《常微分方程》教学大纲

教学大纲一、教学目的、任务天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用.通过本课程学习，不仅为后行课程打下基础，而且以穿插其中的在历史上成功利用微分方程解释实际现象的著名范例来培养学生用数学理论解决实际问题的意识和初步能力.实行中英双语教学，适时穿插工程实践背景的应用分析，培养学生的动手能力和创新意识.二、教学内容的结构分为六章内容讲解，具体地：微分方程建模（8学时）;初等积分法(12学时);线性系统(8学时);常系数线性系统(124学时);一般理论(12学时);定性理论初步(12学时).三、单元教学目标与任务第一章绪论1、基本内容常微分方程模型（Duffing机械振动、VandePol文二体问题、生态种群竞争系统、物理化学系统）;微分方程求解思想（微分方程的几何解释，包括等倾线与方向场分析等）;（线性”与“非线性”微分方程2、基本要求了解微分方程的背景和建模过程;理解微分方程的定解条件，尤其是初值条件;掌握高阶方程与一阶方程组的互化;理解等倾线与方向场与解的关系3、建议课时（8学时）常微分方程模型(2学时);微分方程求解思想(4学时);基本问题(1学时);习题课(1学时第二章初等积分法1、基本内容变量分离形式（齐次方程和线性分式方程求解）;恰当方程形式（对恰当方程求通积分，以及积分因子法）;隐式方程（微分法与参数法）;初等积分法的一些应用（奇解与包络并引伸出解的存在唯一性问Clairaut方程2、基本要求掌握分离变量法和积分因子法;理解恰当方程的条件;分法与参数法;了解奇解与包络.3、建议课时（12学时变量分离形式及习题课(4学时);恰当方程形式及习题课(3学时);隐式方程(2学时);初等积分法的一些应用及习题课(3学时第三章线性方程1、基本内容存在性与唯一性;齐次线性方程组的通解结构（含叠加原理、Wronsky行列式及Liouville定理）;非齐次线性方程组的通解（公式）;高阶线性方程;复值解和级数解法（为常系数问题的特征理论打基础2、基本要求掌握叠加原理、WronskyLiouville定理;掌握非齐次线性方程组通解结构、常数变易法和常数变易公式;理解线性方程组的复值解和高阶线性方程线性理论;了解级数解法.3、建议课时（8学时）存在性与唯一性(2学时);齐次线性方程组的通解结构(2学时);非齐次线性方程组的通解及习题课(2学时);高阶线性方程(1学时);复值解和级数解法(1学时第四章常系数线性方程1、基本内容齐次问题（系）;非齐次问题（非齐次方程特解算子解法、算子与逆算子思想）;常系数线性方程组根情形的基本解矩阵，矩阵指数函数exp(At)、Jordan标准型）;应用:机械振动（现象）.2、基本要求Euler待定指数函数法;理解重特征根情形的基本解矩阵的计算思想并掌握计算方法;掌握常系数高阶线性方程的算子解法;了解机械振动问题3、建议课时（12学时）齐次问题(2学时);非齐次问题(2学时);习题课(1学时);常系数线性方程组(3学时);应用:机械振动及习题课（4学时第五章一般理论1、基本内容Picard存在唯一性定理（含LipschitzPicard压缩计算实验）;Peano（EulerAscoli-Arzela引理）;解的延拓（含延拓基本定理、整体存在性条件、有限时间爆破微分不等式与比较定理;解对初值和参数的依赖性（的导数满足的微分方程）;微分方程数值解（数值计算和仿真实验2、基本要求Picard存在唯一性定理的结论及证明;理解解的延拓定理和解对初值和参数的连续依赖性和可微性;Peano存在性定理;了解解的数值逼近3、建议课时（12学时）Picard存在唯一性定理（2学时）;Peano存在性定理（2学时）;解的延拓及习题课（2学时）;微分不等式与比较定理（2学时）;解对初值和参数的依赖性（2学时）;微分方程数值解及习题课（2学时第六章定性理论初步1、基本内容动力系统概念（含自治系统轨道基本性质、极限点集）;Liapunov稳定性（LiapunovGronwall不等式判断）;Liapunov直接法（Liapunov函数）;平面平衡点分析;Poincare映射（含离散周期现象介绍）;Hamilton系统2、基本要求了解动力系统概念;掌握稳定性概念和特征值判定;理解李雅普诺夫直接法和轨道基本性质及极限点集性质;掌握平面初等奇点判定;了解极限环与周期现象;Hamilton系统3、建议课时（12学时）动力系统概念（2学时）;Liapunov稳定性（2学时）;Liapunov直接法及习题课（2学时）;平面平衡点分析（2学时）;Poincare映射（2学时）;Hamilton系统及习题课（2学时）.四、教学活动以及教学方法上的基本要求“双语教学”寻找，更快捷地走进国际学术发展的潮流；将过去单一的作业考试（Assignmen（Presentation、咨询(Inquiry)(Discussion)(Essay)的全方位开放APIDET教学模式。增强师生互动，把学生从应考能手培养成具有创新意识和动手能力的科研好手；结合制定本科生“小火花”科研项目的实施。数学是一门以思维为主的学科，其教学的一个突出特点是在课堂上展现思维过程。要让学生懂得推理的指导思想、思维线索、推理技术，懂得“是怎么想出来的”，而不是对图片、实验现象的可视信息的展示。根据