几何与代数：习题解析第五章1

教学内容和学时分配第五章特征值与特征向量教学内容学时数§5.1矩阵的特征值与特征向量2§5.2相似矩阵2§5.3实对称矩阵的相似对角化2§5.5用Matlab解题

1

特征值

和

特征向量

|E–A|=|E–(P1AP)|

i=tr(A),i=|A|A可逆A的特征值≠0,1/是A1的特征值;|A|/是A*的特征值.

|E–A|=|E–AT|A=

f(A)=f()

对应于不同特征值的特征向量线性无关AT=AR,对应于不同特征值的特征向量正交

性质

应用

计算

定义相似对角化

用A=PP

1

计算f(A)=Pf()P1化实二次型为标准形

|E–A|=0

(E–A)x=0

A=

其中P–1AP=diag(1,…,n)A有n个l.i.的特征向量A(复)r(iEA)=nni

A有n个不同特征值AA的化零多项式的根可能是但未必都是A的特征值.§5.3实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的特征值均为实数.实对称阵对应于不同特征值的特征向量正交.Th5.7任意n阶实对称阵总可以正交相似对角化,存在正交阵Q,使得Q–1AQ==diag(1,2,…,n),其中Q=(q1,q2,…,qn)的列向量组是A的对应于特征值1,2,…,n的标准正交特征向量组.正交特征向量1.l.i.特征向量再由Schmidt正交化法正交2.由1个特量及正交方程组解其他正交特量实对称矩阵对角化的反问题：Q–1AQ=QTAQ=

A=QQT=QQ–1P–1AP=

A=PP–1无需正交标准化,但需求逆正交标准化,但不需求逆f,f(A)

=Qf()QT关于相似对角化与正交相似对角化实对称矩阵对角化的反问题：Q–1AQ=QTAQ=

A=QQT=QQ–1不是任一个方阵A都可以相似对角化，只有当A有n个线性无关的特征向量时才可相似对角化；实对称矩阵必可正交相似对角化，也可以相似对角化.若实方阵A可以正交相似对角化，则A必是实对称矩阵.

AT=(QQT)T=QTQT=QQT=A一般方阵若能相似对角化，不一定能正交相似对角化.只有要求正交相似对角化时才需正交化标准化.P–1AP=

A=PP–1无需正交标准化,但需求逆正交标准化,但不需求逆f,f(A)

=Qf()QT等价关系汇总等价关系定义矩阵定义等价类代表不变量

RnnRmn相抵相似正交相似Rnn,实对称相抵标准形为初等阵i为特征值

①秩

②特征值,迹,行列式

①②

①秩

若A可相似对角化

第五章特征值与特征向量证明：5.设n阶方阵A的任一行中n个元素之和都是0,证明：0是A的一个特征值,并求出其对应的一个特征向量.所以0是A的一个特征值.对应0的一个特征向量为设n阶方阵A可逆，且A每行元素之和都等于a，证明：a0.证明:a0.

A每行元素之和都等于aa是A的特征值，(1,…,1)T是A对应于a的特征向量方阵A可逆A的特征值都不等于0A1每行元素之和等于?解：因此，对于A的任意的特征值都有因为A满足A23A+2E=O

是A的一个化零多项式，

所以A的特征值只能取1,2。(2)当A=E时，

2不是A的特征值.

1不是A的特征值.

6.设矩阵A满足A23A+2E=O,证明：A的特征值只能取1或2，举例说明1和2未必一定是A的特征值.A满足A23A+2E=O当A=2E时，

A满足A23A+2E=O解：对于A的任意的特征值都有因为A满足A2=

E

是A的一个化零多项式，

所以A的特征值只能取1,1。(2)若1不是A的特征值，7.设矩阵A满足A2

=

E,证明：A的特征值只能取1或1;若1不是A的特征值，则A

=

E.是方阵A的一个特征值

(EA)不可逆.

不是方阵A的特征值(EA)可逆.则(1EA)可逆.由A2=

E可得(A+

E)

(A

E)=O则A

=

E.解：即存在非零向量x,y,z,

使得有非零解所以A的三个特征值为1,3,1.8.设A为3阶矩阵，如果EA,3EA,E+A均不可逆，求A的迹和行列式.因为EA,3EA,E+A均不可逆是方阵A的一个特征值

(EA)不可逆.

不是方阵A的特征值(EA)可逆.证明：14.设1,2为方阵A的属于不同特征值1,2的特征向量，若k1k20,证明k11+k22不是A的特征向量.若k11+k22是A的特征向量,则存在使得因为1,2线性无关产生矛盾.因此，k11+k22不是A的特征向量.证明2：因为1,2为对应于12的特征向量，所以1,2线性无关,

设k11+k22为对应的特征向量.矛盾.

