＝2.①又f′(x)＝3mx2＋2nx，则f′(－1)＝－3，故3m－2n＝－3.②联立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x3＋3x2，令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，则[t，t＋1]?[－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0，匠心教育文档系列3匠心文档，专属精选。所以t∈[－2，－1]．答案[－2，－1]．已知函数f(x)＝1－x＋lnx，若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a10ax的取值范围为________．1－xax－1分析∵f(x)＝ax＋lnx，∴f′(x)＝ax2(a>0)，ax－1∵函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f′(x)＝ax2≥0对x∈[1，＋∞)恒成1立，∴ax－1≥0对x∈[1，＋∞)恒建立，即a≥x对x∈[1，＋∞)恒建立，∴a≥1.答案[1，＋∞)三、解答题11．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处获得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过(1,0)，(2,0)点，以下图．求x0的值；求a，b，c的值．分析(1)由f′(x)随x变化的状况x(－∞，1)1(1,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋可知当x＝1时fx取到极大值，则x0＝1()5(2)f′(x＝ax2＋bx＋c，a)32>0由已知条件x＝，x＝2为方程ax2＋bx＋c＝，1320a＋b＋c＝5，b的两根，所以－3a＝3，解得a＝，b＝－，c＝12.29c3a＝2，12．某商场销售某种商品的经验表示，该商品每天的销售量y(单位：千克)与销匠心教育文档系列4匠心文档，专属精选。售价钱x(单位：元/千克)知足关系式y＝x－a3＋10(x－6)2，此中3<x<6，a为常数．已知销售价钱为5元/千克时，每天可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确立销售价钱x的值，使商场每天销售该商品所获取的收益最大．a解(1)因为x＝5时，y＝11，所以2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每天的销售量y＝x－23＋10(x－6)2.所以商场每天销售该商品所获取的收益f(x)＝(x－3)2＋10x－62x－3＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.进而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况以下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单一递加极大值42单一递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)获得最大值，且最大值等于42.答：当销售价钱为4元/千克时，商场每天销售该商品所获取的收益最大．a3213．设函数f(x)＝3x＋bx＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两根分别为1,4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的分析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．解由f(x)＝a3x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，a＋2b＋c－9＝0，所以(*)16a＋8b＋c－36＝0，匠心教育文档系列5匠心文档，专属精选。2b＋c－6＝0，(1)当a＝3时，由(*)式得8b＋c＋12＝0，解得b＝－3，c＝12.又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.a32(2)因为a>0，所以f(x)＝3x＋bx＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点等价于f′(x)ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒建立．由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)，a>0，得a∈[1,9]．由a－9≤0＝9a－1即a的取值范围是[1,9]．．已知函数知足x－1－f(0)x＋1214f(x)f(x)＝f′(1)e2x.(1)求f(x)的分析式及单一区间；12(2)若f(x)≥2x＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．解(1)由已知得f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋x.所以f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即f(0)＝1.又f(0)＝f′(1)e－1，所以f′(1)＝e.进而f(x)＝ex－x＋12x2.因为f′(x)＝ex－1＋x，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.进而，f(x)在(－∞，0)上单一递减，在(0，＋∞)上单一递加．(2)由已知条件得ex－(a＋1)x≥b.①1－b若a＋1<0，则对随意常数b，当x<0，且x<a＋1时，可得ex－(a＋1)x<b，所以①式不建立．若a＋1＝0，则(a＋1)b＝0.若a＋1>0，设g(x)＝ex－(a＋1)x，则g′(x)＝ex－(a＋1)．当x∈(－∞，ln(a＋1))时，g′(x)<0；匠心教育文档系列6匠心文档，专属精选。当x∈(ln(a＋1)，＋∞)时，g′(x)>0.进而g(x)在(－∞，ln(a＋1))上单一递减，在(ln(a＋1)，＋∞)上单一递加．故g(x)有最小值g(ln(a＋1))＝a＋1－(a＋1)ln(a＋1)．12所以f(x)≥2x＋ax＋b等价于b≤a＋1－(a＋1)·ln(a＋1)．②所以(a＋1)b≤(a＋1)