大一上-p5函数连续与间断

1.5

函数的连续与间断x0

x0

x0

xy

f

(

x)xyx1.函数的改变量（增量）设函数f

(

x)在U

(

x0

)内有定义,

x

U

(

x0

),x

x

x0

,

称为自变量在点x0的改变量.y

f

(x)

f

(x0

),称为函数f

(x)相应于x的改变量.y

y0x0x0

xxyy

f

(

x)2.连续的定义定义

1

设函数

f

(

x)

在U

(

x0

)内有定义,如果当自变量的改变量x

趋向于零时,对应的函数的改变量y

也趋向于零,即lim

y

0x

0或x

0lim[f

(x0

x)

f

(x0

)]

0,那末就称函数

f

(

x)在点x

连续,x

称为

f

(

x)

的连续点.0

0改变量式设

x

x

x,0y

f

(

x)

f

(

x

),0x

0

就是

x

x

,

y

0

就是

f

(

x)

f

(

x

).0

0定义1*设函数f

(x)在U

(x0

)内有定义,如果函数

f

(

x)

当x

x

时的极限存在,且等于它在000

0点x

处的函数值

f

(

x

),即

lim

f

(

x)

f

(

x

)x

x0定义1**那末就称函数

f

(

x)

在点x

连续.

极限式0"

"恒有

f

(

x)

f

(

x

)

.0则称f

(x)在点x0处连续.设函数f

(x)在点x0及其邻域有定义,

0,

0,

使当

x

x

时,0例1处连续.1x

0,

在x

00,

x

0,试证函数f

(x)

x

sin

x

,证xx

0lim

x

sin

1

0,又f

(0)

0,由定义2知函数f

(x)在x

0处连续.lim

f

(

x)

f

(0),x03.单侧连续则称f

(x)在点x0处左连续;f

(

x)

f

(

x0

),0若函数f

(x)在(a,x0

]内有定义,且limx

x则称f

(x)在点x0处右连续.0若函数f

(

x)在[

x0

,

b)内有定义,且

lim

f

(

x)

f

(

x0

),x

x

恒有f

(x)

f

(x0

)

.

0,

0,使当x0

x

x0时,"

"定义"

"定义设函数f

(x)在点x0及其左邻域有定义,则称f

(x)在点x0处左连续.设函数f

(x)在点x0及其右邻域有定义,

0,

0,使当x0

x

x0

时,恒有

f

(

x)

f

(

x0

)

.

则称f

(

x)在点x0处右连续.定理函数f

(x)在x0

处连续

是函数f

(x)在x0处既左连续又右连续.xa

xaxa(根据lim

f

(

x)

A

lim

f

(

x)

A

lim

f

(

x))x

x0

f

(

x)

f

(

x0

)

lim

f

(

x))x

x0x

x0(

lim

f

(

x)

f

(

x0

)

lim例2连续性.解

lim

f

(

x)

lim(

x

2)

2

f

(0),x0

x0lim

f

(

x)

lim(

x

2)

2

f

(0),x0

x0右连续但不左连续,故函数

在点fxx

处不连续(.x

0,x

0,在x

0处的

x

2,函数f

(x)

x

2,例1：

函数

xf)(1e

x

,

x

00,

x

0x

0sin

x

,x在x

0处的连续性。xx0

x0

lim

fx()

lim

sin

x

f

(),

0不右连续,

故

f

(

x)在x

0处不连续lim

f(

x)

lim

e

x

0

f(0),x0

x01解：

f

(x)在x

0处左连续例7：设x

1, x

1f(x)=1

,

x

1在x=1处的连续性。lim

f

(

x)

lim

(

x

1)

2x1

x1lim

f

(

x)

lim

(

x

1)

2x1

x1lim

f

(

x)

2

f

(1)

1x1

f

(x)在x

1处间断。注：可以重新定义：f(1)=2使得f(x)在x=1时连续。所以x=1称为该函数的可去间断点。例7题解：f(x)在x=1处有定义，且f(1)=1。但是：4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.如果函数在开区间(a,b)内连续,并且在左端点

x

a处右连续,在右端点x

b处左连续,则称函数f

(x)在闭区间[a,b]上连续.闭区间[a,b]上连续的函数全体形成的集合记为C[a,b],即，C[a,b]

{f

f

:[a,b]

R连续}连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.oxy(

x,

y)xaby

f

(

x)例如,

有理函数在区间(,)内是连续的.0Q(

x)因为有理函数

f

(

x)

P(

x)

,

且Q(

x

)

