2018年上海市青浦区高考数学一模试卷及答案

2018年上海市青浦区高考数学一模试卷一.填空题（本大题总分值54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每一个空格填对得分，不然一概得零分.1・（4分）设全集U=Z,集合M={1,2},P={.2,•1,0,1,2},那B么PncUM2.（2.（4分）已知复（i为虚数单位），那么23=V2+i.（4分）不等式2 ＞（工）3（乂-1）的解集为2 -.（4分）函数f（x）=3sinxcosx+cos2x的最大值为.（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且通过椭2X2+J^=1右极点的双曲线的方程是4 -.（4分）将圆锥的侧面展开后取得一个半径为2的半圆，那么此圆锥的体积.（5分）设等差数列。，的公差d不为0,a1=9d.假设分卜是21与a2k的等比中项，那6么k=8（5分）已知（1+2*）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b,那处二a

9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，那么两个点数之积不小于4的概率10.（5分）已知函数£（*）="log0（s+a））10.（5分）已知函数£（*）=2 有三个不同的零点，那么实x2-3az+a,k〉Qa的取值范围是1145分）已知Sn为数列。）的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向■OA，而，而，知足而二(an.1+an+1)0A+(1-an)0B，*2,neN*,O设A,B,C设A,B,C在同一直线上，那么5201812.(5分)已知函数穴*)=m(x-m)(x+m+2)fflg(x)=3x-3同时知足以下两个条件：①对任意实数x都有3）＜0或98＜0;@MSffix0e(-«,-2),ffif(x0)g(x0)<0«fi.那么m的取值范围是二.选择题（本大题总分值20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，不然一概得零分.13.（5分）、＞^是“（可）2＞加”成立的（ ）2A.充分而没必要要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又没必要要条件14（5分两函数f（x）=2sin吟x+卷）,假设对任gx—gMf（x）4f（x2）,那么慎2^1|的最小值是（A・nB.2nC.2 D.415.（5分）已知；和彳是相互垂直的单位向量，向量工知足：・an=n,・an=2n+l，n£N*,设\为工和/的夹角，那么（ ）A.en随着n的增大而增大B.Q随着n的增大而减小C.随着n的增大，。先增大后减小nD.随着n的增大，。先减小后增大n（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C：X2+y2=12和C：X2+y2=14,12又点A坐标为（3,-1）,M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，那么四边形AMQN能组成矩形的个数为（ ）A.0个B.2个C.4个D,无数个三.解答题（本大题总分值76分）本大题共有5题,解答以下各题必需在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.（14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA,平面ABCD,PA=AD=2AB=2,E是PB的中点.（1）求三棱锥P-ABC的体积;（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）.（14分）已知抛物线C:y2=2px过点P（1,1）・过点（0,作直线1与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线别离与直线OP、ON交于点A,B,其中。为原点.（1）求抛物线C的方程，并求其核心坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点.（14分）如图，某大型厂区有三个值班室人、B、C.值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2尺千米处.（1）保安甲沿CA从值班室动身行至点P处，现在PC=1,求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C动身前去值班室A,保安乙沿AB从值班室A动身前去值班室B,甲乙同时动身，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时,假设甲乙两人通过对讲机联系,对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米）,试问有多长时刻两人不能通话？