弹塑性力学与有限元课件

力与应力的概念主要内容一点的应力状态主应力与应力张量不变量最大剪应力（主剪应力）偏应力张量（应力张量的分解）八面体应力应力分析应力的Mohr圆平衡微分方程力与应力的概念主要内容一点的应力状态主应力与应力张量不变1应力分析八面体应力八面体平面：通过某点做平面，该平面的法线与三个应力主轴夹角相等。设在这一点取坐标轴与三个应力主轴一致，则等斜面法线的三个方向余弦为：应力分析八面体应力八面体平面：通过某点做平面，该平面的法线2应力分析八面体应力八面体面上的应力向量可分解为两个分量：1)垂直于八面体面的分量，即正应力，它与应力球张量有关，或者说与有关；2)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力，与应力偏张量的第二不变量有关。应力分析八面体应力八面体面上的应力向量可分解为两个分量：1)3应力分析应力的Mohr圆在平面上，三点中的任意两点为直径端点，可作出三个Mohr圆，如右图所示.其半径为：——称为主剪应力，——最大剪应力.应力分析应力的Mohr圆在平面上，4应力分析应力的Mohr圆由右图可见，若在已知应力状态上叠加一个静水压力，其效果仅使三个Mohr圆一起沿轴平移一个距离，该距离等于所叠加的静水应力，并不改变Mohr圆的大小。

τ轴的位置与屈服及塑性变形无关，决定屈服与塑性变形的只是Mohr圆本身的大小。应力分析应力的Mohr圆由右图可见，若在已知应力状态上叠加一5应力分析若将τ轴平移到，并使则：移轴后的三向Mohr圆正是描述应力偏张量的三向Mohr圆，如右图所示。应力的Mohr圆应力分析若将τ轴平移到，并使则：移轴后的三向Mohr6应力分析平衡微分方程微分平行六面体应力分析平衡微分方程微分平行六面体7应力分析平衡微分方程在x=0的面上，应力是

x、xy、xz

在x=dx面上的应力由x方向的平衡应力分析平衡微分方程在x=0的面上，应力是x、xy、8应力分析——平衡（运动）微分方程（Navier方程）平衡微分方程应力分析——平衡（运动）微分方程（Navier方程）平衡微分9应力分析平衡微分方程——静力边界条件应力分析平衡微分方程——静力边界条件101）请完成教材第69～71页的习题：2.1；2.2；2.6；2.7（d）。作业：应力分析1）请完成教材第69～71页的习题：2.1；2.2；2.6；11弹塑性力学与有限元

—应变分析《弹塑性力学与有限元》

弹塑性力学与有限元

—应变分析《弹塑性力学与有限元》12主要内容应变分析应变—位移关系（几何方程）一点的应变状态应变张量主应变偏应变张量（应变张量的分解）八面体应变应变协调方程（连续性方程、相容方程）主要内容应变分析应变—位移关系（几何方程）应变协调方程（连续13本章学习要点：理解变形体内部任意一点处应变状态的基本概念；掌握计算物体内任一点、任意微分面上的主应变及应变主方向的计算公式；理解Cauchy方程和SaintVenant的物理意义，熟练掌握这两个基本方程。应变分析本章学习要点：应变分析14位移—由于外部因素如载荷或温度变化,物体内部各点空间位置发生的变化；如果各点的位移完全相同，物体发生刚体平移；如果各点的位移不同，但各点间的相对距离保持不变，物体发生刚体转动等刚体移动；

