概率论与数理统计：期中复习

第一章学习要点：随机现象与随机试验样本空间与随机事件频率的基本特征概率的三个基本特征（公理化定义）等可能概型（古典概型）条件概率全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式事件间的独立性事件运算的基本定律一些性质如果且，则A和B称为样本空间S的一个划分。更一般地，如果对于任意i≠j，且

则互不相容。多个事件的并：“n个事件A1,A2,⋯,An中至少有一个发生”也是一事件，称为事件A1,A2,⋯,An的和或并，记作“可列个事件A1,A2,⋯,An⋯中至少有一个发生”也是一事件,称为A1,A2,⋯,An⋯的和或并，记作多个事件的交：“n个事件A1,A2,⋯,An同时发生”也是一事件，称为事件A1,A2,⋯,An

的交或积，记作“可列个事件A1,A2,⋯,An…同时发生”也是一事件,称为A1,A2,⋯,An…的交或积，记作3、频率的基本性质0≤fn(A)≤1；(非负性)fn(S)=1；(规范性)若A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则

(有限可加性)

将有限可加性加强到可列可加性。将此三条基本性质作条件，引入概率定义。3、概率的基本性质（性质定理）

定理1(不可能事件的概率为零)：

定理2（有限可加性）：有限个互不相容事件的和事件的概率等于各事件概率之和，即：若A1，A2，⋯An是两两不相容事件，则有

1、定义（条件概率）：若A和B

是同一试验的两个事件，且P(A)>0，称

为在事件A发生的条件下，事件B

发生的概率。可以验证，条件概率满足概率公理化定义中的三个基本条件（非负型、规范性、可列可加性）。

2、性质

条件概率具有与普通概率相对应的性质。如：若B∩C＝Ф，则对任意事件A和B，有1.5.1条件概率与乘法原理

3、乘法原理

定理1（多个事件的乘法原理）：若P(A1A2…An-1)>0，则

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)

P(A3|A1A2)

…P(An

｜A1A2…An-1)2、全概率公式定理：设S为随机试验E的样本空间，B为E的事件事件，A1，A2，…

，An为样本空间S的一个划分，且P(Ai)>0(i

＝1，2，…，n)。则事件B的概率分解计算公式

3、贝叶斯公式定理：设S为随机试验E的样本空间，B为E的事件，Ａ1，Ａ2，…

，Ａn为S的一个划分，且P(B)>0，P(Aj)>0

（j=1,2,…，n

）。则P(Aj|B)表示：B事件发生了,反过去寻找第j个子事件Aj对B事件发生的概率贡献。贝叶斯公式的两个特例：独立性事件间独立定义：

设A、B为同一随机试验中的两个事件，如果满足等式

P(AB)=P(A)P(B)，则称A、B为相互独立的事件，简称独立。定理2：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：与B；A与；与

性质定理1：设A、B是两事件，且P(B)＞0，则A、B相互独立的充分必要条件是P(A|B)=P(A)。

A、B、C相互独立2、n个事件的独立性（1）定义：n个事件A1,A2,…,An，如果对于任意k（1＜k≤n），任意1≤i1＜i2＜…ik≤n，满足等式则称A1，A2，…An是相互独立的事件。（2）说明：要说明A1，A2，…，An相互独立，需验证上述多个等式成立。另外：1)若n个事件A1,A2,…,An独立，则其部分事件组也独立；2)若n个事件A1，A2，…，An独立，则将其中部分事件换为对立事件所得的事件组也独立。3)

若A1，A2，…An是相互独立的，则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)第二章学习要点：随机变量的概念离散型随机变量的分布律随机变量的分布函数连续型随机变量及其概率密度随机变量的函数的分布2.2离散型随机变量的分布律2.2.1分布律的定义及意义1、定义（分布律）：若随机变量X所有可能的取值为x1，x2，…，xi，…，且X取这些值的概率为

P(X=xi)=pi,i=1,2,…

（2.1）则称式(2.1)

为离散型随机变量X的分布律。2、分布律的性质：（1）

pi≥0；（2）3、分布律的意义：分布律表明离散随机变量取各个值各占一定的概率，总和为1；换句话，概率1以一定规律分布在各个可能值上。

离散随机变量的常见分布有三种：两点分布、二项分布、泊松分布。1、两点分布（0－1分布）：若随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律为或Xpk0p11−p其中p一般表示某事件发生的概率。

注意：X

服从参数为p的0－1分布,也称为贝努利分布，记作

X～b(1,p)。其分布可表示为2.2.2几种常见的分布律2、贝努利试验与二项分布，则称E为（1）贝努利试验：若试验E只有两个可能的结果A和

将E独立、重复地进行n次，则这一串重复的独立试验称为n重贝努利试验。独立：指各次试验结果互不影响；重复：指保持P(A)=p不变。贝努利试验。若P(A)=p（0<p<1），则（2）二项分布：用随机变量X表示n重贝努利试验E中结果A发生的次数，则其分布律为：令q=1－p，则所以称随机变量X是服从参数n，p的二项分布，记为

