期末复习四-相似三角形课件

A．B．

C．D．

期末复习四相似三角形比例线段例1(1)已知x∶y＝5∶2，则下列各式中不正确的是()A．1(2)已知a＝1，b＝c＝那么()A．a是b、c的比例中项B．c是a、b的比例中项C．b是a、c的比例中项D．以上都不对(3)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为(

)A．12.36cmB．13.6cmC．32.36cmD．7.64cm(2)已知a＝1，b＝c＝2答案：(1)D(2)C(3)A反思：(1)运用比例的性质，要用多种方法解答；(2)利用了比例中项的定义，熟记概念并准确计算是解题的关键；(3)理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段．答案：(1)D(2)C(3)A反思：(1)运用比例的性质3平行线分线段成比例定理例2(1)如图，l1//l2//l3，AM＝2，MB＝3，CN＝1.8，则CD＝________．(2)如图，AB//CD//EF，AC＝2，EC＝3，BD＝3，则BF＝________．平行线分线段成比例定理例2(1)如图，l1//l2//l34答案：(1)4.5(2)7.5反思：在运用平行线分线段成比例定理时，要注意弄清三条平行线截两条直线，所得哪条线段与哪条线段是对应线段，同时要根据需要写出正确的比例式．答案：(1)4.5(2)7.5反思：在运用平行线分线段成比5

相似三角形的判定例3(1)已知，如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.其中，能满足△ABC和△ACP相似的条件是________．(填序号)相似三角形的判定例3(1)已知，如图，在△ABC中，P为6答案：(1)①②③(2)(咸宁中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E.①写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；②选择①中一对加以证明．(2)①△ADE≌△BDE，△ABC∽△BDC；答案：(1)①②③(2)(咸宁中考)如图，在△ABC中，A7②证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD为角平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，在△ADE和△BDE中，∴△ADE≌△BDE(AAS)．∠AED＝∠BEDED＝ED∠A＝∠DBA②证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∠AED＝∠BEDED＝8反思：1.判定两个三角形相似共有四种方法，根据题目的情况灵活运用．选择适当的判定方法判断两个三角形相似时，要注意找准它们的对应关系．证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD为角平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝36°＝∠A.∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.反思：1.判定两个三角形相似共有四种方法，根据题目的情况灵活92．相似三角形的基本图形(1)平行线型：如图，若CD//AB，则有△OCD∽△OAB.2．相似三角形的基本图形(1)平行线型：10(2)斜线型：如图，若∠1＝∠A，则有△OCD∽△OAB；特别是右图中，当△OCD∽△OAB，有OC2＝OA·OD.(2)斜线型：11(3)旋转型：如图，若∠1＝∠2，且OD∶OA＝OC∶OB，或∠1＝∠2，∠D＝∠A，则有△OCD∽△OBA.(3)旋转型：12相似三角形的性质例4(1)(甘南州中考)如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是()A．m＝5B．m＝4C．m＝3D．m＝10相似三角形的性质例4(1)(甘南州中考)如图，在平行四边形13(2)(株洲中考)如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是()答案：(1)BA．B．

C．D．

(2)C(2)(株洲中考)如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂14反思：对应角相等，对应边成比例是相似三角形的本质属性．相似三角形的对应高之比，对应中线之比，对应角平分线之比，周长之比都等于相似比．相似三角形面积之比等于相似比的平方．解题时常需灵活运用这些性质．．反思：对应角相等，对应边成比例是相似三角形的本质属性．相似三15相似三角形的应用例5(武汉中考)已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.(1)如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K.①求的值；②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；相似三角形的应用例5(武汉中考)已知锐角△ABC中，边BC16(2)若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．(2)若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC17答案：(1)①∵EF//BC，∴∴，即

的值是.②∵EH＝x，∴KD＝EH＝x，AK＝8－x，∵，∴EF＝(8－x)，∴S＝EH·EF＝x(8－x)＝－(x－4)2＋24，∴当x＝4时，S的最大值是24.答案：(1)①∵EF//BC，∴18(2)设正方形的边长为a，①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，解得a＝②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝12÷2＝6，∴AB＝AC＝∴AB或AC边上的高等于：AD·BC÷AB＝8×12÷10＝∴