应变分析应变—位移关系位移—由于外部因素如载荷或温度变化,物体内部各点空间位置发生15应变分析连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化，则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体被称为有变形或有应变。物体发生位移，应变由位移得到。对物体中足够小的区域，认为该区域的应变是均匀的。应变—位移关系应变分析连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化，则16应变分析线应变——线段的伸长和缩短剪应变——方向的相对改变，即线段之间夹角改变线应变或正应变是指线段的相对伸长量，以线段伸长为正；剪应变以直角的缩小为正。应变—位移关系应变分析线应变——线段的伸长和缩短线应变或正应变是指线17应变—位移关系(几何方程)应变分析设由变形体中取出一个微小六面体（见右图投影），在研究微小六面体的变形时，采用的分析方法是将六面体的各面投影到直角坐标系的各个坐标平面上，研究这些平面投影的变形，并根据这些投影的变形规律来判断整个平行六面体的变形。应变—位移关系(几何方程)应变分析设由变形体中取18应变—位移关系(几何方程)应变分析

设A点的位移是u，w，它们是坐标的函数，因此有：而B点的坐标为（x+dx，y，z），因此B点在x方向的位移为：应变—位移关系(几何方程)应变分析设A点的位移是u，w，19根据泰勒级数展开式，可得：略去高阶项后得到：由于则AB在x轴上的投影的伸长量为，则有：应变—位移关系(几何方程)应变分析同理可得平行于y轴和z的边长的正应变，因此有：根据泰勒级数展开式，可得：略去高阶项后得到：由于20当大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。应变—位移关系(几何方程)应变分析下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。角应变用表示，其值为和之和，即：当大于21应变—位移关系(几何方程)应变分析B点与A点沿Z轴方向的位移之差为:同理可得：所以有剪应变：应变—位移关系(几何方程)应变分析B点与A点沿Z轴方向的位22应变—位移关系(几何方程)应变分析

同理可得另外两个剪应变,即有剪应变的表达式:说明：剪应变的正负号应变—位移关系(几何方程)应变分析同理可得另外两个剪23所以，正应变和剪应变的表达式为：可知：如果已知位移分量可以很简单的求出应变分量；反之，则问题比较复杂。应变—位移关系(几何方程)应变分析所以，正应变和剪应变的表达式为：可知：如果已知位移分量可以很24应变分析一点的应变状态三个方向线元的应变决定该点的应变状态，取与坐标轴相平行的三个方向。应变分析一点的应变状态三个方向线元的应变决定该点的应变状态25应变分析则应变张量为：

通常称为“工程剪应变”一点的应变状态也可以用张量表示，这时引进符号值得注意的是，式中的ɛij，因为ɛij=ɛji,而应变张量应变分析则应变张量为：26应变分析应变张量对称张量张量的剪切应变分量实际的剪切应变工程剪应变和张量剪应变的区别应变分析应变张量对称张量27应变分析类似于应力状态，一定存在三个相互垂直的形变方向，它们所形成的三个直角在形变之后保持为直角（即切应变为零），沿着这三个形变主方向的正应变称为主应变。主应变的概念：一点的应变状态，存在过该点的方向，在该方向上任取微线段PQ，受力后的变形只沿该方向伸长或缩短，则定义此方向为主方向，其应变ε为主应变。主应变和主剪应变应变分析类似于应力状态，一定存在三个相互垂直的形变方向，它们28应变分析将应力计算公式中的应力分量用应变分量替换,例如求主应变的特征方程主应变和主剪应变应变分析将应力计算公式中的应力分量用应变分量替换,例如求主应29对于非零解条件行列式展开得应变分析其中，为应变第一、二、三不变量，其它形式的表达式有：主应变和主剪应变对于非零解条件应变分析其中，为应变第30应变分析主应变和主剪应变应变分析主应变和主剪应变31应变分析工程主剪应变最大值主应变和主剪应变应变分析工程主剪应变主应变和主剪应变32应变分析偏应变张量（应变张量的分解）仿照应力张量分解，应变张量可以分解为与体积变化有关的“球形应变张量”和与物体形状变化有关的“应变偏量”。利用书中（3.43）式可以分解为：球形应变张量为：式中，为平均正应变。应变分析偏应变张量（应变张量的分解）仿照应力张量分解，应变张33应变分析应变偏量可写为：其中，，，称为“应变偏量分量”。偏应变张量（应变张量的分解）纯剪应变状态的条件与纯剪应力状态的条件相同，即纯剪变形的必要且充分条件是，因此，为纯剪状态且与有相同的主轴。应变分析应变偏量可写为：其中，34应变分析偏应变张量（应变张量的分解）应变分析偏应变张量（应变张量的分解）35应变分析偏应变张量（应变张量的分解）若用主应变表示应变偏量，则有式：三个坐标平面为应变主平面在主应变为坐标的应变空间中有：

