电磁场理论第5章：时变场

第5章

时变电磁场

作业：5-4；5-5；5-8；5-10

5.1法拉第电磁感应定律图5-1法拉第电磁感应定律(5-1)当回路线圈不止一匝时，例如一个N匝线圈，可以把它看成是由N个一匝线圈串联而成的，其感应电动势为如果定义非保守感应场Eind(称为感应电场）沿闭合路径l的积分为l中的感应电动势，那么式(5-1)可改写为(5-3)如果空间同时还存在由静止电荷产生的保守电场Ec，则总电场E为两者之和，即E=Ec+Eind。但是，所以式(5-3)也可改写为引起与闭合回路铰链的磁通发生变化的原因可以是磁感应强度B随时间的变化，也可以是闭合回路l自身的运动(大小、形状、位置的变化)。(5-4)式(5-4)变为利用矢量斯托克斯(Stokes)定理，上式可写为上式对任意面积均成立，所以5.2位移电流在3-1节已学过，电荷守恒定律的数学描述就是电流连续性方程：其微分形式是：静态场中的安培环路定律之积分形式和微分形式为和因为任意矢量A，其旋度的散度恒为零，即两式矛盾!有P298(A1.10)麦氏修订:由于所以位移电流定义位移电流密度:于是,位移电流电流分类真实电流:包括传导电流和运流电流,是实际电荷的运动形成的电流。位移电流:不是实际电荷的运动形成的电流，但与真实电流相同会产生磁场

（说明磁化电流)例计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的振幅之比（改书）。设铜中的电场为E0sinωt，铜的电导率σ=5.8×107S/m,ε≈ε0。

解：

铜中的传导电流大小为*例证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为零。解：

根据麦克斯韦方程可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为例在无源的自由空间中，已知磁场强度求位移电流密度Jd。解：无源的自由空间中J=0,式(5-22)变为5.3麦克斯韦方程组1.麦克斯韦方程组安培环路定律（修订后）

法拉第电磁感应定律磁通连续性方程

高斯定律

积分形式：如果我们假设过去或将来某一时刻，▽·B在空间每一点上都为零，则▽·B在任何时刻处处为零，所以有各方程非独立，例如：可见，由法拉第电磁感应定律推得磁通连续性方程，方程非独立。2.麦克斯韦方程的辅助方程——本构关系一般而言，表征媒质宏观电磁特性的本构关系为对于各向同性的线性媒质，式(5-30)可以写为(5-30)

在电磁场理论中，媒质是以的不同加以区分的。*3.洛仑兹力电荷(运动或静止)激发电磁场，电磁场反过来对电荷有作用力。当空间同时存在电场和磁场时，以恒速v运动的点电荷q所受的力为如果电荷是连续分布的，其密度为ρ，则电荷系统所受的电磁场力密度为上式称为洛仑兹力公式。近代物理学实验证实了洛仑兹力公式对任意运动速度的带电粒子都是适应的。*例证明均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。

解：将J=σE代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有由于例已知在无源的自由空间中，其中E0、β为常数，求H。解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，即J=0,ρ=0。由上式可以写出：5.4时变电磁场的边界条件图5-3法向分量边界条件1.一般情况如果分界面的薄层内有自由电荷，则圆柱面内包围的总电荷为由上面两式，得电位移矢量的法向分量边界条件的矢量形式为或者如下的标量形式：若分界面上没有自由面电荷，则有然而D=εE，所以综上可见，如果分界面上有自由面电荷，那么电位移矢量D的法向分量Dn越过分界面时不连续，有一等于面电荷密度ρS的突变。如ρS=0，则法向分量Dn连续；但是，分界面两侧的电场强度矢量的法向分量En不连续。磁感应强度矢量的法向分量的矢量形式的边界条件为或者如下的标量形式的边界条件：由于B=μH，所以图---切向分量边界条件将麦克斯韦方程*设n(由媒质2指向媒质1)、l分别是Δl中点处分界面的法向单位矢量和切向单位矢量，b是垂直于n且与矩形回路成右手螺旋关系的单位矢量，三者的关系为将麦克斯韦方程因为有限而h→0，所以如果分界面的薄层内有自由电流，则在回路所围的面积上，综合以上三式得*b是任意单位矢量，且n×H与JS共面(均切于分界面)，所以如果分界面处没有自由面电流，那么由上式可以获得2.两种特殊情况!

