高考数学总复习含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法复习课件新人教版

第2节含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法

1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a∅∅|x|>a{x∈R|x≠0}R－a<x<ax>a或x<－a1．绝对值不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<a∅∅(2)|ax＋b|>c(c>0)和|ax＋b|<c(c>0)的解法①|ax＋b|>c⇔

；②|ax＋b|<c⇔

.(3)|f(x)|<g(x)和|f(x)|>g(x)的解法①|f(x)|<g(x)⇔

；②|f(x)|>g(x)⇔ax＋b>c或ax＋b<－c－c<ax＋b<c－g(x)<f(x)<g(x)f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)(2)|ax＋b|>c(c>0)和|ax＋b|<c(c>0)2．一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的实根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实根不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集

{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－}{x|x1<x<x2}∅∅R2．一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系判别式Δ3.一元高次不等式的解法一元高次不等式解法的基本思路是因式分解，化为求一元一次或一元二次不等式组的解集．F(x)＝f(x)g(x)>0⇔或；F(x)＝f(x)g(x)<0⇔或

.3.一元高次不等式的解法4．分式不等式的解法若f(x)与g(x)是关于x的多项式，则不等式>0(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式(组)求解．即≥0⇔⇔f(x)·g(x)>0或f(x)＝0； >0⇔ 或⇔

.f(x)·g(x)>04．分式不等式的解法f(x)·g(x)>01．已知集合M＝{x||x－1|≤2，x∈R}，P＝{x| ≥1，x∈Z}，则M∩P等于 (

)A．{x|0<x≤3，x∈Z}

B．{x|0≤x≤3，x∈Z}C．{x|－1≤x≤0，x∈Z}D．{x|－1≤x<0，x∈Z}【解析】

∵M＝{x|－1≤x≤3}，P＝{x|－1<x≤4，x∈Z}，∴M∩P＝{x|0≤x≤3，x∈Z}．故选B.【答案】

B1．已知集合M＝{x||x－1|≤2，x∈R}，P＝{x|2．不等式1<|x＋1|<3的解集是 (

)A．{0,2} B．{－2,0}∪(2,4)C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)【解析】

原不等式可化为⇒⇒.∴0<x<2或－4<x<－2.故选D.【答案】

D2．不等式1<|x＋1|<3的解集是 ()3．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于 (

)A．－3 B．1C．－1 D．3【解析】

由题意：A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－3<x<2}，A∩B＝{x|－1<x<2}，由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2，故选A.【答案】

A3．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－4．若x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】

等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0当x∈R时恒成立，∴，解得a≥2.【答案】

[2，＋∞)4．若x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，则实数a高考数学总复习-第2节-含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法复习课件-新人教版

对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k，求k的取值范围．【思路点拨】

可分段去掉绝对值，由函数性质得|x＋1|－|x－2|的最小值，也可利用绝对值的几何意义或绝对值不等式进行转化求解．对任意实数x，若不等式|【解析】

解法一根据绝对值的几何意义，|x＋1|可以看作点x到点－1的距离，|x－2|可以看作是x到点2的距离，在数轴任取三个点xA≤－1，－1<xB<2，xC≥2，如图：可以看出|xA＋1|－|xA－2|＝3，－3<|xB＋1|－|xB－2|<3，|xC＋1|－|xC－2|＝3.由此可知，对任意实数x，都有－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.因此，对任意实数x，|x＋1|－|x－2|>k恒成立，则k<－3.【解析】解法一根据绝对值的几何意义，|x＋1|可以看作点解法二y＝|x＋1|－|x－2|，则，在直角坐标系中作出其图象，如下图：由图象可得到－3≤|x＋1|－|x－2|≤3，以下同法一．解法二y＝|x＋1|－|x－2|，解法三根据定理“||a|－|b||≤|a－b|”得||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∵对任意x∈R，|x＋1|－|x－2|>k恒成立，∴k<－3.【答案】

k<－3【方法技巧】

利用|x－a|的几何意义(点x到点a的距离)，可简便处理|x－a|±|x－b|>(或<)c类绝对值不等式问题；处理含有多个绝对值不等式的基本方法是根据各个绝对值的零点分段去掉绝对值，把问题转化为不含绝对值问题，法二就是这样处理的．

