最优化一维搜索方法课件

第三章一维搜索方法3.3一维搜索的试探法3.1搜索区间的确定3.2区间消去法原理3.4一维搜索的插值法第三章一维搜索方法3.3一维搜索的试探法3.1搜索区1求解一维目标函数f(X)最优解的过程，称为一维优化(一维搜索)，所使用的方法称为一维优化方法。由前数值迭代法可知，求某目标函数的最优值时，迭代过程每一步的格式都是从某一定点X(k)

出发，沿着某一使目标函数下降的规定方向S(k)搜索，以找出此方向的极小点X(k+1)

。这一过程是各种最优化方法的一种基本过程。一维搜索方法一般分两步进行：

■

首先确定一个包含函数极小点的初始区间，即确定

函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；

■然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，

最终求出该搜索区间内的一维极小点。§3.1搜索区间的确定求解一维目标函数f(X)最优解的过程，称为一维优化(一维2根据函数的变化情况，可将区间分为单峰区间和多峰区间。所谓单峰区间，就是在该区间内的函数变化只有一个峰值，即函数的极小值。

即在单峰区间内的极小值点X*的左侧：函数呈下降趋势，而在单峰区间内的极小值点X*

的右侧：函数呈上升趋势。也就是说，单峰区间的函数值呈“高-低-高”的变化特征。§3.1搜索区间的确定x*abx0f(x)根据函数的变化情况，可将区间分为单峰区间和多峰区间。所谓单峰3

目前在一维优化搜索中确定单峰区间常用的方法是进退试算法。

进退试算法的基本思想为：

1)按照一定的规律给出若干试算点，

2)依次比较各试算点的函数值的大小，

3)直到找到相邻三点函数值按“高-低-高”

变化的单峰区间为止§3.1搜索区间的确定目前在一维优化搜索中确定单峰区间常用的方法是进退试算法。4

进退试算法的运算步骤如下：(2)将α0及α0+h代入目标函数f(x)进行计算并比较大小(1)给定初始点α0和初始步长h§3.1搜索区间的确定f(x)x0aba0f(a0)a0+hf(a0+h)a0+3hf(a0+3h)f(x)x0aba0-hf(a0-h)a0f(a0)a0+hf(a0+h)进退试算法的运算步骤如下：(2)将α0及α0+h代入目标5若f(α0+h)≤f(α0+3h)，则所计算的相邻三点

的函数值已具“高-低-高”特征，这时可确定搜索区间

(3)若f(α0)>f(α0+h)，则表明极小点在试算点

的右侧，需做前进试算。

否则，将步长再加倍，并重复上述运算。§3.1搜索区间的确定在做前进运算时，为加速计算，可将步长h

增加2倍，并取计算新点为α0+h+2h=α0+3h若f(α0+h)≤f(α0+3h)，则所计算的相邻三6

(4)若f(α0)<f(α0+h)，则表明极小点在试算点

的左侧，需做后退试算。在做后退运算时，应将步长变为-h

，并从

点出α0发，得到后退点为α0-h

若f(α0-h)>f(α0)，则搜索区间可取为否则，将步长加倍，继续后退，重复上述步骤，直到满足单峰区间条件为止。§3.1搜索区间的确定(4)若f(α0)<f(α0+h)，则表明极小点在7f(b1)f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)af(a1)搜索区间确定之后，采用区间消去法逐步缩短搜索区间，找到极小点的数值近似解。假定在搜索区间内[a,b]任取两点a1、b1,且a1<b1f1＝f（a1），

f2＝f（b1）一、基本思想a1a1

a1

b1baabb

b1b1§3.2区间消去法原理f1>f2

f1<f2

f1=f2

f(x)

f(x)

f(x)

f(b1)f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)af(a18(1)f1<f2,新区间为[a,b1](2)f1>f2,新区间为[a1,b](3)f1=f2,新区间为[a1,b1]对于上述缩短后的新区间，可在其内再取一个新点，然后将此点和该区间内剩下的那一点进行函数值大小的比较，以再次按照上述方法，进一步缩短区间，这样不断进行下去，直到所保留的区间缩小到给定的误差范围内，而得到近似最优解。新区间为[a1,b]f(b1)af(a1)