由应变偏量张量的定义式可见，它是一个实对称二阶张量，因此，存在三个主值及其相应的主方向。可以证明，应变偏量张量的主方向与应变张量的主方向一致，而且它的主值e1，e2，e3与应变张量的主应变存在如左边给出的关系。应变分析偏应变张量（应变张量的分解）若用主应变表示应变偏量，36应变分析体积应变在考虑塑性变形时，经常采用“体积不变”假设，这时球形应变张量为零，应变偏量等于应变张量，即“应变分量与应变偏量的分量相等”，这一假设，对于简化计算带来了方便,下面来研究每单位体积的体积改变，即体积应变：偏应变张量（应变张量的分解）

设有微小的正平行六面体，它的棱边长度是：

变形前它的体积为：变形后它的体积称为：应变分析体积应变偏应变张量（应变张量的分解）设有微小37应变分析偏应变张量（应变张量的分解）因此，它的体积应变为：验证体积不变假设的成立，对于小应变（忽略高阶微量）有：体积应变应变分析偏应变张量（应变张量的分解）因此，它的体积应变为：38应变分析偏应变张量（应变张量的分解）体积应变由此则有：显然，若体积不变，则必有球形应变张量为零成立，且有。在主应变空间：对于小应变有：应变分析偏应变张量（应变张量的分解）体积应变由此则有：显然39应变分析偏应变张量（应变张量的分解）同样，应变偏量增量也存在三个不变量，它们分别表示为：当用张量给出一点的应变状态时，需注意偏应变张量不变量应变分析偏应变张量（应变张量的分解）同样，应变偏量增量也存在40应变分析偏应变张量（应变张量的分解）其三次方程为：偏应变张量不变量应变分析偏应变张量（应变张量的分解）其三次方程为：偏应变张量41应变分析八面体应变八面体正应变八面体剪应变应变分析八面体应变八面体正应变42应变分析应变协调方程（连续性方程、相容方程）

在研究物体变形时，一般都取一个平行六面体进行分析，物体在变形时，各相邻的小单元不能是互相无关的，必然是相互有联系的，因此应该认为是物体在变形前是连续的，变形后仍然是连续的，连续物体应变之间关系的数学表达式即为“应变协调方程”。应变分析应变协调方程（连续性方程、相容方程）在43

该式称为“变形协调方程式”，又称为圣维南（Saint-Venant）方程,是圣维南首次导出的。

应变分析应变协调方程（连续性方程、相容方程）该式称为“变形协调方程式”，又称为圣维南（Saint-441）请完成教材第93～94页的习题：3.2；3.3；3.4；3.5.作业：应变分析1）请完成教材第93～94页的习题：3.2；3.3；3.4；45

谢

谢

各

位谢谢各位46应变分析应变分析47五、应变协调方程

从分析几何方程入手可以发现，六个应变分量是通过三个位移分量表示的。这一事实对我们很重要。因为如果知道了位移分量，则容易通过Cauchy方程获得应变分量；但反过来，如果纯粹从数学角度任意给出一组“应变分量”，则Cauchy方程有可能是矛盾的。要使这方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件，即这六个应变分量不是互不相关的，它们之间必然存在着一定的联系。应变分析五、应变协调方程从分析几何方程入手可以发现，六个应变分48五、应变协调方程