显然，两点分布是n=1时的二项分布。3、泊松分布（1）泊松分布律：设随机变量X的所有可能取值为0，1，2，…，而各个值得概率为（2）泊松定理：设X～b(n,p)，若n很大p很小，但λ＝np恒定，则

泊松定理表明：泊松分布是二项分布在n很大且p很小时取得的极限形式。则称X表服从参数为λ的泊松分布，记为随机变量的分布函数2.3.1分布函数的定义和意义1、定义（随机变量的分布函数）设X为一个随机变量（离散或非离散），称为X的分布函数，x为参变量。

如图，如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间内的概率；而X落在区间内的概率为

xxX0xx2X0x1所以，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律。通过分布函数这个普通的函数，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量。

2、意义3、计算一般地，设离散型随机变量X的分布律为则其分布函数为即F(x)是X的所有取值中不大于x的诸xk的概率之和。

2.3.2分布函数的性质利用分布函数的定义、概率的非负性等，可证分布函数的以下性质：

（1）F(x)是一不减函数（单调性）：若x1<x2,则F(x1)F(x2)；特别地，P(a<Xb)=F(b)–F(a)

。（2）（3）F(x)右连续，即对任意实数x0，有

反之，如果一个函数具有性质(1)~(3)，则一定是某个随机变量X的分布函数；也就是说，性质(1)~(3)是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件。

（4）P(X=x0)=F(x0)–F(x0–0)；若F(x)在X=x0处连续，则

P(X=x0)=0。连续型随机变量的概率密度函数2.4.1定义和性质1、定义（连续型随机变量，概率密度函数）对随机变量X为的分布函数F(x)

，如果存在非负函数f(x)

（−∞<x<∞），使对任意x有，2、概率密度函数的性质（1）非负性：f(x)

≥0；（2）归一性：则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。

显然，连续型随机变量的分布函数是连续函数。

f(x)xo面积为1

上述性质是一函数能否成为某随机变量的概率密度函数的充要条件。连续型随机变量的常见分布有三种：均匀分布、指数分布、正态分布。连续型随机变量的常见分布（1）均匀分布如果随机变量X的概率密度为2）均匀的分布函数为：则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。记为X～U[a,b]特点：1）服从均匀分布的随机变量，在区间（a,b）中任意等长的子区间内出现的可能性相同，与子区间位置无关。事实上，对起点c任意但长度为l的子区间（c,c+l），若a≤c<c+l≤b，则（2）指数分布如果随机变量X的概率密度为2）指数分布的分布函数为：其中θ

>0为常数，则称X在服从参数为θ的指数分布。记为X～E(θ)。特点：1）无记忆性——对任意的s，t>0，有（p.46）（3）正态分布如果随机变量X的概率密度为2）单调性与最大值——由于其中μ和σ为常数，且σ

>0。则称X在服从参数为μ和σ的正态分布（或高斯分布）。记为X～N(μ,σ2)。特点：

1）对称性——正态分布的概率密度函数f(x)关于x=μ对称，所以对任意h，有

所以f(x)在(−∞，μ

]上单调增加，在[μ，∞）上单调减小，在x=μ处取得最大值3）拐点

由于

所以f(x)在x=μ±σ处为拐点，以Ox轴为渐进线（x=→±∞时，f(x)→0）。4）位置与形状正态分布曲线f(x)的位置由μ决定，形状由σ决定，所以两个参数分别称为位置参数和形状参数。5）标准正态分布标准正态分布X～N(0,1)

：μ=0、σ=1时的正态分布μ1μ2f(x)xf(x)xσ=2σ=0.5σ=1

标准正态分布：X~N(0,1)即当=0，=1时的正态分布。密度函数分布函数I.II.III.IV.可查标准正态分布表计算概率（P.382)V.上α分位点

对给定的α（0<α<1），满足条件

的点zα，称为标准正态分布的上α分位点。显然VI.3σ准则满足正态分布的随机变量，其几乎全部取值集中在区间，超出该范围的可能性仅占0.26%。

事实上，设X~N(,2)，则

P{|X−

|﹤}=P{

―＜X＜

+}类似可得

9546.01)2(2}2|{|=-=<-smXP9974.01)3(2}3|{|=-=<-smXPf(x)Zαx0面积为αf(x)μ+3σx0面积为0.0013μ连续型随机变量的函数的分布1、分布函数法：一般地，若连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)（−∞<x<∞），Y=g(X)是X的连续函数，则Y的分布函数为而Y的概率密度函数为注意：由Y=g(X)确定Y的定义域。

一般地，若已知X的概率密度为fX(x),求其函数Y=g(X)的概率密度fY(y)分两个步骤：(a)