a1

b1bf(b1)f(a1)a1ab

b1f(b1)f(a1)a1bab1(1)f1<f2,新区间为[a,b1]对于上述缩短后的新9一、适用范围

适用于[a,b]区间上的任何单谷函数求极小值问题。对函数除要求“单峰”外不作其他要求，甚至可以不连续。适应面相当广。基本原理为区间消去法§3.3黄金分割法黄金分割法插入两点：f(a2)af(a1)

a1

a2bf(a2)af(a1)

a1b

a2一、适用范围§3.3黄金分割法黄金分割法插入两点：f(a10黄金分割法还要求在保留下来的区间内再插入一点所形成的区间新三段，与原来区间的三段具有相同的比例分布。§3.3黄金分割法λα2α1λ2ab11-λα1α3λ(1-λ)α2λa黄金分割法还要求在保留下来的区间内再插入一点所形成的区间新三11黄金分割法程序框图开始输入a,

b,

,

YN结束YNaf(x2)f(x1)b

x1

x2b

x2f(x2)

x1黄金分割法程序框图开始输入a,b,,12例3-1用黄金分割法求函数f(x)=3x3-4x+2的极小点，

初始点x0=0,步长h=1,精度

ε=0.2。解：1）确定初始区间

x1=x0=0,f1=f(x1)=2

x2=x0+h=0+1=1

f2=f(x2)=1

由于f1>f2,应继续向前探测

x3=

x0+2h=0+2=2

f3=f(x3)=18由于f2<f3,可知初始区间已经找到，即

[a,b]=[x1,x3]=[0,2]§3.3黄金分割法f(x1)=2x1=0f(x2)=1x2=1f(x3)=18x3=2ab例3-1用黄金分割法求函数f(x)=3x3-4x+2的极132）用黄金分割法缩小区间

第一次缩小区间：

x1=0+0.382×(2-0)=0.764,f1=0.282x2=0+0.618×(2-0)=1.236,f2=2.72

由于f1<f2,故新区间[a,b]=[a,x2]=[0,1.236]由于b-a＝1.236>0.2,应继续缩小区间§3.3黄金分割法f(x1)=0.282x1=0.764f(x2)=2.72x2=1.236abb2）用黄金分割法缩小区间§3.3黄金分割法f(x1)=014§3.3黄金分割法第二次缩小区间：令x2=x1=0.764,

f2=f1=0.282

x1=0+0.382×(1.236-0)=0.472,f1=0.317由于f1>f2,故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.472,1.236]由于b-a=1.236-0.472=0.764>0.2,应继续缩小区间f(x1)=0.282x1=0.764f(x2)=2.72x2=1.236abbx2f(x2)x1f(x1)a§3.3黄金分割法第二次缩小区间：f(x1)=0.28215

第三次缩小区间：令x1=x2=0.764,

f1=f2=0.282

x2=0.472+0.618×(1.236-0.472)=0.944,f2=0.747由于f1<f2,故新区间[a,b]=[a,x2]=[0.472,0.944]由于b-a=0.944-0.472=0.472>0.2,应继续缩小区间。§3.3黄金分割法

第四次缩小区间：令x2=x1=0.764,

f2=f1=0.282

x1=0.472+0.382×(0.944-0.472)=0.652,f1=0.223由于f1<f2,故新区间[a,b]=[a,x2]=[0.472,0.764]由于b-a=0.764-0.472=0.292>0.2,应继续缩小区间。第三次缩小区间：§3.3黄金分割法第四次缩小区间：16第五次缩小区间：令x2=x1=0.652,

f2=f1=0.223

x1=0.472+0.382×(0.764-0.472)=0.584,f1=0.262由于f1>f2,故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.584,0.764]因为b-a=0.764-0.584=0.18<0.2,停止迭代。黄金分割法求的的极小点与极小值：

x=0.5×(0.584+0.764)=0.674,f(x)=0.222§3.3黄金分割法求导运算求的极小点与极小值：

x=0.667,f(x)=0.222第五次缩小区间：黄金分割法求的的极小点与极小值：§3.317一、牛顿法§3.4插值方法利用一点的函数值、一阶导数以及二阶导数构造二次多项式。用构造的二次多项式的极小点作为原函数极小点的近似。x*xf(x)

x2φ0(x)

x0f(x)

