拉普拉斯变换(5)(共30张PPT)

第十三章拉普拉斯变换13-1拉普拉斯变换的定义本章主要内容：介绍拉普拉斯变换在线性电路中的应用。涉及：拉普拉斯变换(拉氏变换)的定义、用部分分式法(分解定理)求拉氏反变换、拉氏变换与电路分析有关的一些性质、运算电路概念、应用拉氏变换分析线性电路。拉普拉斯变换——是一种积分变换法通过积分变换可以将时域函数变为频域函数，从而把时域的微分方程化为频域的代数方程。经过拉普拉斯反变换又可以将计算结果返回时域。所以用拉普拉斯变换法求解高阶复杂动态电路是有效而重要的方法之一。1第1页，共30页。对于定义在[0，)区间的函数f(t)，其拉普拉斯变换式F(s)拉普拉斯变换的定义：式中，s=+j，F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数在数学理论中，若对于所有t满足条件：则f(t)的拉氏变换F(s)总是存在。本书涉及的f(t)均满足上述条件拉普拉斯反变换的定义：式中，M,c为正的有限常数用

[]表示对中括号中的时域函数作拉氏变换用

[]表示对中括号中的复变函数作拉氏反变换例如：F(s)=[f(t)]=2第2页，共30页。求下列函数的象函数F(s)单位阶跃函数单位冲激函数指数函数例：13-13第3页，共30页。13-2拉普拉斯变换的性质与分析线性电路有关的一些性质1、线性性质设：

[f1(t)]=F1(s)，[f2(t)]=F2(s)则：[A1

f1(t)+A2

f2(t)]=A1F1(s)+A2F2(s)证：[A1

f1(t)+A2

f2(t)]=4第4页，共30页。例：13-2若：以上函数的定义域均为[0，∞]，求其象函数。5第5页，共30页。2、微分性质若：

[f

(t)]=F

(s)则：[f’

(t)]=sF

(s)-f(0-)证：设e-st=u，f’(t)dt=dv，则：只要s的实部足够大，当t→∞时，e-stf(t)→0，所以F(s)存在，微分性质得证。6第6页，共30页。例：13-3应用导数性质求下列函数的象函数7第7页，共30页。3、积分性质若：

[f

(t)]=F

(s)则：只要s的实部足够大，当t→∞及t=0-时，等式右边第一项均为0，所以积分性质得证。证：令，dv=e-stdt，则：8第8页，共30页。例：13-4利用积分性质求函数f(t)=t的象函数9第9页，共30页。4、延迟性质函数f(t)的象函数与其延迟函数f(t-t0)的象函数之间的关系为：若：

[f

(t)]=F

(s)则：其中：当t﹤t0时，f(t-t0)=0证：令=t-t0则：所以延迟性质得证。10第10页，共30页。例：13-5求图示矩形脉冲的象函数11第11页，共30页。常用拉普拉斯变换表12第12页，共30页。13-3拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换可以将频域响应返回至时域响应。拉普拉斯反变换的定义：式中，c为正的有限常数拉普拉斯反变换的计算较复杂，一般多采用部分分式展开的方法间接求得。设F(s)可以表示为如下的有理分式，m和n为正整数，且n≥m。当n=m，则：其中A为常数，13第13页，共30页。当n>m，F(s)为真分式，可以根据以下几种情况展开为部分分式1、D(s)=0有n个单根，其中n个单根分别为：p1、p2、…pn、i=1、2、…、n14第14页，共30页。例：13-615第15页，共30页。2、D(s)=0具有共轭复根p1=+j，p2=-j16第16页，共30页。例：13-717第17页，共30页。3、D(s)=0具有q阶重根p1，其余为单根p2、p3、……18第18页，共30页。13-1拉普拉斯变换的定义本书涉及的f(t)均满足上述条件u(0-)为电容中的初始电压对于任一回路，U(s)=0用[]表示对中括号中的时域函数作拉氏变换3、D(s)=0具有q阶重根p1，其余为单根p2、p3、则f(t)的拉氏变换F(s)总是存在。sC为电容的运算导纳，对应图（c）运算电路证：设e-st=u，f’(t)dt=dv，经过拉普拉斯反变换又可以将计算结果返回时域。+u(t)-拉普拉斯变换——是一种积分变换法证：令，dv=e-stdt，例：13-819第19页，共30页。13-4运算电路对电路定律的时域形式取拉氏变换，可以得到其运算形式基尔霍夫定律的时域形式：对于任一结点，i(t)=0；对于任一回路，u(t)=0由拉氏变换的线性性质，基尔霍夫定律的运算形式：对于任一结点，I(s)=0对于任一回路，U(s)=01、电阻的运算电路Ri(t)+u(t)-Ri(t)+u(t)-时域电路u(t)=Ri(t)由线性性质，运算电路U(s)=RI(s)20第20页，共30页。2、电感的运算电路对于时域电路由微分性质，得运算电路(a)其中：sL为电感的运算阻抗，i(0-)为电感中的初始电流(b)附加电压源电感运算关系又可以表示为：1/sL为电感的运算导纳，对应图（c）运算电路(c)附加电流源21第21页，共30页。3、电容的运算电路对于时域电路由积分性质，得运算电路(a)其中：1/sC为电容的运算阻抗，u(0-)为电容中的初始电压(b)附加电压源电容运算关系又可以表示为：(c)sC为电容的运算导纳，对应图（c）运算电路附加电流源22第22页，共30页。用[]表示对中括号中的复变函数作拉氏反变换式中，c为正的有限常数拉普拉斯反变换的计算较复杂，一般多采用部分分式展开的方法间接求得。求下列函数的象函数F(s)若：(1)iS(t)=(t)A；求图示矩形脉冲的象函数两边取拉氏变换得耦合电感运算电路：当n>m，F(s)为真分式，可以根据以下几种情况展开为部分分式13-5应用拉普拉斯变换法分析线性电路若：[f(t)]=F(s)若：(1)iS(t)=(t)A；对于定义在[0，)区间的函数f(t)，其拉普拉斯变换式F(s)i=1、2、…、ni(0-)为电感中的初始电流则：[f’(t)]=sF(s)-f(0-)4、耦合电感的运算电路对于时域电路(a)附加电压源两边取拉氏变换得耦合电感运算电路：sL为自感运算阻抗，sM为互感运算阻抗23第23页，共30页。RLC串联的运算电路由U(s)=0，得到电路的运算方程Z(s)为运算阻抗24第24页，共30页。13-5应用拉普拉斯变换法分析线性电路相量法——把正弦量变换为相量（复数），将求解线性电路的正弦稳态问题转换为求解以相量为变量的线性代数方程。运算法——把时间函数变换为对应的象函数，将问题转换为求解以象函数F(s)为变量的线性代数方程。需要时，利用拉普拉斯反变换，可以将向函数变换为对应的时间函数25第25页，共30页。例：13-9电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，试用运算发求解i1(t)。对应的运算电路时域电路26第26页，共30页。例：13-10电路如图所示，RC为并联电路，激励为电流源iS(t)若：(1)iS(t)=(t)A；(2)iS(t)=(t)A。试求电路响应u(t)。27第27页，共30页。例：13-11图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，求t≥0时的uL(t)。已知：uS1(t)=2e-2tV，uS2(t)=5V，R1=R