思路：设法从Cauchy方程中消去所有的位移分量

推导步骤：将εx对y求二阶偏导数并与εy对x求二阶偏导数相加，可得

应变分析五、应变协调方程思路：设法从Cauchy方程中消去所有的49五、应变协调方程

同理可得分别将γxy对z求一阶偏导数、γyz对x求一阶偏导数以及γzx对y求一阶偏导数，再把它们的前两式相加并减去它们的后一式，可得应变分析五、应变协调方程同理可得分别将γxy对z求一阶偏导数、γ50五、应变协调方程

同理可得应变协调方程（SaintVenant方程）

应变分析五、应变协调方程同理可得应变协调方程应变分析51五、应变协调方程

图2.6应变协调方程的几何意义对单连通物体，应变协调方程是物体连续的充要条件。但对于多连通物体，应变协调方程只是物体连续的必要条件，只有加上补充条件，条件才是充分的。

应变分析五、应变协调方程图2.6应变协调方程的几何意义对单连52应变分析等效应变在材料不可压缩（

）的情况下，单轴拉伸实验中就是单轴应变

在以主应变为坐标轴的主应变空间内讨论。应变强度（等效应变）当体积不可压缩时，令，称为应变强度或等效应变。

这里之所以不称为应变强度，而又引进符号，是因为要与应力分析中的情况相一致。应变分析等效应变在材料不可压缩（）的情况53

力与应力的概念主要内容一点的应力状态主应力与应力张量不变量最大剪应力（主剪应力）偏应力张量（应力张量的分解）八面体应力应力分析应力的Mohr圆平衡微分方程力与应力的概念主要内容一点的应力状态主应力与应力张量不变54应力分析八面体应力八面体平面：通过某点做平面，该平面的法线与三个应力主轴夹角相等。设在这一点取坐标轴与三个应力主轴一致，则等斜面法线的三个方向余弦为：应力分析八面体应力八面体平面：通过某点做平面，该平面的法线55应力分析八面体应力八面体面上的应力向量可分解为两个分量：1)垂直于八面体面的分量，即正应力，它与应力球张量有关，或者说与有关；2)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力，与应力偏张量的第二不变量有关。应力分析八面体应力八面体面上的应力向量可分解为两个分量：1)56应力分析应力的Mohr圆在平面上，三点中的任意两点为直径端点，可作出三个Mohr圆，如右图所示.其半径为：——称为主剪应力，——最大剪应力.应力分析应力的Mohr圆在平面上，57应力分析应力的Mohr圆由右图可见，若在已知应力状态上叠加一个静水压力，其效果仅使三个Mohr圆一起沿轴平移一个距离，该距离等于所叠加的静水应力，并不改变Mohr圆的大小。

τ轴的位置与屈服及塑性变形无关，决定屈服与塑性变形的只是Mohr圆本身的大小。应力分析应力的Mohr圆由右图可见，若在已知应力状态上叠加一58应力分析若将τ轴平移到，并使则：移轴后的三向Mohr圆正是描述应力偏张量的三向Mohr圆，如右图所示。应力的Mohr圆应力分析若将τ轴平移到，并使则：移轴后的三向Mohr59应力分析平衡微分方程微分平行六面体应力分析平衡微分方程微分平行六面体60应力分析平衡微分方程在x=0的面上，应力是

x、xy、xz

在x=dx面上的应力由x方向的平衡应力分析平衡微分方程在x=0的面上，应力是x、xy、61应力分析——平衡（运动）微分方程（Navier方程）平衡微分方程应力分析——平衡（运动）微分方程（Navier方程）平衡微分62应力分析平衡微分方程——静力边界条件应力分析平衡微分方程——静力边界条件631）请完成教材第69～71页的习题：2.1；2.2；2.6；2.7（d）。作业：应力分析1）请完成教材第69～71页的习题：2.1；2.2；2.6；64弹塑性力学与有限元