φ1(x)

x1一、牛顿法§3.4插值方法利用一点的函数值、一阶导数以及18一、牛顿法设f(x)为一个连续可微的函数，则在点x0附近进行泰勒展开并保留到二次项：用二次函数φ(x)的极小点x1作为f(x)极小点的一个近似点。根据极值必要条件:§3.4插值方法xf(x)

x1x2φ0(x)

x*f(x)

φ1(x)

x0一、牛顿法设f(x)为一个连续可微的函数，则在点x0附近进行19即依此类推可得牛顿迭代公式：一、牛顿法§3.4插值方法x2x1x0x*f(x)

f(x)

φ0(x)

φ1(x)

即依此类推可得牛顿迭代公式：一、牛顿法§3.4插值方法x20在x0处用一抛物线φ(x)代替曲线f(x)，相当于用一斜直线φ

′(x)代替曲线f

′(x)。这样各个近似点是通过对作f

′(x)切线求得与轴的交点找到的，所以有时牛顿法又称作切线法。x2x1x0x*f(x)

f(x)

φ0(x)

φ1(x)

f′

(x)

f′

(x)

x*x0φ′1(x)

x2x1在x0处用一抛物线φ(x)代替曲线f(x)，相当于用一斜直21牛顿法程序框图

开始计算，YN给定初始点，误差,令k=0计算，结束牛顿法程序框图开始计算22数值\k

0

1

2

3

435.1667

4.33474

4.03960

4.00066-52

153.35183

32.30199

3.38299

0.0055124

184.33332

109.44586

86.86992

84.04720

5.1667

4.33474

4.03960

4.00066

4.00059

2.1667

0.83196

0.29514

0.03894

0.00007例3-2给定f(x)=x4-4x3-6x2-16x+4，试用牛顿法计算其极小点。给定初始点x0=3，ε=0.001，计算公式：函数的二阶导数：解：函数的一阶导数：§3.4插值方法数值\k0123

优点：1）收敛速度快。

缺点：1）要计算函数的一阶和二阶导数，增加每次迭代的工作量。

2）数值微分计算函数二阶导数，舍入误差将严重影响牛顿法的收敛速度，f

'(x)的值越小问题越严重。

3）牛顿法要求初始点离极小点不太远，否则可能使极小化序列发散或收敛到非极小点。一、牛顿法§3.4插值方法优点：1）收敛速度快。一、牛顿法§3.4插值方法24二、二次插值法（抛物线法）

在给定的单峰区间中，利用目标函数上的三个点来构造一个二次插值函数，以近似地表达原目标函数f(a)，并求这个插值函数的极小点近似作为原目标函数的极小点。

§3.4插值方法f(x)xf1x1f2x2f3x3xpx*二、二次插值法（抛物线法）§3.4插值方法f(x)x25y0xxp1x1x2xpx3xy0x*y1y2ypy3x1x2xpx*y1y2ypyp1y0xxp1x1x2xpx3xy0x*y1y2ypy3x1x26xpxp1x1x2xpx3xy0x*y1y2ypy3x2x3xy0x*y2ypy3yp1xpxp1x1x2xpx3xy0x*y1y2ypy3x2x327构造的二次插值函数曲线通过原函数上的三个点:

解得系数可求得二、二次插值法（抛物线法）§3.4插值方法构造的二次插值函数曲线通过原函数上的三个点:解得系数可28二次插值法程序框图开始计算，YN给定,缩短区间名称置换结束二次插值法程序框图开始计算29x1x2xpx3xy0x*y1y2ypy3x1x2xpx3x0x*yy1y2ypy3x1x2xpx3xy0x*y1y2ypy3x1x2xpx3x30二次插值法程序编制换名方法(1)1)

x2<xp

y2≥yp

y2<ypy2→y1yp→y2xpx1x2x3xy2yp→y3xpx1x2x3xx1x2x3二次插值法程序编制换名方法(1)1)x2<xpy2≥y31二次插值法程序编制换名方法(2)2)

x2>xp

y2≥ypyp→y2y2→y3xpx1x2x3xx3x2

y2<ypyp→y1y2xpx1x2x3xx1二次插值法程序编制换名方法(2)2)x2>xpy2≥32（1）二次插值法只要求f(x)连续，不要求其一阶可微；（2）收敛速度比黄金分割法快，但可靠性不如黄金分割