根据分布函数的定义,求Y的分布函数FY(y)；

(b)由fY(y)=F(y),求出fY(y)。定理：设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)（−∞<x<∞），又设函数g(x)为处处可导且恒有g(x)>0（或g(x)<0），则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度函数为其中，h(y)是g(x)的反函数。2、公式法：x≧10≦x<1第三章多维随机变量及其分布学习要点：二维随机变量及其分布边缘分布条件分布随机变量的独立性两个随机变量的函数的分布1、定义和几何意义

设(X,Y)是二维随机变量，对任意给定的实数x和y，二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

如果将X和Y看作平面上随机点的坐标，那么分布函数F(x,y)的值就表示(X,Y)落在区间内的概率，而(X,Y)落在矩形区域的概率为(x,y)(X,Y)xyXYx2(X,Y)xyx1y1y2一维情况3.1.2二维随机变量的分布函数2、性质（1）单调性：F(x,y)是关于x和y的不减函数。即：

对任意确定的y，若则对任意确定的x，若则0（2）归一性：对任意确定的y，有对任意确定的x，有另外，

（3）连续性：F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续：

（4）矩形不等关系：对任意(x1,x2)和(y1,y2)，其中x1<x2且y1<y2，下列不等关系成立：1、定义设二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)

为二维离散型随机变量。2、联合分布律设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值为(xi,yj)，i,j=1，2，…。记称为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X和Y的联合分布律，它具有非负性和归一性，即二维离散型随机变量及其分布律3、联合分布函数与联合分布律的关系设随机变量X和Y的联合分布律为pij，则它们的联合分布函数为1、定义对二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，若存在非负函数f(x,y)，使对任意的x和y都有2、联合概率密度函数的性质（1）非负性：f(x,y)≥0；则称(X,Y)为二维连续型随机变量，非负函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度函数，或随机变量X和Y的联合概率密度函数。二维连续型随机变量及其概率密度函数

（2）归一性：

（3）(X,Y)落入平面上某区域Ω的概率

：

（4）在f(x,y)的连续点(x,y)，有：所以(X,Y)落入平面上某小区域ΔxΔy的概率为3.2.1边缘分布函数

二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有分布函数F(x,y)。由于X和Y都是随机变量，所以也有自己的分布，分别记为FX(x)和FY(y),称为二维随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布。而且3.2.2离散型随机变量的边缘分布律

一般地，对二维离散型随机变量(X,Y)，若X和Y的联合分布律为则由于，所以(X,Y)关于X的边缘分布律为同理，所以(X,Y)关于Y的边缘分布律为3.2.3连续型随机变量的边缘概率密度函数设二维连续型随机变量(X,Y)具有概率密度函数f(x,y)，则由于所以，(X,Y)关于X的边缘概率密度函数为同理，(X,Y)关于Y的边缘概率密度函数为1、二维均匀分布设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）在G上服从均匀分布。

向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域的概率与小区域的面积成正比，而与小区域的形状及位置无关，则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布。

G3.2.4两个常见的二维分布2、二维正态分布若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）服从参数为的二维正态分布。其中为常数，记作（X,Y）～N()离散型随机变量的条件分布律定义（条件分布律）设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y=yj}>0，则称注意：条件分布具有概率的一切性质，如非负性、规范性等。，i=1，2，…3.3.2连续型随机变量的条件概率密度函数1、定义（条件概率密度函数）设二维连续型随机变量(X,Y)的联合机变量概率密度函数为f(x,y)，关于X和Y的边缘概率密度函数分别为fX(x)和fY(y)。若对固定的x,有fX(x)>0或对固定的y,有fY(y)>0，则分别称为在Y=y条件下随机变量X的条件概率密度函数和在X=x条件下随机变量X的条件概率密度函数。和相应地，分别称和为在Y=y条件下随机变量X的条件分布函数和在X=x条件下随机变量X的条件分布函数。3.4随机变量的独立性对于连续型随机变量，上式等价于性质：若连续型随机变量X和Y相互独立，则

由随机事件的独立性定义得知，随机变量X和Y相互独立指联合分布满足条件两个随机变量的函数的分布：卷积公式当X和Y独立时Z=Y/X及Z=XY的分布M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y)。1、Z=max(X,Y)的分布函数FZ(z)=FX(z)FY(z)

2、W=min(X,Y)的分布函数FW(w)=1−[1−FX(w)][1−FY(w)]

设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为

(i=1,…,n)

用与二维时完全类似的方法，可得：N=min(X1,…,Xn)的分布函数为

M=max(X1,…,Xn)的分布函数为特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有

第四章最常用的数字特征：随机变量的数学期望随机变量的方差不同随机变量的协方差及相关系数矩、多维随机变量的协方差矩阵4.1.4数学期望的性质1、设c是常数，则E[c]=c；4、设X、Y相互独立，则E[XY]=E[X]E[Y]；2、若k是常数，则E[kX]=kE[X]；3、E[X+Y]=E[X]+E[Y]；（诸Xi相互独立时）注意:由E[XY]=E[X]E[Y]