解得综上，可得正方形PQMN的边长是(2)设正方形的边长为a，19反思：会设计利用相似三角形解决问题的方案；会构造(画)与实物相似的三角形；会运用相似三角形的判定、性质进行计算．解答此题的关键是要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．期末复习四-相似三角形课件20圆中的相似图形例6(柳州中考)如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D.(1)求证：△ABE∽△ADC；(2)请连结BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．圆中的相似图形例6(柳州中考)如图，在△ABC中，∠BAC21(2)∵∠BAD＝∠CAD，∴BD=CD∵OD为半径，∴DO⊥BC，∵F为OD的中点，∴OB＝BD，OC＝CD，∵OB＝OC，∴OB＝BD＝CD＝OC，∴四边形OBDC是菱形．答案：(1)∵∠BAC的角平分线AD，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠ABC＝∠ADC，∴△ABE∽△ADC；(((2)∵∠BAD＝∠CAD，∴BD=CD22反思：证明圆中图形的相似问题，常用到圆心角、弧、弦、弦心距之间的相互关系的定理、圆周角定理及逆定理进行角度转换．反思：证明圆中图形的相似问题，常用到圆心角、弧、弦、弦心距之23利用相似三角形解决探究性问题例7如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．(1)求证：△ABE∽△ECM；利用相似三角形解决探究性问题例7如图，在△ABC中，已知24(2)探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；(3)当线段AM最短时，求重叠部分的面积．(2)探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构25答案：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B，又∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE，∴∠CEM＝∠BAE，∴△ABE∽△ECM；答案：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵△ABC≌△DEF26(2)能．∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝6－5＝1，当AM＝EM时，则∠MAE＝∠MEA，∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，即∠CAB＝∠CEA，又∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴∴∴∴BE＝1或(2)能．∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AM27(3)设BE＝x，又∵△ABE∽△ECM，∴即：∴CM＝－∴AM＝5－CM＝∴当x＝3时，AM最短为又∵当BE＝x＝3＝BC时，点E为BC的中点，且AB＝AC，∴AE⊥BC，∴AE＝＝4，此时，EF⊥AC，∴EM＝S△AEM＝(3)设BE＝x，又∵△ABE∽△ECM，∴28反思：此题利用相似三角形的判定与性质、二次函数的最值来探究问题．注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．反思：此题利用相似三角形的判定与性质、二次函数的最值来探究问29A．B．

C．D．

期末复习四相似三角形比例线段例1(1)已知x∶y＝5∶2，则下列各式中不正确的是()A．30(2)已知a＝1，b＝c＝那么()A．a是b、c的比例中项B．c是a、b的比例中项C．b是a、c的比例中项D．以上都不对(3)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为(

)A．12.36cmB．13.6cmC．32.36cmD．7.64cm(2)已知a＝1，b＝c＝31答案：(1)D(2)C(3)A反思：(1)运用比例的性质，要用多种方法解答；(2)利用了比例中项的定义，熟记概念并准确计算是解题的关键；(3)理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段．答案：(1)D(2)C(3)A反思：(1)运用比例的性质32平行线分线段成比例定理例2(1)如图，l1//l2//l3，AM＝2，MB＝3，CN＝1.8，则CD＝________．(2)如图，AB//CD//EF，AC＝2，EC＝3，BD＝3，则BF＝________．平行线分线段成比例定理例2(1)如图，l1//l2//l333答案：(1)4.5(2)7.5反思：在运用平行线分线段成比例定理时，要注意弄清三条平行线截两条直线，所得哪条线段与哪条线段是对应线段，同时要根据需要写出正确的比例式．答案：(1)4.5(2)7.5反思：在运用平行线分线段成比34