法好，程序也较长。特点：§3.4插值方法二、二次插值法（抛物线法）（1）二次插值法只要求f(x)连续，不要求其一阶可微；特33例3-3用二次插值法求函数f(X)=3x3-4x+2的极小点，

给定x0=0,ε=0.2。解1）确定初始区间:[a,b]=[0,2]2）用二次插值法逼近极小点相邻三点的函数值:x1=0,x2=1,x3=2;f1=2,

f2=1,f3=18.代入公式：xp＝0.555,fp=0.292例3-3用二次插值法求函数f(X)=3x3-4x+2的极34在新区间，相邻三点的函数值:x1=0,x2=0.555,x3=1;f1=2,f2=0.292,f3=1.

xp=0.607,fp=0.243

由于fp<f2,xp>x2,新区间[a,b]=[x2,b]=[0.555,1]|x2-xp|=|0.555-0.607|=0.052<0.2,迭代终止。

x*=0.607,f*=0.243由于fp<f2,xp<x2,新区间[a,b]=[a,x2]=[0,1]|x2-xp|=|1-0.555|=0.445>0.2,应继续迭代。yp→y2y2→y3xpx3x2x1x2x3xx2x3xp在新区间，相邻三点的函数值:x1=0,x2=0.35第三章一维搜索方法3.3一维搜索的试探法3.1搜索区间的确定3.2区间消去法原理3.4一维搜索的插值法第三章一维搜索方法3.3一维搜索的试探法3.1搜索区36求解一维目标函数f(X)最优解的过程，称为一维优化(一维搜索)，所使用的方法称为一维优化方法。由前数值迭代法可知，求某目标函数的最优值时，迭代过程每一步的格式都是从某一定点X(k)

出发，沿着某一使目标函数下降的规定方向S(k)搜索，以找出此方向的极小点X(k+1)

。这一过程是各种最优化方法的一种基本过程。一维搜索方法一般分两步进行：

■

首先确定一个包含函数极小点的初始区间，即确定

函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间；

■然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，

最终求出该搜索区间内的一维极小点。§3.1搜索区间的确定求解一维目标函数f(X)最优解的过程，称为一维优化(一维37根据函数的变化情况，可将区间分为单峰区间和多峰区间。所谓单峰区间，就是在该区间内的函数变化只有一个峰值，即函数的极小值。

即在单峰区间内的极小值点X*的左侧：函数呈下降趋势，而在单峰区间内的极小值点X*

的右侧：函数呈上升趋势。也就是说，单峰区间的函数值呈“高-低-高”的变化特征。§3.1搜索区间的确定x*abx0f(x)根据函数的变化情况，可将区间分为单峰区间和多峰区间。所谓单峰38

目前在一维优化搜索中确定单峰区间常用的方法是进退试算法。

进退试算法的基本思想为：

1)按照一定的规律给出若干试算点，

2)依次比较各试算点的函数值的大小，

3)直到找到相邻三点函数值按“高-低-高”

变化的单峰区间为止§3.1搜索区间的确定目前在一维优化搜索中确定单峰区间常用的方法是进退试算法。39

进退试算法的运算步骤如下：(2)将α0及α0+h代入目标函数f(x)进行计算并比较大小(1)给定初始点α0和初始步长h§3.1搜索区间的确定f(x)x0aba0f(a0)a0+hf(a0+h)a0+3hf(a0+3h)f(x)x0aba0-hf(a0-h)a0f(a0)a0+hf(a0+h)进退试算法的运算步骤如下：(2)将α0及α0+h代入目标40若f(α0+h)≤f(α0+3h)，则所计算的相邻三点

