《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A、B试卷)

PAGEPAGE19/18XXX学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（《线性代数》期末考试题及详细答案（、B试卷）A课程代码：命题教师：

适用班级：任课教师：题号一二三四总分评卷人分得值分20201050100一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题210。3 4 51、设D1

3 5，D=1 2 2

D1 0，则D=1O

OD = 。2 0 0 22、四阶方阵BA=116

，且B=2A-12A1，则B= 。3、三阶方阵A的特征值为1，-1，2，且B=A3-5A2，则B的特征值。4nAA2-3A-2EOEA= 。5设 1 2

2, 3 , 3, t线性相关则t= 。3二、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题20。1、若方程

x1 3 2 x13

成立，则x是：0 x x2 2 1 4（A）-2或3； （B）-3或2；（C）-2-3； （D）3或2、设A、B均为n阶方阵，则下列正确的公式为：A）AB

A33A2B+3AB2+B3；B）ABA+=A2B2；（C）A2E=AEA+E；D）AB2=A2B2；3、设A为可逆n阶方阵，则A**=？（A）AE； （B）A；（C）AnA； （D）An2A；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：1 0 0

1 0 0（A）

； （B）0 1 0；0 0 2

0 1 1 0 1 1 0 1 0（C）1 0

； （D）0 0 2； 0 0 1 5、下列命题正确的是：如果有全为零的数k, k

k, ,

,使k

k

k

，则,，1 2 3 m 线性无关；m

1 1 2 2 m m 1 2向量组,1 2线性相关；m

， ，m

若其中有一个向量可由向量组线性表示，,， ，1 2向量组,1 向量组,1

， ，m， ，m

的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。6、,1

， ，m

和，1 2

，为两个n维向量组，且：m=1

++ +；3 m=++2 1 3

+；m =+m 1 2

+ +

。；m1则下列结论正确的是：R1

,,2

,R,,m 1 2

,；mR1R1

,,2,,2

,R,,m 1 2,R,,m 1 2

,；m,；m无法判定；7、设A为n阶实对称方阵且为正交矩阵，则有：A）A=； BA相似于E； （C；A2E DA合同于；8、若,1 2

,,3

AXO+1 2

++3

AXO的：（A）解向量； （B）基础解系； （C）通解； （D）A的行向量；9、, 1

nA1

XX2 1

分别是对应于和1 2

的特征向量，当k, k1 2

XkX1 1

kX2

必是矩阵A的特征向量。（A）k1

0且k2

0； （B）k1

0，k2

0；（C）kk12

0； （D）k1

0而k2

0；1 1 0 10、下列哪一个二次型的矩阵是1 3 0 0 0 0f(x,x1 2

)x1

2xx2

3x2；2f(x,x1 2

)x1

xx1

3x2;2(C)f(x,x1 2

,x)x3 1

2xx2

3x2;2(D)f(x,x1 2

,x)x3 1

xx1

xx23

3x2;2三、计算题（963。 13A2

，B=

，其中，，，2 2

均是3维行向量，且已知33

3A=18B=2A+B：2、解矩阵方程AX+B=X ，其中：0 1 0 1 A=1 1 1，B2 0； 1 0 5 33、设有三维列向量组： 1 1 0= 1 ，=，= 1 ，=；1 2 3 1 为何值时：

1

1

2（1）可由，1 2

，线性表示，且表示式是唯一的；3（2）不能由1 2

， 线性表示；3（3）可由，1 2

，线性表示，且有无穷种表示式，并写出表示式。34、已知四元非齐次线性方程组AX=R)3，，1 2 3

是AX=的三个解向量，其中：2 14 0

，

；1 2 0 2 3 32 4 求AX=的通解。1 a 1 0 0 0 5、已知A=B，且A=a 1 b，B= 求ab：

1 b 1

0 0 26、齐次线性方程组：2x

0 3x 4x 0x1 2 3x；1 2 3 x2x ax01 2中当a为何值时，有非零解，并求出通解。7f(xx1 2

,x)4x3 1

4x2

4x23

4xx1

4xx1

4xx为标23准型，并求出正交变换。四、证明题7分：Am×nnR)n证明：若AB=O，则B=O；《线性代数》期末考试题A卷参考答案与评分标准一、 填空题；1、-10； 、81； 、4，6，12；、1A3E； 、5；2一、 二、单项选择题(每小题2分，共20分)题号12345678910答案番号ACDBCCCADC一、 三、计算题(每小题9分，共63分)；+ +21、A+B=3243

=12 223

（2分） 2=1223

+12223

（4分） 2=223

+12223

（7分）=2×18+12×2=602、AX+BXEAXB；1 1 0E1 0 1301 0 2XEA1B

（9分）（2分）（3分）（5分）0 2 E

A1

13 2

（7分）3 0 1 0 2 1 3 X13 2 2 02 0

（9分）3 0 1 5 3 1 3、设kk k；1 1 2 2 3 31+11111A11+1(+3)11+1=2(+3)0111+111+0且3时，方程组有唯一解；即可由，1 2

唯一线性表示；3（2）当=3时；2 1 1 0

1 2 1 3

1 2 1 30 1 1 2 1 1 2 9

0 0 0 6 R(A)=2，R无解即当3不能由，1 2

，线性表示；3

（6分）（3）当=0时1 1 1 0 1 1 1 01 1 1 00 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 R(A)=R有无穷组解1 1基础解系为：1

