高考数学二轮复习名师知识点总结空间几何体

空间几何体高考对本节知识的考查主要有以下两个考向：1.三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.2.对于空间几何体的表面积与体积，由原来的简单公式套用渐渐变为三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，特别是已知空间几何体的三视图求表面积、体积是近两年高考考查的热点，题型一般为选择题或填空题．1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．2．空间几何体的三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形．(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．看不到的线画虚线．3．直观图的斜二测画法空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．4．空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；②S锥侧＝eq\f(1,2)ch′(c为底面周长，h′为斜高)；③S台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)；④S球表＝4πR2(R为球的半径)．(2)柱体、锥体和球的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；②V锥体＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)；③V台＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h(不要求记忆)；④V球＝eq\f(4,3)πR3.考点一三视图与直观图的转化例1(1)已知三棱柱的正视图与俯视图如图，那么该三棱锥的侧视图可能为()(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案(1)B(2)D解析(1)底面为正三角形，一侧棱垂直于底面．由虚线知可能有一侧棱看不见．由题知这个空间几何体的侧视图的底面边长是eq\r(3)，故其侧视图只可能是选项B中的图形．(2)如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．(1)(2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()(2)(2012·湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()答案(1)A(2)D解析(1)根据已知条件作出图形：四面体C1－A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示．故选A.(2)根据几何体的三视图知识求解．由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.考点二几何体的表面积及体积例2(1)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A．8B．6eq\r(2)C．10D．8eq\r(2)(2)(2013·浙江)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.答案(1)C(2)24解析(1)由三视图可想象出如图所示的三棱锥，SA⊥平面ABC，△ABC中∠ABC＝90°，SA＝AB＝4，BC＝3，因此图中四个面的三角形均为直角三角形，SB＝4eq\r(2)，AC＝5，S△SAC＝10，S△SAB＝8，S△SBC＝6eq\r(2)，S△ABC＝6，所以最大面积是10.(2)由三视图可知，其直观图为：AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，∴BC＝5.作AH⊥BC于H，AH＝eq\f(AB·AC,BC)＝eq\f(12,5).作A1M⊥BB1于M，A1N⊥CC1于N.连接MN.V＝eq\f(1,3)×(5×3)×eq\f(12,5)＋(3×4)×eq\f(1,2)×2＝24.(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．(1)(2013·江西)一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π(2)(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．答案(1)A(2)38解析(1)该几何体是由一个长方体与一个半圆柱构成．V＝10×4×5＋eq\f(1,2)×π×32×2＝200＋9π.(2)将三视图还原为直观图后求解．根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，所以S＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.考点三多面体与球例3如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A.eq\f(\r(3),2)πB．3πC.eq\f(\r(2),3)πD．2π要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于△BCD是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到B，C，D的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可．答案A解析如图，取BD的中点E，BC的中点O，连接AE，OD，EO，AO.由题意，知AB＝AD，所以AE⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD，所以AE⊥平面BCD.因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，所以AE＝eq\f(\r(2),2)，EO＝eq\f(1,2).所以OA＝eq\f(\r(3),2).在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(3),2)，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为eq\f(\r(3),2).所以该球的体积V＝eq\f(4,3)π(eq\f(\r(3),2))3＝eq\f(\r(3),2)π.故选A.多面体与球接、切问题求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2＝a2＋b2＋c2求解．(1)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是()A．12πB．24πC．32πD．48π(2)一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是________．答案(1)D(2)16π解析(1)由已知条件知该几何体的直观图如图所示，PA⊥面ABCD，△PAC、△PBC、△PCD均为直角三角形，且斜边相同，所以球心为PC中点O，OA＝eq\f(1,2)PC＝OB＝OD＝2eq\r(3).球的表面积为S＝4π(OA)2＝48π.(2)该几何体是一个正三棱柱，底面边长为3，高为2.设其外接球的球心为O，上、下底面中心分别为B、C，则O为BC的中点，如图所示．则AB＝eq\f(2,3)×3sin60°＝eq\r(3)，BO＝1，∴该棱柱的外接球半径为R＝eq\r(AB2＋BO2)＝2，∴球的表面积是S＝4πR2＝16π.1．空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．2．在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量．在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面．3．一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解)．4．长方体的外接球(1)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即eq\r(a2＋b2＋c2)＝2R；(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即eq\r(3)a＝2R.1．从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为()A．5eq\r(2)B．6eq\r(2)C．9D．10答案C解析由三视图知，其直观图为棱锥A－BCDE.V＝27－eq\f(27,2)－eq\f(1,3)×3×eq\f(9,2)＝9.故选C.2．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，则三棱锥A－BCD的外接球体积为()A.eq\r(6)πB．