0,

则有lim

Q(

x)lim

P(

x)x

x0x

x0lim

f

(

x)

x

x0

0

Q(

x0

)P(

x

)0

f

(

x

).例如：多项式函数P(

x)

an

xn

a1

x

a0在(,)是连续的,因为lim

P(

x)

P(

x0

)x

x0例3

证明函数y

sin

x在区间(,)内连续.证任取x

(,),y

sin(

x

x)

sin

x

2

sin

x

cos(

x

x

)2

2

cos(x

x

)

1,

则y

2

sin

x

.2

2对任意的,

当

0时,

有sin

,2故

y

2

sin

x

x

,当x

0时,y

0.即函数y

sin

x对任意x

(,)都是连续的.类似的可证，cos

x在（

，

）上连续

f

(

x)在x0

0处连续同理可证指数函数a

x

在（

，

）上也连续例2

证明函数f

(x)

ex

在（

，

）上连续证明：先证e

x

在x

0处连续.

0,(不妨设0

1),

解不等式

e

x

e0

,

1

ex

1

ln(1

)

x

ln(1

).取

min{

ln(1

),ln(1

)},则x

U(0,

)时，ex

e0

lim

ex

e0

1x0

ex0

(ex

x0x0

(,),

ex

ex0

1),由ex

在x

0处连续，

lim

ex

x0

lim

eu

1,x

x0

u0

lim

e

x

e

x0

,x

x00

ex

在x

处连续.4、函数的间断点函数f

(x)在点x0处连续必须满足的三个条件:f

(x)在点x0处有定义;lim

f

(x)存在;x

x0(3)

lim

f

(

x)

f

(

x0

).x

x0如果上述三个条件中只要有一个不满足,

则称函数

f

(

x)在点x0处不连续(或间断),

并称点x0为f

(

x)的不连续点(或间断点).振荡间断点.无穷间断点第二类间断点可去间断点第一类间断点跳跃间断点函数的间断点点x0是第一类间断点0函数f

(

x)的左极限f

(

x

)点x0是第二类间断点至少有一个不存在和右极限00f

(

x

)函数f

(

x)的左极限f

(

x

)1.跳跃间断点

如果

f

(

x)在点x0处左,

右极限都存在,但f

(

x

0)

f

(

x

0),

则称点x

为函数0

0

0f

(x)的跳跃间断点.例40,,1在x

0处的连续性.x

0,,

x x

函数f

(x)

x解f

(0

)

0,f

(0

)

1,

f

(0

)

f

(0

),

x

0为函数的跳跃间断点.oxy2.可去间断点义则称点x0为函数f

(x)的可去间断点.如果f

(x)在点x0处的极限存在,0

0但lim

f

(

x)

A

f

(

x

),

或

f

(

x)在点x

处无定x

x0例5在x

1处的连续性.函数1,

xf

(

x)

oxy121y

1

xy

2

x解

f

(1)

1,f

(1

)

2,

f

(1

)

2,

lim

f

(

x)

2

f

(1),x1

x

1为函数的可去间断点.如例5中,令f

(1)

2,在x

1处连续.1

x,x, 0

x

1,x

1,则f

(x)

2跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点

函数在点x0处的左、右极限都存在,但是函数不连续.oxy121例：函数y

sin

x

,点x

0是可去间断点,x

limx0该函数在x

0处连续.

1,

x

0.注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点，这种过程称为对函数的连续延拓.xsin

x

,

x

0;f

(

x)

补充定义后:sin

x

limx0xsin

x

sin

x

1

lim

,x0xx3.第二类间断点如果f

(x)在点x0处的左、右极限至少有一个不存在,则称点x0为函数

f

(x)的第二类间断点.例6在x

0处的连续性.x

,0,xx

,0,

1函数

xf)(

x解

f

(0

)

0,oxyf

(0

)

,

x

1为函数的第二类间断点.这种情况称为无穷间断点.例71函数

xf

sin)(

在x

0处的连续性.x解在x

0处没有定义,xy

sin

1不存在.1x且lim

sinx

0

x

0为第二类间断点.这种情况称为的振荡间断点.注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.当x是有理数时,0,

当x是无理数时,y

D(

x)

1,雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.

x,★

f

(

x)

x,当x是有理数时,当x是无理数时,仅在x=0处连续,

其余各点处处间断.★ox1x2x3x在定义域

R内每一点处都间断,

但其绝对值处处连续.判断下列间断点类型:yy

f

x

1,

当x是无理数时,★

f

(

x)