解法三根据定理“||a|－|b||≤|a－b|”得1．若不等式|x－4|＋|3－x|<a的解集是∅，求实数a的取值范围．【解析】

解法一分别求|x－4|和|3－x|的零点，即4,3.由3,4将数轴分成三部分．①当x<3时，原不等式化为7－2x<a，解得x>－.则据题意有－≥3⇒a≤1.②当3≤x≤4时，原不等式化为4－x＋x－3<a⇒a>1，据题意a>1不成立．1．若不等式|x－4|＋|3－x|<a的解集是∅，求实数a的③当x>4时，原不等式化为2x－7<a，解得x<

，则根据题意有≤4⇒a≤1.综上得a≤1.解法二不等式|x－4|＋|3－x|<a的几何意义为数轴上到3,4两点的距离之和小于a的点组成的集合，而3,4两点之间的距离为1，也即数轴上的点到3,4两点距离的最小值为1，要使原不等式解集是∅，则a≤1.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，1]．【答案】

(－∞，1]③当x>4时，原不等式化为2x－7<a，

解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.【思路点拨】

因为本题最高次项的系数中含有待定字母，所以需要分类讨论，再根据不等式的特点进行求解．【解析】

原不等式可化为(x－2)(ax－2)>0.(1)当a＝0时，原不等式化为x－2<0，解集为{x|x<2}．(2)当a<0时，原不等式化为(x－2)(x－)<0，这时两根的大小顺序为2>，所以解集为{x|<x<2}．解关于x的不等式ax2－2((3)当a>0时，原不等式化为(x－2)(x－)>0.①当0<a<1时，两根的大小顺序为2<，所以原不等式的解集为{x|x>或x<2}．②当a＝1时，2＝所以原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R}．③当a>1时，两根的大小顺序为2>，解集为{x|x>2或x<}．(3)当a>0时，原不等式化为(x－2)(x－)>综上所述，不等式的解集为：a＝0时，{x|x<2}；a＝1时，{x|x≠2}；a<0时，{x|<x<2}；0<a<1时，{x|x>或x<2}；a>1时，{x|x>2或x<}．综上所述，不等式的解集为：【方法技巧】

由于最高次项的系数含有字母a，不等式可以是二次不等式，也可以是一次不等式，且影响两根的大小．所以首先要确定解的是几次不等式，对首项系数是否为零讨论；再看开口，对首项系数的正负讨论；最后看两根的大小．【误区警示】

若忽略了字母对不等式次数的影响而看成了二次不等式，将会导致解集范围变小的错误．【方法技巧】由于最高次项的系数含有字母a，不等式可以是二次2．解关于x的不等式>1(a≠1)．【解析】

原不等式可化为>0，同解于[(a－1)x－(a－2)](x－2)>0.①当a>1时，原不等式等价于(x－)(x－2)>0.若≥2，即0≤a<1，与a>1矛盾，不成立；若<2，即a<0或a>1，于是a>1时，原不等式的解集为(－∞，)∪(2，＋∞)；2．解关于x的不等式>1(a≠②当a<1时，原不等式等价于(x－)(x－2)<0.若>2，即0<a<1时，原不等式的解集为(2，)；若<2，即a>1或a<0，于是a<0时，原不等式的解集为(，2)；若＝2，即a＝0时，原不等式的解集为∅.∴当a>1时，解集为(－∞，)∪(2，＋∞)；②当a<1时，原不等式等价于(x－)(x－当0<a<1时，解集为(2，)；当a＝0时，解集为∅；当a<0时，解集为(，2).当0<a<1时，解集为(2，)；

