高三数学(理)一轮复习讲解与练习81直线的倾斜角与斜率直线的方程(含答案解析)

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[备考方向要了然]考什么怎么考1.理解直线的倾斜角和斜率的看法，1.对直线的倾斜角和斜率看法的观察，很少单独命题，掌握过两点的直线斜率的计算公式．但作为剖析几何的基础，复习时要加深理解．2.能依照两条直线的斜率判断这两条2.对两条直线平行或垂直的观察，多与其他知识结合直线平行或垂直．观察，如2012年浙江T3等．3.掌握确定直线地址的几何要素；掌3.直线方程素来是高考观察的重点，且拥有以下特点：握直线方程的几种形式(点斜式、两(1)一般不单独命题，观察形式多与其他知识结合，以点式及一般式等)，认识斜截式与一选择题为主．次函数的关系.(2)主若是涉及直线方程和斜率.[归纳·知识整合]1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①一个前提：直线l与x轴订交；一个基准：取x轴作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上方向．②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0°.③倾斜角的取值范围为[0，π)．(2)直线的斜率①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan_α.②计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于y2－y1x轴，则k＝－x.x21[研究]1.直线的倾角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？ππ提示：这种说法不正确．由k＝tanθθ≠2知，当θ∈0，2时，θ越大，斜率越大且为π正；当θ∈2，π时，θ越大，斜率也越大且为负．但综合起来说是错误的．2．两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系[研究]2.两条直线l1，l2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话正确吗？提示：不正确，当一条直线与线斜率不存在．3．直线方程的几种形式名称条件点斜式斜率k与点(x0，y0)斜截式斜率k与截距b两点两点式(x1，y1)，(x2，y2)截距式截距a与b一般式

x轴平行，另一条与y轴平行时，两直线垂直，但一条直方程适用范围y－y0＝不含直线x＝x0k(x－x0)y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线y－y1y2－y1＝不含直线x＝x1(x1＝x2)和x－x1直线y＝y1(y1＝y2)x2－x1x＋y＝1不含垂直于坐标轴和过原ab点的直线Ax＋By＋C＝0(A2＋平面直角坐标系内的直线B2≠0)都适用[研究]3.过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可否必然可用两点式方程表示？提示：当x1＝x2，或y1＝y2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能够用两点式方程表示．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)若直线x＝2的倾斜角为α，则α()πA．等于0B．等于4πC．等于2D．不存在剖析：选C因为直线x＝2垂直于x轴，故其倾斜角为π2.2．(教材习题改编)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1B．4C．1或3D．1或4剖析：选A4－m由题意知，＝1，解得m＝1.m＋23．过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为()A．x－y－3＝0B．x＋y－3＝0C．x＋y＋3＝0D．x－y＋3＝0剖析：选B3－1直线斜率为＝－1，0－2其方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.4．直线l的倾斜角为30°，若直线l1∥l，则直线l1的斜率k1＝________；若直线l2⊥l，则直线l2的斜率k2＝__________.3剖析：∵l1∥l2，∴kl1＝tan30＝°3.1∵l2⊥l，∴kl2＝－kl＝－3.3－3答案：35．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x等于________．剖析：因为kAB＝7－5x－5x－5.＝2，kAC＝＝－44－3－1－3x－5A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即－＝2，4解得x＝－3.答案：－3直线的倾斜角和斜率[例1](1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()π3πA．[0，π)B.0，4∪4，πππ∪πC.0，D.0，，π442(2)已知两点A(m，n)，B(n，m)(m≠n)，则直线AB的倾斜角为________；(3)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．[自主解答](1)设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，其中sinα∈[－1,1]．又θ∈[0，π3ππ)，所以0≤θ≤4或4≤θ<π.(2)设直线AB的倾斜角为θ，斜率为k，则m－nk＝tanθ＝＝－1.n－m又θ∈[0，π)，3π所以θ＝4.1－0＝1，(3)如右图，∵kAP＝2－1BP＝3－0＝－3，k0－1∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．[答案](1)B3π(3)(－∞，－3]∪[1，＋∞)(2)4若将P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围．解：∵P－1，0，A2，1，B0，3，1－013－0∴kPA＝2－－1＝3，kPB＝＝3.0－－1借助图形可知，直线l的斜率的取值范围为1，3.3———————————————————斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般依照k＝tanα求斜率；y2－y1(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般依照斜率公式k＝x2－x1(x1≠x2)求斜率．1．直线l：xsin30＋°ycos150＋°1＝0的斜率是()3A.3B.33C．－3D．－3剖析：选A设直线l的斜率为k，则k＝－sin30°3cos150＝°3.2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()11A.3B．－332C．－2D.3剖析：选B设P(x,1)，Q(7，y)，则x＋7＝2,1＋y＝－2，1－－3＝－1.解得x＝－5，y＝－3，从而kl＝－5－73直线的平行与垂直的判断及应用[例2]若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________.[自主解答]因为两直线平行，所以有a(a－1)＝2，即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1.[答案]2或－1———————————————————用一般式确定两直线地址关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A12＋B12≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)l1与l2垂直A1A2＋B1B2＝0的充要条件l1与l2平行A1＝B1≠C1的充分条件A2B2(A2B2C2≠0)C2l1与l2订交A1B1的充分条件A2≠B2(A2B2≠0)l1与l2重合A1＝B1＝C1的充分条件A2B2(A2B2C2≠0)C23．已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，则实数m＝________.剖析：k1＝tan45＝°1，k2＝m＋1，3＋2m＋1∵l1⊥l2，∴k2＝＝－1，解得m＝－6.3＋2答案：－64．已知过点