当，线性无关,矛盾.当14.设1,2为方阵A的属于不同特征值1,2的特征向量，若k1k20,证明k11+k22不是A的特征向量.k11+k22

k11+k22,1,2因此，k11+k22不是A的特征向量15.(6)解：当a=0时，A=O可以相似对角化.当a0时，A的特征值为0(n1重),

na.(过程略)111注意：要有中间过程，不能直接写结果！16.设的一个特征向量.(1)求a,b及对应的特征值.

(2)A能否相似对角化？解：(2)trA=3=1+2+32+3=4|A|=4=2323=42=3=2所以A不能相似对角化.16.设的一个特征向量.(1)求a,b及对应的特征值.

(2)A能否相似对角化？解：(2)法2：2=3=2所以A不能相似对角化.A的特征值可由特征方程求得.若A能与对角阵相似.则19.设相似.求x,y,并求可逆阵P,使得P1AP=.(1)A与B相似，则有相同的特征值.解：21.若二阶实方阵A满足|A|<0,证明：A与对角阵相似.trA=x1=y+1证明：设y=2.x=0.二阶实方阵A有两个不同的特征值，所以与对角阵相似.因

A有一个特征值2，因为|A|

<0，20.若任意n维列向量都是n阶方阵A的特征向量,证明：A是数量矩阵.证明1：显然e1,e2,…,en都是A的特征向量，所以Aei

=iei

=Ai

20.若任意n维列向量都是n阶方阵A的特征向量,证明：A是数量矩阵.证明2：显然e1,e2,…,en都是A的特征向量，所以存在可逆阵P=(e1,e2,…,en)=E使得20.若任意n维列向量都是n阶方阵A的特征向量,证明：A是数量矩阵.证明3：任意n维列向量都是A的特征向量，所以A

=，.

所以(EA)

=的非零解为任意非零向量显然e1,e2,…,en都是(EA)

=的解，所以e1,e2,…,en是(EA)

=的基础解系.所以

nr(EA)

=n

.r(EA)

=0

.A=O也成立，故A不可逆.不是方阵，不存在逆矩阵和行列式！22.设求A=T的特征值,并证明：A可以相似对角化T

0.证明：A的特征值为0(n1重),

T

(过程略)若T

=0,

则0是n重根。

所以

r(0EA)

=

r(A)=

1

n

n

=

0.从而A不可以相似对角化.矛盾.必要性：充分性：若T

0,设T对应的特征向量为0对应的n1线性无关的特征向量为1,…,n-1则,1,…,n-1线性无关.所以A可相似对角化.§5.5用Matlab解题

§5.5用Matlab解题

一.求矩阵的特征值和特征向量

>>

A=[1,2,3;0,1,2;0,0,2];[P,D]=eig(A)>>P=1.0000-1.00000.9526000.2722000.1361100010002D=第五章特征值与特征向量注:这里P不可逆.2重根1只有1个l.i.特征向量，故A不相似于对角阵.但由此可得A的特征值和特征向量.%返回A所有特征值组成的矩阵D和特征向量组成的矩阵P.特征值从小到大§5.5用Matlab解题

§5.5用Matlab解题

一.求矩阵的特征值和特征向量

>>A=[1,2,3;0,1,2;0,0,2];[P,D]=eigs(A)>>P=0.9526-1.0000

1.00000.2722

0

00.13610

0200010001D=第五章特征值与特征向量注:这里P不可逆.2重根1只有1个l.i.特征向量，故A不相似于对角阵.但由此可得A的特征值和特征向量.%返回A所有特征值组成的矩阵D和特征向量组成的矩阵P.特征值从大到小>>§5.5用Matlab解题

A=[1,2,3,4;4,1,2,3;3,4,1,2;2,3,4,1];[P,D]=eig(A)>>P=-0.50000.5000

0.5000

-0.5000-0.5000-0.0000-0.5000i

0.0000+0.5000i

0.5000-0.5000-0.5000

-0.5000

-0.5000-0.50000.0000+0.5000i

-0.0000-0.5000i

0.5000D=10.00000000-2.0000+2.0000i0000-2.0000-2.0000i0000-2.0000第五章特征值与特征向量>>§5.5用Matlab解题

A=[0,1,1,1;1,0,1,1;1,1,0,1;1,1,1,0];[P,D]=eig(A)%若A为对称阵,则P为正交阵>>P=0.7887-0.21130.28870.5000-0.2113