（16分）设集合A,8均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a£A,b£B}.（1）已知A={0,1,2},B={-1,3},试用列举法表示A+B；2 2⑵设a1=|,当n£N*且n22时，曲线丁丁七总的焦距为an,若是A={a1,a2,…，an},B={-1,-1,-|},设A+B中的所有元素之和为Sn,求Sn的值；(3)在(2)的条件下，关于知足m+n=3k,且mWn的任意正整数皿，n,k,不等式Sm+Sn-ASk>0恒成立，求实数人的最大值.(18分)关于概念在[0,+8)上的函数£q),假设函数丫=£行)-(ax+b)知足：①在区间[0,+8)上单调递减，②存在常数「，使其值域为(0,p],那么称函数目(x)=ax+b是函数£(x)的“逼进函数”.(1)判定函数8(x)=2x+5是不是函数£(x)=2' ,x£[0,+8)的x+2“逼进函数”；(2)求证：函数8(x)=lx不是函数£(x)=(工)x,x£[0,+8)的“逼进2 2函数”(3)假设g(x)=ax是函数£(x)=x+?g,x£[0,+8)的“逼进函数”，求a的值.2018年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题总分值54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每一个空格填对得分，不然一概得零分.（4分）设全集U=Z,集合M={1,2},P={-2,-L0,1,2},那么PnCMU{-2,-1,0}.【解答】解：CUM={-2,-1,0},故PnC*={-2,-L0}故答案为：{-2,-1,0}（4分）已知复数工=7^^（i为虚数单位），那么eG=_/【解答】解：复数声\',1JJ+产，V2+iW2+1JCV2-1J3「Ji- 3/.z,-=kt±liJz^.i=i,3 3 93故答案为9.（4分）不等式2工％=＞（工）3…的解集为 （-8,-2）U（3,+2 8）.【解答】解：不等式一［-＞号）3-化为2d-H>23-3x,即x2-4x-3>3-3x,.•.x2-x-6>0,解得*<-2或x>3,・•・原不等式的解集为(-8,-2)U(3,+8).故答案为：(-8,-2)U(3,+8).(4分)函数£(x)=Msinxcosx+cos2x的最大值为_-|【解答】解：函数f(x)=.3sinxcosx+cos2x=—^-sin2x+—cos2x+—TOC\o"1-5"\h\z2 2 2=sin(2x+—)+—,6 2S2x+—=2kn+JL,k£Z,6 2即x=k^+工，卜£2,函数取得最大值1+L=1,6 22故答案为：!.（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线丫=土2*为渐近线，且通过椭圆x2+2 2一=1右极点的双曲线的方程是*2-91.4 42【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x”十二入（AW。）,

•.•双曲线椭圆xzgLl右极点（1,0）,，1=人，・・・双曲线方程为：X2-彳=1.故答案为：X2-^=1.（4分）将圆锥的侧面展开后取得一个半径为2的半圆，那么此圆锥的体积为（5分）设等差数列｛a｝的公差d不为0,a=9d.假设a是a与a的等比中k12k项，那么k=4.【解答】解：因为ak是a1与a2k的等比中项，那么a：=a1a泳,[9d+(k-1)d[2=9d・[9d+(2k-1)d],又dW0,那么k2-2k-8=0,k=4或k=-2(舍去).故答案为：4．(5分)已知(1+2x)6展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,那么卜=12.a【解答】解：由题意可得@=或=20,畤.畤，・・・r=4,现在b=c：X24=240；:・卜二曰=12.a20故答案为：12.(5分)同时掷两枚质地均匀的骰子，那么两个点数之积不小于4的概率为31.36-【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，大体事件总数口=6义6=36,两个点数之积小于4包括的大体事件（a,b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，・•・两个点数之积不小于4的概率为p=1-2=1.3636故答案为：R.（5分）已知函数£（x）=,2 有三个不同的零点，那么实数、x2-3ax+a,篡＞0a的取值范围是［1,+8）,【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部份为单调递增对数函数的部份，函数图象的右半部份为开口向上的抛物线，对称轴为x=^,最多两个零点，如上图，要知足题意，必需指数函数的部份向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1,0）,故需左移至少1个单位，故aeL还需保证抛物线与x轴由两个交点'故最低点"%善或＜°,解得aV0或a〉*综合可得：a》L故答案为：［1,+8).