A(－2，m)，B(m,4)的直线与直线

2x＋y－1＝0平行，则

m的值为

________．剖析：由题意知，kAB＝4－m＝－2，m＋2解得m＝－8.答案：－8直线方程[例3](1)在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3)B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1)D．y－3＝－3(x－1)(2)直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．△OAB的面积为12，则直线l的方程是________________________________________________．[自主解答](1)因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为：y－3＝－3(x－1)．x＋y＝1(a>0，b>0)．(2)法一：设直线l的方程为ab321则有a＋b＝1，且2ab＝12.解得a＝6，b＝4.所以所求直线l的方程为x6＋4y＝1，即2x＋3y－12＝0.法二：设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，令x＝0，得y＝2－3k>0；2令y＝0，得x＝3－k>0.所以S△＝12＝12，解得k＝－2，OAB2(2－3k)3－k32故所求直线方程为y－2＝－3(x－3)，即2x＋3y－12＝0.[答案]

(1)D

(2)2x＋3y－12＝0———————————————————求直线方程的常用方法(1)直接法：依照已知条件，选择合适形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程．(2)待定系数法：先依照已知条件设出直线方程．再依照已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．5．△ABC的三个极点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直均分线DE的方程．y－1x－2解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为＝，3－1－2－2即x＋2y－4＝0.(2)设BC中点D的坐标(x，y)，则2－21＋3x＝2＝0，y＝2＝2.BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为x＋y＝－321，即2x－3y＋6＝0.1＝－1，则BC的垂直均分线DE的斜率k2＝2，由点斜式得直线DE的2方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.1个关系——直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何的直线都存在倾斜角，但其实不是任意的直线都存在斜率．(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<03个注意点——与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能够表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能够表示垂直于坐标轴和过原点的直线．在应用时要结合题意选择合适的形式，在无特别要求下一般化为一般式．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意谈论截距可否为零．(3)求直线方程时，若不能够判断直线可否拥有斜率时，应注意分类谈论，即对付斜率存在与否加以谈论.易误警示——有关直线方程中“极端”情况的易误点[典例]

(2013

·州模拟常

)过点

P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线

l的方程为_______________________________．[剖析]

当截距不为

0时，设所求直线方程为xy＋＝1，即x＋y－a＝0.∵点P(－2,3)在直线l上，∴－2＋3－a＝0，∴a＝1，所求直线l的方程为x＋y－1＝0.当截距为0时，设所求直线方程为y＝kx，则有33＝－2k，即k＝－2，3此时直线l的方程为y＝－2x，即3x＋2y＝0.综上，直线l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.[答案]x＋y－1＝0或3x＋2y＝0[易误辨析]1．因忽略截距为“0的”情况，以致求解时遗漏直线方程3x＋2y＝0而致错，所以能够借助几何法先判断，再求解，防备漏解．2．在采纳直线方程时，常易忽略的情况还有：(1)采纳点斜式与斜截式时忽略斜率不存在的情况；(2)采纳两点式方程时忽略与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况．[变式训练]已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，则直线l的方程为________________．剖析：当m＝2时，直线l的方程为x＝2；当m≠2时，直线l的方程为y－1x－2＝，3－1m－2即2x－(m－2)y＋m－6＝0.因为m＝2时，方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，即为x＝2，所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0.答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0一、选择题(本大题共6小题，每题5分，共30分)1．(2013·皇岛模拟秦)直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()πB.πA.632π5πC.3D.6剖析：选D由直线的方程得直线的斜率为k＝－333，设倾斜角为α，则tanα＝－3，5π所以α＝6.2．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB垂直均分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是()A．－2B．－7C．3D．1剖析：选C由已知kAB＝2，即4＝2，解得m＝3.m－13．若直线经过点(1,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这样的直线共有()A．4条B．3条C．2条D．1条剖析：选B作图易得在第一、二、四象限各能围成一个．4．(2013银·川模拟)已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a等于()A．3B．1C．－1D．3或－11a6剖析：选C由题意知，l1∥l2?＝≠，即a＝－1.5．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点()A.－1，3B.1，32211C.2，－3D.－2，－32x＋1＝0，1剖析：选D原方程可化为(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令解得x＝－2，y＝－y＋3＝0，3，故所有直线都过定点－1，－3.26．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsinA＋ay＋c＝0与直线