1,当x是有理数时,例8当a取何值时,a

x,

x

0,函数

f

(

x)

cos

x,

x

0,

在

x

0处连续.解

f

(0)

a,lim

f

(

x)

lim

cos

x

1,x0

x0lim

f

(

x)

lim(a

x)

a,x0

x0要使

f

(0

)

f

(0

)

f

(0),故当且仅当a

1时,函数f

(x)在x

0处连续.

a

1,小结函数在一点连续必须满足的三个条件;区间上的连续函数;间断点的分类与判别;第一类间断点:可去型,跳跃型.间断点第二类间断点:无穷型,振荡型.(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxx0oyxx0oyxx01.5.2连续函数的运算四则运算的连续性定理1

若函数

f

(

x),

g(

x)在点x0处连续,0g(

x)则

f

(

x)

g(

x),

f

(

x)

g(

x),

f

(

x)

(

g(

x

)

0)在点x0处也连续.例如,sin

x,cos

x在(,)内连续,故tan

x,cot

x,secx,cscx

在其定义域内连续.即：三角函数在其定义域上处处连续。反函数与复合函数的连续性定理2

严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.2

2例如,

y

sin

x在[

,

]上单调增加且连续,故y

arcsin

x

在[1,1]上也是单调增加且连续.同理y

arccos

x

在[1,1]上单调减少且连续;y

arctan

x,y

arccot

x

在[,]上单调且连续.反三角函数在其定义域内皆连续.a

x

在（

，

）上连续，

log

x在（0，

）上连续a反三角函数、对数函数在其定义域上连续。函数y

f

(

x)与其反函数x

(

y)的图形相同.x

x00对于

0,

0,

使当

0

x

x

时,定理3

若

lim

(

x)

a,

函数

f

(u)在点a连续,x

x0则有lim

f

[(

x)]

f

(a)

f

[

lim

(

x)].x

x0

x

x0特别的，

设函数u

(

x)在点x

x0连续,

且(

x0

)

u0

,

而函数

y

f

(u)在点u

u0

连续,则复合函数y

f

[(

x)]在点x

x0也连续.证

f

(u)在点u

a连续,

0,

0,

使当u

a

时,恒有

f

(u)

f

(a)

成立.又lim

(x)

a,恒有

(x)

a

u

a

成立.将上两步合起来:

0,

0,

使当0

x

x0

时,x

x0x

x0f

(u)

f

(a)

f

[

(x)]

f

(a)

成立.

lim

f

[

(

x)]

f

(a)

f

[

lim

(

x)].意义1.在函数连续时，极限符号"lim"可以x

x0与函数符号"f

"互换;2.变量代换(u

(x))的理论依据.例1.ln(1

x)x0求limx

1.1x

ln[lim(1

x)

]x0

ln

e解例如,

u

1

在(,

0)

(0,

)内连续,xy

sin

u

在(,

)内连续,x

y

sin

1

在(,0)

(0,

)内连续.u

ln

x,e

连续，u

ln

x连续f

(

x)

x

ex

在定义域上连续f

(x)

ax

ex

lna

,eu连续，u

x

ln

a

连续,1

limx0

xxln(1

x)limx01ln(1

x)

limln(1

x)

xx0

y

ln

u连续ax

在定义域上连续..

1x

0例2

求

limxe

x

1.yy

0

ln(1

y)原式

lim

lim解令e

x

1

y,则x

ln(1

y),当x

0时,y

0.1ln(1

y)

yy

01同理可得xa

x

1limx0

1

ln

a

ln

a

ln

ax

ln

ae

x

ln

a

1

limx0xe

x

ln

a

1

limx0xxeln

a

1

limx0,

a

0(1

x)a

1

x0例：求limxx0

ln

1

lim

a

ln(1

x)

axlim

1xx0x(1

x)a

1limx0ln

1

a

ln(1

x)

1,

a

ln(1

x)

ln

1,解：令(1

x)a

1

,当x

0时,

0,(1

x)a

1,

两边取对数,

ln(1

x)a

ln

1,令(1

x)a

1

x

0时,

0

1,(1

x)a

1limx0ax(1

x)a

1

~

ax

(

x

0)初等函数的连续性★三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★指数函数y

ax

(a

0,

a

1)在(,)内单调且连续;★

对数函数y

log

xa(a

0,

a

1)在(0,)内单调且连续;(均在其定义域内连续)定理5

基本初等函数在定义域内是连续的.定理6

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.★y

x在(0,

)内连续,不同值,1.

初等函数仅在其定义区间内连续,

在其定义域内不一定连续;例如,y

cos

x

1,D

:

x

0,这些孤立点的邻域内没有定义.y

x

2

(

x

1)3

,D

:x

0,

及x

1,在0点的邻域内没有定义.函数在区间[1,)上连续.注意

2.