若1<x≤2，不等式ax2－2ax－1<0恒成立，求实数a的取值范围．【思路点拨】

不等式的二次项系数为待定参数a，故要先分a＝0和a≠0两大类进行讨论，然后结合数形结合法求解．若1<x≤2，不等式ax2【解析】

解法一从函数图象与不等式解集入手，不等式在(1,2]上恒成立，即f(x)＝ax2－2ax－1在x∈(1,2]时图象恒在x轴下方．当a＝0时，不等式变为－1<0恒成立．当a≠0时，设f(x)＝ax2－2ax－1，对称轴x＝1，结合二次函数图象，当a>0时，只需可得a>0；当a<0时，只需f(1)≤0即－1≤a<0，综上可得a≥－1.【解析】解法一从函数图象与不等式解集入手，不等式在(1,解法二因不等式恒成立，所以不等式对应的函数在(1,2]上的最大值恒小于0，从而转化为二次函数在闭区间上的最大值问题．设f(x)＝ax2－2ax－1，当a＝0时，f(x)＝－1，满足不等式f(x)<0；当a>0时，f(x)对称轴为x＝1，结合二次函数图象．区间(1,2]为f(x)的增区间，解法二因不等式恒成立，所以不等式对应的函数在(1,2]上的∴f(x)max＝f(2)＝－1<0，∴a>0成立．当a<0时，f(x)对称轴为x＝1，区间(1,2]为f(x)的减区间，∴f(x)max＝f(1)＝－a－1≤0，∴a≥－1，∴－1≤a<0，综上所述a≥－1.高考数学总复习-第2节-含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法复习课件-新人教版【方法技巧】

关于一元二次不等式恒成立问题，可以利用数形结合法，根据对称轴和区间的位置关系，列出不等式求解；也可转化为函数在某区间上的最大值恒小于零或最小值恒大于零的问题，通过求最值解决．另外，不等式恒成立问题常用到以下结论：k≥f(x)(k>f(x))恒成立⇔k≥f(x)max(k>f(x)max)；k≤f(x)(k<f(x))恒成立⇔k≤f(x)min(k<f(x)min)．【方法技巧】关于一元二次不等式恒成立问题，可以利用数形结合3．(理科)已知不等式mx2－2x－m＋1<0.(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．【解析】

(1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．注意讨论m＝0时的情况．3．(理科)已知不等式mx2－2x－m＋1<0.当m＝0时，1－2x<0，当x>时不等式恒成立；当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即，解得m∈∅.综上可知m∈∅.当m＝0时，1－2x<0，当x>时不等式恒成立；(2)从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式，可以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为[－2,2]，求参数x的取值范围．设f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，它是一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当－2≤m≤2时线段在x轴下方，(2)从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式，可以换个角∴，即，解得<x<.∴x的取值范围为{x|<x<}．∴m＝0不符合题意．【答案】

{x|<x<}∴，即(文科)已知函数y＝(k2＋4k－5)x2＋4(1－k)x＋3对于任意实数x，函数值恒大于0，求实数k的取值范围．【解析】

当时对于y>0恒成立，∴1<k<19，若k2＋4k－5＝0，则k＝－5或k＝1.当k＝－5时，y＝24x＋3，对于y>0不恒成立，当k＝1时，y＝3，对于y>0恒成立，综上，k的取值范围是1≤k<19.【答案】

1≤k<19(文科)已知函数y＝(k2＋4k－5)x2＋4(1－k)x＋高考数学总复习-第2节-含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法复习课件-新人教版

第2节含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法

1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a∅∅|x|>a{x∈R|x≠0}R－a<x<ax>a或x<－a1．绝对值不等式的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<a∅∅(2)|ax＋b|>c(c>0)和|ax＋b|<c(c>0)的解法①|ax＋b|>c⇔

；②|ax＋b|<c⇔

.(3)|f(x)|<g(x)和|f(x)|>g(x)的解法①|f(x)|<g(x)⇔

；②|f(x)|>g(x)⇔ax＋b>c或ax＋b<－c－c<ax＋b<c－g(x)<f(x)<g(x)f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)(2)|ax＋b|>c(c>0)和|ax＋b|<c(c>0)2．一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的实根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实根不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集

{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－}{x|x1<x<x2}∅∅R2．一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系判别式Δ3.一元高次不等式的解法一元高次不等式解法的基本思路是因式分解，化为求一元一次或一元二次不等式组的解集．F(x)＝f(x)g(x)>0⇔或；F(x)＝f(x)g(x)<0⇔或

