曲线积分与曲面积分课件

第十章曲线积分与曲面积分curvillnearintegralandsurfaceintegral1第十章曲线积分与曲面积分curvillnearinte问题的提出对弧长的曲线积分的概念几何意义与物理意义对弧长的曲线积分的计算arclength第一节对弧长的曲线积分第十章曲线积分与曲面积分对弧长的曲线积分2问题的提出对弧长的曲线积分的概念几何意义与物理意义对弧长的曲一、问题的提出实例匀质之质量分割求和取极限取近似曲线形构件的质量近似值精确值对弧长的曲线积分3一、问题的提出实例匀质之质量分割求和取极限取近似曲线形构件的二、对弧长的曲线积分的概念1.定义设L为xOy面内一条光滑曲线弧,在L上有界.作乘积并作和如果当各小弧段的长度的最大值对弧长的曲线积分在L上任意插入一点列把L分成n个小段.设第i个小段的第i个小段上任意取定的①②③长度为一点,④4二、对弧长的曲线积分的概念1.定义设L为xOy面内一条光滑曲线形构件的质量即这和的极限存在,则称此极限为在曲线弧L对弧长的曲线积分或第一类曲线积分.积分和式被积函数弧元素积分弧段记作对弧长的曲线积分5曲线形构件的质量即这和的极限存在,则称此极限为在曲线弧L对2.存在条件3.推广对弧长的曲线积分连续,对弧长的曲线积分为对弧长的曲线积分62.存在条件3.推广对弧长的曲线积分连续,对弧长的曲线积注意闭曲线L上对弧长的曲线积分记作(对路径具有可加性)对弧长的曲线积分7注意闭曲线L上对弧长的曲线积分记作(对路径具有可加性)对弧长4.性质

(1)(2)(3)与积分路径的方向无关,即⌒⌒对弧长的曲线积分84.性质(1)(2)(3)与积分路径的方向无关,即⌒⌒对在一条光滑(或分段光滑)的是L上关于x的奇函数

是L上关于x的偶函数

L1是曲线L落在y轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的L关于y轴对称,补充对称性质曲线L上连续,则当(或y)(或y)当(或x轴)(或x)

运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时,应同时考虑被积函数的奇偶性与积分曲线L的对称性.对弧长的曲线积分9在一条光滑(或分段光滑)的是L上关于x的例其中L是圆周解因积分曲线L关于被积函数x是L上被积函数因积分曲线L关于对称性,计算得是L上y轴对称,关于x的奇函数x轴对称,关于y的奇函数对弧长的曲线积分10例其中L是圆周解因积分曲线L关于被积函数x是L上被积函数因积三、对弧长曲线积分的计算定理其中且有定义且连续,具有一阶连续导数,解法化为参变量的定积分计算对弧长的曲线积分注意对弧长的曲线积分要求定积分的下限一定要小于上限!11三、对弧长曲线积分的计算定理其中且有定义且连续,具有一阶连续特殊情形(1)对弧长的曲线积分(2)12特殊情形(1)对弧长的曲线积分(2)12(3)对弧长的曲线积分特殊情形推广13(3)对弧长的曲线积分特殊情形推广13或此时需把它化为参数方程再按上述方法计算.?对弧长的曲线积分为参数),14或此时需把它化为参数方程再按上述方法计算.?对弧长的曲线积分例解例解对x积分?对弧长的曲线积分15例解例解对x积分?对弧长的曲线积分15例解⌒⌒⌒对弧长的曲线积分得16例解⌒⌒⌒对弧长的曲线积分得16解此题时也可用故⌒对弧长的曲线积分对称性质17解此题时也可用故⌒对弧长的曲线积分对称性质17练习在第一象限中所围图形的边界.⌒提示解⌒⌒对弧长的曲线积分18练习在第一象限中所围图形的边界.⌒提示解⌒⌒对弧长的曲线积分故对弧长的曲线积分19故对弧长的曲线积分19几何意义(1)(2)对弧长的曲线积分四、几何意义与物理意义柱面面积弧长物理意义L的质量20几何意义(1)(2)对弧长的曲线积分四、几何意义与物理意义柱1989年研究生考题,填空(3分)解设下半圆周的参数方程则对弧长的曲线积分通过几何直观,还有更简单的方法吗?想一想211989年研究生考题,填空(3分)解设下半圆周的参数方程则例解由于有对弧长的曲线积分的方程中的x,y,z的地位完全对称,