—应变分析《弹塑性力学与有限元》

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—应变分析《弹塑性力学与有限元》65主要内容应变分析应变—位移关系（几何方程）一点的应变状态应变张量主应变偏应变张量（应变张量的分解）八面体应变应变协调方程（连续性方程、相容方程）主要内容应变分析应变—位移关系（几何方程）应变协调方程（连续66本章学习要点：理解变形体内部任意一点处应变状态的基本概念；掌握计算物体内任一点、任意微分面上的主应变及应变主方向的计算公式；理解Cauchy方程和SaintVenant的物理意义，熟练掌握这两个基本方程。应变分析本章学习要点：应变分析67位移—由于外部因素如载荷或温度变化,物体内部各点空间位置发生的变化；如果各点的位移完全相同，物体发生刚体平移；如果各点的位移不同，但各点间的相对距离保持不变，物体发生刚体转动等刚体移动；

应变分析应变—位移关系位移—由于外部因素如载荷或温度变化,物体内部各点空间位置发生68应变分析连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化，则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体被称为有变形或有应变。物体发生位移，应变由位移得到。对物体中足够小的区域，认为该区域的应变是均匀的。应变—位移关系应变分析连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化，则69应变分析线应变——线段的伸长和缩短剪应变——方向的相对改变，即线段之间夹角改变线应变或正应变是指线段的相对伸长量，以线段伸长为正；剪应变以直角的缩小为正。应变—位移关系应变分析线应变——线段的伸长和缩短线应变或正应变是指线70应变—位移关系(几何方程)应变分析设由变形体中取出一个微小六面体（见右图投影），在研究微小六面体的变形时，采用的分析方法是将六面体的各面投影到直角坐标系的各个坐标平面上，研究这些平面投影的变形，并根据这些投影的变形规律来判断整个平行六面体的变形。应变—位移关系(几何方程)应变分析设由变形体中取71应变—位移关系(几何方程)应变分析

设A点的位移是u，w，它们是坐标的函数，因此有：而B点的坐标为（x+dx，y，z），因此B点在x方向的位移为：应变—位移关系(几何方程)应变分析设A点的位移是u，w，72根据泰勒级数展开式，可得：略去高阶项后得到：由于则AB在x轴上的投影的伸长量为，则有：应变—位移关系(几何方程)应变分析同理可得平行于y轴和z的边长的正应变，因此有：根据泰勒级数展开式，可得：略去高阶项后得到：由于73当大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。应变—位移关系(几何方程)应变分析下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。角应变用表示，其值为和之和，即：当大于74应变—位移关系(几何方程)应变分析B点与A点沿Z轴方向的位移之差为:同理可得：所以有剪应变：应变—位移关系(几何方程)应变分析B点与A点沿Z轴方向的位75应变—位移关系(几何方程)应变分析

同理可得另外两个剪应变,即有剪应变的表达式:说明：剪应变的正负号应变—位移关系(几何方程)应变分析同理可得另外两个剪76所以，正应变和剪应变的表达式为：可知：如果已知位移分量可以很简单的求出应变分量；反之，则问题比较复杂。应变—位移关系(几何方程)应变分析所以，正应变和剪应变的表达式为：可知：如果已知位移分量可以很77应变分析一点的应变状态三个方向线元的应变决定该点的应变状态，取与坐标轴相平行的三个方向。应变分析一点的应变状态三个方向线元的应变决定该点的应变状态78应变分析则应变张量为：