(5分)已知与为数列｛an｝的前n项和,a1=a2=1,平面内三个不共线的向量0A,而，而，知足沃=(an1+an+1)而+(1-an)而，n，2,n£N*,假设A,B,C在同一直线上，那么S2018=2.【解答】解：假设A,B,C三点共线，那么位=xbS+(1-x)而，.••依照条件“平面内三个不共线的向量而，而，而，知足前=(a+a)0A+(1-a)B,n-1 n+1 nn22,n£N*，A,B,C在同一直线上，”得出a1+a1+1-a=1，，a1+a：a，・・,1为数列｛包｝的前n项和，a1=a2=1,工数列匕｝为：1，1，0，-1，-1，0，1，1，0，-1，-1，0，・・・n即数列匕｝是以6为周期的周期数列，前6项为1，1,0，-1，-1，0，n・2018=6X336+2，・・・S=336X(1+1+0-1-1+0)+1+1=2.2018故答案为：2.(5分)已知函数£(x)=m(x-m)(x+m+2)和g(x)=3x-3同时知足以下两个条件：①对任意实数*都有f(x)V0或g(x)V0；②总存在x0W(-8，-2)，使f(x0)g(x0)V0成立.那么m的取值范围是(-3,-2)【解答】解：关于①・・・g(x)=3x-3,当xV1时,g(x)V0,又・••①xGR,f(x)V0或g(x)V0Af(x)=m(x-m)(x+m+2)V0在x21时恒成立那么由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与*轴交点都在(1,0)的左面，即nKl，可得-3VmV0[nr2vl又・•②x£(-8,-2),f(x)g(x)V0・・・现在g(x)=3x-3V0恒成立Af(x)=m(x-m)(x+m+2)>0在x£(-8,-2)有成立的可能，那么只要-2比x/x2中的较小的根大即可，(i)当-1VmV0时，较小的根为-m-2,-m-2>-2不成立，(ii)当m=-1时，两个根同为-1>-3,不成立，(iii)当-3VmV-1时，较小的根为m,即mV-2成立.综上可得①②成立时-3VmV-2.故答案为：(-3,-2).二.选择题（本大题总分值20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，不然一概得零分.（5分）“a>b”是“（里巨）2>ab”成立的（ ）2A.充分而没必要要条件 B.必要而不充分条件C充要条件D.既不充分又没必要要条件【解答】解：由（平）2>ab得a2+2”2>ab,即a2+2ab+b2>4ab,那么a2-2ab+b2>0,即（a-b）2>0,那么aWb,那么“a>b”是“（史k）2>ab”成立的充分没必要要条件，2应选：A.（5分）已知函数£行）=2sin（2Lx+2L）,假设对任意实数*,都有f（x1）Wf（x）Wf（x2）,那么|x2-x1|的最小值是（ ）A.nB.2nC.2D.4【解答】解：关于函数f（x）=2sin（2Lx+2L）,假设对任意实数x,都有f（x1）Wf（x）Wf（x）,2则|x2-x1|的最小值为函数£6）的半个周期，应选：C（5分）已知二和彳是相互垂直的单位向量，向量工知足：:・an=n,・an=2n+l，n£N*,设二为工和工的夹角，那么（ ）A.en随着n的增大而增大B.en随着n的增大而减小C.随着n的增大，,先增大后减小口,随着口的增大，e先减小后增大n【解答】解：别离以1和：所在的直线为x轴，y轴成立坐标系，那么1=（1,0）,j=（0,1）,设司;二（xn，yn），丁i・an=n，j・ar=2n+l，nGN*，Ax=n,y=2n+1,n£N*,.•・]=（n,2n+1）,n£N*,・・・en为:和式的夹角，.•.tane=2^=2门+1=2+工Ay=tanen为减函数，・・・en随着n的增大而减小.应选：B.（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C：X2+y2=12和C：X2+y2=14,12又点A坐标为（3,-1）,M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，那么四边形AMQN能组成矩形的个数为（ ）A.0个B.2个C.4个口.无数个【解答】解：如下图，任取圆C上一点Q,2以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，那么四边形AMQN能组成矩形，由作图知，四边形AMQN能组成矩形的个数为无数个.应选：D.三.解答题（本大题总分值76分）本大题共有5题,解答以下各题必需在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