一、两介质面的边界条件

因为不导电，所以面上ρs=0且JS=0，

有：它们相应的标量形式为二、理想导体与(理想)介质的分界面理想导体是指σ→∞，所以在理想导体内部不存在电场。此外，在时变条件下，理想导体内部也不存在磁场。故在时变条件下，理想导体内部不存在电磁场，即所有场量为零。设n是理想导体的外法向矢量，E、H、D、B为理想导体外部的电磁场，那么理想导体表面的边界条件为：

重要结论电场垂直于导体表面，磁场平行于导体表面！例设z=0的平面为空气与理想导体的分界面，z<0一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为试求理想导体表面上的电流分布（书上有错！）

解：**例设区域Ⅰ(z<0)的媒质参数εr1=1,μr1=1,σ1=0；区域Ⅱ(z>0)的媒质参数εr2=5,μr2=20,σ2=0。区域Ⅰ中的电场强度为区域Ⅱ中的电场强度为试求：(1)常数A；(2)磁场强度H1和H2；(3)证明在z=0处H1和H2满足边界条件。解：(1)在无耗媒质的分界面z=0处，有由于E1和E2恰好为切向电场，

(2)根据麦克斯韦方程有所以同理，可得(3)将z=0代入(2)中得5.5时变电磁场的能量与能流考虑一般情况。在一有耗的导电媒质中存在电磁场，媒质的电导率为σ，电场会在此有耗导电媒质中引起传导电流J=σE，根据焦耳定律，在体积V内由于传导电流引起的功率损耗是由麦克斯韦方程式利用矢量恒等式利用散度定理上式可改写为这就是适合一般媒质的坡印廷定理。利用矢量函数求导公式对于各向同性的线性媒质，即D=εE,B=μH,J=σE,可知，同理，对于各向同性的线性媒质，坡印廷定理表示如下：为了说明式(5-44)的物理意义，我们首先假设储存在时变电磁场中的电磁能量密度的表示形式和静态场的相同，即w=we+wm。其中，we=1/2(D·E)为电场能量密度，wm=1/2(B·H)为磁场能量密度，它们的单位都是J/m3。另外，引如一个新矢量称为坡印廷矢量，单位是W/m2。据此，坡印廷定理可以写成上式右边第一项表示体积V中电磁能量随时间的增加率，第二项表示体积V中的热损耗功率(单位时间内以热能形式损耗在体积V中的能量)。根据能量守恒定理，上式左边一项-∮SS·dS=-∮S(E×H)·dS必定代表单位时间内穿过体积V的表面S流入体积V的电磁能量。因此，面积分∮SS·dS=∮S(E×H)·dS表示单位时间内流出包围体积V的表面S的总电磁能量。由此可见，坡印廷矢量S=E×H为通过S面上单位横截面积的电磁功率。面积

讨论之一：在静电场和静磁场情况下，由于电流为零以及，所以坡印廷定理只剩一项∮S(E×H)·dS=0。由坡印廷定理可知，此式表示在场中任何一点，单位时间流出包围体积V表面的总能量为零，即没有电磁能量流动。由此可见，在静电场和静磁场情况下，S=E×H并不代表电磁功率流密度。讨论之二：在恒定电流的电场和磁场情况下，，所以由坡印廷定理可知，∫VJ·EdV=-∮S(E×H)·dS。因此，在恒定电流场中，S=E×H可以代表通过单位面积的电磁功率流。它说明，在无源区域中，通过S面流入V内的电磁功率等于V内的损耗功率。讨论之三：在时变电磁场中，S=E×H代表瞬时功率流密度，它通过任意截面积的面积分P=∫S(E×H)·dS代表瞬时功率。例试求一段半径为b，电导率为σ，载有直流电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。