初等函数求极限的方法代入法.注意例3e

x求

lim

sin

1.x

1原式

sine1

1

sine

1.例4.1

x

2

1x

0求limx解解x( 1

x2

1)( 1

x2

1)( 1

x2

1)x0原式

limx1

x2

1

limx02

0

0.因为函数f

(x)连续,所以lim

f

(

x)

f

(

x0

)

f

(

lim

x)xx0

xx0求极限时，极限号“lim

”可与符号“f

”交换次序xx0。例4sin

xx

0,

1x

02

x

e

2

xxx解：在（

，0）上，f

(x)

sin

x

是初等函数，处处连续也是初等函数，处处连续在（0，

）上，f

(x)2xe

2

x

1

lim

1

1

2x2x

2x在点x

0处，lim

f

(

x)

limx0

x0x0e

2

xxx0

x0lim

f

(

x)

lim

sin

x

1

lim

f

(

x)

1

f

(0),x0

f

(x)在定义域上处处连续例5设

lim

u(

x)

A

0,

lim

v(

x)

B,则x

x0

x

x0lim

v

(

x

)lim

u(

x)

lim

u(

x)

x

x0

A

.x

x0

x

x0v（x）

Bx

x0解：lim

u(x)v

(x

)

AB

.B

elnA

e

B

ln

Alim

v

(

x

)ln

u(

x

)

e

x

x0v(

x

)ln

u(

x

)

lim

ex

x0

lim

eln

u(

x

)v

(

x

)0x

xx

x0lim

v

(

x

)

lim

ln

u(

x

)

e

x

x0t根据指数函数e

的连续性例如1x

elim

sin

xx0

[lim(1

sin

x)sin

x

]x01x

lim(1

sin

x)sin

xx01

sin

xx0

lim[(1

sin

x)sin

x

]x

1

sin

x1lim(1

sin

x)

xx0x例：lim cos

x

x01limcos

xxx0xcos

x11cos

x1

x0

cos

x

1

lim

11

cos

x1

x1

cos

x1x0

cos

x

lim

111

cos

x

1

lim

xx00

e

1.的连续性。例4：1

x2nxf)(

limn

1

x2n解：当x1时，lim

1;2nn

1

x1

x2n当

x

1时

1;1

x2nlim2n1

xn

0。lim2nn

1

x1

x2n即

f

(x)

当

x

1时1,

x

10,

x

11,lim

f

(x)

1,

lim

f

(x)

1x1

x1lim

f

(x)

1,

lim

f

(x)

1x1x

1。x1f

(x)在x

1时间断，在其他地方连续连续函数的和差积商的连续性.反函数的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又

法.两个定理;两点意义.小结思考题0

0若

f

(

x)

在x

连续，则|

f

(

x)

|、

f

2

(

x)

在x

是0否连续？又若|

f

(

x)

|、

f

2

(

x)在x

连续，

f

(

x)

在x0

是否连续？思考题解答

f

(x)在x0

连续，

lim

f

(

x)

f

(

x0

)x

x0且

0

f

(

x)

f

(

x0

)

f

(

x)

f

(

x0

)

lim

f

(

x)

f

(

x0

)x

x0

2lim

f

(

x)

lim

f

(

x)

lim

f

(

x)

x

x0

x

x0x

x002

f

(

x

)故|

f

(

x)

|、

f

2

(

x)在x

都连续.0但反之不成立.例x

01,

x

0f

(

x)

1,0在x

0不连续但

|

f

(

x)

|、

f

2

(

x)在x

0连续0一、填空题：1、

y

3

x

2

1x

2x

2在

x

1

是第

类间断点；在

x

2

是第

类间断点

.2、x

(

x

2

1)x

2

xy

x

0在

是第

类间1,

x

1断点；在

x

1

是第

类间断点；在

x

1是第

类间断点

.

x,

x

1二、研究函数f

(x)

的连续性，并画出函数的图形.练习题三、

下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续.1、

f

(

x)

x

1,

x

1

在

x

R

上

.3

x,

x

12、f

(x)tan

xx,在x

R

上

.四、

函数2

n1

x

2n1

xf

(

x)

limn的连续性，若有间断点，判断其类型.五、试确定a,

b的值,使f

(x)(

x

a)(

x

1)

be

x，（1）有无穷间断点x

0；（2）有可去间断点x

1

.一、1、一类,二类；

2、一类,一类,二类.二、f

(x)在(,1)与(1,)内连续,x

1