bx－ysinB＋sinC＝0的地址关系是

(

)A．平行

B．重合C．垂直

D．订交但不垂直剖析：选

C

由已知得

a≠0，sinB≠0，所以两条直线的斜率分别为

sinAk1＝－a，k2＝，由正弦定理得k1·k2＝－sinA·b＝－1，所以两条直线垂直．sinBasinB二、填空题(本大题共3小题，每题5分，共15分)ππ2π7．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈6，4∪3，π，则k的取值范围是________________．ππ3剖析：当α∈6，4时，k＝tanα∈3，1；2π当α∈3，π时，k＝tanα∈[－3，0)．综上k∈[－3，0)∪3.3，1答案：[－3，0)∪3，138．已知直线x－ky＋1＝0与直线y＝kx－1平行，则k的值为________．1剖析：若两直线平行，则k＝k，解得k＝±1.答案：±19．(2013·南八校联考皖)已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为________．剖析：∵两直线互相垂直，∴a2b－(a2＋1)＝0且a≠0，∴a2b＝a2＋1，a2＋11∴ab＝a＝a＋a，11∴|ab|＝a＋a＝|a|＋|a|≥2(当且仅当a＝±1时取等号)．答案：2三、解答题(本大题共3小题，每题12分，共36分)10．设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，依照以下条件分别确定m的值：(1)直线l的斜率为1；(2)直线l在x轴上的截距为－3.12m－6解：(1)因为直线l的斜率存在，所以m≠0，于是直线l的方程可化为y＝－mx＋m.1由题意得－m＝1，解得m＝－1.3(2)法一：令y＝0，得x＝2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝2.3法二：直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝2.11．已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m∈－3－1，3－1，求直线AB的倾斜角α的取值范围．3解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，1当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．m＋1π(2)①当m＝－1时，α＝2.②当m≠－1时，m＋1∈－33，0∪(0，3]，即k＝1∈(－∞，－3]∪3，＋∞，m＋13πππ2π所以α∈6，2∪2，3.π2π综合①②知，直线AB的倾斜角α的取值范围为6，3.12．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落1在直线y＝2x上时，求直线AB的方程．解：由题意可得kOA＝tan45＝°1，3kOB＝tan(180－°30°)＝－，3所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－3x.设A(m，m)，B(－3n，n)，所以AB的中点Cm－3n，m＋n，221由点C在y＝2x上，且A，P，B三点共线得m＋n1m－3n2＝2·2，m－0n－0＝，m－1－3n－1解得m＝3，所以A(3，3)．又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝33＋3＝2.3－1所以lAB：y＝3＋32(x－1)，即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.1．直线l过点(－1,2)且与直线3y＝2x＋1垂直，则l的方程是()A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0剖析：选A法一：设所求直线l的方程为3x＋2y＋C＝0，则3×(－1)＋2×2＋C＝0，得C＝－1，即l的方程为3x＋2y－1＝0.33法二：由题意知，l的斜率是k＝－2，则直线l的方程为y－2＝－2(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.2．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是()11A．－1<k<5B．k>1或k<2C．k>1或k<1D．k>1或k<－152剖析：选D设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x2轴上的截距为1－k，2则－3<1－k<3，解得

k>1或2

k<－1.3．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上搬动，则xy的最大值等于________．剖析：∵线段AB的方程为x＋y＝1(0≤x≤3)，34442＋4x＝－4323∴y＝4－3xx－2＋3，∴由二次函数性质知，当x＝时，3x，代入xy