解：如图5-5，一段长度为l的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是有图5-5坡印廷定理验证在导线表面，因此，导线表面的坡印廷矢量它的方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有

例一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I，内、外导体间的电压为U。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可以求出同轴线内、外导体间的电场和磁场：(见P43)上式说明电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率为这一结果与电路理论中熟知的结果一致。（再举例说明能量在导线外传输）5.6正弦电磁场1.正弦电磁场的复数表示法

时变电磁场的任一坐标分量随时间作正弦变化时，其振幅和初相也都是空间坐标的函数。以电场强度为例，在直角坐标系中:式中电场强度的各个坐标分量为与电路理论中的处理相似，利用复数或相量来描述正弦电磁场场量，可使数学运算简化：对时间变量t进行降阶(把微积分方程变为代数方程)减元(消去各项的共同时间因子ejωt)。例如，可见有下一一对应关系：因此，我们也把称为瞬时值Ex(x,y,z,t)=Exm(x,y,z)cos［ωt+φx(x,y,z)］的复数形式。给定函数Ex(x,y,z,t)=Exm(x,y,z)cos［ωt+φx(x,y,z)］，有唯一的复数与之对应；反之亦然。同理，电场强度矢量也可用复数表示为式中称为电场强度的复矢量，它只是空间坐标的函数，与时间t无关。这样我们就把时间t和空间x、y、z的四维(x,y,z,t)矢量函数简化成了空间(x,y,z)的三维函数，即

若要得出瞬时值，只要将其复振幅矢量乘以ejωt并取实部，便得到其相应的瞬时值：例将下列用复数形式表示的场矢量变换成瞬时值，或作相反的变换。例将下列场矢量的复数形式写为瞬时值形式。2.麦克斯韦方程的复数形式在复数运算中，对复数的微分和积分运算是分别对其实部和虚部进行的，并不改变其实部和虚部的性质，故上式交换运算顺序，有：因为t的任意性，故:以及电流连续性方程的复数形式：同理，有：（画图说明两套方程的关系。同学作笔记）3.时间平均坡印廷矢量对正弦电磁场，当场矢量用复数表示时：从而坡印廷矢量瞬时值可写为******它在一个周期T=2π/ω内的平均值为Sav它与时间t无关，表示复功率流密度，其实部为平均功率流密度(有功功率流密度)，虚部为无功功率流密度。注意式中的电场强度和磁场强度是复矢量而不是瞬时值；E*、H*是E、H的共扼复数，Sav称为（时间）平均坡印廷矢量。(可以证明)*4.复介电常数与复磁导率媒质在电磁场作用下呈现三种状态：极化、磁化和传导，它们可用一组宏观电磁参数表征，即介电常数、磁导率和电导率。在静态场中这些参数都是实常数；而在时变电磁场作用下，反映媒质电磁特性的宏观参数与场的时间变化有关，对正弦电磁场即与频率有关。研究表明：一般情况下(特别在高频场作用下)，描述媒质色散特性的宏观参数为复数，其实部和虚部都是频率的函数，且虚部总是大于零的正数，即对于具有复介电常数的导电媒质，考虑到传导电流J=σE,上式表明，导电媒质中的传导电流和位移电流可以用一个等效的位移电流代替；导电媒质的电导率和介电常数的总效应可用一个等效复介电常数表示，即其中

例已知无源(ρ=0,J=0)的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量式中k、E0为常数。求：(1)磁场强度复矢量；(2)坡印廷矢量的瞬时值；(3)平均坡印廷矢量。

解：

(1)由得(2)电场、磁场的瞬时值为所以，坡印廷矢量的瞬时值为(3)平均坡印廷矢量：5.7波动方程考虑媒质均匀、线性、各向同性的无源区域(指无激励源即J=0,ρ