通常称为“工程剪应变”一点的应变状态也可以用张量表示，这时引进符号值得注意的是，式中的ɛij，因为ɛij=ɛji,而应变张量应变分析则应变张量为：79应变分析应变张量对称张量张量的剪切应变分量实际的剪切应变工程剪应变和张量剪应变的区别应变分析应变张量对称张量80应变分析类似于应力状态，一定存在三个相互垂直的形变方向，它们所形成的三个直角在形变之后保持为直角（即切应变为零），沿着这三个形变主方向的正应变称为主应变。主应变的概念：一点的应变状态，存在过该点的方向，在该方向上任取微线段PQ，受力后的变形只沿该方向伸长或缩短，则定义此方向为主方向，其应变ε为主应变。主应变和主剪应变应变分析类似于应力状态，一定存在三个相互垂直的形变方向，它们81应变分析将应力计算公式中的应力分量用应变分量替换,例如求主应变的特征方程主应变和主剪应变应变分析将应力计算公式中的应力分量用应变分量替换,例如求主应82对于非零解条件行列式展开得应变分析其中，为应变第一、二、三不变量，其它形式的表达式有：主应变和主剪应变对于非零解条件应变分析其中，为应变第83应变分析主应变和主剪应变应变分析主应变和主剪应变84应变分析工程主剪应变最大值主应变和主剪应变应变分析工程主剪应变主应变和主剪应变85应变分析偏应变张量（应变张量的分解）仿照应力张量分解，应变张量可以分解为与体积变化有关的“球形应变张量”和与物体形状变化有关的“应变偏量”。利用书中（3.43）式可以分解为：球形应变张量为：式中，为平均正应变。应变分析偏应变张量（应变张量的分解）仿照应力张量分解，应变张86应变分析应变偏量可写为：其中，，，称为“应变偏量分量”。偏应变张量（应变张量的分解）纯剪应变状态的条件与纯剪应力状态的条件相同，即纯剪变形的必要且充分条件是，因此，为纯剪状态且与有相同的主轴。应变分析应变偏量可写为：其中，87应变分析偏应变张量（应变张量的分解）应变分析偏应变张量（应变张量的分解）88应变分析偏应变张量（应变张量的分解）若用主应变表示应变偏量，则有式：三个坐标平面为应变主平面在主应变为坐标的应变空间中有：

由应变偏量张量的定义式可见，它是一个实对称二阶张量，因此，存在三个主值及其相应的主方向。可以证明，应变偏量张量的主方向与应变张量的主方向一致，而且它的主值e1，e2，e3与应变张量的主应变存在如左边给出的关系。应变分析偏应变张量（应变张量的分解）若用主应变表示应变偏量，89应变分析体积应变在考虑塑性变形时，经常采用“体积不变”假设，这时球形应变张量为零，应变偏量等于应变张量，即“应变分量与应变偏量的分量相等”，这一假设，对于简化计算带来了方便,下面来研究每单位体积的体积改变，即体积应变：偏应变张量（应变张量的分解）

设有微小的正平行六面体，它的棱边长度是：

变形前它的体积为：变形后它的体积称为：应变分析体积应变偏应变张量（应变张量的分解）设有微小90应变分析偏应变张量（应变张量的分解）因此，它的体积应变为：验证体积不变假设的成立，对于小应变（忽略高阶微量）有：体积应变应变分析偏应变张量（应变张量的分解）因此，它的体积应变为：91应变分析偏应变张量（应变张量的分解）体积应变由此则有：显然，若体积不变，则必有球形应变张量为零成立，且有。在主应变空间：对于小应变有：应变分析偏应变张量（应变张量的分解）体积应变由此则有：显然92应变分析偏应变张量（应变张量的分解）同样，应变偏量增量也存在三个不变量，它们分别表示为：当用张量给出一点的应变状态时，需注意偏应变张量不变量应变分析偏应变张量（应变张量的分解）同样，应变偏量增量也存在93应变分析偏应变张量（应变张量的分解）其三次方程为：偏应变张量不变量应变分析偏应变张量（应变张量的分解）其三次方程为：偏应变张量94应变分析八面体应变八面体正应变八面体剪应变应变分析八面体应变八面体正应变95应变分析应变协调方程（连续性方程、相容方程）

在研究物体变形时，一般都取一个平行六面体进行分析，物体在变形时，各相邻的小单元不能是互相无关的，必然是相互有联系的，因此应该认为是物