的函数值已具“高-低-高”特征，这时可确定搜索区间

(3)若f(α0)>f(α0+h)，则表明极小点在试算点

的右侧，需做前进试算。

否则，将步长再加倍，并重复上述运算。§3.1搜索区间的确定在做前进运算时，为加速计算，可将步长h

增加2倍，并取计算新点为α0+h+2h=α0+3h若f(α0+h)≤f(α0+3h)，则所计算的相邻三41

(4)若f(α0)<f(α0+h)，则表明极小点在试算点

的左侧，需做后退试算。在做后退运算时，应将步长变为-h

，并从

点出α0发，得到后退点为α0-h

若f(α0-h)>f(α0)，则搜索区间可取为否则，将步长加倍，继续后退，重复上述步骤，直到满足单峰区间条件为止。§3.1搜索区间的确定(4)若f(α0)<f(α0+h)，则表明极小点在42f(b1)f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)af(a1)搜索区间确定之后，采用区间消去法逐步缩短搜索区间，找到极小点的数值近似解。假定在搜索区间内[a,b]任取两点a1、b1,且a1<b1f1＝f（a1），

f2＝f（b1）一、基本思想a1a1

a1

b1baabb

b1b1§3.2区间消去法原理f1>f2

f1<f2

f1=f2

f(x)

f(x)

f(x)

f(b1)f(a1)f(b1)f(a1)f(b1)af(a143(1)f1<f2,新区间为[a,b1](2)f1>f2,新区间为[a1,b](3)f1=f2,新区间为[a1,b1]对于上述缩短后的新区间，可在其内再取一个新点，然后将此点和该区间内剩下的那一点进行函数值大小的比较，以再次按照上述方法，进一步缩短区间，这样不断进行下去，直到所保留的区间缩小到给定的误差范围内，而得到近似最优解。新区间为[a1,b]f(b1)af(a1)

a1

b1bf(b1)f(a1)a1ab

b1f(b1)f(a1)a1bab1(1)f1<f2,新区间为[a,b1]对于上述缩短后的新44一、适用范围

适用于[a,b]区间上的任何单谷函数求极小值问题。对函数除要求“单峰”外不作其他要求，甚至可以不连续。适应面相当广。基本原理为区间消去法§3.3黄金分割法黄金分割法插入两点：f(a2)af(a1)

a1

a2bf(a2)af(a1)

a1b

a2一、适用范围§3.3黄金分割法黄金分割法插入两点：f(a45黄金分割法还要求在保留下来的区间内再插入一点所形成的区间新三段，与原来区间的三段具有相同的比例分布。§3.3黄金分割法λα2α1λ2ab11-λα1α3λ(1-λ)α2λa黄金分割法还要求在保留下来的区间内再插入一点所形成的区间新三46黄金分割法程序框图开始输入a,

b,

,

YN结束YNaf(x2)f(x1)b

x1

x2b

x2f(x2)

x1黄金分割法程序框图开始输入a,b,,47例3-1用黄金分割法求函数f(x)=3x3-4x+2的极小点，

初始点x0=0,步长h=1,精度

ε=0.2。解：1）确定初始区间

x1=x0=0,f1=f(x1)=2

x2=x0+h=0+1=1

f2=f(x2)=1

由于f1>f2,应继续向前探测

x3=

x0+2h=0+2=2

f3=f(x3)=18由于f2<f3,可知初始区间已经找到，即

[a,b]=[x1,x3]=[0,2]§3.3黄金分割法f(x1)=2x1=0f(x2)=1x2=1f(x3)=18x3=2ab例3-1用黄金分割法求函数f(x)=3x3-4x+2的极482）用黄金分割法缩小区间

第一次缩小区间：

x1=0+0.382×(2-0)=0.764,f1=0.282x2=0+0.618×(2-0)=1.236,f2=2.72

由于f1<f2,故新区间[a,b]=[a,x2]=[0,1.236]由于b-a＝1.236>0.2,应继续缩小区间§3.3黄金分割法f(x1)=0.282x1=0.764f(x2)=2.72x2=1.236abb2）用黄金分割法缩小区间§3.3黄金分割法f(x1)=049§3.3黄金分割法第二次缩小区间：令x2=x1=0.764,

f2=f1=0.282

x1=0+0.382×(1.236-0)=0.472,f1=0.317由于f1>f2,故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.472,1.236]由于b-a=1.236-0.472=0.764>0.2,应继续缩小区间f(x1)=0.282x1=0.764f(x2)=2.72x2=1.236abbx2f(x2)x1f(x1)a§3.3黄金分割法第二次缩小区间：f(x1)=0.28250