(14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA，平面ABCD,PA=AD=2AB=2,E是PB的中点.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)求异面直线EC和AD所成的角(结果用反三角函数值表示).【解答】解：(1)・・・PA,平面ABCD,底面ABCD是矩形，WPA=2,BC=AD=2,AB=1,・・・％=92WPA=2,BC=AD=2,AB=1,・・・％=92乂广1.故Vabc=txsabcxpa=tx1X2=4*P-ABC(2)・・・BC〃AD,・・・NECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角0,又・・千人，平面ABCD,・・・PA，BC,又BCLAB,・*BC，平面PAB,・*BC，平面PAB,・BC，PB,于是在RtaCEB中，BC=2,BE=J-PB=^-,2 2tan0=t=T，.・•・异面直线EC和AD所成的角是arctan会(14分)已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点(0,工)作直线1与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线别离与直线OP、ON交于点A,B,其中。为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其核心坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.【解答】解：(1)・・・y2=2px过点P(1,1),・・・1=2p,・.y2=x,・・・核心坐标为(工，0),准线为x二-14 4(2)证明：设过点(2)证明：设过点(0工)的直线方程为2 11 2y=kx+—,M(x,2 11 2・•・直线OP为y=x,直线ON为：y—x,Ko由题意知A(x,x),B(x,—

可得k2X可得k2X2+(k-1)x+_^=0,JX1+X2』等X1X2^-L1 AzkJy1+町丁2=kX1+/+―_L_12_=2kX1+号巴L=2kX1+ 气 =2kX1+(1-k)4请打•2X1=2X1,JA为线段BM的中点.(14分)如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C值班室人在值班室8的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2尺千米处.(1)保安甲沿CA从值班室动身行至点P处，现在PC=1,求PB的距离；(2)保安甲沿CA从值班室C动身前去值班室A,保安乙沿AB从值班室A动身前去值班室B,甲乙同时动身，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，假设甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米(含3千米)，试问有多长时刻两人不能通话？【解答】解：(1)在Rt^ABC中，AB=2,BC=2行，因此NC=30°,在4PBC中PC=1,BC=21,由余弦定理可得BP2=BC2+PC2-2BC-PCcos30°=(23)2+1-2X2-3X1X-^=7,即BP=7；(2)在RtaABC中，BA=2,BC=23,AC=.'BA^+BC^4,设甲动身后的时刻为t小时，那么由题意可知0WtW4,设甲在线段CA上的位置为点M,那么AM=4-t,①当0WtW1时，设乙在线段AB上的位置为点Q,那么AQ=2t,如下图，在4AMQ中，由余弦定理得MQ2=(4-t)2+(2t)2-2・2t・(4-t)cos60°=7t2-16t+7＞9,解得t＜氏著或t＞效普，因此0WtW＞严;②当1Wt＜4时，乙在值班室B处，在aABM中,由余弦定理得MB2=(4-t)2+4-2・2t・(4-t)cos60°=t2-6t+12>9,解得tV3-：*或t>3+",又1&tW4,不合题意舍去综上所述0/1W殳卢时，甲乙间的距离大于3千米，因此两人不能通话的时刻为殳产小时.(16分)设集合A,B均为实数集区的子集，记A+B={a+b|a£A,b£B}.(1)已知人={0,1,2},B={-1,3},试用列举法表示A+B；2 2⑵设a1=|■，当n£N*且n22时,曲线-^[上]的焦距为an,若是A={a1,a2,…，an},B={-±,-1,-|},设A+B中的所有元素之和为Sn,求Sn的值；(3)在(2)的条件下，关于知足m+n=3k,且m#n的任意正整数m，n,k,不等式Sm+Sn-入Sk>0恒成立，求实数人的最大值.【解答】解：⑴・・・A+B={a+b|a£A,b£B}；当人={0,1,2},B={-1,3}时,A+B={-1,0,1,3,4,5}；(2)曲线+工L」，即-二二▲，在n22时表示双曲线,苫-11+]If9 苫-11+] 门-19

=—n,3=—n,32,,a+a+a+・・・+a—~~-VB={-••・A+B中的所有元素之和为Sn=3(ai+a2+a3+-+an)+n(-|-|-f)=3^+n(------)=n2,9 93(3)・・・・・・S(3)・・・・・・Sm+Sn-ASk>0恒成立X<Sm+SrLir2+n2-恒成立,•.,m+n=3k,且mWn,・m2+n2_9(m2+rL2),2 ,i%2 」,2mnk Cnri-nJ1-F— in+n人号,故实数人的最大值鳄21.（18分）关于概念在［0,+8）上的函数£行），假设函数y=f（