相似三角形的判定例3(1)已知，如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.其中，能满足△ABC和△ACP相似的条件是________．(填序号)相似三角形的判定例3(1)已知，如图，在△ABC中，P为35答案：(1)①②③(2)(咸宁中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E.①写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；②选择①中一对加以证明．(2)①△ADE≌△BDE，△ABC∽△BDC；答案：(1)①②③(2)(咸宁中考)如图，在△ABC中，A36②证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD为角平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，在△ADE和△BDE中，∴△ADE≌△BDE(AAS)．∠AED＝∠BEDED＝ED∠A＝∠DBA②证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∠AED＝∠BEDED＝37反思：1.判定两个三角形相似共有四种方法，根据题目的情况灵活运用．选择适当的判定方法判断两个三角形相似时，要注意找准它们的对应关系．证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD为角平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝36°＝∠A.∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.反思：1.判定两个三角形相似共有四种方法，根据题目的情况灵活382．相似三角形的基本图形(1)平行线型：如图，若CD//AB，则有△OCD∽△OAB.2．相似三角形的基本图形(1)平行线型：39(2)斜线型：如图，若∠1＝∠A，则有△OCD∽△OAB；特别是右图中，当△OCD∽△OAB，有OC2＝OA·OD.(2)斜线型：40(3)旋转型：如图，若∠1＝∠2，且OD∶OA＝OC∶OB，或∠1＝∠2，∠D＝∠A，则有△OCD∽△OBA.(3)旋转型：41相似三角形的性质例4(1)(甘南州中考)如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是()A．m＝5B．m＝4C．m＝3D．m＝10相似三角形的性质例4(1)(甘南州中考)如图，在平行四边形42(2)(株洲中考)如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是()答案：(1)BA．B．

C．D．

(2)C(2)(株洲中考)如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂43反思：对应角相等，对应边成比例是相似三角形的本质属性．相似三角形的对应高之比，对应中线之比，对应角平分线之比，周长之比都等于相似比．相似三角形面积之比等于相似比的平方．解题时常需灵活运用这些性质．．反思：对应角相等，对应边成比例是相似三角形的本质属性．相似三44相似三角形的应用例5(武汉中考)已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.(1)如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K.①求的值；②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；相似三角形的应用例5(武汉中考)已知锐角△ABC中，边BC45(2)若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．(2)若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC46答案：(1)①∵EF//BC，∴∴，即

的值是.②∵EH＝x，∴KD＝EH＝x，AK＝8－x，∵，∴EF＝(8－x)，∴S＝EH·EF＝x(8－x)＝－(x－4)2＋24，∴当x＝4时，S的最大值是24.答案：(1)①∵EF//BC，∴47(2)设正方形的边长为a，①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，解得a＝②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝12÷2＝6，∴AB＝AC＝∴AB或AC边上的高等于：AD·BC÷AB＝8×12÷10＝∴

解得综上，可得正方形PQMN的边长是(2)设正方形的边长为a，48反思：会设计利用相似三角形解决问题的方案；会构造(画)与实物相似的三角形；会运用相似三角形的判定、性质进行计算．解答此题的关键是要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．期末复习四-相似三角形课件49圆中的相似图形例6(柳州中考)如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D.(1)求证：△ABE∽△ADC；(2)请连结BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．圆中的相似图形例6(柳州中考)如图，在△ABC中，∠BAC50(2)∵∠BAD＝∠CAD，∴BD=CD∵OD为半径，∴DO⊥BC，∵F为OD的中点，∴OB＝BD，OC＝CD，∵OB＝OC，∴OB＝BD＝CD＝OC，∴四边形OBDC是菱形．答案：(1)∵∠BAC的角平分线AD，∴∠BAE＝∠CAD，∵∠ABC＝∠ADC，∴△ABE∽△ADC；(((2)∵∠BAD＝∠CAD，∴BD=CD51反思：证明圆中图形的相似问题，常用到圆心角、弧、弦、弦心距之间的相互关系的定理、圆周角定理及逆定理进行角度转换．反思：证明圆中图形的相似问题，常用到圆心角、弧、弦、弦心距之52利用相似三角形解决探究性问题例7如图，在△ABC中，