22例解由于有对弧长的曲线积分的方程中的x,y,z的地位1988年研究生考题,填空(3分)解

对称性对弧长的曲线积分231988年研究生考题,填空(3分)解对称性对弧长的曲线思考题是非题

对弧长的曲线积分,当利用参数方程化为定积分计算时,不管起点还是终点,其下限为较小端点的参数值,上限为较大端点的参数值.是对弧长的曲线积分24思考题是非题对弧长的曲线积分,当利用参谢谢25谢谢25

第十章曲线积分与曲面积分curvillnearintegralandsurfaceintegral26第十章曲线积分与曲面积分curvillnearinte问题的提出对弧长的曲线积分的概念几何意义与物理意义对弧长的曲线积分的计算arclength第一节对弧长的曲线积分第十章曲线积分与曲面积分对弧长的曲线积分27问题的提出对弧长的曲线积分的概念几何意义与物理意义对弧长的曲一、问题的提出实例匀质之质量分割求和取极限取近似曲线形构件的质量近似值精确值对弧长的曲线积分28一、问题的提出实例匀质之质量分割求和取极限取近似曲线形构件的二、对弧长的曲线积分的概念1.定义设L为xOy面内一条光滑曲线弧,在L上有界.作乘积并作和如果当各小弧段的长度的最大值对弧长的曲线积分在L上任意插入一点列把L分成n个小段.设第i个小段的第i个小段上任意取定的①②③长度为一点,④29二、对弧长的曲线积分的概念1.定义设L为xOy面内一条光滑曲线形构件的质量即这和的极限存在,则称此极限为在曲线弧L对弧长的曲线积分或第一类曲线积分.积分和式被积函数弧元素积分弧段记作对弧长的曲线积分30曲线形构件的质量即这和的极限存在,则称此极限为在曲线弧L对2.存在条件3.推广对弧长的曲线积分连续,对弧长的曲线积分为对弧长的曲线积分312.存在条件3.推广对弧长的曲线积分连续,对弧长的曲线积注意闭曲线L上对弧长的曲线积分记作(对路径具有可加性)对弧长的曲线积分32注意闭曲线L上对弧长的曲线积分记作(对路径具有可加性)对弧长4.性质

(1)(2)(3)与积分路径的方向无关,即⌒⌒对弧长的曲线积分334.性质(1)(2)(3)与积分路径的方向无关,即⌒⌒对在一条光滑(或分段光滑)的是L上关于x的奇函数

是L上关于x的偶函数

L1是曲线L落在y轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的L关于y轴对称,补充对称性质曲线L上连续,则当(或y)(或y)当(或x轴)(或x)

运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时,应同时考虑被积函数的奇偶性与积分曲线L的对称性.对弧长的曲线积分34在一条光滑(或分段光滑)的是L上关于x的例其中L是圆周解因积分曲线L关于被积函数x是L上被积函数因积分曲线L关于对称性,计算得是L上y轴对称,关于x的奇函数x轴对称,关于y的奇函数对弧长的曲线积分35例其中L是圆周解因积分曲线L关于被积函数x是L上被积函数因积三、对弧长曲线积分的计算定理其中且有定义且连续,具有一阶连续导数,解法化为参变量的定积分计算对弧长的曲线积分注意对弧长的曲线积分要求定积分的下限一定要小于上限!36三、对弧长曲线积分的计算定理其中且有定义且连续,具有一阶连续特殊情形(1)对弧长的曲线积分(2)37特殊情形(1)对弧长的曲线积分(2)12(3)对弧长的曲线积分特殊情形推广38(3)对弧长的曲线积分特殊情形推广13或此时需把它化为参数方程再按上述方法计算.?对弧长的曲线积分为参数),39或此时需把它化为参数方程再按上述方法计算.?对弧长的曲线积分例解例解对x积分?对弧长的曲线积分40例解例解对x积分?对弧长的曲线积分15例解⌒⌒⌒对弧长的曲线积分得41例解⌒⌒⌒对弧长的曲线积分得16解此题时也可用故⌒对弧长的曲线积分对称性质42解此题时也可用故⌒对弧长的曲线积分对称性质17练习在第一象限中所围图形的边界.⌒提示解⌒⌒对弧长的曲线积分43练习在第一象限中所围图形的边界.⌒提示解⌒⌒对弧长的曲线积分故对弧长的曲线积分44故对弧长的曲线积分19几何意义(1)(2)对弧长的曲线积分四、几何意义与物理意义柱面面积弧长物理意义L的质量45几何意义(1)(2)对弧长的曲线积分四、几何意义与物理意义柱1989年研究生考题,填空(3分)解设下半圆周的参数方程则对弧长的曲线积分通过几何直观,还有更简单的方法吗?想一想461989年研究生考题,填空(3分)解设下半圆周的参数方程则例解由于有对弧长的曲线积分的方程中的x,y,z的地位完全对称,

47例解由于有对弧