第三次缩小区间：令x1=x2=0.764,

f1=f2=0.282

x2=0.472+0.618×(1.236-0.472)=0.944,f2=0.747由于f1<f2,故新区间[a,b]=[a,x2]=[0.472,0.944]由于b-a=0.944-0.472=0.472>0.2,应继续缩小区间。§3.3黄金分割法

第四次缩小区间：令x2=x1=0.764,

f2=f1=0.282

x1=0.472+0.382×(0.944-0.472)=0.652,f1=0.223由于f1<f2,故新区间[a,b]=[a,x2]=[0.472,0.764]由于b-a=0.764-0.472=0.292>0.2,应继续缩小区间。第三次缩小区间：§3.3黄金分割法第四次缩小区间：51第五次缩小区间：令x2=x1=0.652,

f2=f1=0.223

x1=0.472+0.382×(0.764-0.472)=0.584,f1=0.262由于f1>f2,故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.584,0.764]因为b-a=0.764-0.584=0.18<0.2,停止迭代。黄金分割法求的的极小点与极小值：

x=0.5×(0.584+0.764)=0.674,f(x)=0.222§3.3黄金分割法求导运算求的极小点与极小值：

x=0.667,f(x)=0.222第五次缩小区间：黄金分割法求的的极小点与极小值：§3.352一、牛顿法§3.4插值方法利用一点的函数值、一阶导数以及二阶导数构造二次多项式。用构造的二次多项式的极小点作为原函数极小点的近似。x*xf(x)

x2φ0(x)

x0f(x)

φ1(x)

x1一、牛顿法§3.4插值方法利用一点的函数值、一阶导数以及53一、牛顿法设f(x)为一个连续可微的函数，则在点x0附近进行泰勒展开并保留到二次项：用二次函数φ(x)的极小点x1作为f(x)极小点的一个近似点。根据极值必要条件:§3.4插值方法xf(x)

x1x2φ0(x)

x*f(x)

φ1(x)

x0一、牛顿法设f(x)为一个连续可微的函数，则在点x0附近进行54即依此类推可得牛顿迭代公式：一、牛顿法§3.4插值方法x2x1x0x*f(x)

f(x)

φ0(x)

φ1(x)

即依此类推可得牛顿迭代公式：一、牛顿法§3.4插值方法x55在x0处用一抛物线φ(x)代替曲线f(x)，相当于用一斜直线φ

′(x)代替曲线f

′(x)。这样各个近似点是通过对作f

′(x)切线求得与轴的交点找到的，所以有时牛顿法又称作切线法。x2x1x0x*f(x)

f(x)

φ0(x)

φ1(x)

f′

(x)

f′

(x)

x*x0φ′1(x)

x2x1在x0处用一抛物线φ(x)代替曲线f(x)，相当于用一斜直56牛顿法程序框图

开始计算，YN给定初始点，误差,令k=0计算，结束牛顿法程序框图开始计算57数值\k

0

1

2

3

435.1667

4.33474

4.03960

4.00066-52

153.35183

32.30199

3.38299

0.0055124

184.33332

109.44586

86.86992

84.04720

5.1667

4.33474

4.03960

4.00066

4.00059

2.1667

0.83196

0.29514

0.03894

0.00007例3-2给定f(x)=x4-4x3-6x2-16x+4，试用牛顿法计算其极小点。给定初始点x0=3，ε=0.001，计算公式：函数的二阶导数：解：函数的一阶导数：§3.4插值方法数值\k0158

优点：1）收敛速度快。

缺点：1）要计算函数的一阶和二阶导数，增加每次迭代的工作量。

2）数值微分计算函数二阶导数，舍入误差将严重影响牛顿法的收敛速度，f

'(x)的值越小问题越严重。

3）牛顿法要求初始点离极小点不太远，否则可能使极小化序列发散或收敛到非极小点。一、牛顿法§3.4插值方法优点：1）收敛速度快。一、牛顿法§3.4插值方法59二、二次插值法（抛物线法）

在给定的单峰区间中，利用目标函数上的三个点来构造一个二次插值函数，以近似地表达原目标函数f(a)，并求这个插值函数的极小点近似作为原目标函数的极小点。

§3.4插值方法f(x)xf1x1f2x2f3x3xpx*二、二次插值法（抛物线法）§3.4插值方法f(x)x60y0xxp1x1x2xpx3x