.3.一元高次不等式的解法4．分式不等式的解法若f(x)与g(x)是关于x的多项式，则不等式>0(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式(组)求解．即≥0⇔⇔f(x)·g(x)>0或f(x)＝0； >0⇔ 或⇔

.f(x)·g(x)>04．分式不等式的解法f(x)·g(x)>01．已知集合M＝{x||x－1|≤2，x∈R}，P＝{x| ≥1，x∈Z}，则M∩P等于 (

)A．{x|0<x≤3，x∈Z}

B．{x|0≤x≤3，x∈Z}C．{x|－1≤x≤0，x∈Z}D．{x|－1≤x<0，x∈Z}【解析】

∵M＝{x|－1≤x≤3}，P＝{x|－1<x≤4，x∈Z}，∴M∩P＝{x|0≤x≤3，x∈Z}．故选B.【答案】

B1．已知集合M＝{x||x－1|≤2，x∈R}，P＝{x|2．不等式1<|x＋1|<3的解集是 (

)A．{0,2} B．{－2,0}∪(2,4)C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)【解析】

原不等式可化为⇒⇒.∴0<x<2或－4<x<－2.故选D.【答案】

D2．不等式1<|x＋1|<3的解集是 ()3．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于 (

)A．－3 B．1C．－1 D．3【解析】

由题意：A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－3<x<2}，A∩B＝{x|－1<x<2}，由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2，故选A.【答案】

A3．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－4．若x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】

等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0当x∈R时恒成立，∴，解得a≥2.【答案】

[2，＋∞)4．若x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，则实数a高考数学总复习-第2节-含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法复习课件-新人教版

对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k，求k的取值范围．【思路点拨】

可分段去掉绝对值，由函数性质得|x＋1|－|x－2|的最小值，也可利用绝对值的几何意义或绝对值不等式进行转化求解．对任意实数x，若不等式|【解析】

解法一根据绝对值的几何意义，|x＋1|可以看作点x到点－1的距离，|x－2|可以看作是x到点2的距离，在数轴任取三个点xA≤－1，－1<xB<2，xC≥2，如图：可以看出|xA＋1|－|xA－2|＝3，－3<|xB＋1|－|xB－2|<3，|xC＋1|－|xC－2|＝3.由此可知，对任意实数x，都有－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.因此，对任意实数x，|x＋1|－|x－2|>k恒成立，则k<－3.【解析】解法一根据绝对值的几何意义，|x＋1|可以看作点解法二y＝|x＋1|－|x－2|，则，在直角坐标系中作出其图象，如下图：由图象可得到－3≤|x＋1|－|x－2|≤3，以下同法一．解法二y＝|x＋1|－|x－2|，解法三根据定理“||a|－|b||≤|a－b|”得||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∵对任意x∈R，|x＋1|－|x－2|>k恒成立，∴k<－3.【答案】

k<－3【方法技巧】

利用|x－a|的几何意义(点x到点a的距离)，可简便处理|x－a|±|x－b|>(或<)c类绝对值不等式问题；处理含有多个绝对值不等式的基本方法是根据各个绝对值的零点分段去掉绝对值，把问题转化为不含绝对值问题，法二就是这样处理的．

解法三根据定理“||a|－|b||≤|a－b|”得1．若不等式|x－4|＋|3－x|<a的解集是∅，求实数a的取值范围．【解析】

解法一分别求|x－4|和|3－x|的零点，即4,3.由3,4将数轴分成三部分．①当x<3时，原不等式化为7－2x<a，解得x>－.则据题意有－≥3⇒a≤1.②当3≤x≤4时，原不等式化为4－x＋x－3<a⇒a>1，据题意a>1不成立．1．若不等式|x－4|＋|3－x|<a的解集是∅，求实数a的③当x>4时，原不等式化为2x－7<a，解得x<

，则根据题意有≤4⇒a≤1.综上得a≤1.解法二不等式|x－4|＋|3－x|<a的几何意义为数轴上到3,4两点的距离之和小于a的点组成的集合，而3,4两点之间的距离为1，也即数轴上的点到3,4两点距离的最小值为1，要使原不等式解集是∅，则a≤1.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，1]．【答案】