10 ， 2 1001 01 ccXc

c 1 2通解为

c 11 2 2 1 c2当=0时可由，1 2

， 线性表示为无穷多种形式；3(c1

c2

c1

c2

； c，c121

为任意常数；

（9分）4、R(A)=3<4AX= 的基础解系含一个解；A （i=1，2，3）i

（2分）2 1 14 0 4设(

)

)

0

（4分）1 2

3 0

3 32 4 2 1 为基础解系； （6分）32 A12 1 2

12

12

；11 2U 0 2

2

为特解；011

（8分） 1c 24c故AXXU0

c

c12c

（9分）5、A B EAEB；1 a 1EA a 1 b 332(2a2b2)(ab)21 b 1 0 0EBa 1 0 (2)33220 0 2332(2a2b2)(ab)23322比较同次幂系数有；2a2b22

（2）（4）（6）(ab)20

(8解之，得 ab02 1 3 0 1 16A1 3 41 0 1

（9）（3） 1 2 a 0 0 a3 当a3时， RA=2<3 有非零解；

（5分）1基础解系为1

（8分） 1 1 通解为 Xc为任意常数； （9分）4 2 27EA

2 4

2 (2)2(8)0 （3）2 2 4特征值为1

8， 21

231

0

（4分）特征向量为

1

， 0

1

（6分）1

2

3 1

1

1 正交单位化为

111，

1 110， 12

（7分）3261 2 3 3261

1

1标准型为 f8y1

2y22

2y23

（8分）1 1 1326 326 X

1 2 360Y360

（9分）1 1 1326 326 四、证明题（：B, 1

, ,nABA, 1 2

, ,n

A1

, 2

, ,n

O

（2分）Ai

(i1,2, ,n)B的每一列向量为齐次方程组AX的由于RAn AX只有零解BO

（4分）《线性代数》期末考试题及详细答案《线性代数》期末考试题及详细答案B课程代码：命题教师：

适用班级：任课教师：题号一二三四总分评卷人分得值分20201050100一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分；1 1.若0 51 2

1x 0，则 。2x x 0123123若齐次线性方程组xx

0只有零解，则

应满足 。1 2 3x x x 01 2 3已知矩阵A，B，C(c) ，满足ACCB，则A与B分别是 阶ij sn矩阵。a a 11Aaa a31

12a 的行向量组线性 。22a32n阶方阵A满足A23AE0，则A1 。（210分；若行列式D中每个元素都大于零，则D0（ ）零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合（ ）向量组a1

，a2

a与a1

a1

，a2 s线性相关（ ）014.A000

1 0 00 0 0，则A1A（ ）0 0 10 1 05.若为可逆矩阵A的特征值，则A1的特征值为。( )210设A为n阶矩阵，且2，则AT（ 。①2n； ②2n1； ③2n1； ④4；n维向量组1

，2

（3sn）线性无关的充要条件是（ 。①1②1③1④1

，2 ，2 ，2 ，2

中任意两个向量都线性无关；中存在一个向量不能用其余向量线性表示；中任一个向量都不能用其余向量线性表示；中不含零向量；下列命题中正确的( 。①任意nn1维向量线性相关；②任意nn1维向量线性无关；③任意n1个n 维向量线性相关；④任意n1个n 维向量线性无关；设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的( 。①若A，B均可逆，则AB可逆；②若A，B均可逆，则AB 可逆；③若AB可逆，则AB可逆；④若AB可逆，则A，B均可逆；5.若

，，

是线性方程组A0的基础解系，则

是1 2 3 4 1 2 3 40的（ ；①解向量； ②基础解系； ③通解； ④A的行向量四、计算题(每小题9分，共63分)；

xaaa

bxbb

ccxcc

ddd 。xd

ABA2BA

3 0 1 1 1 0, 0 1

B。11002134110021340110,0213

且矩阵满足关系式 20 0 0 1 2X(CB)'E,求。 1

1a

2 1 2 14.问a

,

a,

。1 2

2 1

3 2 1

a 2 2 2 x x 35.

为何值时，线性方程组x

1 2 x

2

有唯一解，无解和有无穷多解？当方程1 2 3xx x 21 2 3组有无穷多解时求其通解。1 2 1 3 设

4,

9, 0, 10求此向量组的秩和一个极大无关1 1 2 1 3 3 4 70 3 1 0 3 1 组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。1 0 0设A0 1 0，求A的特征值及对应的特征向量。 0 2 1 五、证明题(7分)；A是nAA证明AI0I为单位矩阵。线性代数期末考试题B卷答案及评分标准一、填空题；1.5 2.1 3.ss nn 4.相关5. A3E二、判断正误；1.× 2.√三、单项选择题；1.③ 2. 四、计算题；1.

3.√3.③

4. √ 5. ×4. ② 5. ①xabcdxabcdbcdaxbcdxabcdxbcdabxdxabcdbxcdabcxdxabcdbcxd1bc d1 bcd(xabcd

1 x1 b1 b

cxc

d (xabcd)0 x d 0 0 xxd 0 0 0

0(xabcd)x30x2.(A2E)BA (A2E)1

2 1 2 2 5 2 2 B(A2E)1A4 3

1 1

12 2 33.1 2 3 4 1

0 0 00 1 2 3

2 1 0 0CB (CB)' 0 0 1 2 3 2 1 00 1 0 0 1 4 0 11 0 0 0

1

0 0 2 1 0 0

2 1

0 0