2eq\r(6)πC．3eq\r(6)πD．4eq\r(6)π答案A解析如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，∴三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长．据题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB·AC＝\r(2)，,AC·AD＝\r(3)，,AB·AD＝\r(6)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝\r(2)，,AC＝1，,AD＝\r(3)，))∴长方体的对角线长为eq\r(AB2＋AC2＋AD2)＝eq\r(6)，∴三棱锥外接球的半径为eq\f(\r(6),2).∴三棱锥外接球的体积为V＝eq\f(4,3)π·(eq\f(\r(6),2))3＝eq\r(6)π.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为eq\r(2)，则原梯形的面积为()A．2B.eq\r(2)C．2eq\r(2)D．4答案D解析直观图为等腰梯形，则上底设为x，高设为y，则S直观图＝eq\f(1,2)y(x＋2y＋x)＝eq\r(2)，由直观图可知原梯形为直角梯形，其面积S＝eq\f(1,2)·2eq\r(2)y·(x＋2y＋x)＝2eq\r(2)×eq\r(2)＝4.2．(2013·湖南)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为eq\r(2)的矩形，则该正方体的正视图的面积等于()A.eq\f(\r(3),2)B．1C.eq\f(\r(2)＋1,2)D.eq\r(2)答案D解析∵俯视图是面积为1的正方形，∴此正方体水平放置，又侧视图是面积为eq\r(2)的矩形，∴正方体的对角面平行于投影面，此时正视图和侧视图相同，面积为eq\r(2).3．(2013·课标全国Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π答案A解析将三视图还原成直观图为：上面是一个正四棱柱，下面是半个圆柱体．所以V＝2×2×4＋eq\f(1,2)×22×π×4＝16＋8π.故选A.4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A.eq\f(\r(3)8＋π,6)B.eq\f(\r(3)8＋2π,6)C.eq\f(\r(3)6＋π,6)D.eq\f(\r(3)9＋2π,6)答案A解析该几何体由底面半径为1的半圆锥与底面为边长等于2的正方形的四棱锥组成，且高都为eq\r(3)，因此该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×π×12)×eq\r(3)＋eq\f(1,3)×(2×2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(3)π,6)＋eq\f(4\r(3),3)＝eq\f(\r(3)8＋π,6)，故选A.5．(2012·北京)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A．28＋6eq\r(5)B．30＋6eq\r(5)C．56＋12eq\r(5)D．60＋12eq\r(5)答案B解析根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观图的图形特征求其表面积．由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.又CD⊥BD，CD⊥AE，则CD⊥平面ABD，故CD⊥AD，所以AC＝eq\r(41)且S△ACD＝10.在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2eq\r(5).在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，故S△BCD＝10，且BC＝eq\r(41).在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.在△ABC中，AB＝2eq\r(5)，BC＝AC＝eq\r(41)，则AB边上的高h＝6，故S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)×6＝6eq\r(5).因此，该三棱锥的表面积为S＝30＋6eq\r(5).6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为()A.eq\f(\r(3),3)πB.eq\f(\r(3),6)πC.eq\f(\r(3),2)πD.eq\r(3)π答案A解析三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形，圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高为h＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).易知该几何体的体积就是整个圆锥的体积，即V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.故选A.7．已知正方形ABCD的边长为2eq\r(2)，将△ABC沿对角线AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到如右图所示的三棱锥B－ACD.若O为AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点(不包括端点)，且BN＝CM.设BN＝x，则三棱锥N－AMC的体积y＝f(x)的函数图象大致是()答案B解析由平面ABC⊥平面ACD，且O为AC的中点，可知BO⊥平面ACD，易知BO＝2，故三棱锥N－AMC的高为ON＝2－x，△AMC的面积为eq\f(1,2)·MC·AC·sin45°＝eq\r(2)x，故三棱锥N－AMC的体积为y＝f(x)＝eq\f(1,3)·(2－x)·eq\r(2)x＝eq\f(\r(2),3)(－x2＋2x)(0<x<2)，函数f(x)的图象为开口向下的抛物线的一部分．二、填空题8．(2012·山东)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为______．答案eq\f(1,6)解析利用三棱锥的体积公式直接求解．VD1－EDF＝VF－DD1E＝eq\f(1,3)S△D1DE·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).9．(2013·江苏)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.答案1∶24解析设三棱锥F－ADE的高为h，则eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AD·AE·sin∠DAE)),2h\f(1,2)2AD2AEsin∠DAE)＝eq\f(1,24).10．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球的表面积等于________．答案16π解析设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab＝8，此时2a＋2b≥4eq\r(ab)＝8eq\r(2)，当且仅当a＝b＝2eq\r(2)时等号成立，此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π.11．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．答案eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,6)解析据三视图可知，该几何体是一个半球(下部)与一个四面体(上部)的组合体，其直观图如图所示，其中BA，BC，BP两两垂直，且BA＝BC＝BP＝1，∴(半)球的直径长为AC＝eq\r(2)，∴该几何体的体积为V＝V半球＋VP－ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π(eq\f(AC,2))3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×BA·BC·PB＝eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,6).三、解答题12．(2013·福建)如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.(1)当正视方向与向量eq\o(AD,\s\up6(→))的方向相同时，画出四棱锥P—ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；(3)求三棱锥D—PBC的体积．(1)解在