(－∞，1]③当x>4时，原不等式化为2x－7<a，

解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.【思路点拨】

因为本题最高次项的系数中含有待定字母，所以需要分类讨论，再根据不等式的特点进行求解．【解析】

原不等式可化为(x－2)(ax－2)>0.(1)当a＝0时，原不等式化为x－2<0，解集为{x|x<2}．(2)当a<0时，原不等式化为(x－2)(x－)<0，这时两根的大小顺序为2>，所以解集为{x|<x<2}．解关于x的不等式ax2－2((3)当a>0时，原不等式化为(x－2)(x－)>0.①当0<a<1时，两根的大小顺序为2<，所以原不等式的解集为{x|x>或x<2}．②当a＝1时，2＝所以原不等式的解集为{x|x≠2且x∈R}．③当a>1时，两根的大小顺序为2>，解集为{x|x>2或x<}．(3)当a>0时，原不等式化为(x－2)(x－)>综上所述，不等式的解集为：a＝0时，{x|x<2}；a＝1时，{x|x≠2}；a<0时，{x|<x<2}；0<a<1时，{x|x>或x<2}；a>1时，{x|x>2或x<}．综上所述，不等式的解集为：【方法技巧】

由于最高次项的系数含有字母a，不等式可以是二次不等式，也可以是一次不等式，且影响两根的大小．所以首先要确定解的是几次不等式，对首项系数是否为零讨论；再看开口，对首项系数的正负讨论；最后看两根的大小．【误区警示】

若忽略了字母对不等式次数的影响而看成了二次不等式，将会导致解集范围变小的错误．【方法技巧】由于最高次项的系数含有字母a，不等式可以是二次2．解关于x的不等式>1(a≠1)．【解析】

原不等式可化为>0，同解于[(a－1)x－(a－2)](x－2)>0.①当a>1时，原不等式等价于(x－)(x－2)>0.若≥2，即0≤a<1，与a>1矛盾，不成立；若<2，即a<0或a>1，于是a>1时，原不等式的解集为(－∞，)∪(2，＋∞)；2．解关于x的不等式>1(a≠②当a<1时，原不等式等价于(x－)(x－2)<0.若>2，即0<a<1时，原不等式的解集为(2，)；若<2，即a>1或a<0，于是a<0时，原不等式的解集为(，2)；若＝2，即a＝0时，原不等式的解集为∅.∴当a>1时，解集为(－∞，)∪(2，＋∞)；②当a<1时，原不等式等价于(x－)(x－当0<a<1时，解集为(2，)；当a＝0时，解集为∅；当a<0时，解集为(，2).当0<a<1时，解集为(2，)；

若1<x≤2，不等式ax2－2ax－1<0恒成立，求实数a的取值范围．【思路点拨】

不等式的二次项系数为待定参数a，故要先分a＝0和a≠0两大类进行讨论，然后结合数形结合法求解．若1<x≤2，不等式ax2【解析】

解法一从函数图象与不等式解集入手，不等式在(1,2]上恒成立，即f(x)＝ax2－2ax－1在x∈(1,2]时图象恒在x轴下方．当a＝0时，不等式变为－1<0恒成立．当a≠0时，设f(x)＝ax2－2ax－1，对称轴x＝1，结合二次函数图象，当a>0时，只需可得a>0；当a<0时，只需f(1)≤0即－1≤a<0，综上可得a≥－1.【解析】解法一从函数图象与不等式解集入手，不等式在(1,解法二因不等式恒成立，所以不等式对应的函数在(1,2]上的最大值恒小于0，从而转化为二次函数在闭区间上的最大值问题．设f(x)＝ax2－2ax－1，当a＝0时，f(x)＝－1，满足不等式f(x)<0；当a>0时，f(x)对称轴为x＝1，结合二次函数图象．区间(1,2]为f(x)的增区间，解法二因不等式恒成立，所以不等式对应的函数在(1,2]上的∴f(x)max＝f(2)＝－1<0，∴a>0成立．当a<0时，f(x)对称轴为x＝1，区间(1,2]为f(x)的减区间，∴f(x)max＝f(1)＝－a－1≤